数学物理方法第08章习题
第八章 习题答案
8.1-1 证明递推公式：
（1）()()()x l x x x l l l P P P 1='
-'- （2）()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+='
-'+ （3）()()()()x l x x l l l P 12P P 11+='
-'-+ 证明：基本递推公式
()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+
① ()()()()x x x x x l l l l '
-'+'=-+P 2P P P 11
②
（1）将①式对x 求导后可得：
()()()()()()()x l x l x l x x l l l l l '++'=++'++-11P 1P P 12P 12
③
由③-()?+1l ②可得 （目的：消去()x l '
+1P ）
()()()()()()x l x l x x l l l l P 1P 12P 12+-++'+
()()()()()x l x x l x l l l l '++'+-'=--P 12P 1P 11
整理可得：()()()x l x x x l l l P P P 1='
-'-
（2）将()()()x l x x x l l l P P P 1='
-'-乘以l 得：
()()()x l x l x lx l l l P P P 21='
-'-
④
由③-④得 （目的：消去()x l '
-1P ）
()()()()()()x l x l x x l l l l '+=++'++12P 1P 1P 1
整理可得：()()()()x l x x x l l l P 1P P 1+='
-'+
（3）由2×③-()12+l ×②可得： （目的：消去()x l '
P ）
()()()()()()x l x l x l l l l '++'+++-+11P 12P 12P 24
()()()()()x l x l x l l l l P 12P 22P 211++'
++'+-
整理可得：()()()()x l x x l l l P 12P P 11+='
-'-+
8.1-2 利用()x l P 的生成函数证明：
()()()()
2
22!2!
210P l l l
l
l -=， ()00P 12=+l ， ()()l
l 11P -=-
证明：设()x l P 的生成函数为)(r x f ,，有
()()∑∞
=?=-+=
2P 211,l l l r x rx
r r x f
当0=x 时，有()()∑∞
=?=+=0
2
0P 11l l l r r r f
把函数()2
11r
r f +=
在0=r 的邻域内Talyor 展开有：
()()()()∑∑
∞
=∞
=?===+0
2
0P !011l l l l l
l r r l f r f r
所以：()()()!
00P l f l l =
设
∑∞
==+0
2
11l l l r C r
①
即：()()()!
00P l f C l l l == 所以：()111!100===
f C ， ()()
01!
100
2
3
21=+-='==r r r
f C
由①式对r 求导，有∑∞=-=+?+-0122111l l l r lC r r r
，考虑到∑∞
==+02
11l l
l r C r
所以：(
)()0110
10
1
1
2
=++?+=?
-∑∑∑∑∞
=+∞
=-∞
=-∞
=l l l l l l l l l
l l
l
r C l r
lC r
lC r
r
C r
整理可得系数之间的关系为：
221
21-+--=??++-
=l l l l C l
l C C l l C 故：当l 为奇数时，()03
2
12221221112=?????--?+?-=+C n n n n C n
n
即：()00P 12=+l
当l 为偶数时，()022
122322121C n n n n C n
n ?????--?-?
?-=
()
()()()()
2
2!2!
21!
2!2!21n n n n n n n
n
n
n
?
-=????
-=
所以：()()()()
2
22!2!
210P l l l l
l -= 当1-=x 时，)(()()∑∑∞
=∞=-=-=+=
01P 111,l l l l l
l r r r r x f 所以：()()l
l 11P -=-
8.1-3 求证： ()()()()()()????
?
????+=?-+?--?-≠===-?1
2241135421020
01d P 2110
n l l l l l n l l x x l l 证明：利用()x l P 的Rodrigues 公式()()
l l
l l l x x l x 1
d d !21P 2
-?= （1）当0=l 时，则()()
11P 0
20=-=x x ，所以 ()1d P 1
0=?x x l
（2）当0≠l 时，有：
()()()
?????????-?=-?=--102
1
11
021
0d 1d d d d !21d 1d d !21d P x x x x l x x x l x x l l l l l l l l l ()
()()011d d !211
2
11
f f x x l l l l l -=??????-?=-- 其中()
1
2
1
11d d !21)1(=---?=x l l l l
x x
l f ，下面求()1f
将()
l
x 12-展开，有：
()
()()()()l
l
l
l
l
x x x x x
2111112
+--=+-=-
()()n
l
n n l l l
l
l l x x x x ???
??-??-?=??? ??-+-?=∑=21C 12211120
上式微分1-l 次后，各项均含有1-x 的因子，故0)1(=f 。
下面求()
21
1
1d d !21)0(=---?=x l l l l
x x
l f ，同样，将()
l
x 12-展开，有：
()
()()()s
l l
s s
s l s
l
s s l l
x
s l s l x x
220
2202
!!!11C 1
-=-=?-?-=?-?=-∑∑ 将上式微分1-l 次，即： （注：2
1
122+≤
?-≥-l s l s l ） ()
()()()()()∑??
?
???+=+---+---?-?--=-210122
1
12212222!
!!11d d l s s l s l l l x s l s l s l s l s l x x
将0=x 代入上式有：
① 12+-s l 为奇数，即l 为偶数时，()
l l l x x
1d d 2
1
1---含有因子x 。 ()()()()()02212222!
!!1!
21
)0(21012=+---?-?--?
?=∑??
????+=+-l s s l s l x s l s l s l s l s l l f ② 当12+-s l 为偶数，即l 为奇数时，=)0(f 常数项。
2
1
012+=
?=+-∴l s s l ()()()()()2212222!
!!1!21
)0(+---?-?--?
?=s l s l s l s l s l l f s
l ()()()()!
12!22!!!1!21
+--?--?
=s l s l s l s l l s
l （代入21+=l s ） ()()()()!21!212!11!21!21!
1!1!212
121??
? ??-???? ??+?-?-=??? ??-???? ??+-??-?=
++l l l l l l l l l
l l l
()()!212!212
!
112
12
12
1??
? ??-???
