高考数学二轮专题复习三角函数
高考数学二轮专题复习
三角函数
IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】
三
角函数
【考纲解读】
1.了解任意角的概念,了解弧度制的概念,能实行弧度与角度的互化;理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出
2
πα±,πα±的正弦、余弦、正切的诱
导公式;理解同角的三角函数的基本关系式:sin 2x+cos 2x=1,
sin tan cos x
x x
=. 3.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx 的图象,了解三角函数的周期性;2.理解正弦函数,余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x 轴的交点等),理解正切函数在区间(-
2π,2
π
)内的单调性. 4.了解函数sin()y A x ω?=+的物理意义;能画出sin()y A x ω?=+的图象,了解
,,A ω?对函数图象变化的影响.
5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦和正切公式,了解它们的内在联系.
6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;能使用上述公式实行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
【考点预测】
从近几年高考试题来看,对三角函数的考查:一是以选择填空的形式考查三角函数的性质及公式的应用,一般占两个小题;二是以解答题的形式综合考查三角恒等变换、sin()y A x ω?=+的性质、三角函数与向量等其他知识综合及三角函数为背景的实际问题等.
预测明年,考查形式不变,选择、填空题以考查三角函数性质及公式应用为主,解答题将会以向量为载体,考查三角函数的图象与性质或者与函数奇偶性、周期性、最值等相结合,以小型综合题形式出现.
【要点梳理】
1.知识点:弧度制、象限角、终边相同的角、任意角三角函数的定义、同角三角函数基本关系式、诱导公式、三角函数线、三角函数图象和性质;和、差、倍角公式,正、余弦定理及其变形公式.
2.三角函数中常用的转化思想及方法技巧:
(1)方程思想:sin cos αα+,sin cos αα-,sin cos αα三者中,知一可求二; (2)“1”的替换:22sin cos 1αα+=; (3)切弦互化:弦的齐次式可化为切;
(4)角的替换:2()()ααβαβ=++-,()2
2
αβ
αβ
ααββ+-=+-=+
;
(5)公式变形:21cos 2cos 2αα+=
,21cos 2sin 2
α
α-=, tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ+=+-;
(6)构造辅助角(以特殊角为主):
sin cos )(tan )b
a b a
ααα??+=+=.
3.函数sin()y A x ω?=+的问题: (1)“五点法”画图:分别令0x ω?+=、
2
π
、π、32π、2π,求出五个特殊点;
(2)给出sin()y A x ω?=+的部分图象,求函数表达式时,比较难求的是?,一般从“五点法”中取靠近y 轴较近的已知点代入突破; (3)求对称轴方程:令x ω?+=2
k π
π+
()k Z ∈,
求对称中心:令x ω?+=k π()k Z ∈;
(4)
求单调区间:分别令22
k x π
πω?-
≤+≤22
k π
π+
()k Z ∈;
22
k x π
πω?+
≤+≤322
k π
π+
()k Z ∈,同时注意A 、ω符号. 4.解三角形:
(1)基本公式:正弦、余弦定理及其变形公式;三角形面积公式; (2)判断三角形形状时,注意边角之间的互化. 【考点在线】
考点1三角函数的求值与化简 此类题目主要有以下几种题型:
⑴考查使用诱导公式和逆用两角和的正弦、余弦公式化简三角函数式水平,以及求三角函数的值的基本方法.
⑵考查使用诱导公式、倍角公式,两角和的正弦公式,以及利用三角函数的有界性来求的值
故f (x )的定义域为.Z ,2|R ?
??
?
??∈-
≠∈k k x x π
π (Ⅱ)由已知条件得.54
531cos 1sin 2
2
-??
? ??-=-=a a
从而)2
sin()
42cos(21)(ππ
+-
+=
a a a f =a a a cos 4sin 2sin 4cos cos 21?
?? ??
