北师版数学高二-必修5学案 2.3 解三角形的实际应用举例
§3 解三角形的实际应用举例
[学习目标] 1.能够从实际问题中抽象出数学模型，然后运用正弦、余弦定理及三角函数的有关知识加以解决.2.巩固深化解三角形实际问题的思维方法，养成良好的研究、探索习惯.3.进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力．
[知识链接]
在下列各小题的空白处填上正确答案：
(1)如图所示，坡角是指坡面与水平面的夹角．(如图所示)
(2)如上图，坡比是指坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝tan α＝h
l (i 为坡比，α为坡角)．
(3)东南方向：指经过目标的射线是正东和正南的夹角平分线．
(4)方位角：从某点的北方向线起，顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角，如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向． [预习导引] 1．仰角与俯角
与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图所示)．
2．方向角：相对于某一正方向的水平角．(如图所示)
①北偏东α即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向． ②北偏西α即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向． ③南偏西等其他方向角类似．
要点一 测量距离问题
例1 某观测站C 在目标A 的南偏西25°方向，从A 出发有一条南偏东35°走向的公路，在C 处测得与C 相距31千米的公路上的B 处有一人正沿此公路向A 走去，走20千米到达D ，此时测得CD 为21千米，求此人在D 处距A 还有多少千米？
解 如图所示，易知∠CAD ＝25°＋35°＝60°，在△BCD 中，cos B ＝312＋202－2122×31×20＝23
31，
所以sin B ＝123
31
.
在△ABC 中，AC ＝BC sin B
sin ∠CAB ＝31×
12331sin 60°＝24(千米)．
由BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠CAB 得AB 2－24AB －385＝0， 解得AB ＝35或AB ＝－11(舍去)． ∴AD ＝AB －BD ＝15(千米)， 故此人在D 处距A 还有15千米．
规律方法 测量距离问题分为两种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正弦、余弦定理求解．
跟踪演练1 如图所示，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，则A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 m B ．50 3 m C ．25 2 m D.2522
m
答案 A
解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，
∴B ＝180°－45°－105°＝30°， 由正弦定理：AC sin B ＝AB
sin C
，
得AB ＝AC ·sin C
sin B ＝50×
221
2＝502(m)．
要点二 测量高度问题
例2 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD .
解 由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°， 由
AB sin 15°＝AD
sin 45°
， 得AD ＝AB ·sin 45°
sin 15°＝800×
2
26－2
4＝800(3＋1) (m)．
所以CD ＝AD ＝800(3＋1)(m)． 即山的高度为800(3＋1) m.
规律方法 在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．
跟踪演练2 地平面上有一旗杆设为OP ，已知地平面上的一基线AB ，AB ＝200 m ，在A 处测得P 点的仰角为∠OAP ＝30°，在B 处测得P 点的仰角为∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高h .
解 如图，∠OAP ＝
30°，∠OBP ＝45°，∠AOB ＝60°，AB ＝200 m ，
在△OAP 中，∵OP ⊥AO ，∴∠AOP ＝90°，
则
OP OA ＝tan 30°，∴OA ＝OP tan 30°
＝3h (m)， 同理在△BOP 中，∠BOP ＝90°，且∠OBP ＝45°， ∴OB ＝OP ＝h ，在△OAB 中，由余弦定理， 得AB 2＝OA 2＋OB 2－2OA ·OB ·cos ∠AOB ， 即2002＝3h 2＋h 2－23h 2·cos 60°， 解得h ＝
2004－3
m.
∴旗杆高为
200
4－3
m.
要点三 测量角度问题
例3 如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．
解 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝103t 海里，BD ＝10t 海里．
在△ABC 中，由余弦定理，
得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos ∠BAC ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6，
又∵BC sin ∠BAC ＝AC
sin ∠ABC
，
∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝2
2，
∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°.
在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CD
sin ∠CBD ，
∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t
＝1
2.
∴∠BCD ＝30°，∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶， 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6. ∴t ＝
6
10
小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．
规律方法 航海问题是解三角形应用问题中的一类很重要的问题，解决这类问题一定要搞清方位角，再就是选择好不动点，然后根据条件，画出示意图，转化为三角形问题． 跟踪演练3 如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距53(3＋1)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？
解 由题意知∠DBA ＝90°－60°＝30°， ∠DAB ＝90°－45°＝45°，
∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.
在△DAB 中，由正弦定理，得DB sin ∠DAB ＝AB
sin ∠ADB ，
∴DB ＝AB ·sin ∠DAB sin ∠ADB
＝53(3＋1)·sin 45°
sin 105°
又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，
得CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1 200－2×103×203×1
2＝900，
∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝30
30＝1(小时)．
答 救援船到达D 点需要1小时．
1.如图，为测量一树的高度，在地面上选取A 、B 两点，从A 、B 两点分别测得望树尖的仰角为30°，45°，且A 、B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )
A ．(30＋303) m
B ．(30＋153) m
C ．(15＋303) m
D ．(15＋33) m
答案 A
解析 在△P AB 中，由正弦定理可得
60sin (45°－30°)＝PB sin 30°
，PB ＝60×
12sin 15°＝30
sin 15°，
h ＝PB sin 45°＝(30＋303) (m)．
2．一艘海轮从A 处出发，以40 n mile/h 的速度沿南偏东40°方向直线航行，30 min 后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．10 2 n mile B ．10 3 n mile C ．20 2 n mile D ．20 3 n mile 答案 A
解析 如图所示，
由已知条件可得，∠CAB ＝30°，∠ABC ＝105°， AB ＝40
×1
2＝20(n mile)．∴∠BCA ＝45°.
