高中物理 第一章 抛体运动 2 运动的合成与分解学案 教科版必修2

2 运动的合成与分解

[学习目标] 1.理解合运动、分运动的概念，掌握运动的合成与分解的方法.2.能利用运动的合成与分解的知识，分析小船渡河问题和关联速度问题．

一、位移和速度的合成与分解

1．如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．

2．位移的合成与分解

一个物体同时发生两个方向的位移(分位移)，它的效果可以用合位移来替代；同样，这个物体运动的合位移也可以用两个分位移来替代．由分位移求合位移叫做位移的合成；由合位移求分位移叫做位移的分解．它们都遵循矢量合成的平行四边形定则．

3．速度的合成和分解遵循平行四边形定则．

二、运动的合成与分解的应用

1．运动的合成：由已知的分运动求合运动的过程．

2．运动的分解：由已知的合运动求分运动的过程．

3．运动的合成与分解实质是对物体的速度、加速度、位移等物理量进行合成与分解．

1．判断下列说法的正误．

(1)合运动一定是实际发生的运动．(√)

(2)合运动的速度一定大于分运动的速度．(×)

(3)某一分运动发生变化时，合运动一定也发生变化．(√)

(4)某一分运动发生变化时，其他分运动一定也发生变化．(×)

(5)因为两个分运动的各运动参量不同，所以完成两个分运动的时间也不一定相同．(×) 2．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的．设没有风时，雨滴着地的速度为6m/s.现在有风，风可给雨滴6 m/s的水平向西的速度，则此时雨滴着地的速度大小为__________m/s，方向________________________．

答案6 2 与水平向西方向夹角为45°斜向下

一、位移和速度的合成与分解

如图1所示，小明由码头A出发，准备送一批货物到河对岸的码头B.他驾船时始终保持船头指向与河岸垂直，但小明没有到达正对岸的码头B，而是到达了下游的C处，则：

图1

(1)此过程中小船参与了几个运动？

(2)小船的实际位移、垂直河岸的位移、随水漂流的位移有什么关系？

答案(1)小船参与了两个运动，即船在静水中的运动和船随水漂流的运动．

(2)如图所示，实际位移(合位移)和两分位移符合平行四边形定则．

1．合运动与分运动

(1)如果物体同时参与了几个运动，那么物体实际发生的运动就是合运动，参与的几个运动就是分运动．

(2)物体实际运动的位移、速度、加速度是它的合位移、合速度、合加速度，而分运动的位移、速度、加速度就是它的分位移、分速度、分加速度．

2．合运动与分运动的四个特性

等时性各分运动与合运动同时发生和结束，时间相同

等效性各分运动的共同效果与合运动的效果相同

同体性各分运动与合运动是同一物体的运动

独立性各分运动之间互不相干，彼此独立，互不影响

3.

(1)运动的合成与分解是指位移、速度、加速度的合成与分解．由于位移、速度、加速度都是矢量，其合成、分解遵循平行四边形(或三角形)定则．

(2)对速度v进行分解时，不能随意分解，应按物体的实际运动效果进行分解．

4．合运动性质的判断

分析两个直线运动的合运动性质时，应先根据平行四边形定则，求出合运动的合初速度v 和合加速度a ，然后进行判断． (1)是否为匀变速判断：

加速度或合外力???

??

变化：变加速运动

不变：匀变速运动

(2)曲、直判断：

加速度或合外力与速度方向?

??

??

共线：直线运动

不共线：曲线运动

例1 (多选)质量为2kg 的质点在xOy 平面内做曲线运动，在x 方向的速度－时间图像和y 方向的位移－时间图像如图2所示，下列说法正确的是( )

图2

A ．质点的初速度为5m/s

B ．质点所受的合外力为3N ，做匀变速曲线运动

C ．2s 末质点速度大小为6m/s

D ．2s 内质点的位移大小约为12m 答案 ABD

解析 由题图x 方向的速度－时间图像可知，在x 方向的加速度为1.5m/s 2

，x 方向受力F x ＝3 N ，由题图y 方向的位移－时间图像可知在y 方向做匀速直线运动，速度大小为v y ＝4 m/s ，

y 方向受力F y ＝0.因此质点的初速度为5m/s ，A 正确；受到的合外力恒为3N ，质点初速度方

向与合外力方向不在同一条直线上，故做匀变速曲线运动，B 正确；2s 末质点速度大小应该为v ＝62＋42m/s ＝213m/s ，C 错误；2s 内，x ＝v x 0t ＋12at 2＝9m ，y ＝8m ，合位移l ＝x 2＋y