++ππ
=a a a a a a a cos cos sin 2cos 2cos sin 2cos 12+=
++=.5
14)sin (cos 2=+a a 【名师点睛】本小题主要考查三角函数的定义域和两角差的公式,同角三角函数的关系等基本知识,考查运算和推理水平,以及求角的基本知识..
【备考提示】:熟练掌握三角函数公式与性质是解答好本类题的关键.
练习1:(2019年高考福建卷文科9)若α∈(0,
2π),且2sin α+1
cos 24
α=,则tan α的值等于()
23
D
【解析】因为α∈(0,
2π),且2sin α+1
cos 24α=,所以2sin α+221
cos sin 4
αα-=,
即21cos 4α=,所以cos α=12或12-(舍去),所以3π
α=,即tan α=,选D.
考点2考查sin()y A x ω?=+的图象与性质
考查三角函数的图象和性质的题目,是高考的重点题型.此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活使用,会用数形结合的思想来解题.
【备考提示】:三角函数的图象及性质是高考考查的热点内容之一,熟练其基础知识是解答好本类题的关键.
练习2.(2019年高考江苏卷9)函数??,,(),sin()(w A wx A x f +=是常数,
)0,0>>w A 的部分图象如图所示,则____)0(=f
【答案】
2
【解析】由图象知:函数()sin()f x A wx φ=+的周期为74()123
π
ππ-=,而周期
2
T w π=,所以2w =,由五点作图法知:23πφπ?+=,解得3
π
φ=,又,所
以函数())3f x x π
=+,所以(0)f =3π=考点3三角函数与向量等知识的综合
三角函数与平面向量的综合,解答过程中,向量的运算往往为三角函数提供等量条件. 例3.(2009年高考江苏卷第15题)设向量(4cos ,sin ),(sin ,4cos ),(cos ,4sin )a b c ααββββ===-(1)若a 与2b c -垂直,求tan()αβ+的值;(2)求||b c +的最大值;(3)若tan tan 16αβ=,求证:a ∥b .【解析】
【名师点睛】本小题主要考查向量的基本概念,同时考查同角三角函数的基本关系式、二倍角的正弦、两角和的正弦与余弦公式,考查运算和证明得基本水平. 【备考提示】:熟练三角公式与平面向量的基础知识是解决此类问题的关键. 练习3.(天津市十二区县重点中学2019年高三联考二理)(本小题满分13分)
已知向量2(3sin ,1),(cos ,cos )444
x x x
m n ==,()f x m n =?.
(I )若()1f x =,求cos(
)3
x π
+值;
(II )在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,且满足(2)cos cos a c B b C -=, 求函数()f A 的取值范围.
【解析】(I )()f x m n =?=2cos cos 444x x x
+----------------1分
=11
cos 22222x x ++----------------3分 =1
sin()262
x π++----------------4分
∵()1f x =∴1sin()262x π+=∴2cos()12sin ()326x x ππ+=-+=1
2
-------6分
(II )∵(2)cos cos a c B b C -=,
由正弦定理得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=-----------------8分
∴2sin sin cos sin cos AcosB C B B C -=
∴2sin cos sin()A B B C =+-----------------9分 ∵A B C π++=∴sin()sin B C A +=,且sin 0A ≠
∴1cos ,2B =∵0B <<π∴3B π
=----------------10分
∴203A π
<<----------------11分
∴1,sin()16262226A A ππππ
<+<<+<----------------12分
∴131sin()2622A π<++<∴()f A =1
sin()262A π++3(1,)2∈---13分
考点4.解三角形
解决此类问题,要根据已知条件,灵活使用正弦定理或余弦定理,求边角或将边角互化.