? ??+--=-++l l l l l l
()()()()()()()()()1
2431243111
232112
1
??--??--+??---?-=
+ l l l l l l l l l
()()()()()()2
43113
54212
1?--+???---=
+ l l l l l l
()()()()()()()()()()2
43113
54210001d P 2
11
?--+???---=
-=-=∴-? l l l l l f f f x x l l ，得证。
8.1-4 将函数()??
?<<<<--=1
01
11
x x x f 按legendre 多项式展开成无穷级数并算出前
两项系数。 解：设()()∑∞
==
P l l
l
x C x f
式中 ()()?-+=
1
1d P 2
12x x x f l C l l ()()()????
???+?-+=??-1001d P 1d P 1212x x x x l l l ()()[]?--+=
1
0d P P 2
12x x x l l l 当k l 2=为偶数时，()()x x l l -=P P ，所以有02=k C 当12+=k l 为奇数时，()()x x l l --=P P
()()()()??++++=++=1
1
21
0121
2d P 34d P 22
1122x x k x x k C k k k ()0≥k
利用递推公式()()()()x l x x l l l P 12P P 11+='
-'-+有：
()()()()????
????'
-'=+=-+++++1
01121121
01212d P P d P 34x x x x x k C k k k k
()()[
]()()()()0P 0P 1P 1P P P 22222210222k k k k k k x x +--=-=+++
＝()()
()00P 0P 222≥-+k k k
0=k 时，1=l ，()2
3
2
1
3d 3P 1
2
1
011=
?==?x x x C
（或者()()2
32110P 0P 201=??? ??-
-=-=C ）
1=k 时，3=l ，()()
8
7d 35x 27d 7P 10
31
033-=-==?
?x x x x C
2=k 时，5=l ，()()
16
11
d 1570-63811d 11P 10351
055=
+==??x x x x x x C ()()()()()()[]() +?-+++-=
++x x x x x f k k k 12222531P 0P 0P P 16
11
P 87P 23 则()0=x f 即()x f 在点0=x 收敛于0。
()()()()
2
22!2!
210P l l l l
l -=
8.1-5 计算积分
()?
-11
d P x x x l n ,其中n 为正整数。
解：（1）先计算一般的积分式()()?
-?=
11
d P x x x f I l
利用Rodrigues 公式()()
l l
l l l x x l x 1
d d !21P 2
-?=，有： ()()()()
?
?
---??=?=11
2
11
d 1d d !21d P x x x l x f x x x f I l l
l l l
()()
()()
??
????-?'--?=?
------1
1
211
11
211
d 1d d 1d d !21x x x x f x x
x f l l l l l l l l
因为：()
()()()l
l l
l l l
x x x x x ??? ?
?-+??-=+-=-211211112
()???
?????+??? ??-++?-+?-= k
k
l l
l x l x x 21C 21112
或：(
)
()()()l
l
l l l l
x x x x x ??? ?
?
++-??+=-+=-211211112
()()()()????????+??? ??+-++-?++-?+=-- k
k l k
l l l l
l
x x x 211C 1211121
所以：()
0001d d 11
2
1
1=-=----l l l x x
故：()()()()
??
-----?'-=?=
11211
11
d 1d d !21d P x x x
x f l x x x f I l l l l l
()()()
=-?''-=?---11222
2
d 1d d !211x x x
x f l l l l l
()
()()()
?--?-=112
d 1!
211x x x f l l l l l
（经过l 次分部积分得到）
（2）利用上式有：设()n
x x f =，有：()()()()
?--?-=11
2
d 1!211x x
x
l I l
l
n
l l
当n l >时有：()()
()
()
?----??-=11
2
d 1d d !21
1x x x x l I l n
l n l n n l
n
()()
0d 1d d !2!1112
=-??-=?---x x x l n l n
l n l l
n
当n l ≤时有：()()()()
?--??-=11
2
d 1!21
1x x
x l I l
l
n l
l
()()()?---?-?-=11
2d 1!!2!
1x x x l n l n l l n l l
当l n -为奇数时，()
l
l n x x 12-?-为奇函数，
故()()()?--=-?-?-=11
20d 1!!2!
1x x x l n l n I l l n l l
当l n -为偶数时，()()()
?-?-?-=-10
2d 1!!2!
12x x x l n l n I l l n l l
()
?
--10
2d 1x x x l
l n
()
()
?-+-+--+---?+-=10
1
211
21d 11211
x x x x l n l
x l n x l l n l l n
()
?-+--+--=10
1
22d 112x x x l n l
l l n
()
()()
???
?
???
?-+----?+-+--=?-+--+-101
2310
1
23
d 13
121
3
12x x x x l n l x l n x l n l l l n l l n
()()()()() =-?+-+--??-=?-+-1022422
d 131121x x x l n l n l l l l n
()()()()?+--+-+-+-??-=102d 1231!21x x l l n l n l n l l
l n l l
()()()()()
1131!
21++-++-+-?-=
l n l n l n l n l l l
所以:()()()()()()()1
131!
21!!2!12++-++-+-?-?
-?-=l n l n l n l n l l n l n I l l
l l
()()()()!
111!
2l n l n l n l n n -?+--+++=
结论：
()()()()()()()()
?????????-≤-?+--+++-≤>=?
-为偶数为奇数l n n l l n l n l n l n n l n n l n l x x x l n
,!
111!2,0
0d P 11
8.1-6 某单位球面上电势分布为θ21cos ==r u ，求单位球内外空间的电势分布。 解：在无电荷的空间中，电势分布满足Laplace 方程0=?u ，因为θ21cos ==r u 与?无
关，所以电势分布具有轴对称性，Laplace 方程在球坐标下的表达式为：
()1,100sin sin 11222><<=??
?
??????+??? ??????r r u r r u r r r θθθθ
边界条件为：
()θθ2cos ,1=u
用分离变量法，令()()()θθΘ=r R r u ,，代入方程可得：
()()()()??
?
??=Θ?=Θ++???