2

＝145m ≈12m ，D 正确． 【考点】速度和位移的合成与分解 【题点】速度和位移的合成与分解

三步走求解合运动或分运动

1．根据题意确定物体的合运动与分运动．

2．根据平行四边形定则作出矢量合成或分解的平行四边形．

3．根据所画图形求解合运动或分运动的参量，若两个分运动相互垂直，则合速度的大小v ＝v x2＋v y2，合位移的大小l＝x2＋y2.

例2如图3所示，一玻璃管中注满清水，水中放一软木做成的木塞R(木塞的直径略小于玻璃管的直径，轻重大小适宜，使它在水中能匀速上浮)．将玻璃管的开口端用胶塞塞紧(图甲)．现将玻璃管倒置(图乙)，在木塞匀速上升的同时，将玻璃管水平向右由静止做匀加速直线运动．观察木塞的运动，将会看到它斜向右上方运动，经过一段时间，玻璃管移到图丙中虚线所示位置，木塞恰好运动到玻璃管的顶端，则能正确反映木塞运动轨迹的是( )

图3

答案 C

解析木塞参与了两个分运动，竖直方向在管中以v1匀速上浮，水平方向向右做匀加速直线运动，速度v2不断变大，将v1与v2合成，如图，由于曲线运动的速度沿着曲线上该点的切线方向，又由于v1不变，v2不断变大，故θ不断变小，即切线方向与水平方向的夹角不断变小，故A、B、D均错误，C正确．

【考点】合运动性质的判断

【题点】由两分运动性质判断合运动轨迹

合运动的运动性质及轨迹的判断方法

1．根据两分运动的加速度应用平行四边形定则求合加速度，判定合加速度是否变化，若变化，是变加速运动，若不变，一定是匀变速运动．

2．根据两分运动的初速度应用平行四边形定则求合初速度．

3．根据合初速度与合加速度的方向关系判定轨迹．若合加速度恒定不变，合初速度与合加速度在同一直线上，做匀变速直线运动；合初速度与合加速度不在同一直线上，做匀变速曲线运动．若合加速度变化，则根据合加速度的变化情况具体分析运动轨迹．

二、小船渡河问题

如图4所示：河宽为d，河水流速为v水，船在静水中的速度为v船，船M从A点开始渡河到对岸．

图4

(1)小船渡河时同时参与了几个分运动？

(2)怎样渡河时间最短？

(3)若v水＜v船，怎样渡河位移最短？

答案(1)参与了两个分运动，一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动．(即一个分运动是水的运动)．

(2)如图所示，设v船与河岸夹角为θ，船过河的有效速度为v船sinθ，时间t＝d

v船sinθ

，

当θ＝90°时，t＝d

v船

最小，即当船头垂直于河岸时，时间最短，与其它因素无关．

(3)当v船与v水的合速度与河岸垂直时，位移最短．此时v船cosθ＝v水，v合＝v船sinθ，t

＝

d

v船sinθ

.

1．小船的运动分析

小船渡河时，参与了两个分运动：一个是船相对水的运动(即船在静水中的运动)，一个是船随水漂流的运动．

2．小船渡河的两类常见问题 (1)渡河时间t

①渡河时间t 的大小取决于河岸的宽度d 及船沿垂直河岸方向上的速度大小，即t ＝d v ⊥

. ②若要渡河时间最短，只要使船头垂直于河岸航行即可，如图5所示，此时t ＝d

v 船

，船渡河的位移x ＝

d

sin θ

，位移方向满足tan θ＝

v 船

v 水

.

图5

(2)渡河位移最短问题

①若v 水

v 船sin θ

，船头与上游河岸夹角

满足v 船cos θ＝v 水，如图6甲所示．

图6

②若v 水>v 船，这时无论船头指向什么方向，都无法使船垂直河岸渡河，即最短位移不可能等于河宽d ，寻找最短位移的方法是：如图乙所示，从出发点A 开始作矢量v 水，再以v 水末端为圆心，以v 船的大小为半径画圆弧，自出发点A 向圆弧作切线即为船位移最小时的合运动的方向．这时船头与河岸夹角θ满足cos θ＝

v 船v 水，最短位移x 短＝d cos θ

，渡河时间t ＝d

v 船sin θ

.