例4.(2019年高考安徽卷文科16)在ABC 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 所对的
边长,12cos()0B C ++=,求边BC 上的高. 【解析】∵A +B +C =180°,所以B +C =A , 又12cos()0B C ++=,∴12cos(180)0A +-=, 即12cos 0A -=,1
cos 2
A =
,又0° 在△ABC 中,由正弦定理 sin sin a b A B = 得sin 2sin 2b A B a ===, 又∵b a <,所以B <A ,B =45°,C =75°, ∴BC 边上的高AD =AC ·sinC 752sin(4530)=+ 45cos30cos 45sin 30)=+112( )22222 =+=. 【名师点睛】本题考察两角和的正弦公式,同角三角函 数的基本关系,利用内角和定理、正弦定理、余弦定理以及三角形边与角之间的大小对应关系解三角形的水平,考察综合运算求解水平. 【备考提示】:解三角形问题所必备的知识点是三大定理“内角和定理、正弦定理、余弦定理”具体的思路是化统一的思想“统一成纯边或纯角问题”即可. 练习4.(2019年高考山东卷文科17)在ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知cos A-2cosC 2c-a = cos B b . (I ) 求sin sin C A 的值; (II ) 若cosB=1 4 ,5b ABC 的周长为,求的长. 【解析】(1)由正弦定理得2sin ,a R A =2sin ,b R B =2sin ,c R C =所以 cos A-2cosC 2c-a = cos B b =2sin sin sin C A B -,即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-,即有sin()2sin()A B B C +=+,即 sin 2sin C A =,所以 sin sin C A =2. (2)由(1)知sin sin C A =2,所以有2c a =,即c=2a,又因为ABC ?的周长为5,所以b=5-3a,由 余弦定理得: 2222cos b c a ac B =+-,即22221 (53)(2)44 a a a a -=+-?,解得a=1,所以b=2. 【易错专区】 问题:三角函数的图象变换 例.(2019年高考全国卷理科5)设函数()cos (0)f x x ωω=>,将()y f x =的图像 向右平移3 π 个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则ω的最小值等于() (A )13 (B )3(C )6(D )9 【答案】C 【解析】()cos[()]cos 33f x x x ππωω-=-=即cos()cos 3 x x ωπ ωω-=, 22()663 k k Z k ωπ ππω∴- =+∈?=--z 则1k =-时min 6ω=故选C. 【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移,在平移时,应注意x 的系数. 【备考提示】:三角函数的图象变换是高考的热点,必须熟练此类问题的解法. 【考题回放】 1.(2019年高考山东卷理科3)若点(a,9)在函数3x y =的图象上,则tan=6 a π 的值为() (A )0(B)3 【答案】D 【解析】由题意知:9=3a ,解得a =2,所以2tan tan tan 663 a πππ ===,故选D. 2.(2019年高考山东卷理科6)若函数()sin f x x ω=(ω>0)在区间0,3π?? ???? 上单调递增, 在 【答案】C. 【解析】若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立,则()sin()163 f ππ ?=+=,所以 ,32k k Z ππ?π+=+ ∈,,6k k Z π?π=+ ∈.由()()2 f f π π>,(k Z ∈),可知 sin()sin(2)π?π?+>+,即sin 0?<,所以72,6k k Z π ?π=+∈,代入 ()sin(2)f x x ?=+,得7()sin(2)6 f x x π =+,由7222262k x k πππππ- ++,得563k x k ππππ--,故选C. 4.(2019年高考辽宁卷理科4)△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a ,b ,c ,asinAsinB+bcos 22a 则 b a =() (A)232232 【答案】D 【解析】由正弦定理得,sin 2AsinB+sinBcos 22sinA ,即sinB (sin 2A+cos 2A )2, 故sinA ,所以 b a =; 5.