二重积分的计算方法(1)
1 利用直角坐标系计算
1.1 积分区域为X 型或Y 型区域时二重积分的计算
对于一些简单区域上的二重积分，可以直接化成二次积分来解决．在直角坐标系下，被积分函数(,)f x y 在积分区域D 上连续时，若D 为x 型区域（如图1），即
{}12(,)()(),D x y x x x
a x
b ??=≤≤≤≤，其中12(),()x x ??在[,]a b 上连续，则有
21()
()
(,)(,)b
x a
x D
f x y d dx f x y dy ??σ=??
??
； （1）
若D 为y 型区域（如图2），即{}12(,)()(),D x y y y y c y d ψψ=≤≤≤≤，其中12(),()y y ψψ在[,]c d 上连续，则有
21()
()
(,)(,)d
y c
y D
f x y d dy f x y dx ψψσ=??
??
．[1]
（2）
例1 计算2
2D
y dxdy x
??
，其中D 是由2x =，y x =，及1xy =所围成． 分析 积分区域如图3所示，为x 型区域()1D=,12,x y x y x x ??
≤≤≤≤????．确定了积分区域然后可以
利用公式（1）进行求解．
解 积分区域为x 型区域
()1D=,12,x y x y x x ??
≤≤≤≤????
则
2
2
21221x x D
y
y dxdy dx dy x x =???? y y=x
xy=1 D2
D1
x
O 2
1
1 2
图3
图1
32
121
3x
x
y dx x ??= ???? 2
51
133x dx x ??
=- ????
221412761264x x ??=+= ???
1.2 积分区域非X 型或Y 型区域二重积分的计算
当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并
不是简单的x 型或y 型区域，不能直接使用公式（1）或者（2）进行计
算，这是可以将复
杂的积分区域划分为若干x 型或y 型区域，然后利用公式
1
2
3
(,)(,)(,)(,)D
D D D f x y d f x y d f x y d f x y d σσσσ=++???????? （3）
进行计算，
例2 计算二重积分D
d σ??，其中D 为直线2,2y x x y ==及3x y +=所围成的区域．
分析：积分区域D 如图5所示，区域D 既不是x 型区域也不
是y 型区域，但是将可D 划分为
()(){}12,01,22,13,23x D x y x y x D x y x y y x ??=≤≤≤≤??
??=≤≤≤≤-均为x 型区
域，进而通过公式
（3）和（1）可进行计算．
解 D 划分为
()1,01,22x D x y x y x ??=≤≤≤≤????
，
(){}2,13,23D x y x y y x =≤≤≤≤-
则
1
2
D
D D d d d σσσ=+??????12230
12
2
x
x
x
x
dx dy dx dy -=+??
?? 1
20112322x x dx x dx ?
???=-+-- ? ????
???
1
2
22013333442x x x ???
?=+-=???????
?
1.3 被积函数较为复杂时二重积分的计算
3D o
x
y
1
D
2D 图 4
y x
O
x=2y
y=2x
x+y=3
图5
二重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂，虽然能定出积分限，但被积函数的原函数不易求出或根本求不出，这时可根据被积函数划分积分区域，然后进行计算．
例3 计算二重积分2D
y x dxdy -??
，其中D 为区
域1x ≤，
02y ≤≤．
分析 由于被积函数含有绝对值，其原函数不能直接求得，以至于不能直接化为二次积分进行计算，观察函数本身，不难
发现当我们把积分区
域划分为21211x y D x ?≤≤=?-≤≤?，2
2011
y x D x ?≤≤=?-≤≤?两部分
后，被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求
得．
解 区域D 如图6可分为1
2D D ，其中
21211x y D x ?≤≤=?
-≤≤?，2
2011
y x D x ?≤≤=?-≤≤? 由公式（3）则
1
2
222D
D D y x dxdy y x dxdy x ydxdy -=-+-??
????
2
212
1
2
21
1
5
23
x x
dx y x dy dx x ydy π
--=-+-=
-????
2 利用变量变换法计算
定理1 设(,)f x y 在有界区域D 上可积，变换():,T x x u v =，(),y y u v =，将,u v 平面按段光滑封闭曲线所围成的区域?一对一地映成,x y 平面上的区域D ，函数(),x u v ，(),y u v 在?内分别具有一阶
连续偏导数且它们的雅克比行列式()()
()
,,0,x y J u v u v ?=
≠?，(),u v ∈?．则 ()()()()(,),,,,D
f x y d f x u v y u v J u v dudv σ?
