函数与方程不等式相结合问题

问题4 函数与方程、不等式相结合问题

一、考情分析

函数与方程、函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的热点和重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都很大,函数与方程、函数与不等式是高中数学的主线,它们贯穿于高中数学的各个内容,求值的问题就要涉及到方程,求取值范围的问题就离不开不等式,但方程、不等式更离不开函数,函数与方程、函数与不等式思想的运用是我们解决问题的重要手段.

二、经验分享

(1) 确定函数零点所在区间,可利用零点存在性定理或数形结合法．

(2)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质；③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数．

(3) 已知函数零点情况求参数的步骤

①判断函数的单调性；②利用零点存在性定理,得到参数所满足的不等式(组)；③解不等式(组),即得参数的取值范围．

(4)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数,利用数形结合求解参数范围．

(5)“a＝f(x)有解”型问题,可以通过求函数y＝f(x)的值域解决．

三、知识拓展

1．有关函数零点的结论

(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点．

(2)连续不断的函数,其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．

(3)连续不断的函数图象通过零点时,函数值可能变号,也可能不变号．

2．三个等价关系

方程f(x)＝0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点．

四、题型分析

(一) 函数与方程关系的应用

函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f(x)＝0的解就是函数y＝f(x)的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y＝f(x)也可以看作二元方程f(x)－y＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：二是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质,达到化难为易,化繁为简的目的.许多有关方程的问题可以用函数

的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.

【例1】已知函数

（x R ∈）有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是

【分析】把函数（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程

有三个不同的根,

再利用函数图象求解

【解析】因为0x =是函数()f x 的零点,则函数

有四个不同的零点,等价于方程

有三个不同的根,即方程有三个不同的根．记函数＝

．由题意y=

1k 与()y g x =有三个不同的交点,由图知1

01k

<<,所以1k >．实数k 的取值范围是是[)1+∞，、 【点评】

零点问题也可转化为方程的根的问题,的根的个数

问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数问题,通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程

根的个数．

【小试牛刀】【2018届2江苏徐州丰县高三上学期调考】．设函数（a R ∈，e 为自然对

数的底数），若曲线sin y x =上存在一点00(,)x y 使得，则a 的取值范围是 ．

【答案】[]1,e

【解析】由题设

及函数的解析式可知

，所以10≤≤y ．由题意问题转

化为“存在]1,0[∈x ，使得

有解”，即在]1,0[有解，令，则

，当0>x 时，函数

是增函数；所以

10≤≤x ，当

，即e x h ≤≤)(1.所以[]1,e ，故应填答案[]1,e .

(二) 函数与不等式关系的应用

函数与不等式都是高中数学的重要内容,也都是高考的重点,在每年的高考试题中这部分内容所占的比例都是很大的.函数是高中数学的主线,方程与不等式则是它的重要组成部分.在很多情况下函数与不等式也可以相互转化,对于函数y ＝f (x ),当y >0时,就转化为不等式f (x )>0,借助于函数图像与性质解决有关问题,而同时研究函数的性质,也离不开解不等式的应用.

【例2】已知函数,

,若对任意的12,x x ∈R ,都有

成立,则实数k 的取值范围为 .

【分析】根据题中条件：对任意的12,R x x ∈,都有

成立,将问题转化为

.

再由题中所给两函数的特征：函数是一确定的分段函数,由它的图象不难求出函数的最大值max ()f x =1

4

；而另一个函数中含有绝对值,由含有绝对值的不等式可求出它

的最小值

,即可得到不等式1

|1|4

k -≥

,则可求出k 的取值范围.

【解析】对任意的12,x x ∈R ,都有成立,即.观察

的图象可知,当12x =

时,函数max ()f x =1

4

；因为,所以

所以,1|1|4k -≥,解得34k ≤或54k ≥,故答案为34k ≤或5

4

k ≥．

【点评】本题考查了分段函数、对数函数和二次函数的性质,主要考察了不等式的恒成立问题和函数的最值问题. 注意不等式：

||||b a +对,a b ∈R 是恒成立的.特别要注意等号成立的条件.