∴由正弦定理可得AB sin 45°＝BC
sin 30°.
∴BC ＝20×
12
22
＝102(n mile)．
3．甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时3a 海里，问甲船要想最快与乙船相遇应沿着北偏东 前进． 答案 30°
解析 如图所示．设经过t 小时两船在C 点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝3at (海里)， B ＝120°， 由
BC sin ∠CAB ＝AC
sin B
得：
sin ∠CAB ＝BC sin B
AC
＝at ·sin 120°3at ＝3
23＝12
.
∵0°<∠CAB <90°，∴∠CAB ＝30°.
∴∠DAC ＝60°－30°＝30°.∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇． 4．如图所示，在斜度一定的山坡上的一点A 测得一建筑物顶端C 对于山坡的坡度为15°，向山顶前进100 m 后，又从B 点测得坡度为45°，设建筑物的高度为50 m ，求此山坡相对于地平面的倾斜角的余弦值．
解 在△ABC 中，100sin 30°＝AC sin 135°，即AC ＝100 2 m ，
应用正弦定理得100sin 30°＝BC
sin 15°
.
即BC ＝50(6－2)m ，
设山坡相对于地平面的倾斜角为θ， 则
BC sin (90°＋θ)＝50
sin 45°
，∴cos θ＝3－1.
∴此山坡相对于地平面的倾斜角的余弦值为3－1.
1.解生活实际问题的一般步骤 (1)分析题意，准确理解题意．
分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、方位角等． (2)根据题意画出示意图．
(3)将需求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等有关知识正确求解．演算过程中要算法简练，计算正确，并作答． (4)检验解出的答案是否具有实际意义，对解进行取舍． 2．应用举例中常见几种题型
测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等.
一、基础达标
1．海上有A 、B 两个小岛相距10 n mile ，从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 、C 间的距离是
( )
A ．10 3 n mile B.106
3 n mile
C ．5 2 n mile
D ．5 6 n mile
答案 D
解析 由题意知，在△ABC 中，AB ＝10，A ＝60°，B ＝75°， 则C ＝180°－A －B ＝45°.
由正弦定理，得BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°
sin 45°
＝5 6 (n mile)．
2．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点分别测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔与甲地连线及甲、乙两地连线所成的角为120°，甲、乙两地相距500 m ，则电视塔在这次测量中的高度是 ( ) A ．100 2 m B ．400 m C ．200 3 m D ．500 m 答案 D
解析 由题意画出示意图，
设高AB ＝h ，在Rt △ABC 中，由已知得BC ＝h ， 在Rt △ABD 中， 由已知得BD ＝3h ， 在△BCD 中，
由余弦定理BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos ∠BCD 得， 3h 2＝h 2＋5002＋h ·500， 解之得h ＝500 m ．故选D.
3．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )
A ．10 m
B ．10 2 m
C ．10 3 m
D ．10 6 m
答案 D
解析 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°， 由正弦定理，得
BC sin 45°＝CD sin 30°，BC ＝CD sin 45°
sin 30°
＝10 2. 在Rt △ABC 中，tan 60°＝
AB
BC
，AB ＝BC tan 60°＝10 6. 4．如图所示，一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15°的方向上，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N 处，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为 海里/时． 答案 20(6－2)
解析 由题意，得∠SMN ＝45°，∠SNM ＝105°，∠NSM ＝30°.由正弦定理得MN sin 30°＝MS sin 105°.
∴MN ＝MS sin 30°sin 105°＝10
6＋2
4＝10(6－2)．
则v 货＝20(6－2) (海里/时)．
5．如图，某货轮在A 处看灯塔B 在货轮的北偏东75°方向上，距离为12 6 n mile ，在A 处看灯塔C 在货轮的北偏西30°方向上，距离为8 3 n mile ，货轮由A 处向正北航行到D 处时，再看灯塔B 在货轮的北偏东120°方向上．则A 与D 的距离为 n mile ；灯塔C 与D 处之间的距离为 n mile. 答案 24 83
解析 (1)在△ABD 中，由已知得∠ADB ＝60°，B ＝45°. 由正弦定理得
AD ＝AB sin B sin ∠ADB
＝
126×
22
32
＝24(n mile)．
(2)在△ADC 中，由余弦定理得 CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ·AC ·cos 30°. 解得：CD ＝83(n mile)．
所以A 与D 的距离为24 n mile ，灯塔C 与D 处的距离为8 3 n mile.