例3 一小船渡河，河宽d ＝180m ，水流速度v 1＝2.5m/s.船在静水中的速度为v 2＝5 m/s ，则：

(1)欲使船在最短的时间内渡河，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ (2)欲使船渡河的航程最短，船头应朝什么方向？用多长时间？位移是多少？ 答案 (1)船头垂直于河岸 36s 905m

(2)船头偏向上游，与河岸夹角为60° 243s 180m 解析 (1)欲使船在最短时间内渡河，船头应朝垂直河岸方向． 当船头垂直河岸时，如图甲所示．

甲

时间t ＝d v 2＝

180

5

s ＝36 s ，

v 合＝v 12＋v 22＝

5

2

5 m/s 位移为x ＝v 合t ＝90 5 m.

(2)欲使船渡河航程最短，应使合运动的速度方向垂直河岸渡河，船头应朝上游与河岸成某一夹角β，

如图乙所示，有v 2sin α＝v 1，得α＝30°，所以当船头偏向上游与河岸夹角β＝60°时航程最短．

乙

最短航程x ′＝d ＝180 m ， 所用时间t ′＝

d

v 合′＝d v 2cos 30°＝180

5

2

3 s ＝2

4 3 s. 【考点】小船渡河模型分析 【题点】小船渡河问题的综合分析

1．要使船垂直于河岸横渡，即路程最短，应使v 船在水流方向的分速度和水流速度等大、反向，这种情况只适用于v 船>v 水时．

2．要使船渡河时间最短，船头应垂直指向河对岸，即v 船与水流方向垂直．

3．要区别船速v 船及船的合运动速度v 合，前者是发动机或划行产生的分速度，后者是合速度．

针对训练1 (多选)下列图中实线为河岸，河水的流动方向如图中v 的箭头所示，虚线为小船从河岸M 驶向对岸N 的实际航线．则其中可能正确的是( )

答案AB

解析小船渡河的运动可看做水流的运动和小船运动的合运动．虚线为小船从河岸M驶向对岸N的实际航线，即合速度的方向，小船合运动的速度方向就是其真实运动的方向，分析可知，实际航线可能正确的是A、B.

【考点】小船渡河模型分析

【题点】船头指向、速度方向与渡河轨迹问题

三、关联速度分解问题

关联速度分解问题指物体拉绳(杆)或绳(杆)拉物体的问题(下面为了方便，统一说“绳”)：

(1)物体的实际速度一定是合速度，分解时两个分速度方向应取沿绳方向和垂直绳方向．

(2)由于绳不可伸长，一根绳两端物体沿绳方向的速度分量大小相等．

例4如图7所示，用船A拖着车B前进时，若船匀速前进，速度为v A，当OA绳与水平方向夹角为θ时，则：(与B相连的绳水平且定滑轮的质量及摩擦不计)

图7

(1)车B运动的速度v B为多大？

(2)车B是否做匀速运动？

答案(1)v A cosθ(2)不做匀速运动

解析(1)把v A分解为一个沿绳子方向的分速度v1和一个垂直于绳的分速度v2，如图所示，所以车前进的速度v B大小应等于v A的分速度v1，即v B＝v1＝v A cosθ.

(2)当船匀速向前运动时，θ角逐渐减小，车速v B将逐渐增大，因此，车B不做匀速运动．【考点】关联速度的分解模型

【题点】绳关联物体速度的分解

“关联”速度的分解规律

1．分解依据：

(1)物体的实际运动就是合运动．

(2)由于绳、杆不可伸长，所以绳、杆两端所连物体的速度沿着绳、杆方向的分速度大小相同．

2．分解方法：将物体的实际速度分解为垂直于绳、杆和沿绳、杆的两个分量． 3．常见的速度分解模型(如图8所示)．

图8

针对训练2 如图9所示，A 物块以速度v 沿竖直杆匀速下滑，经细绳通过光滑定滑轮拉动物体B 在水平方向上运动．当细绳与水平面夹角为θ时，求物体B 运动的速度v B 的大小．

图9

答案 v sin θ

解析 物块A 沿杆向下运动，有使绳子伸长和使绳子绕定滑轮转动的两个效果，因此绳子端点(即物块A )的速度可分解为沿绳子方向和垂直于绳子方向的两个分速度，如图所示．其中物体B 的速度大小等于沿绳子方向的分速度v B . 则有sin θ＝v B

v

，因此v B ＝v sin θ.