渗透到方程问题、不等式问题、和某些代数问题都可以转化为函数知识.且涉及的知识点多、面广,在概念

性、应用性、理解性都有一定的要求,它们是高考中考查的重点,所以在教学中我们应引引起高度的重视. 【小试牛刀】【2018届江苏省南京市高三12月联考】若不等式对任

意的()0,y ∈+∞恒成立，则实数x 的取值集合为________．

【答案】52??

????

【解析】画图可知，函数和函数连续在y 轴右边有相同的零

点，令()0g y =，得y x =，代入()0f y =中，得0x =，或5

2

x =

，注意到0x >，所以实数x 的取值集合为52??????,故填52??????

.

(三) 函数、方程和不等式关系的应用

函数、方程、不等式的结合,是函数某一变量值一定或在某一范围下的方程或不等式,体现了一般到特殊的观念.也体现了函数图像与方程、不等式的内在联系,在高中阶段,应该让学生进一步深刻认识和体会函数、方程、不等式三部分之间的内在联系,并把这种内在联系作为学习的基本指导思想,这也是高中数学最为重要的内容之一.而新课程标准中把这个联系提到了十分明朗、鲜明的程度.因此,在高三的复习中,对这部分内容应予以足够的重视. 【例3】已知函数,其中m ,a 均为实数．

(1)求()g x 的极值；

(2)设1,0m a =<,若对任意的12,[3,4]x x ∈12()x x ≠,

恒成立,求a 的最小值；

(3)设2a =,若对任意给定的0(0,e]x ∈,在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得

成立,求

m 的取值范围．

【分析】(1)求()g x 的极值,就是先求出'()g x ,解方程'()0g x =,此方程的解把函数的定义域分成若干个区间,我们再确定在每个区间里'()g x 的符号,从而得出极大值或极小值；（2）此总是首先是对不等式

<

恒成立的转化,由（1）可确定()f x 在[3,4]上是增函数,同样的方法（导

数法）可确定函数

1

()

g x 在[3,4]上也是增函数,不妨设21x x >,这样题设绝对值不等式可变为2()f x -

1()f x <

21()g x 11

()

g

x -

,整理为

,

由此函数在区间

[3,4]上为减函数,则在（3,4）上恒成立,要求a 的取值范围．采取分离参数法

得恒成立,于是问题转化为求

在[3,4]上的最大值；（3）由于0x 的任意

性,我们可先求出()g x 在(0,]e 上的值域(0,1],题设“在区间(0,e]上总存在1212,()t t t t ≠,使得1()f t =

2()f t 0()g x =成立”,转化为函数()f x 在区间(0,]e 上不是单调函数,极值点为

2m （2

0e m

<<）,其次()1f e ≥,极小值2()0f m ≤,最后还要证明在2

(0,)m

上,存在t ,使()1f t ≥,由此可求出m 的范围.

【解析】（1）,令()0g x '=,得x = 1．

列表如下：

∵g (1) = 1,∴y =()g x 的极大值为1,无极小值． （2）当1,0m a =<时,

,(0,)x ∈+∞．

∵在[3,4]恒成立,∴()f x 在[3,4]上为增函数．

设,∵> 0在[3,4]恒成立,

∴()h x 在[3,4]上为增函数．

设21x x >,则等价于,

即

．

x

（∞,1） 1 （1,∞）

()g x '

0 g (x )