??Θ+=?=Θ+-'+''--θθθθθθθcos P 01d d sin d d sin 10)()1(212l l l l l l l l r B r A r R l l R r R r
所以：()()
()∑∞
=--+=
1cos P ,l l l l l
l
r B r
A r u θθ
（1）球内空间，要求0→r 时()θ,r u 有界 所以0=l B
()()
()10cos P ,0
<<=∑∞
=r r A r u l l l l θθ
代入边界条件()()θθθ2
cos
cos P ,1==
∑∞
=l l
l
A u
()?+=
π02
d sin cos P cos 2
12θθθθl l l A 令x =θcos ，则x x d sin 1
d d sin d θ
θθθ-=?-= 所以：()?-+=
112
d P 2
12x x x l A l l 利用上题结论：
()()()()()()()()
?????????-≤-?+--+++-≤>=?
-为偶数为奇数l n n l l n l n l n l n n l n n l n l x x x l n
,!
111!2,0
0d P 11
当2>l 时，0=l A
当2≤l ，且l 为奇数时，()x x l P 2
为奇函数，所以0=l A
故2,0=l ，下求20、A A
()3
1
3
21d P 211
1
3
11020=
?
--?x x x x A ＝＝ ()()
3
2d 132125d P 25112211222=-=??--x x x x x x A ＝
所以，当10< ()()()() 22222000132 1 3231P P ,r x r x A r x A r u -?+= +=θ 2231cos 31r ?? ? ??-+= θ （2）球外空间，要求∞→r 时，()θ,r u 有界，故0=l A ∴()() ()1cos P ,0 1>??= ∑∞ =--r r B r u l l l l θθ 代入边界条件有()θθθ20 cos cos P ),1(=?= ∑∞ =l l l B u ()??+= ∴π02 d sin cos P cos 2 12θθθθl l l B 同样，令x =θcos ，有：()?-+= 11 2 d P 212x x x l B l l 当2>l 时，0=l B 当2≤l ，1=l 为奇数时，)(02 x P x 为奇函数0=∴l B 故2,0=l 0=l 时，?-== 110 203 1 d )(P 21x x x B 1=l 时，?-== 112223 2 d )(P 25x x x B 所以，当1>r 时，()()3210P 3 2 P 31),(--?+?= r x r x r u θ ()() 1cos 331 311cos 32132312323-?+=-?+= θθr r r r 结论: 当10< ? ??-+= θθ 当1>r 时，()() 1cos 331 31,23-?+= θθr r r u 8.1-7 设有一半径为a 的金属球面，上、下球面间有微小间隙隔开，上半球面的电势为0V ，下半球面电势为0,求球内电势分布。 解：电势分布满足Laplace 方程0=?u ，且分布与?无关，具有轴对称性，所以，在球坐 标系下，Laplace 方程的表达式为： ()a r u r r u r r r <<=??? ? ?????+??? ??????00sin sin 112 22θθθθ 边界条件为：()??? ??? ? ≤<< ≤=π2 π 02 π 0,0 θθθV a u 用分离变量法，令()()()θθΘ=r R r u ,，代入方程可得： ()()()()?? ? ??=Θ?=Θ++??? ??Θ+=?=Θ+-'+''--θθθθθθθcos P 01d d sin d d sin 10)()1(212l l l l l l l l r B r A r R l l R r R r 所以：()() ()∑∞ =--+= 1cos P ,l l l l l l r B r A r u θθ 在a r <<0时，当0→r 时，()θ,r u 应有界，所以0=l B 则：()() ()a r r A r u l l l l <<= ∑∞ =0cos P ,0 θθ 代入边界条件有：()()??? ??? ?≤<< ≤==∑∞=π2 π 2 π 0cos P ,00θθθθV a A a u l l l l 所以：()()?? ?????++=??π2π2 π 00d sin cos P 0d sin cos P 212θθθθθθl l l l V a l A 令x =θcos ，则x x d sin 1 d d sin d θ θθθ- =?-= 所以：()()()? ?+=+=1 01 00d P 212d P 212x x a V l x x V a l A l l l l l 因为：()()()()()()???? ? ????+=?-+?--?-≠===-?1 2241135421020 01 d P 2110 n l l l l l n l l x x l l 所以： 0=l 时，()2 d P 2 1 000V x x V A = =? n l 2=时，02=n A 12+=n l 时，()() ()()()()2 4113 54212122 10 12?-+?--? -+= -+ l l l l a V l A l l n ()()()()()()2422235321212341 20?+?--?-+=+ n n n n a V n n n ()()()()!!12 ! 212341 21 20 n n n a V n n n n +? -+= ++ 故：()()()()()()∑∞ =+++? ?? ??++?-+=0 121 22200cos P !!12!23412,n n n n n a r n n n n V V r u θθ 8.1-8 假设半径为a 的半球的球面上保持一定温度0u ，而半球的底面上保持C 0 ，求稳恒状态下半球里的温度分布。 解：热传导方程为：02 =?-u a u t ，稳恒状态下，0=t u ，所以0=?u ，即半球内的温 度分布满足Laplace 方程。其解有如下的形式： ()() ()∑∞ =--+=0 1cos P ,l l l l l l r B r A r u θθ 在球内0→r 时，()θ,r u 应有界，所以0=l B 则：()()∑∞ == cos P ,l l l l r A r u θθ 边界条件为：()??? ? ? <≤=2π0,0 θθu a u 02π,=?? ? ??r u 代入边界条件有：()()∑∞ == =0 0cos P ,l l l l a A u a u θθ 又()()00P 00P 2π,0 =?==??? ??∑∞=l l l l l l A r A r u n l 2=为偶数时，()00P 2≠n ，所以02=n A 所以12+=n l 只能为奇数。 故：()()()()()()! !12! 21234d P 2341 2120 1 1201 21 2n n n a u n x x u a n A n n n n n n +-?+= += +++++? ()()()()12220!!12 !2134+++-+=n n n a n n n u n 所以：()()()()()()()a r a r n n n n u r u n n n n n < ?? ??++?-=∑∞ =+++0cos P !!12!2341,0 121 2220θθ 8.1-9 在均匀电场0E 中，放一接地的导体球，球的半径为a ，求球外电势分布。 解：以球心为原点，以0E 方向为极轴方向，取球坐标系，此问题关于极轴是对称的，定解 问题为： ()()()()() ?? ?>>-≈=>=?a r r E r u a u a r r u θ θθθcos ,,0,0 ,0 该定解问题的解为： ()() ()∑∞ =--+=0 1cos P ,l l l l l l r B r A r u θθ 代入边界条件()0,=θa u ，有：()() ()0cos P ,0 1=+= ∑∞ =--l l l l l l a B a A a u θθ 所以：121 +---=?+l l l l l l l a A B a B a A 则：()()∑∞ =++??? ? ??