2015年福建省普通高中毕业班质量检查数学(理科)(word版)

2015年福建省普通高中毕业班质量检查

数学（理科）试题

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)，第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．

注意事项：

1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．

2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效.

3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．

4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：

样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差

锥体体积公式

V =

3

1

Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式

V =Sh

24S R =π，343

V R =

π 其中S 为底面面积，h 为高

其中R 为球的半径

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的. 请把答案填涂在答题卷的相应位置.

1． 已知集合2{0log 2}A x x =<<，{32,}x

B y y x R ==+∈，则A

B 等于

A ．{24}x x <<

B ．{14}x x <<

C ．{12}x x <<

D ．{4}x x >

2． 执行如图所示的程序框图，则输出的结果为

A ．15

B ．16

C ．25

D ．36

3． 2

1()n x x -展开式的二项式系数和为64，则其常数项为

A ．20-

B ．15-

C ．15

D ．20

4． 某校为了解本校高三学生学习心理状态，采用系统抽样方法从800人中抽取40人参加

测试. 为此将他们随机编号为1，2，…，800，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为18. 抽到的40人中，编号落入区间[1，200]的人做试卷A ，编号落入区间[201，560]的人做试卷B ，其余的人做试卷C . 则做试卷C 的人数为 A ．10

B ．12

C ．18

D ．28

5． 已知双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，若双曲线C 的一条渐近线的倾斜角等于

60?，则双曲线C 的离心率等于

A

B

C

D ．2

6． 函数cos(sin )y x =的图象大致是

7． 已知集合10(,)

30,1x y A x y x y x ??

+-≤??

??

=--≤??????≥??

?

，{}

222(,)(2)(2),0B x y x y R R =-+-≤>，且A B ≠?，则R 的最小值为 A

．

2

B

C ．3

D ．5

8． 在△ABC 中，AB =3，AC =4，BC =5. 若I 为△ABC 的内心，则CI CB 的值为

A ．6

B ．10

C ．12

D ．15

9． (N)n A n ∈系列的纸张规格如图，其特点是：

①012,,,...,n A A A A 所有规格的纸张的长宽比都相同；

②0A 对裁后可以得到两张1A ，1A 对裁后可以得到两张2A ，…，1n A -对裁后可以得到两张n A .

若有每平方厘米重量为b 克的012,,,...,n A A A A 纸各一张，其中4A

纸的较

短边的长为a 厘米，记这(1)n +张纸的重量之和为1n S +，则下列论断错误的是

A ．存在N n ∈，使得21n S b +=

B ．存在N n ∈，使得21n S b +=

C ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≤

D ．对于任意N n ∈，都有21n S b +≥

10．定义在(0,)+∞上的可导函数()f x 满足()()xf x f x x '-=，且(1)1f =. 现给出关于函数()f x 的下列

结论：

①函数()f x 在1(,)e

+∞上单调递增； ②函数()f x 的最小值为2

1e -

； ③函数()f x 有且只有一个零点； ④对于任意0x >，都有2()f x x ≤

其中正确结论的个数是

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分. 请把答案填在答题卷的相应位置. 11．已知z C ∈且(1i)i z =+，则z 等于__________.

12．设等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，且2412a a +=，则5S 等于__________.

13．在ABC ?中，6

ABC π

∠=

，AB =3BC =. 若在线段BC 上任取一点D ，则BAD ∠为锐角的

概率是__________.

14．正方体1111ABCD A BC D -的棱长为2，则三棱锥1B ABC -与三棱锥111B A B C -公共部分的体积是

__________.

15．定义在R 上的函数()f x 满足：()()f x f x -=，(2)(2)f x f x +=-. 若曲线()y f x =在1x =-处

的切线方程为30x y -+= ，则该曲线在5x =处的切线方程为__________.

三、解答题：本大题共6小题，每小题分数见旁注，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．（本小题满分13分）

已知函数1

()sin cos cos 22

f x x x x =+

. （Ⅰ）若tan 2θ=，求()f θ的值；

（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由函数()y f x =的图象上所有的点向右平移

4

π

个单位长度而得到，且()g x 在区间(0,)m 内是单调函数，求实数m 的最大值.

如图，四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，90BAD ∠=?，

PD ABCD ⊥平面，3AD AB PD ===，1BC =. 过AD 作一平面分

别交PB ，PC 于点E F ，. （Ⅰ）求证：//AD EF ； （Ⅱ）设1

3

BE BP =

，求AE 与平面PBC 所成的角的大小. 18．（本小题满分13分）

“抢红包”的网络游戏给2015年的春节增添了一份趣味. “抢红包”有多种玩法，小明参加了一种接龙红包游戏：小明在红包里装了9元现金，然后发给朋友A ，并给出金额所在区间[1，9]，让A 猜（所猜金额为整数元；下同），如果A 猜中，A 将获得红包里的金额；如果A 未猜中，A 要将当前的红包转发给朋友B ，同时给出金额所在区间[6，9]，让B 猜，如果B 猜中，A 和B 可以平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 要将当前的红包转发给朋友C ，同时给出金额所在区间[8，9]，让C 猜，如果C 猜中，A 、B 和C 可以平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的资金将退回至小明的帐户. （Ⅰ）求A 恰好得到3元的概率；

（Ⅱ）设A 所获得的金额为X 元，求X 的分布列及数学期望；

（Ⅲ）从统计学的角度而言，A 所获得的金额是否超过B 和C 两人所获得的金额之和？并说明理由. 19．（本小题满分13分）

已知椭圆22

22:1(0)x y E a b a b

+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，且椭圆的短轴端点为顶点的三角形

是等边三角形，椭圆的右顶点到右焦点的距离为1.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）如图，直线l 与椭圆E 有且只有一个公共点M ，且交y 轴

于点P ，过点M 作垂直于l 的直线交y 轴于点Q . 求证：12,,,,F Q F M P 五点共圆.

已知函数2*

2

()()1

n nx ax f x a N x -=∈+的图象在点(0,(0))n f 处的切线方程为y x =-. （Ⅰ）求a 的值及1()f x 的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数k ,使得射线(3)y kx x =≥-与曲线1()y f x =有三个公共点？若存在，求出k 的

取值范围；若不存在，说明理由.

（Ⅲ）设12,n x x x ,,为正实数，且12...1n x x x +++=，

证明：12()()...()0n n n n f x f x f x +++≥.

21．本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分. 如果多做，则按

所做的前两题记分. 作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

已知曲线22

:3C x xy y -+=

，矩阵2

2M ?

= - ??

，且曲线C 在矩阵M 对应的变换的作用下得到曲线C '.

（Ⅰ）求曲线C '的方程；

（Ⅱ）求曲线C 的离心率及焦点坐标.

（2）（本小题满分7分）选修4-4：极坐标与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为(1,2)-. 在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为cos sin 10ρθρθ+-=. （Ⅰ）判断点M 与直线l 的位置关系；

（Ⅱ）设直线l 与抛物线2y x =相交于A ，B 两点，求点M 到A ，B 两点的距离之积.

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

设函数()1f x x =+.

（Ⅰ）若2

()(6)f x f x m m +-≥+对任意x R ∈恒成立，求实数m 的取值范围； （Ⅱ）当14x -≤≤

.