↗

极大值

↘

设,则u (x )在[3,4]为减函数．

∴在（3,4）上恒成立．

∴恒成立．

设,∵=,x [3,4],

∴,∴()v x '< 0,()v x 为减函数．

∴()v x 在[3,4]上的最大值为v (3) = 3 2

2e 3

． ∴a ≥3

2

2e 3

,∴a 的最小值为3 2

2e 3

． （3）由（1）知()g x 在(0,e]上的值域为(0,1]．

∵

,(0,)x ∈+∞,

当0m =时,

在(0,e]为减函数,不合题意．

当0m ≠时, ,由题意知()f x 在(0,e]不单调,

所以20e m <

<,即2

e

m >．① 此时()f x 在2(0,)m 上递减,在2

(,e)m

上递增, ∴(e)1f ≥,即,解得3

e 1

m -≥

．② 由①②,得3

e 1

m -≥

．

∵1(0,e]∈,∴成立．

下证存在2

(0,]t m

∈,使得()f t ≥1．

取e m t -=,先证e 2

m m

-<

,即证2e 0m m ->．③

设,则

在3

[

,)e 1

+∞-时恒成立． ∴()w x 在3

[

,)e 1

+∞-时为增函数．∴,∴③成立．

再证()e m f -≥1．

∵

,∴3

e 1

m -≥

时,命题成立． 综上所述,m 的取值范围为3

[

,)e 1

+∞-． 【点评】本题主要考查了导数的应用,求单调区间,极值,求函数的值域,以及不等式恒成立等函数的综合应用. 对于不等式的解法要熟练地掌握其基本思想,在运算过程中要细心,不可出现计算上的错误.解决不等式与函数、方程之间联系的题目时不仅要理解其内在的联系,还应注意转化的思想和数形结合的思想应用. 有关恒成立问题、能成立问题、恰好成立问题在新课标高考试题中经常出现,要理解各自的区别.在求函数在闭区间上的最值问题可采用以下方法：先求出函数在导数为零的点、不可导点、闭区间的端点的函数值,然后进行比较,最大的函数值就是函数的最大值,最小的函数值就是函数的最小值.

【小试牛刀】【江苏省常州市2019届高三上学期期末】已知函数，函数

.

（1）若，求曲线

在点

处的切线方程；

（2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围；

（3）若函数

对

恒成立，求实数的取值范围.(是自然对数的底数，

)

【解析】

（1）当

时，

，则

，所以

，

所以切线方程为

.

（2），

①当时，

恒成立，所以单调递增，

因为，所以有唯一零点，即符合题意；

②当

时，令

，解得

，列表如下：

- 0 +

极小值

由表可知，.

（i）当，即时，，所以符合题意；

（ii）当，即时，，

因为，且，所以，

故存在，使得，所以不符题意；

（iii）当，即时，，

因为，

设，

则，

所以单调递增，即，所以，

又因为，所以，

故存在，使得，所以不符题意；

综上，的取值范围为.

（3），则，

①当时，恒成立，所以单调递增，

所以，即符合题意；

②当时，恒成立，所以单调递增，

又因为

，

所以存在，使得，

且当时，，即在上单调递减，

所以，即不符题意；

综上，的取值范围为.

五、迁移运用

1．【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知函数，若，则实数的取值范围为__.

【答案】

【解析】

函数为偶函数，

因为，

所以当时，函数为增函数，当时，函数为减函数，

由得，

即，解得

故答案是：.

2．【江苏省扬州市2018-2019学年度第一学期期末】若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

∵正实数x，y，z满足3y2+3z2≤10yz，

∴?，

∵，∴ln e，

ln ln（）＝ln ln e ln，

令，

则ln e ln et﹣lnt，t，

f（t）＝et﹣lnt，

f′（t）＝e0，则t，

可得f（t）在（）递减，在（）递增，

∴f（t）min＝f（）＝1﹣（﹣1）＝2，

即（ln）min＝2，

∴的最小值为e2，

故答案为：e2．

3．【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】设函数，若对任意(，0)，总存在[2，)，使得，则实数a的取值范围_______．

【答案】

【解析】

由题意，对任意(，0)，总存在[2，)，使得，

即当任意(，0)，总存在[2，)，使得，

当时，，当时，函数，

当，此时，符合题意；

当时，时，，此时最小值为0，

而当时，的导数为，

可得为极小值点，可得的最小值为或，均大于0，不满足题意；

当时，时，的最小值为0或，

当时，的导数为，

可得为极小值点，且为最小值点，可得的最小值为，

由题意可得，解得，

综上可得实数的范围是。

4．【江苏省南京金陵中学2019届高三第一学期期中】若存在正数x，y，使得，其中e为自然对数的底数，则实数的取值范围是_____________．

【答案】(，0)[，)