-=0112cos P ,l l l l l l r a r A r u θθ 代入第二个边界条件()()a r r E r u >>-≈θ θcos ,0，有： ()()()θθθθcos P cos cos P ,1000112r E r E r a r A r u l l l l l l -=-=??? ? ??-=∑∞ =++ 比较两边的系数有： () ,4,3,2,00 ,01==-=l A E A l 故：()()θθθθcos cos cos P ,23 001111211r a E r E r a r A r u +-=??? ? ??-=++ 8.1-10 求解下述定解问题。 () () ()()()()()() ????? ??? ?===<<=????????-??-??x x u x x u t l u t u l x x u x l x t u t ψ?ω0,,0,,,0,0002122222有界 解：设()()()t T x X t x u =,，代入原方程有： ()[] 0d d 21222='-- ''X x l x T T X ω 分离变量有：()[] ()[] ???????=+'-=+''?-='-=''0d d 02 1d d 21222222X X x l x T T X X x l x T T λλωλω 对 ()[] 0d d 22 =+'-X X x l x λ，令lz x =，代入有： ()() 0d d 1d d 0d d d d d d d d 222=+?? ????-?=+??????-X z X z z X x z x z z X x l z λλ 令()1+=μμλ，则上式就是Legendre 方程，为： () ()01d d 2d d 12 22 =++--X z X z z X z μμ 本征值为 ()1+μμ，本征函数为：()?? ? ??=l x z μμP P 而方程02 1 2=+ ''T T λω的解为：()t B t A t T λωλω21sin 21cos += 或者：()()()t B t A t T 12 1 sin 121cos +++=μμωμμωμμμ 所以原方程的解为： ()()()∑∞ =??? ????? ????+++=0 P 121sin 121cos ,μμμμμμωμμω l x t B t A t x u 代入边界条件()0,0=t u 有： ()()()()00P 121 sin 121cos ,00=??? ????+++=∑∞ =μμμμμμωμμωt B t A t u 而：()()()() () ?? ??? ??? ?==-+=== 3,2,12!2!211 200 1 0P 22n n n n n n n μμμμ 若n 2=μ，因为()00P ≠μ， 所以()()012 1sin 121cos =+++t B t A μμωμμω μμ，则方程有零解，故n 2≠μ。 所以12+=n μ，此时代入12+=n μ有， ()()()()()[]∑∞ =+?? ? ???+++++=0 12P 121sin 121cos ,n n n n l x t n n B t n n A t x u ωω 代入初始条件： ()()()()?∑??? ????? ??++=???? ???==+∞ =+10120 12d P 221122P 0,l x l x x n A l x A x x u n n n n n ?? ()??? ? ??+=?+l n n x l x x l n A 012d P 34? ()()()()∑∞ =+?? ? ???++==0 12P 1210,n n n t l x n n B x x u ω ψ ()()()()??? ? ????? ??++++= +1 12d P 212121 122l x l x x n n n B n n ψω ()() ()??? ? ??+++= +l n x l x x n n l n 012d P 12134ψω 8.2-1 证明缔合勒让德函数的递推公式： ()()()()()()x m l x m l x x l m l m l m l 11P 1P P 12+-+-++=+ 证明：因为有：()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+ 下面用数学归纳法证明 当0=m 时，有()()()()()x l x l x x l l l l 11P 1P P 12+-++=+成立。 假设当n m =时，公式成立， 即有：()()()()()()x n l x n l x x l n l n l n l 11P 1P P 12+-+-++=+ ① 因为：()() ()()x x x n l n n l P 1P 2 2-=，将它代入①式有： ()() () ()()() () ()()( ) ()()x x n l x x n l x x x l n l n n l n n l n 12 212 22 2P 11P 1P 112+--+-+-+=-+ 消去( ) 2 21n x -得到： ()()()()()()()()()x n l x n l x x l n l n l n l 11P 1P P 12+-+-++=+ ② 对②式求导有： ()()()()()()()()()()()()x n l x n l x l x x l n l n l n l n l 11111P 1P P 12P 12+++-++-++=+++ ③ 又因为对()x l P 有下面的递推关系成立 ()()()()x x x l l l l '-'=+-+11P P P 12 上式对x 求n 次导数有： ()()()()()()()x x x l n l n l n l 1111P P P 12+-++-=+ ④ 由③-④得： ()()()()()()()()()x n l x n l x x l n l n l n l 11111P P 1P 12+++-+-+++=+ ⑤ 由⑤式乘以( ) 2 2 1n x -得： ()() () ()()() () ()()() ()()x x n l x x n l x x x l n l n n l n n l n 112 211 2 212 2P 1P 11P 112+++-+--+-++=-+ 即()()()[]()()[]()x n l x n l x x l n l n l n l 1 1111P 11P 1P 12+++-+++-+++=+ 即对1+=n m 也成立，所以原递推关系成立。 8.2-2 在半径为a 的球面上电势分布为：()?θ?θcos sin ,,=a u ，求球内的电势分布。 解：在无电荷空间，电势满足Laplace 方程0=?u ，在球坐标系中的形式为： 0sin 1sin sin 112222222=??+ ??? ? ?????+??? ???????θθθθθu r u r r u r r r 令()()()()?θ?θΦΘ=r R r u ,,，代入上式且分离变量有： ()()()()() ????? ??????=Θ++Θ-??? ??=Φ+Φ=+-??? ? ?301sin sin d d sin 120d d 10 1d d d d 222 222l l θm d θd Θθθθm R l l r R r r ? 方程（1）为Euler 方程，其解为：()1--+=l l l l l r B r A r R 方程（2）为谐振动方程，其解为：()???m D m C m m m sin cos +=Φ 方程（3）为缔合勒让德方程，其解为：()()θcos P P m l m l x = 所以：()() ()()∑∑∞==--++= 001cos P sin cos ,,l l m m l m m l l l l m D m C r B r A r u θ???θ 对球内问题，有当0→r 时，()?θ,,r u 应有界，所以有：0=l B 即：()()()∑∑∞ ==+= 00cos P sin cos ,,l l m m l m m l l m D m C r A r u θ???θ 代入边界条件有： ()()()?θθ???θcos sin cos P sin cos ,,00 =+=∑∑∞ ==l l m m l m m l l m D m C a A a u 比较系数有：0=m D ，11=C ，()10≠=m C m 所以：()()?