=???? （4）
（4）式叫做二重积分的变量变换公式，
2.1 根据被积函数选取新变量使被积函数简化
当被积函数较为复杂，这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域相应的转
O
y
x
D1
D2
图6
化为新的积分区域，进而利用公式进行计算．
例4 求x y x y
D
e
dxdy -+??，其中D 是由0,0,1x y x y ==+=所围曲线（图7）
分析 由于被积函数含有e 的指数，且较为复杂，这时可以考虑替换变量，简化被积函数，如果做替换T ：,.u x y v x y =+=-在变换T 作用下区域D 的原像?如图8所示，根据二重积分的变量变换公式，积分计算就简单了．
解 做变换()()
12:12x u v T y u v ?=+????=-?? ()1,02J u v =>
所以
1
2x y
u
x y
v
D
e
dxdy e dudv -+?
=????1012u v v v du e du -=??
()11
012
v e e dv -=
-? 1
4
e e --=
2.2 根据积分区域选择新变量计算二重积分
当被积函数比较简单，积分区域却比较复杂时，可考虑积分区域，若有()(),,,u f x y v g x y ==且
,m u n v αβ≤≤≤≤，则把xy 平面上的积分区域D 对应到uv 平面上简单的矩形区域?，然后根据二重积分的变量变换公式（4）进行计算．
D
y
x
O
图7
图8
v
u
O
例5 求抛物线22,y mx y nx ==和直线,y x y x αβ==所围区域D 的面积()D μ．
分析 D 的面积()D
D dxdy μ=??．实际是计算二重积分D
dxdy ??，其被积函数很简单，但是积分区域
却比较复杂，观察积分区域不难发现22,y y m n x x ==；,y y x x
αβ==，如果设2,y y
u v x x ==，则有
,m u n v αβ≤≤≤≤，
解 D 的面积()D
D dxdy μ=??
作变换
2:u x v T v y u ?=????=??
，[][],,m n αβ?=? ()()4
,,,.u
J u v u v v =
∈? 所以
()()()22334433=6n m D n m u
dv D dxdy dudv udu v v βαβαμαβ?
--===??????． 例6 求23
3D
x
dxdy y xy
+??
．22:1,3,,3D xy xy y x y x ====所围区域． 分析 积分区域的处理与上题类似，可以做变量替换T ：2
,y u xy v x
==，它把xy 平面上的区域D 对
应到uv 平面上的矩形区域?．
解 令
2:u xy T y v x =???=
??
在变换T 作用下，区域D 的原像
(){},13,13u v u v ?=≤≤≤≤， ()1
,03J u v v
=
≠ 所以
233113D
x dxdy dudv y xy v uv v ?
=?++??
??()3311du
dv v v uv =+??2ln 23=．
2.3 利用极坐标变换计算二重积分
当被积函数含有()
22f x y +、x f y ?
?
??
?
或y f x ??
???
形式或积分区域的边界曲线用极坐标方程来表示比较方便，如圆形及圆形区域的一部分，可考虑用极坐标变换
cos :sin x r T y r θ
θ=??
=?
，0,02θθπ≤<∞≤≤ 这个变换除原点和正实轴外是一一对应的（严格来说极坐标变换在原点和正实轴上不是一对一的，但可以证明公式（1）仍然成立），其雅可比行列式为r .
（1）如果原点0D ?，且xy 平面上射线θ=常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则?必可表示为
()()12r r r θθ≤≤， αθβ≤≤．
则有
()()()
()
21,cos ,sin r r D
f x y dxdy d f r r rdr β
θα
θθθθ=??
??
（5）
类似地，若xy 平面上的圆r =常数与积分区域D 的边界至多交于两点，则?必可表示为
()()12r r θθθ≤≤，12r r r ≤≤
那么
()()()
()
2
21
1,cos ,sin r r r r D
f x y dxdy rdr f r r d θθθθθ=???
?
（6）
（2）如果原点O 为积分区域D 的内点，D 的边界的极坐标方程为()r r θ=，则?可表示成
()0r r θ≤≤，0θπ≤≤
则有
()()()
20
,cos ,sin r D
f x y dxdy d f r r rdr π
θθθθ=???
?
（7）
（3）如果原点O 在积分区域D 的边界上，则?为
()0r r θ≤≤，αθβ≤≤
那么
y
x
D
1
D 图 8
()()()
,cos ,sin r D
f x y dxdy d f r r rdr βθα
θθθ=??
??
（8）
例7 计算22
1D
d I x y σ=--??
，其中D 为圆域：221x y +≤
分析 观察到积分区域为圆域，被积函数的形式为22()f x y +，且原点为D 的内点，故可采用极坐
标变换cos ,01
:sin ,02x r r T y r θθθπ=≤≤??=≤≤?
，可以达到简化被积函数的目的．
解 作变换
cos ,01
:sin ,02x r r T y r θθθπ
=≤≤??
=≤≤?， 则有
2
2
1D
d I x y
σ=--??
21
2
11d rdr r
πθ=-??
1
220
1r d π
θ??=--???