【解析】

由得x+s（y﹣2ex）ln=0，

即1+s（﹣2e）ln=0，

即设t=，则t＞0，

则条件等价为1+s（t﹣2e）l nt=0，

即（t﹣2e）lnt=有解，

设g（t）=（t﹣2e）lnt，

g′（t）=lnt+1﹣为增函数，

∵g′（e）=lne+1﹣=1+1﹣2=0，

∴当t＞e时，g′（t）＞0，

当0＜t＜e时，g′（t）＜0，

即当t=e时，函数g（t）取得极小值，为g（e）=（e﹣2e）lne=﹣e，

即g（t）≥g（e）=﹣e，

若（t﹣2e）lnt=有解，

则≥﹣e，即≤e，

则s＜0或s≥，

故答案为：s＜0或s≥．

5．【江苏省扬州市2019届高三上学期期中】已知函数，（e为自然对数的底数，e≈2.718）．对于任意的(0，e)，在区间(0，e)上总存在两个不同的，，使得＝＝，则整数a的取值集合是_______．

【答案】

【解析】

f′（x）=2（﹣x），

令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜e，

故f（x）在（0，）递增，在（，e）递减，

而f（0）=0，f（）=2，f（e）=e（2﹣e），

故f（x）在（0，e）的值域是（0，2），

对于g（x）=lnx﹣ax+5，x∈（0，e），

a=0时，g（x）=lnx+5，g（x）递增，

在区间（0，e）上不存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），

不合题意，

a≠0时，g′（x）=﹣a，令g′（x）=0，解得：x=，

若在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，使得g（x1）=g（x2），

则只需0＜＜e，故a＞，

令g′（x）＞0，解得：0＜x＜，令g′（x）＜0，解得：＜x＜e，

故g（x）在（0，）递增，在（，e）递减，

而x→0时，g（x）→﹣∞，g（）=﹣lna+4，g（e）=6﹣ae，

若对于任意的x0∈（0，e），在区间（0，e）上总存在两个不同的x1，x2，

使得g（x1）=g（x2）=f（x0），

只需，解得：2.2≈≤a≤e2≈7.29，

故满足条件的a的整数为：3，4，5，6，7，

故答案为：{3，4，5，6，7}．

6．【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知函数，若存在＜0，使得

＝0，则实数的取值范围是__.

【答案】［－1,0）

【解析】

当时，

如果，，相当于函数在处有交点，由图象可知，显然不符；如果，，相当于函数在处有交点，由图像可知，显然不符；

当时，

如果，，相当于函数在处有交点，如下图，两图象相切时，，，切点为，代入，得，

所以，当时，在且处有交点，即存在，使得；

如果且时，，相当于函数在处有交点，即处

有交点，因，下图中，两图象交点的横坐标是大于的，所以，在处，两图象没有交点；

综上，可知：.

7．【江苏省苏州市2019届高三上学期期末】设函数，若方程有三个相异的实根，则实数k的取值范围是_______．

【答案】

【解析】

由题意，若方程，即有三个相异的实根，

即函数和的图象由三个不同的交点，如图所示，

又由直线和必有一个交点，所以0>，

则与的图象有两个交点，

联立方程组，整理得，

由，解得或，

所以实数的取值范围是.

8．【江苏省南通市2018届高三上学期第一次调研】已知函数

.若函数

有4个零点，则实数a 的取值

范围是________.

【答案】 【解析】令

当10a -<时()f t 有两个零点，需

当1=0a -时()f x 有三个零点，，

所以函数

有5个零点，

舍；

当10a ->时，由于121a ->-

所以，且，所以

综上实数a 的取值范围是

9．【江苏省如皋市2017--2018学年度高三年级第一学期教学质量调研】已知函数

，且()y f x =在[]

0,2x ∈上的最大值为

1

2

，若函数有四

个不同的零点，则实数a 的取值范围为_______. 【答案】()01，

【解析】

若0m ≥，则在[]

0,2上递增，

有最小值

1

2

，不合题意，

0m ∴<，要使()f x 在[]0,2的最大值为

12，如果22

m

-≥，即4m ≤-，则，得

矛盾，不合题意；如果22

m

-

<，则，

2m ∴=-，

，若

有四个零点，则()y f x =与2

y ax =有四个交点，

只有2y ax =开口向上，即0a >，当2

y ax =与

有一个交点时，方程

有一个根， 0?=得1a =，此时函数

有三个不同的零点，要使

函数

有四个不同的零点， 2

y ax =与

有两个交点，则抛物线

2y ax =的开口要比2y x =的开口大，可得1a <， 01a ∴<<，即实数a 的取值范围为()0,1，故答案为

()0,1.