θ?θ?θcos sin cos cos P ,,0 1== ∑∞ =l l l l a A a u ()θθsin cos P 0 1=?∑∞ =l l l l a A 所以：1=l ，即()a A a A a A 1sin sin sin cos P 11 11 11 1= ?=?=θθθθ ()10≠=k A k 所以：()?θ?θcos sin ,,a r r u = 8.2-3 求解球内问题： ?θ?θθθθθcos 2sin sin 1sin sin 1122 222 222Br A u r u r r u r r r +=??+??? ? ?????+??? ?????? ()0,,=?θa u ，其中A 、B 为已知常数。 解： 数学物理方法试题A （100分） 2005级光电子专业 一、填空题 （40分） 1. 表示复数 z 的代数式是 ，指数式是 。 2. 设 (),u u x y =, 20u x y ?=?? 则 (),u u x y = 满足一个 方程，可解出 u = 。 3. 设 ()w f z =，w u iv =+，iy x z +=。 则方程 ?????????-=????=??x v y u y v x u 称为 。 如在 D 区域， x u ??、y u ??、x v ??、y v ?? 连续，且上述方程成立，则称复变函数 ()f z 为 D 区域上的 。 4. 11i i i i -+=- ，()()()() 3232i i i i +-=-+ 。 5. 设解析函数 ()222f z x y xyi =-+， 其共轭函数 ()f z *= ， 其导数 ()f z '= 。 6. 42 1 1 2z z dz z iz =+=-? ， 7. 复幂级数 k k k z c ∑∞ =1 的收敛区域通常为 ， 圆的半径称为 。 8. δ 函数的主要定义是： ， 。 9. 周期函数的定义是 ，付里叶级数的常见形式是 。 10. 现有两函数 ()1=x f ∞≤≤∞-x ()1=x f b x b ≤≤- 则二者的付里叶变换()F ω分别为 ， 。 二、简答题 （20分） 1. 设复变函数 2 w z =，试将 z 平面上的曲线（以原点为圆心，以 2为半径，位于0y ≥区域的半圆）表示为w 平面上的曲线。 2. 对于复幂级数 k k k z c ∑∞ =1， 收敛半径 R 的取值共有几种情况？分别 列出。 3. 求复幂级数 1k k z k ∞ =∑、 1 2k k k z ∞ =∑的收敛半径 R 。 4. 试举出2个常见的数学物理方程，写出数学形式，简述其所代表的物理意义。 三、计算题 （40分） 1. 将 ()() 2 f z z a =- 沿圆心为 z a =，半径为r 的 复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0z f z e d ζ ζζ=?，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)uxy = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y - C.(cos sin )x e y y y y - D.(cos sin )x e x y y y - 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、写出复数2 3 1i +的三角形式和指数形式（8分） 7、求函数 2 ) 2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） 9、计算实变函数定积分dx x x ?∞ ∞-++1 1 4 2（8分） 10、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 二、计算题（共30分） 1、试用分离变数法求解定解问题（14分） ?? ?????=-===><<=-====0, 2/100 ,000002t t t l x x x x xx tt u x u u u t l x u a u 2、把下列问题转化为具有齐次边界条件的定解问题（不必求解）（6分） ??? ? ? ???? ===-==?====0,sin 0),(000b y y a x x u a x B u u y b Ay u u π 3、求方程 满足初始条件y(0)=0,y ’(0)=1 的解。(10分) 嘉应学院 物理 系 《数学物理方法》A 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 2、奇点分为几类？如何判别？ （6分） 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） 6、求幂级数k k i z k )(11 -∑∞ = 的收敛半径（8分） 7、求函数2 )2)(1(1 --z z 在奇点的留数（8分） 8、求回路积分 dz z z z ?=12cos （8分） t e y y y -=-'+''32 北京邮电大学2018-2019学年第一学期 《数学物理方法》期末试题（B ） 注意：本试卷共5 道大题。答题时不必抄题，要注明题号，所有答案一律写在答题纸上，否则不计成绩。 一、 解答下列各题（每题6分，共36分） 1、 写出三类基本方程的最简单形式。 2、求解下列本征值问题的本征值和本征函数 ()()()()()() 02,2?λ??π??π?''Φ+Φ=???''Φ+=ΦΦ+=Φ??3、将Bessel 方程 222()0x y xy x m y λ'''++-= 化成Sturm-Liouville 型方程，并指出其核函数和权函数。 4、用达朗贝尔公式求下列定解问题的解 ()()()20,0,,0cos ,,0. tt xx x t u a u x t u x x u x e ?-=-∞<<∞>??==??5、设()f x 在区间[-1,1]上的有界且连续，并设 ()()()0Legendre n n n n f x f P x P x ∞ ==∑其中是多项式 试证明 ()()11 212n n n f P x f x dx -+= ?. 6、已知Bessel 函数的递推公式1[()]()m m m m d x J x x J x dx -=，试计算30()x J x dx ?。 二、研究细杆上的热传导问题。设杆上的初始温度是均匀的为0,u 然后保持杆的一端的温度为不变的0,u 而另一端则有强度为恒定的热流0q 进入，即求解定解问题 22200000,,,.x x x l t u u a t x q u u u k u u ===???=?????==???=?? （25分） 三、 求解下列定解问题 ()222220001,0,0,,,0.b t t u u u a b t u u u u f t ρρρρρρρ====??????=+< 数学物理方法试卷 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ?????=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ．0=?ΓdS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ ） A ．) cos , (2x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题???? ?????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是( ) 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( ). 3．二阶常微分方程0)()4341()(1)(2'''=-++ x y x x y x x y 的任一特解=y （ ). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2)( ,sin 2)(2 121ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ ）. 三、（20分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 000, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???????