6．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距 m. 答案 30
解析 设两条船所在位置分别为A 、B 两点，炮台底部所在位置为C 点，在△ABC 中，由题意可知
AC ＝30tan 30°＝303，BC ＝30
tan 45°＝30，C ＝30°，
AB 2＝(303)2＋302－2×303×30×cos 30°＝900， ∴AB ＝30.
7．某人向正东方向走x 千米后，后右转150°，朝新方向走3千米，结果离出发是3千米，求x 的值．
解 设出发点为A ，走x 千米后到B ，又走了3千米后到C 点，则∠ABC ＝30°，在△ABC ，根据余弦定理得 3＝x 2＋32－2×x ×3×
3
2
， x 2－33x ＋6＝0，x ＝23或 3. 所以x 的值为23或 3. 二、能力提升
8．如图所示，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1分钟后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为 km.(精确到0.1 km)( )
A ．11.4
B ．6.6
C ．6.5
D ．6.4 答案 B
解析 AB ＝1 000×1 000×
160＝50 0003
(m)， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 000
32
(m)．
∴航线离山顶h ＝50 000
32
×sin 75°≈11.4 (km)．
∴山高为18－11.4＝6.6(km)．
9．甲船在岛B 的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以每小时4 km 的速度向正北航行，同时，乙船自B 出发以每小时6 km 的速度向北偏东60°的方向驶去．当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是( ) A.150
7 min B.15
7 h C ．21.5 min D ．2.15 min
答案 A
解析 设行驶x h 后甲到点C ，乙到点D ， 两船相距y km ，则∠DBC ＝180°－60°＝120°. ∴y 2＝(10－4x )2＋(6x )2－2(10－4x )·6x cos 120° ＝28x 2－20x ＋100＝28(x －514)2－25
7
＋100，
∴当x ＝514 h ＝150
7
min ，y 2有最小值，即两船相距最近．
10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔的距离为 km. 答案
6－1
解析 由题意知，∠ACB ＝80°＋40°＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设B 船到灯塔的距离为x ，即BC ＝x .
由余弦定理可知AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°， 即9＝4＋x 2－2×2x ×(－1
2)，整理得x 2＋2x －5＝0，
解得x ＝－1－6(舍去)或x ＝－1＋ 6.
11．如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD . 解 在△ABC 中，∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α，∠BAC ＝α－β， ∠CAD ＝β.
根据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC
sin ∠BAC
，
即
AC sin (90°－α)＝BC
sin (α－β)
，
∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos α
sin (α－β)
.
在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β＝h cos αsin β
sin (α－β).
答 山的高度为h cos αsin β
sin (α－β)
.
12.我炮兵阵地位于地面A 处，两观察所分别位于地面点C 和D 处，已知CD ＝6 km ，∠ACD ＝45°，∠ADC ＝75°，目标出现于地面点B 处，测得∠BCD ＝30°，∠BDC ＝15°(如图)，求我炮兵阵兵到目标的距离．
解 在△ACD 中，∠CAD ＝180°－∠ACD －∠ADC ＝60°，∠ACD ＝45°，
根据正弦定理，有AD ＝CD sin 45°
sin 60°
＝
2
3
CD ， 同理：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－∠BCD －∠BDC ＝135°，∠BCD ＝30°，
根据正弦定理，有BD ＝CD sin 30°sin 135°＝2
2CD ，在△ABD 中，∠ADB ＝∠ADC ＋∠BDC ＝90°，
根据勾股定理，有AB ＝
AD 2＋BD 2＝
23＋12CD ＝42
6
CD ＝42(km)， 所以我炮兵阵地到目标的距离为42 km. 三、探究与创新
13．如图所示，A 、B 两个小岛相距21海里，B 岛在A 岛的正南方，现在甲船从A 岛出发，以每小时9海里的速度向B 岛行驶，而乙船同时以每小时6海里的速度离开B 岛向南偏东60°方向行驶，问行驶多少时间后，两船相距最近，并求出两船的最近距离．
解 如图，行驶t h 后，甲船行驶了9t 海里到达C 处，乙船行驶了6t 海里到达D 处．
当9t＜21，即t＜7
时，C在线段AB上，此时BC＝(21－9t)海里．在△BCD中，BC＝(21－
3
9t)海里，BD＝6t海里，∠CBD＝180°－60°＝120°，
由余弦定理知CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 120°＝(21－9t)2＋(6t)2－2×(21－9t)·6t·(－1
2)＝63t2－252t＋441
＝63(t－2)2＋189.
当t＝2时，CD取得最小值189＝321.
时，C与B重合，
当t＝7
3
此时CD＝6×7
＝14(海里)＞321(海里)．
3
当t＞7
时，BC＝(9t－21)(海里)，
3
则CD2＝(9t－21)2＋(6t)2－2×(9t－21)×6t·cos 60°
＝63t2－252t＋441＝63(t－2)2＋189＞189，
综上可知t＝2时，CD取得最小值321.
答行驶2 h后，甲、乙两船相距最近为321海里．