202d πθπ==?．
直线
例8 计算二重积分D
ydxdy ??，其中D 是由
2,0,2x y y =-==，以及曲线22x y y =--所围
成的平面区域． 积分区域D 与1D 分析 首先根据题意，画出积分区域，由于一起围成规则图形正方形，且1D 为半圆区域，根据极坐标变换简
化被积函数．
解 积分区域如图15所示，1D D +为正方形区域，1D 为半圆
区域，则有
1
1
D
D D D ydxdy ydxdy ydxdy +=-????
??，
而
1
22
2
4D D ydxdy dx dy -+==????，
又
1:02sin ,
2
D r π
θθπ≤≤≤≤
故原式
1
2sin 0
2
sin D ydxdy d r rdr πθ
πθ=?????
4
2
8sin 3d ππθθ=
? 281cos 212cos 23422
ππθ
π
θ+??=
-+=
?????． 2.4 利用广义极坐标变换计算一些二重积分
与极坐标类似，作如下广义极坐标变换：
cos ,0:sin ,02x ar r T y br θθθπ
=≤≤∞
??
=≤≤? 并且雅可比行列式(),J u v abr = 同样有
()(),cos ,sin D
f x y dxdy f ar br abrdrd θθθ?
=???? （9）
例9 计算22221D x y I c dxdy a b =--??，其中()22,01,0x D x y y b x a a ????
=≤≤-≤≤??????
分析 根据给出被积函数和积分区域的形式，我们可以确定采用广义极坐标变换
cos ,01
:sin ,02
x ar r T y br θπθθ=≤≤???=≤≤??，可以达到简化积分区域和被积函数的目的．
解 作广义极坐标变换
cos ,01
:sin ,02
x ar r T y br θπθθ=≤≤???=≤≤??，(),J u v abr =
由（9）知
22
221D
x y I c dxdy a b =--??122001d c r abrdr π
θ=-??
1
22
16
abc d r r dr abc ππ
θ=-=
??
3 某些特殊函数的计算
3.1 利用积分区域的对称性简化二重积分的计算
如果D 可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分1D 和2D ，那么有
如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值互为相反数，那么
(),0D
f x y d σ=??
如果(),f x y 在1D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，那么
()()()1
2
,2,2,D
D D f x y d f x y d f x y d σσσ
==??
????[3]
例10 计算2D
x ydxdy ??，其中D 为双曲线221x y -=及0,1y y ==所围成区域．
分析 首先根据题意，在坐标系中划出积分区域，观察到()2,f x y x y =为x 的偶函数，另一方面D 关于y 轴对称，且(),f x y 在1D 在2D 上各点处的值与其在2D 上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次积分计算．
解 积分区域如图11所示：1D 为D 在第一象限内的部分，D 关于y 轴对称，又()2,f x y x y =为x 的偶函数，由对称性有
1
222D
D x ydxdy x ydxdy =???? 宜选择先对x 后对y 的积分次序 故原式
1
2
2
2D
D x ydxdy x ydxdy =????2
1
120
2y dy x ydx +=??
()31220213y y dy =+?()()
5
21
20
22
142115
15
y =+=
-．
3.2 分段函数和带绝对值函数的二重积分计算
分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成若干个子区域，是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论．
被积函数带绝对值时，首先去掉绝对值号，同样也将积分区域划分成若干个子区域，使每个子区域上被积函数的取值不变号．
例11 求224D
x y dxdy +-??，其中D 为229x y +≤围成的区域．
分析 被积函数表达式含有绝对值，为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得
22224040x y x y +-≥+-≤及的两部分，在两部分上分别积分后，再相加．
解 为去绝对值号，将D 分成若干个子区域，即
x
y
O D1
D2
11
221:4D x y +≤ 222:49D x y ≤+≤
在1D 内 222244x y x y +-=-- 在2D 内 222244x y x y +-=+- 故原式
2
24D
x
y dxdy +-??
()()1
2
222244D D x y dxdy x y dxdy =--++-????，
利用极坐标计算有
()()1
22
2
2
20
448D x
y dxdy d r rdr πθπ--=-=????
()()2
23
2
2
20
1
25442
D x
y dxdy d r rdr πθπ+-=-=
???? 故原式2541
822
πππ=+
=． 例12 求(),D
f x y dxdy ??,其中
()(),0,0,0,x y e
x y f x y -+?>>?=???其他
,D 由
,,0x y a x y b y +=+==和y b a =+所围成
()0b a >>.
分析 首先划出积分区域,将区域D 分解为如图所示三个区域,根据被积函数的形式,分别计算出每个积分区域上的积分,再利用二重
积分对区域的可加性再相加即得.
解 如图12,并由(),f x y 表达式可得1
2
3D D D D =.
在1D 上有 (),0f x y =,则
()1
,0D f x y dxdy =??.
因而
()
()
2
3
x y x y D D I e
dxdy e
dxdy -+-+=+????
()
()0
a b x
a
b x
x y x y a x
a
dx e
dy dx e dy ---+-+-=+??
??
D1 D2
x
y
a
a+b D3 12
a
a b a b ae be e e ----=-+-