10．【南京市、盐城市2018届高三年级第一次模拟】设函数()f x 是偶函数，当x ≥0时，

()f x =

，若函数有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是

________． 【答案】91,

4??

????

【解析】作图，由图可得实数m 的取值范围是91,

4??

????

11．【江苏省泰州中学2018届高三12月月考】若函数

，则函数

在

()01，

上不同的零点个数为__________． 【答案】3

【解析】因为

， ()0g x =可转化为： 10,

2x ?

?

∈ ???

，函数41y x =-与ln y x =-以及1,12x ??

∈ ???

，函数43y x =-与ln y x =-交点的个数；作出函数图象如图:

由函数图象可知零点个数为3个.

12．【江苏省常熟市2018届高三上学期期中】已知函数

，若直线y ax =与()

y f x =交于三个不同的点

， ()()

,B n f n ， ()()

,C t f t （其中m n t <<），则1

2n m

+

+的取值范

围是__________． 【答案】11,e e ??+

???

【解析】作出函数，的图象如图：

设直线y=ax 与y=lnx 相切于（x 0，lnx 0），则，

∴曲线y=lnx 在切点处的切线方程为y ﹣lnx 0=

1

x （x ﹣x 0）， 把原点（0，0）代入可得：﹣lnx 0=﹣1，得x 0=e ．

要使直线y=ax 与y=f （x ）交于三个不同的点，则n ∈（1，e ），

联立1

{ 21

y x e y x =

=+，解得x=

12e

e

-． ∴m ∈（

12e e -,12-），1m ∈（﹣2， 1

2e -+）， ∴12n m ++的取值范围是（1， 1e e

+）．

故答案为：（1， 1

e e

+）．．

13．【江苏省徐州市第三中学2017～2018学年度高三第一学期月考】已知函数，

若存在唯一的整数x ，使得成立，则实数a 的取值范围为__________．

【答案】[]0,2 []

3,8?

【解析】由

得：当0x > 时， ()f x a >; 当0x < 时， ()f x a <;

因为当20x ≥> 时，

，当2x > 时， ()0f x < ，当0x ≤ 时， ()0f x ≤ ，因此当0a <

时， 1,2,x =L ，不合题意；当02a ≤≤ 时， 1x = ；

当23x << 时， 1,1x =- ，不合题意；当38x ≤≤ 时， 1x =- ，当8x > 时， ，

不合题意；因此a 的取值范围为[]0,2 []

3,8?

14．【江苏省启东中学2018届高三上学期第一次月考】已知函数f (x )是以4为周期的函数，且当－1＜x ≤3

时， 若函数恰有10个不同零点，则实数m 的取值范围为

______.

【答案】

【解析】根据题意，得到()f x 的图象如下：

由图可知， ()f x 是偶函数， 又

恰有10个不同零点，即()y f x =与y m x =的图象有10个交点，根据偶函数的特点，

则在0x >的图象中，有5个交点，如图中红色直线和蓝色直线就是两种极限情况. 红色直线：过()6,1，则1

6

m =

； 蓝色直线：与区间()3,4处的曲线相切，

所以

只有一个解，解得

，

15【江苏省南京市、盐城市2019届高三第二次模拟】．已知，

.

（1）当

时，求函数

图象在

处的切线方程；

（2）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围；

（3）若存在极大值和极小值，且极大值小于极小值，求的取值范围.

【解析】（1）当时，，，则.

又因为，所以函数图象在处的切线方程为，

即.

（2）因为

所以，

且.因为，所以.

①当时，即，

因为在区间上恒成立，所以在上单调递增.

当时，，

所以满足条件.

②当时，即时，

由，得，

当时，，则在上单调递减，

所以时，，这与时，恒成立矛盾. 所以不满足条件.

综上，的取值范围为.

（3）①当时，

因为在区间上恒成立，所以在上单调递增，

所以不存在极值，所以不满足条件.

②当时，，所以函数的定义域为，

由，得，

列表如下：