【考点】关联速度的分解模型

【题点】绳关联物体速度的分析

1．(合运动性质的判断)(多选)关于运动的合成与分解，下列说法中正确的是( ) A．物体的两个分运动是直线运动，则它们的合运动一定是直线运动

B．若两个互成角度的分运动分别是匀速直线运动和匀加速直线运动，则合运动一定是曲线运动

C．合运动与分运动具有等时性

D．速度、加速度和位移的合成都遵循平行四边形定则

答案BCD

【考点】合运动性质的判断

【题点】由两分运动性质判断合运动轨迹

2．(合运动、分运动的特点)雨滴由静止开始下落，遇到水平方向吹来的风，下述说法中正确的是( )

①风速越大，雨滴下落时间越长②风速越大，雨滴着地时速度越大③雨滴下落时间与风速无关④雨滴着地速度与风速无关

A．①②B．②③C．③④D．①④

答案 B

解析将雨滴的运动分解为水平方向和竖直方向，两个分运动相互独立，雨滴下落时间与竖直高度有关，与水平方向的风速无关，故①错误，③正确．风速越大，落地时，雨滴水平方向分速度越大，合速度也越大，故②正确，④错误，故选B.

【考点】合运动与分运动的特点

【题点】运动的等时性和独立性

3．(两分运动的合成)(多选)一质量为2kg的质点在如图10甲所示的xOy平面内运动，在x 方向的速度－时间(v－t)图像和y方向的位移－时间(y－t)图像分别如图乙、丙所示，由此可知( )

图10

A．t＝0时，质点的速度大小为12m/s

B．质点做加速度恒定的曲线运动

C ．前2s ，质点所受的合力大小为10N

D ．t ＝1s 时，质点的速度大小为7m/s 答案 BC

解析 由v －t 图像可知，质点在x 方向上做匀减速运动，初速度大小为12m/s ，而在y 方向上，质点做速度大小为5 m/s 的匀速运动，故在前2s 内质点做匀变速曲线运动，质点的初速度为水平初速度和竖直初速度的合速度，则初速度大小：v 0＝122

＋52

m/s ＝13 m/s ，故A 错误，B 正确；由v －t 图像可知，前2s ，质点的加速度大小为：a ＝Δv Δt ＝5m/s 2

，根据

牛顿第二定律，前2 s 质点所受合外力大小为F ＝ma ＝2×5 N ＝10 N ，故C 正确；t ＝1 s 时，x 方向的速度大小为7 m/s ，而y 方向速度大小为5m/s ，因此质点的速度大小为72

＋52

m/s ＝74m/s ，故D 错误． 【考点】速度和位移的合成与分解 【题点】速度的合成与分解

4．(关联速度问题)(多选)如图11所示，一人以恒定速度v 0通过光滑轻质定滑轮竖直向下拉绳使小车在水平面上运动，当运动到图示位置时，细绳与水平方向成45°角，则此时( )

图11

A ．小车运动的速度为12v 0

B ．小车运动的速度为2v 0

C ．小车在水平面上做加速运动

D ．小车在水平面上做减速运动 答案 BC

解析 将小车速度沿着绳子方向与垂直绳子方向进行分解，如图所示，

人拉绳的速度与小车沿绳子方向的分速度大小是相等的，根据三角函数关系v cos45°＝v 0，

则v ＝

v 0

cos45°

＝2v 0，B 正确，A 错误．随着小车向左运动，小车与水平方向的夹角越来越

大，设夹角为α，由v ＝v 0

cos α

知v 越来越大，则小车在水平面上做加速运动，C 正确，D 错误．

【考点】关联速度的分解模型 【题点】绳关联物体速度的分解

5．(小船渡河问题)小船在200m 宽的河中横渡，水流速度是2m/s ，小船在静水中的航速是4 m/s.求：

(1)要使小船渡河耗时最少，应如何航行？最短时间为多少？ (2)要使小船航程最短，应如何航行？最短航程为多少？ 答案 (1)船头正对河岸航行耗时最少，最短时间为50s (2)船头偏向上游，与河岸成60°角，最短航程为200m

解析 (1)如图甲所示，船头始终正对河岸航行时耗时最少，即最短时间t min ＝d v 船＝2004

s ＝50s.