==>?????==≤≤?? 解： 典型习题 一、填空题： 1 的值为 ， ， 。 2 、1-+的指数表示为_________ ,三角表示为 。 3、幂级数2 k k=1(k!)k z k ∞ ∑的收敛半径为 。 4、ln(5)-的值为 。 5、均匀介质球，半径为0R ，在其中心置一个点电荷Q 。已知球的介电常数为 ε，球外为真空，则电势所满足的泛定方程为 、 。 6、在单位圆的上半圆周，积分1 1||__________z dz -=?。 7、长为a 的两端固定弦的自由振动的定解问问题 。 8、具有轴对称性的拉普拉斯方程的通解为 。 9、对函数f(x)实施傅里叶变换的定义为 ，f （k ）的傅里叶逆变换为 。 10、对函数f(x)实施拉普拉斯变换的定义为 。 二、简答题 1、已知()f z u iv =+是解析函数，其中22 v(x,y)=x y +xy -，求 (,)u x y 。 2、已知函数1w z = ，写出z 平面的直线Im 1z =在w 平面中的,u v 满足的方程。 3、将函数21()56f z z z =-+在环域2||3z <<及0|2|1z <-<内展开成洛朗级数． 4、长为L 的弹性杆，一端x=0固定，另一端沿杆的轴线方向被拉长p 后静止（在弹性限度内），突然放手后任其振动。试写出杆的泛定方程及定解条件。 三、计算积分： 1. ||22(1)(21)z zdz I z z ==-+? 2．||2sin (3)z zdz I z z ==+? 3.22202(1)x I dx x ∞ =+? 4.||1(31)(2) z zdz I z z ==++? 5. ||23cos z zdz I z ==? 6. 240x dx 1x I ∞=+? 7、0sin x dx x ∞ ? 8、20cos 1x dx x ∞+? 四、使用行波法求解下列方程的初值问题 嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1 数理试卷 1． 设有半径为a 的导体球壳被一过球心的水平绝缘层分割成两个半球壳，若上下各半球壳 各充电到V 1、V 2，则球壳内的电势所满足的定解问题是 2． 初值问题 U tt -a 2U xx =0（-∞ 福师大物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一？（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类？如何判别？（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性？（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 4、什么是解析函数？其特征有哪些？（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类？波动方程属于其中的哪种类型？（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数2 31i +的三角形式和指数形式（8分） 三角形式：()3sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 1)2)(1()1(lim Re 21)1(=????? ?---=→z z z z sf z 《数学物理方法》复习题 一、单项选择题 【 】 1、函数 f (z) 以 b 为中心的罗朗（ Laurent ）展开的系数公式为 1 A. C k 2 i 1 C. C k 2 i ? ? f ( ) d B. C k f (k ) (b) ( b) k 1 k ! f ( ) k ! f ( ) b d D . C k 2 i ? ( b)k 1 d 【 】 2、本征值问题 X ( x) X (x) 0, X (0) 0, X (l ) 0 的本征函数是 A ．cos n x B ．sin n x C ． sin (2n 1) x D ． cos (2n 1) x 】 3、点 z l l 2l 2l 【 是函数 cot z 的 A. 解析点 B. 孤立奇点 C. 非孤立奇点 D. 以上都不对 【 】 4、可以用分离变量法求解定解问题的必要条件是 A. 泛定方程和初始条件为齐次 B. 泛定方程和边界条件为齐次 C. 初始条件和边界条件为齐次 D. 泛定方程、初始条件和边界条件为齐次 【 】5、设函数 f ( z) 在单连通区域 D 内解析， C 为 D 内的分段光滑曲线， 端点为 A 和 B ， 则积分 ( ) f z dz C A. 与积分路径及端点坐标有关 B. 与积分路径有关，但与端点坐标无关 C. 与积分路径及端点坐标无关 D. 与积分路径无关，但与端点坐标有关 【 】6、 条件 z 1 所确定的是一个 A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】 7、条件 0 z 1 2 所确定的是一个 A ．单连通开区域 B. 复连通开区域 C. 单连通闭区域 D. 复连通闭区域 【 】 8、 积分 ? zcosz 2dz |z| 1 A ． 1 B ． 1 C ． 1 2 D ． 0 2 【 】 9、函数 f ( z) 1 在 z 1 2 内展成 z 1 的级数为 1 z A ． 2 n B 1 n 0 ( z 1) n 1 ． n 0 z n 1 【 】 10 、 点 z 0 是函数 1 f ( z) sin z C ． ( z 1)n D ．z n n 0 2n 1 n 0 1 的 《数学物理方法》试卷答案 一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ） A ．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C ．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ） A ．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性. 3．牛曼内问题 ??? ??=??=?Γ f n u u ,02 有解的必要条件是（ C ） A ．0=f . B ．0=Γu . C ． 0=?Γ dS f . D ．0=?Γ dS u . 4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题???==<<=+0 )()0(0 ,0)()(''l X X l x x X x X λ 的解是（ B ） A ．) cos , (2 x l n l n ππ??? ??. B ．) sin , (2 x l n l n ππ?? ? ??. C ．) 2)12(cos ,2)12( (2 x l n l n ππ-??? ??-. D ．) 2)12(sin ,2)12( (2 x l n l n ππ-?? ? ??-. 5．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A ．0254=++++y x yy xy xx u u u u u . B ．044=+-yy xy xx u u u . C ．02222=++++y x yy xy xx u y xyu u y xyu u x . D ．023=+-yy xy xx u u u . 二、填空题（每题4分，共20分） 1．求定解问题??? ? ? ????≤≤==>-==><<=??-??====πππx 0 ,cos 2 ,00 t ,sin 2 ,sin 20 ,0 ,00002222x u u t u t u t x x u t u t t t x x 的解是(x t cos sin 2). 2．对于如下的二阶线性偏微分方程 0),(),(2),(=++++-fu eu du u y x c u y x b u y x a y x yy xy xx 其特征方程为( 0))(,(),(2))(,(22=++dx y x c dxdy y x b dy y x a ). 3．二阶常微分方程0)()43 41()(1)(2'''=-++x y x x y x x y 的任一特解=y （ )21 (2 3 x J 或0). 