全等三角形经典辅助线做法汇总

全等三角形问题中常见的辅助线的作法（有答

案）

总论：全等三角形问题最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，构造二个角之

间的相等

【三角形辅助线做法】

图中有角平分线，可向两边作垂线。角平分线平行线，等腰三角形来添。线段垂直平分线，常向两端把线连。三角形中两中点，连接则成中位线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线加垂线，三线合一试试看。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中有中线，延长中线等中线。

1. 等腰三角形“三线合一”法：遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线

合一”的性质解题

2.倍长中倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形

3. 角平分线在三种添辅助线

4. 垂直平分线联结线段两端

5.用“截长法”或“补短法” ：遇到有二条线段长之和等于第三条线段的长，

6. 图形补全法：有一个角为60 度或120 度的把该角添线后构成等边三角形

7.角度数为30 、60 度的作垂线法：遇到三角形中的一个角为30 度或60 度，可以从

角一边上一点向角的另一边作垂线，目的是构成30-60-90 的特殊直角三角形，然后计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

8. 计算数值法：遇到等腰直角三角形，正方形时，或30-60-90 的特殊直角三角形，

或40-60-80 的特殊直角三角形, 常计算边的长度与角的度数，这样可以得到在数值上相等的二条边或二个角，从而为证明全等三角形创造边、角之间的相等条件。

常见辅助线的作法有以下几种：最主要的是构造全等三角形，构造二条边之间的相等，二个角之间的相等。

1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变

换中的“对折”法构造全等三角形

2）遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．

3）遇到角平分线在三种添辅助线的方法

4）（1）可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．（2 ）可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。（3）可以在该角的两边上，距离角的顶点相等长度的位置上截取二点，然后从这两点再向角平分线上的某点作边线，构造一对全等三角形。

5）过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”

6）截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．

7）已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。

特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．

一、倍长中线（线段）造全等

例1、（“希望杯”试题）已知，如图△ ABC中，AB=5 , AC=3，则中线AD的取值范围是

例2、如图，△ ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE丄DF , D是中点，试比较BE+CF

与EF 的大小.

例3、如图，△ ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.

(一)中线倍长法：

例1、求证：三角形一边上的中线小于其他两边和的一半。

已知：如图，△ ABC中，AD是BC边上的中线，求证：AD < - (AB+AC)

分析：要证明AD < - (AB+AC)，就是证明AB+AO2AD，也就是证明两条线

段之和大于第三条线段，而我们只能用“三角形两边之和大于第三边” ，但题中的三条

线段共点，没有构成一个三角形，不能用三角形三边关系定理，因此应该进行转化。待证

结论AB+AO2AD 中，出现了2AD，即中线AD应该加倍。

证明：延长AD 至E，使DE=AD，连CE，贝U AE=2AD。

在厶ADB和厶EDC中，

???△ ADB ◎△ EDC(SAS)

??? AB=CE

又在厶ACE中,

AC+CE >AE

??? AC+AB >2AD，即AD < - (AB+AC) 2

小结：(1)涉及三角形中线问题时，常采用延长中线一倍的办法，即中线倍长法它可以将分居中线两旁的两条边AB、AC和两个角/ BAD和/CAD集中于同

一个三角形中，以利于问题的获解

课题练习：ABC 中，AD 是 BAC 的平分线，且 BD=CD ，求证AB=AC

例4 :已知在厶ABC 中，AB=AC , D 在AB 上，E 在AC 的延长线上, 且 DF=EF ，求证：BD=CE

例 3 : △ ABC 中, AB=5 , AC=3，求中线 AD 的取值范围

DE 交BC 于F ，

连接BE

连接 CD

课堂练习：已知在△ ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长

BE交AC于F，求证：AF=EF

例5:已知：如图，在ABC中，AB AC , D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF // BA 交AE 于点F， DF=AC.

求证：AE平分BAC

CD=AB，/ BDA= / BAD , AE 是厶ABD 的中线，求证：/ C= / BAE

课堂练习：已知

作业：

1、在四边形 ABCD 中，AB // DC , E 为BC 边的中点，/ BAE= / EAF , AF 与DC 的延

长线相交于点F 。试探究线段 AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

4 :已知 CD=AB ，/ BDA= / BAD , AE 是厶 ABD 的中线，求证：/ C= / BAE

2、已知：如图, ABC 中, C=90 ， CM

AB 于 M ，

A T 平分 BAC 交CM 于D ，交

BC 于T,过D 作DE//AB 交BC 于E ，求证：CT=BE.

3 :已知在厶ABC 中，AD 是BC 边上的中线, AC 于 F ，求证：AF=EF

E 是AD 上一点，且 BE=AC ，延长 BE 交

5、在四边形 ABCD 中，AB // DC , E 为BC 边的中点，/ BAE= / EAF , AF 与DC 的延长线相交于点F 。试探究线段 AB 与AF 、CF 之间的数量关系，并证明你的结论

应用：

1、( 09崇文二模)以 ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰 Rt ABD 和等腰

Rt ACE ， BAD CAE 90，连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点.探究：AM 与 DE 的位置关系及数量关系.

(1) ___________________________________________________________________ 如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ________________________________ , 线段AM 与DE 的数量关系是 _____________ ;

(2)

将图①中的等腰 Rt ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转

(0< <90)后，如图②所示，

(1 )问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由