(2)如图乙所示，航程最短为河宽d ，即最短航程为200m ，应使v 合′的方向垂直于河岸，故船头应偏向上游，与河岸成α角，有cos α＝v 水v 船＝1

2

，解得α＝60°. 【考点】小船渡河模型分析 【题点】小船渡河问题的综合分析

一、选择题

考点一 运动的合成与分解

1．关于合运动、分运动的说法，正确的是( ) A ．合运动的位移为分运动位移的矢量和 B ．合运动的位移一定比其中的一个分位移大 C ．合运动的速度一定比其中的一个分速度大 D ．合运动的时间一定比分运动的时间长

答案 A

解析位移是矢量，其运算遵循平行四边形定则，A正确；合运动的位移可大于分位移，也可小于分位移，还可等于分位移，B错误；同理可知C错误；合运动和分运动具有等时性，D错误．

【考点】合运动与分运动的特点

【题点】合运动与分运动的关系

2．如图1所示，在一次救灾工作中，一架离水面高为H m、沿水平直线飞行的直升飞机A，用悬索(重力可忽略不计)救护困在湖水中的伤员B，在直升飞机A和伤员B以相同的水平速率匀速运动的同时，悬索将伤员吊起．设经t s时间后，A、B之间的距离为l m，且l＝H－t2，则在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是下列哪个图( )

图1

答案 A

解析根据l＝H－t2，可知伤员B在竖直方向上是匀加速上升的，悬索中拉力大于重力，即表示拉力F的线段要比表示重力G的线段长，伤员在水平方向匀速运动，所以F、G都在竖直方向上；向上加速，运动轨迹向上偏转，只有A符合，所以在这段时间内关于伤员B的受力情况和运动轨迹正确的是A.

【考点】合运动性质的判断

【题点】结合表达式判断合运动轨迹和合运动性质

3．(多选)在杂技表演中，猴子沿竖直杆向上做初速度为零、加速度为a的匀加速运动，同时人顶着直杆以速度v0水平匀速移动，经过时间t，猴子沿杆向上移动的高度为h，人顶杆沿水平地面移动的距离为x，如图2所示．关于猴子的运动情况，下列说法中正确的是( )

图2

A．相对地面的运动轨迹为直线

B．相对地面做匀变速曲线运动

C．t时刻猴子相对地面的速度大小为v0＋at

D．t时间内猴子相对地面的位移大小为x2＋h2

答案BD

解析猴子在水平方向上做匀速直线运动，竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，猴子相对地面的运动轨迹为曲线；因为猴子受到的合外力恒定(加速度恒定)，所以相对地面猴子做的是匀变速曲线运动；t时刻猴子对地的速度大小为v t＝v02＋(at)2；t时间内猴子对地的位移大小为l＝x2＋h2.

【考点】速度和位移的合成与分解

【题点】速度和位移的合成与分解

4．物体在直角坐标系xOy所在平面内由O点开始运动，其沿坐标轴方向的两个分速度随时间变化的图像如图3所示，则对该物体运动过程的描述正确的是( )

图3

A．物体在0～3s做匀变速直线运动

B．物体在0～3s做匀变速曲线运动

C．物体在3～4s做变加速直线运动

D．物体在3～4s做匀变速曲线运动

答案 B

解析物体在0～3s内，x方向做v x＝4m/s的匀速直线运动，y方向做初速度为0、加速度a y＝1 m/s2的匀加速直线运动，合初速度v0＝v x＝4m/s，合加速度a＝a y＝1 m/s2，所以物体的合运动为匀变速曲线运动，如图甲所示，A错误，B正确．