4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1ln ），三维拉普拉斯方程的基本解为（ r 1 ）. 5．已知x x x J x x x J cos 2 )( ,sin 2)(2 12 1ππ== -，利用Bessel 函数递推公式求 =)(2 3x J （ )s i n )(1(2)cos sin 1(223 x x dx d x x x x x x ππ-=- ）. 三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题 222220 00, 0, 00, 0, t 0, 0, 0x .x x l t t t u u a x l t t x u u x x u x u l ====???-=<<>???? ???==>? ????==≤≤?? 解：第一步：分离变量 (4分) 设)()(),(t T x X t x u =，代入方程可得 嘉应学院物理系《数学物理方法》B 课程考试题 一、简答题（共70分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（6分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo而形成的环域上的解析函数F（z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo称为函数F（z）的可去奇点，极点及本性奇点。 # 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（6分） 1，定解问题有解；2，其解是唯一的；3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题的适定性。 > 4、什么是解析函数其特征有哪些（6分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数. 2） () () ? ? ? = = 2 1 , , C y x v C y x u 这两曲线族在区域上正交。 3）()y x u,和()y x v,都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数) 4）在边界上达最大值。 | 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（6分） 数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出)(x δ挑选性的表达式（6分） ()()()()()()?????????=-==-???∞ ∞∞-∞∞ -)()()(00000R f dv R r r f f dx x x f x f dx x x x f δδδ 6、写出复数 231i +的三角形式和指数形式（8分） ￥ 三角形式：()3 sin 3cos 231cos sin 2 321isin cos 222ππ? ?ρ??ρi i i +=++=+=+ 指数形式：由三角形式得： 313πρπ?i e z === 7、求函数 2)2)(1(--z z z 在奇点的留数（8分） 解： 奇点：一阶奇点z=1；二阶奇点：z=2 2013-2014 1 数学物理方程（A ） 数理学院 信计101-2、应数 （答案写在答题纸上，写在试题纸上无效） 一．填空题（每小题3分，共15分） 1．已知非齐次波动方程22 222(,)(0,0) (0,)(,)0 (0)(,0)(,0)0(0) u u a f x t t x l t x u u t l t t x x u u x x x l t ???=+><? ????? ==<<? ??? ?? ==< 济南大学2009 ～2010 学年第一学期课程考试试卷（补考卷） 课 程 数学物理方法 授课教师 任妙娟 考试时间 2010 年 月 日 考试班级 学 号 姓 名 一、 判断题（每小题2分，共20分） [对者画√，错者画×] [ ] 1.在复数域内，负数也有对数。 [ ]2.可去奇点的留数一定是零。 [ ]3.复变指数函数z e 是无界的周期函数。 [ ]4.实部和虚部都是调和函数的复变函数一定是解析函数。 [ ]5.定义在区域G 上的函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+，若 ,u v v u x y x y ????==-???? ，则()f z 是G 上的解析函数。 [ ]6.()n J x 在0x =的值总是零。 [ ]7.格林函数代表一个点源在一定的边界条件和（或）初始条件下所产生的场。 [ ]8.函数2 ()(0,)f x x l =，因为2x 是偶函数，所以只能开拓为周期性偶函数， 展开为Fourier 余弦级数。 [ ]9.只有齐次边界条件才能和相应的方程构成本征值问题。 [ ]10.行波法适用于无界区域的波动方程。 二、选择题(每小题3分，共30分） [ ]1. 复数i 25 8-2516z =的辐角为 A ． arctan 21 B ．-arctan 21 C ．π-arctan 21 D ．π+arctan 21 [ ]2．设z=cosi ，则[ ] A ．Imz=0 B ．Rez=π C ．|z|=0 D ．argz=π [ ]3. 设C 为正向圆周｜z+1|=2,n 为正整数，则积分? +-c n i z dz 1)(等于 A ． 1 B ．2πi C ．0 D ．i π21 [ ]4. 3z π=是函数f(z)= π π-3z )3-sin(z 的 A 一阶极点 B ．可去奇点 C ．一阶零点 D ．本性奇点 [ ]5．方程0u 2=?-u a t 是 A 波动方程 B ．输运方程 C ．分布方程 D ．以上都不是 [ ]6.可以用分离变量法求解的必要条件是： A 泛定方程和初始条件为齐次 B ．泛定方程和边界条件为齐次 C ．边界条件和初始条件为齐次 D ．泛定方程、边界条件和初始条件均为齐次 [ ]7. 级数的收敛半径是 A . 2 B. k C k 2 D. 1 [ ]8.本征值问题?? ? ??===+==00' 0' 'l x x X X X X λ 的本征函数是 A . x l n π)21(cos + B. x l n π)21(sin + C x l n πsin D. x l n πcos [ ]9．00=x 是方程02 ''=+y w y 的 A 常点 B ．正则奇点 C ．非正则奇点 D ．以上都不是 …………………………………………装…………………………订…………………………线………………………………………… …… … … … 答 ……… …… 题…… … … …不…… … …… 要 ………… … 超 …… … ……过…………… 此………… …线… … …… …… 2. 试解方程：()0,04 4 >=+a a z 44424400000 ,0,1,2,3 ,,,,i k i i z a a e z ae k ae z i i πππ π ωωωωω+=-=====--若令则 1．计算： （1） i i i i 524321-+ -+ （2） y = （3） 求复数2 12?? + ? ??? 的实部u 和虚部v 、模r 与幅角θ (1) 原式= ()()()12342531081052 916 2525255 i i i i i i +?+-?+-++=+=-+-- （2） 3 32( )10205 2(0,1,2,3,4)k i e k ππ+==原式 (3) 2 223 221cos sin cos sin ,3333212u v 1,2k ,k 0,1,2,223 i i i e r π πππππ θπ??==+=+==- ?????=-===+=±±L 原式所以：， 3．试证下列函数在z 平面上解析,并分别求其导数. (1)()()y i y y ie y y y x e x x sin cos sin cos ++- 3. ()()()()()()()()cos sin ,cos sin ,cos sin cos ,sin sin cos ,cos sin sin sin ,cos sin cos ,,,x x x x x x x x u e x y y y v e y y x y u e x y y y e y x u e x y y y y y v e y y x y e y y x v e y y y x y y u v u v x y y x u v z f z u iv z u f z =-=+?