(2019年高考辽宁卷理科7)设sin 1 +=43 πθ(),则sin 2θ=() (A)79-(B)19-(C)19(D)79 【答案】A 【解析】217sin 2cos 22sin 121.2499ππθθθ??? ?=-+=+-=?-=- ? ???? ? 6.(2019年高考浙江卷理科6)若02πα<<,02πβ-<<,1 cos()43πα+=, cos()423πβ-=cos()2β α+=() (A ) 3(B )3-(C )9(D ) 【答案】C 【解析】()()2442β ππβαα+ =+--cos()cos[()()]2442 βππβ αα∴+=+-- sin()sin()442 ππβ α+++1333399=?+==,故选C. 7.(2019年高考全国新课标卷理科5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与横轴的正半轴重合,终边在直线x y 2=上,则,=θ2cos () A 54- B 53- C 32 D 4 3 【答案】B 【解析】因为该直线的斜率是θtan 2==k ,所以,53 tan 1tan 1cos 2 2-=+-=θ θθ. 8.(2019年高考全国新课标卷理科11)设函数 ()sin()cos()(0,)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则() (A )()f x 在0,2π?? ???单调递减(B )()f x 在3, 44ππ ?? ??? 单调递减 (C )()f x 在0,2π?? ??? 单调递增 (D )()f x 在3, 44 ππ ?? ??? 单调递增 【答案】A 【解析】函数解析式可化为)4sin(2)(π?ω++=x x f ,2,2=∴=ωπωπ T 又因为该函数是偶函数,所以,x x f 2cos 2)(4=∴=π ?,所以,该函数在?? ? ??2,0π上是减函数。故选A 9.(2019年高考天津卷理科6)如图,在△ABC 中,D 是边AC 上的点,且 ,2,2AB AD AB BC BD ===,则sin C 的值为() A C 【答案】D 【解析】设BD a =,则由题意可得:2,BC a =AB AD == ,在ABD ?中,由余弦定理得:222 cos 2AB AD BD A AB AD +-== ?2 2322 a a ?-=13 ,所以 sin A = 3,在△ABC 中,由正弦定理得,sin sin AB BC C A = ,所以 2sin 3 C =,解得sin C D. 10.(2019年高考湖北卷理科3)已知函数()3sin cos ,f x x x x R =-∈,若()1f x ≥,则x 的取值范围为() A.{|,}3 x k x k k z π πππ+≤≤+∈ B.{|22,}3 x k k k z π πππ+≤+∈ C.5{|,}6 6 x k x k k z π π ππ+≤≤+ ∈ D.5{|22,}6 6 x k x k k z π π ππ+ ≤≤+ ∈ 【答案】B 【解析】由3sin cos 1x x -≥,即1sin()6 2 x π -≥,解得522,6 6 6 π π π ππ+ ≤- ≤+ ∈k x k k z , 即22,3 k x k k z π πππ+ ≤≤+∈,所以选B. 11.(2019年高考陕西卷理科6)函数()cos f x x x =-在[0,)+∞内() (A )没有零点(B )有且仅有一个零点 (C )有且仅有两一个零点(D )有无穷个零点 【答案】B 【解析】令1y x =,2cos y x =,则它们的图像如图故选B 12.(2019年高考重庆卷理科6)若ABC ?的内角,,A B C 所对的边,,a b c 满足 22()4a b c +-=,且060C =,则ab 的值为() (A )4 3 (B)83- (C)1(D)2 3 【答案】A 【解析】由22()4a b c +-=得22224a b ab c ++-=,由060C =得 222421cos 222a b c ab C ab ab +--===,解得4 3 ab =. 13.(2019年高考四川卷理科6)在?ABC 中.222sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是() (A)(0, 6π](B)[6π,π)(c)(0,3π](D)[3 π ,π) 【答案】C 【解析】由正弦定理,得222a b c bc ≤+-,由余弦定理,得2222cos a b c bc A =+-,则1cos 2A ≥ ,0A π<<,03 A π∴<<. 14.(2019年高考辽宁卷理科16)已知函数f (x )=Atan (ωx+?)