物体在3～4s内，x方向做初速度v x＝4m/s、加速度a x＝－4 m/s2的匀减速直线运动，y方向做初速度v y＝3m/s、加速度a y＝－3 m/s2的匀减速直线运动，合初速度大小v＝5m/s，合加速度大小a＝5 m/s2，v、a方向恰好相反，所以物体的合运动为匀减速直线运动，如图乙所示，C、D错误．

【考点】合运动性质的判断

【题点】由两分运动性质判断合运动性质

考点二小船渡河问题

5．小船以一定的速率垂直河岸向对岸划去，当水流匀速时，它渡河的时间、发生的位移与水速的关系是( )

A．水速小时，位移小，时间也小

B．水速大时，位移大，但时间小

C．水速大时，位移大，但时间不变

D．位移、时间大小与水速大小无关

答案 C

解析小船渡河时参与了顺水漂流和垂直河岸横渡两个分运动，由运动的独立性和等时性知，小船的渡河时间决定于垂直河岸的分运动，等于河的宽度与垂直河岸的分速度之比，由于船以一定速率垂直河岸向对岸划去，故渡河时间一定．水速大，水流方向的分位移就大，合位移也就大，反之则合位移小．

【考点】小船渡河模型分析

【题点】小船渡河的最短时间问题

6．一只小船渡河，运动轨迹如图4所示．水流速度各处相同且恒定不变，方向平行于岸边；小船相对于静水分别做匀加速、匀减速、匀速直线运动，船相对于静水的初速度大小均相同、方向垂直于岸边，且船在渡河过程中船头方向始终不变．由此可以确定( )

图4

A．船沿AD轨迹运动时，船相对于静水做匀加速直线运动

B．船沿三条不同路径渡河的时间相同

C．船沿AB轨迹渡河所用的时间最短

D．船沿AC轨迹到达对岸前瞬间的速度最大

答案 D

解析因为三种运动船的船头垂直河岸，相对于静水的初速度相同，垂直河岸方向运动性质不同，沿水流方向运动相同，河的宽度相同，渡河时间不等，B错误；加速度的方向指向轨迹的凹侧，依题意可知，AC径迹是匀加速运动，AB径迹是匀速运动，AD径迹是匀减速运动，从而知道AC径迹渡河时间最短，A、C错误；沿AC轨迹在垂直河岸方向是加速运动，故船到达对岸前瞬间的速度最大，D正确．

【考点】小船渡河模型分析

【题点】小船渡河问题的综合分析

7．(多选)一快艇从离岸边100m 远的河流中央向岸边行驶．已知快艇在静水中的速度－时间图像如图5甲所示；河中各处水流速度相同，且速度－时间图像如图乙所示．则( )

图5

A ．快艇的运动轨迹一定为直线

B ．快艇的运动轨迹一定为曲线

C ．快艇最快到达岸边，所用的时间为20s

D ．快艇最快到达岸边，经过的位移为100m 答案 BC

解析 两分运动为一个是匀加速直线运动，另一个是匀速直线运动，知合速度的方向与合加速度的方向不在同一直线上，合运动为曲线运动，故A 错误，B 正确．当快艇船头垂直于河岸时，时间最短，垂直于河岸方向上的加速度a ＝0.5m/s 2

，由d ＝12at 2，得t ＝20s ，而位移

大于100m ，选项C 正确，D 错误． 【考点】小船渡河模型分析 【题点】小船渡河的最短时间问题

8．小船横渡一条河，船头始终垂直于河岸且船相对于静水的速度大小、方向都不变，已知小船的运动轨迹如图6所示，则( )

图6

A ．水流速度恒定

B ．由A 到B 水速先增大后减小

C ．越接近B 岸水速越小

D ．越接近B 岸水速越大 答案 C

解析 因船头始终垂直于河岸且船相对于静水的速度大小、方向都不变，所以船在垂直河岸方向上做匀速运动，则相同时间内船沿垂直河岸方向运动的距离是相等的(如图中的竖直虚线所示)，但越靠近B 岸，沿水流方向的间隔越来越小(如图中的粗实线所示)，说明越靠近

B 岸，水流速度越小，故

C 正确，A 、B 、

D 错误．

考点三 绳关联速度问题

9．(多选)如图7所示，人在岸上用轻绳通过光滑轻质定滑轮拉船，不计空气阻力，与人相连的绳水平，已知船的质量为m ，水的阻力恒为f ，当轻绳与水面的夹角为θ时，船的速度为v ，人的拉力大小为F ，则此时( )