=-+??=---??=++??=-+?????==-????=+?'= ?证明：所以：。 由于在平面上可微 所以在平面上解析。()()()cos sin cos cos sin sin .x x x x v i e x y y y e y i e y y x y e y x x ?+=-++++? 由下列条件求解析函数()iv u z f += (),1,22i i f xy y x u +-=+-= 解： ()()()()()()()222222222212,2,21 2,2,,,2112, 2211 1,0,1,1,, 221112. 222u v x y v xy y x x y v u v y x y x x x x x c x y x f z x y xy i xy y x c f i i x y c c f z x y xy i xy x y ??????==+∴=++?????''=+=-=-+∴=-=-+?????=-+++-+ ??? =-+==+==? ?=-++-++ ?? ?而即所以由知带入上式，则则解析函数 2. ()21,3,,.i i i i i i e ++试求 12届真题 1． 求下列各小题（2*5=10分）： （1）用几何图形表示0arg(1)4z π<-< ； （2）给出序列(1/)sin 6 n n z i n π=+的聚点； （3）在复数域中求解方程cos 4z =的解； （4）给出二阶偏微分方程的基本类型； （5）给出解析函数所满足的柯西-黎曼方程。 2．按给定路径计算下列积分（5*2=10分）： （1）320Re i zdz +?，积分路径为线段[0,3]和[3,3+2i]组成的折线； （2 ）11,==?积分路径由z=1出发的。 3．利用留数定理计算下列积分（5*2=10分）： （1）2 41x dx x +∞ -∞+?； （2）3||1z z e dz z =?。 4．求常微分方程20w z w ''-=在0z =邻域内的两个级数解（15分）。 5．求下列线性非奇次偏微分方程的通解：2222u u xy y x y ??-=-??（15分）。 6．利用分离变量法求解：（20分） 2222000 (),|0, |0,0, 0.x x l t t u u x l x t x u u u u t ====???-=-?????==????==??? 7．用拉普拉斯变换方法求解半无解问题（20分） 220, 0,0,(0,)1, lim (,) 0, (,0)|0, 0. x u u x t t x u t u x t t u x x κ→∞???-=>>?????=>??=>??? 有界， 2005级 一、填空（请写在答题纸上，每题6分，共计48分） 1. 三维泊松方程是______________________________ 2. 边界为Γ的区域Ω上函数u 的第二类边界条件为___________________。 3. 极坐标下的二维拉普拉斯方程为__________________________。 4. 定解问题20 02||0tt xx t t t u u x u x u ===-∞<<+∞???==??， ，的解__________________________。 5. 三维拉普拉斯方程的牛曼内问题为______________________________； 其解存在的必要条件为____________。 6. 写出4阶贝塞尔方程的标准形式_____________________________。 7. 设2()J x 为2阶贝塞尔函数，则22()d x J kx dx ????=__________________。 8. 设弦一端在0x =处固定，另一端在x l =处做自由运动。则弦振动问题的边界条件为： 二、（10分）求解定解问题： 200(0)()00()0.t xx x x u a u x l t u t u l t t u x x x l ?=<<>?==≥??=≤≤? ， ，，，，， ， ，0， 数学物理方法习题解答 一、复变函数部分习题解答 第一章习题解答 1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。 证明：令Re z u iv =+。Re z x =，,0u x v ∴==。 1u x ?=?，0v y ?=?，u v x y ??≠??。 于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。 2、试证()2f z z =仅在原点有导数。 证明：令()f z u iv =+。()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。 2,2u u x y x y ??= =??。v v x y ?? ==0 ??。 所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。而,,u u v v x y x y ???? , ????在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。 ()00 00 00x x y y u v v u f i i x x y y ====????????'=+=-= ? ?????????。 或：()()()2* 0000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z ?→?→?=?=?'==?=?-?=?。 22***0*000lim lim lim()0z z z z z z z zz z z z z z z z z =?→?→?→+?+?+??==+??→???。 【当0,i z z re θ≠?=，*2i z e z θ-?=?与趋向有关，则上式中**1z z z z ??==??】 3、设333322 ()z 0()z=0 0x y i x y f z x y ?+++≠?=+???，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。 证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则 ()33 2222 220,=00x y x y u x y x y x y ?-+≠?=+?+?? ， 33 2222 220(,)=0 0x y x y v x y x y x y ?++≠?=+?+??。 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x u x u x u x x →→-===， 3 300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x u y u y u y y →→--===-； 3 300(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x x v x v x v x x →→-===， 3 300(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1y y x v y v y v y y →→-===。 (0,0)(0,0),(0,0)(0,0)x y y x u v u v ∴ = =- ()f z ∴ 在原点上满足C －R 条件。 但33332200()(0)()lim lim ()()z z f z f x y i x y z x y x iy →→--++=++。 令y 沿y kx =趋于0，则 333333434322222 0()1(1)1(1)lim ()()(1)(1)(1)z x y i x y k i k k k k i k k k x y x iy k ik k →-++-++-++++-+==+++++ 依赖于k ，()f z ∴在原点不可导。 4、若复变函数()z f 在区域D 上解析并满足下列条件之一，证明其在区域D 上级数学物理方法试题
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