(ω>0, 2π<ω),y=f (x )的部分图像如下图,则f (24 π )=____________. 【解析】函数f(x)的周期是32882 πππ ??-= ???,故22 πωπ==,由tan 1, 3tan 20, 8A A ?π?=??????+= ????? 得,14A π?==.所以()tan 24f x x π? ?=+ ??? ,故 tan 224244f πππ???? =?+= ? ????? 15.(2019年高考安徽卷理科14)已知ABC ?的一个内角为120o ,并且三边长构成公 差为4 的等差数列,则ABC ?的面积为_______________ 【答案】 【解析】设三角形的三边长分别为4,,4a a a -+,最大角为θ,由余弦定理得 222(4)(4)2(4)cos120a a a a a +=+---,则10a =,所以三边长为6,10,14.△ABC 的面积为1 610sin120152 S =???=16.(2019 年高考全国新课标卷理科16)在ABC ?中,60,B AC ==2AB BC +的最大值为。 【答案】72 【解析】在三角形ABC 中,由正弦定理得 260sin 3 sin sin =? ==C BC A AB 其中,5 3 tan = ?,又因为R A ∈,所以最大值为72 17.(2019年高考浙江卷理科18)(本题满分14分)在ABC 中,角..A B C 所对的边 分别为a,b,c 已知()sin sin sin ,A C p B p R +=∈且214ac b =.(Ⅰ)当5 ,1 4 p b ==时,求,a c 的值;(Ⅱ)若角B 为锐角,求p 的取值范围; 【解析】(Ⅰ)由正弦定理得sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R = == ,55 22424 a c b a c R R R ∴ +=?+=即① 又211,44ac b ac =∴=②联立①②解得11411 4a a c c =?? =?? ?? =??=??或 (Ⅱ)由(Ⅰ)可知a c pb +=,由余弦定理得 222cos b a c ac B =+-22()22cos a c ac ac B =+-- 222211cos 22p b b b B =--即231 cos 22p B =+(0,1)∈cosB 23 (,2)2 p ∴ ∈由题设知0p > 所以 2 p <<18.(2019年高考天津卷理科15)(本小题满分13分) 已知函数()tan(2),4f x x π =+, (Ⅰ)求()f x 的定义域与最小正周期; (Ⅱ)设0,4πα?? ∈ ???,若()2cos 2,2f αα=求α的大小. 【解析】(Ⅰ)由2,,4 2 x k k Z π π π+ ≠+ ∈得,,8 2 k x k Z π π ≠ + ∈所以()f x 的定义域为 |,82k x R x k Z ππ?? ∈≠+∈? ??? .()f x 的最小正周期为2π. (Ⅱ)由()2cos 2,2f αα=得tan()4πα+2cos 2,α=即 22sin()42(cos sin )cos()4π αααπα+=-+, (2)若a 2+b 2=4(a+b)-8,求边c 的值 【解析】由22sin cos 12sin 1sin 2222C C C C +-=-,即sin (2cos 2sin 1)0222 C C C -+=, 因为sin 02C ≠,所以1sin cos 222C C -=,两边平方得3 sin 4C =. (2)由1sin cos 222C C -=得sin cos 22C C >,所以422C ππ<<,所以2 C π π<<, 由3 sin 4 C = 得cos C = ,由余弦定理得2222(c a b ab =+-, 又224()8a b a b +=+-,即22(2)(2)0a b -+-=,所以2,2a b ==, 所以28c =+ 1c =. 20.(2019年高考湖南卷理科17)(本小题满分12分)在ABC ?中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,,且满足C a A c cos sin =. ()I 求角C 的大小; ()II 求 ??? ? ? +-4cos sin 3πB A 的最大值,并求取得最大值时角B A ,的大小. 【解析】()I 由正弦定理得C A A C cos sin sin sin = 因为π<A .从而C C cos sin =.又0cos ≠C ,所以1tan =C , 则4 π= C ()II 由()I 知,A B -= 43π,于是??? ? ? +-4cos sin 3πB A =()A A --πcos sin 3 =A A cos sin 3-=?? ? ? ? + 6sin 2πA 因为430π<