图7

A ．人拉绳行走的速度为v cos θ

B ．人拉绳行走的速度为v

cos θ

C ．船的加速度为F cos θ－f

m D ．船的加速度为F －f

m

答案 AC

解析 船的运动产生了两个效果：一是使滑轮与船间的绳缩短，二是使绳绕滑轮顺时针转动，因此将船的速度按如图所示进行分解，人拉绳行走的速度v 人＝v ∥＝v cos θ，选项A 正确，B 错误；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉力大小为F ，与水平方向成θ角，因此F cos

θ－f ＝ma ，解得a ＝F cos θ－f

m

，选项C 正确，D 错误．

【考点】关联速度的分解模型 【题点】绳关联物体速度的分解

10.人用绳子通过光滑轻质定滑轮拉物体A ，A 穿在光滑的竖直杆上，当以速度v 0匀速地拉绳使物体A 到达如图8所示位置时，绳与竖直杆的夹角为θ，则物体A 实际运动的速度是( )

图8

A ．v 0sin θ

B.

v 0

sin θ

C ．v 0cos θ D.

v 0

cos θ

答案 D

解析 由运动的合成与分解可知，物体A 参与两个分运动：一个是沿着与它相连接的绳子的运动，另一个是垂直于绳子斜向上的运动．而物体A 的实际运动轨迹是沿着竖直杆向上的，这一轨迹所对应的运动就是物体A 的合运动，它们之间的关系如图所示．由几何关系可得v ＝

v 0

cos θ

，所以D 正确．

【考点】关联速度的分解模型 【题点】绳关联物体速度的分解

11．如图9所示，有两条位于同一竖直平面内的水平轨道，轨道上有两个物体A 和B ，它们通过一根绕过光滑轻质定滑轮O 的不可伸长的轻绳相连接，物体A 以速率v A ＝10m/s 匀速运动，在绳与轨道成30°角时，物体B 的速度大小v B 为( )

图9

A ．5m/s B.53

3m/s C ．20m/s D.203

3

m/s 答案 D

解析 物体B 的运动可分解为沿绳BO 方向靠近定滑轮O 使绳BO 段缩短的运动和绕定滑轮(方向与绳BO 垂直)的运动，故可把物体B 的速度分解为如图所示的两个分速度，由图可知vB

∥＝v B cos α，由于绳不可伸长，有vB ∥＝v A ，故v A ＝v B cos α，所以v B ＝v A cos α＝203

3

m/s ，

选项D 正确．

【考点】关联速度的分解模型

【题点】绳关联物体速度的分解 二、非选择题

12．(运动的合成与分解)一物体在光滑水平面上运动，它在相互垂直的x 方向和y 方向上的两个分运动的速度－时间图像如图10所示．

图10

(1)计算物体的初速度大小； (2)计算物体在前3s 内的位移大小． 答案 (1)50m/s (2)3013m

解析 (1)由题图可看出，物体沿x 方向的分运动为匀速直线运动，沿y 方向的分运动为匀变速直线运动．x 方向的初速度v x 0＝30m/s ，y 方向的初速度v y 0＝－40 m/s ；则物体的初速度大小为

v 0＝v x 02＋v y 02＝50m/s.

(2)在前3s 内，x 方向的分位移大小

x 3＝v x ·t ＝30×3m ＝90m y 方向的分位移大小y 3＝

|v y 0|2·t ＝40

2

×3m ＝60m ， 故x ＝x 32

＋y 32

＝902

＋602

m ＝3013m.

【考点】运动的合成和分解与运动图像的综合应用 【题点】运动的合成与分解与运动图像的综合应用

13.(关联速度问题)一辆车通过一根跨过光滑轻质定滑轮的轻绳提升一个质量为m 的重物，开始车在滑轮的正下方，绳子的端点离滑轮的距离是H ，此时轻绳恰好伸直．车由静止开始向左做匀加速直线运动，经过时间t 绳子与水平方向的夹角为θ，如图11所示．试求：

图11

(1)车向左运动的加速度的大小； (2)重物m 在t 时刻速度的大小．