高中数学必修4知识点与习题带答案

高中数学必修4知识点

第一章基本初等函数二（三角函数）

???

正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角

2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．

第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

()*

n n

∈N 所在象限的方法：先把各象限均分n 等份，再从x 轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则α原来是第几象限对应的标号即为n

α终边所落在的区域．

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．

6、半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，则角α的弧度数的绝对值是l

α=．

7、弧度制与角度制的换算公式：2360π=，1180

，180157.3π??

=≈

???

．

8、若扇形的圆心角为()αα为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r α=，2C r l =+，2112

S lr r α==．

9、设α是一个任意大小的角，α的终边上任意一点P

的坐标是(),x y ，它与原点的距离是()

0r r =>，则sin y r α=

，cos x r

α=，()tan 0y

x x

α=

≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．

11、三角函数线：sin α=MP ，cos α=OM ，tan α=AT 12、同角三角函数的基本关系：()221sin cos 1αα+=

()2

222sin

1cos ,cos 1sin αααα=-=-；()

sin 2tan cos α

αα

= sin sin tan cos ,cos tan αααααα?

?== ???

． 13、三角函数的诱导公式：

()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-．

()5sin cos 2π

αα??-=

???，cos sin 2παα??

-= ???

． ()6sin cos 2π

αα??+=

???，cos sin 2παα??

+=- ???

．口诀：奇变偶不变，符号看象限．

14、函数sin y x =的图象上所有点向左（右）平移?个单位长度，得到函数()sin y x ?=+的图象；再将函数()sin y x ?=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐

标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．

函数sin y x =的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω

倍（纵坐标不变），得到函数

sin y x ω=的图象；

再将函数sin y x ω=的图象上所有点向左（右）平移?

个单位长度，得到函数()sin y x ω?=+的图象；再将函数()sin y x ω?=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y x ω?=A +的图象．函数()()sin 0,0y x ω?ω=A +A >>的性质： ①振幅：A ；②周期：2π

T =；③频率：12f ω

T ；④相位：x ω?+；⑤初相：?．

函数()sin y x ω?=A ++B ，当1x x =时，取得最小值为min y ；当2x x =时，取得最大值为max y ，则()max min 12

y y A =-，()max min 12

y y B =+，

()21122

x x x x T

=-<．

15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin y x =

cos

y x

=tan

y x

图象

定义域R R

x x k k

≠+∈Z

值域[]1,1

-[]1,1

-R

最值当2

x k

=+()

k∈Z

时，

max

y=；当

x k

()

k∈Z时，

min

y=-．

当()

x k k

=∈Z时，

max

y=；当2

x kππ

()

k∈Z时，

min

y=-．

既无最大值也无最小

值

周

期

性

2π2ππ

奇

偶

性

奇函数偶函数奇函数单

调性在2,2

k k

ππ

()

k∈Z上是增函数；在

2,2

k k

ππ

()

k∈Z上是减函数．

在[]()

2,2

k k k

πππ

-∈Z

上是增函数；在

[]

2,2

k k

πππ

()

k∈Z上是减函数．

在,

k k

ππ

()

k∈Z上是增函数．

对称性对称中心

()()

k k

π∈Z

对称轴

()

x k k

=+∈Z

对称中心

()

k k

+∈Z

对称轴()

x k k

=∈Z

对称中心

()

∈Z

无对称轴

综合型训练

函

数

性

质

一、选择题

1．若角0

600的终边上有一点()a ,4-，则a 的值是（）

A ． 34

B ． 34-

C ． 34±

D ． 3

2．函数x

x x x x y tan tan cos cos sin sin +

+=的值域是（） A ． {}3,1,0,1- B ． {}3,0,1- C ． {}3,1- D ． {}1,1- 3．若α为第二象限角，那么α2sin ，2

cos

，

2cos 1

，

cos

1α

中，

其值必为正的有（）

A ． 0个

B ． 1个

C ． 2个

D ． 3个

4．已知)1(,sin <=m m α

，

παπ

<<2

，那么=αtan （）．

A ． 21m

- B ． 21m m

-- C ． 21m m

-± D ． m m 2

1-±

5．若角α的终边落在直线0=+y x 上，则αα

cos cos 1sin 1sin 22-+-的值等于（）． A ． 2 B ． 2- C ． 2-或2 D ． 0

6．已知3tan =

α，2

3π

απ<

<，那么ααsin cos -的值是（）． A ． 231+-

B ． 231+-

C ． 231-

D ． 2

1+ 二、填空题

1．若2

cos -

=α，且α的终边过点)2,(x P ，则α是第_____象限角，x =_____．

2．若角α与角β的终边互为反向延长线，则α与β的关系是___________． 3．设99.9,412.721-==αα，则21,αα分别是第象限的角． 4．与0

2002-终边相同的最大负角是_______________．

5．化简：0

360sin 270cos 180sin 90cos 0tan r q p x m ---+=____________．

三、解答题

1．已知,9090,90900

<<-<<-βα求2

α-的范围．

2．已知??

?>--<=,

1,1)1(1,cos )(x x f x x x f π求)34

()31(f f +的值．

3．已知2tan =x ，（1）求

x x 22cos 4

sin 32+的值．

（2）求x x x x 2

2cos cos sin sin 2+-的值．

4．求证：2

2(1sin )(1cos )(1sin cos )

αααα-+=-+

第三章三角恒等变换

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ--=+（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹

()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ++=

-（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=．

⑵2222

cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-（

2cos 21

cos 2

αα+=

，

21cos 2sin 2α

α-=

）．

⑶

22tan tan 21tan α

αα=

-．

26、()sin cos ααα?A +B =+，其中tan ?B =

A ．

综合型训练一、选择题 1．方程

1sin 4x x

π=

的解的个数是（）

A ． 5

B ． 6

C ． 7

D ． 8

2．在)2,0(π内，使x x cos sin >成立的x 取值范围为（）

A ． )

45,()2,4(ππππ B ． ),4(ππ

C ． )45,4(ππ

D ． )

23,45(),4

(π

πππ 3．已知函数()sin(2)f x x ?=+的图象关于直线8x π

对称，

则?可能是（）

A ． 2π

B ．

4π-

C ． 4π

D ． 34π

4．已知ABC ?是锐角三角形，sin sin ,cos cos ,P A B Q A B =+=+ 则（）

A ． P Q <

B ． P Q >

C ． P Q =

D ． P 与Q 的大小不能确定

5．如果函数()sin()(02)f x x πθθπ=+<<的最小正周期是T , 且当2x =时取得最大值,那么（） A ．

2,2T π

θ==

B ． 1,T θπ==

C ． 2,T θπ==

D ．

1,2T π

θ==

6． x x y sin sin -=的值域是（） A ． ]0,1[- B ． ]1,0[ C ． ]1,1[- D ． ]0,2[- 二、填空题 1．已知

x a a x ,43

2cos --=

是第二、三象限的角，则a 的取值范围

___________．

2．函数)(cos x f y =的定义域为)(322,62Z k k k ∈??????+-ππππ，

则函数)(x f y =的定义域为__________________________． 3．

函数

)

2cos(π

--=x y 的单调递增区间是

___________________________． 4．设0?>，若函数()2sin f x x ?=在[,]

34ππ

上单调递增，则?的取

值范围是________． 5

．

函

数

)

sin(cos lg x y =的定义域为

______________________________．三、解答题

1．（1）求函数

x y tan log 22

1++=的定义域．

（2）设()cos(sin ),(0)g x x x π=≤≤，求()g x 的最大值与最小值． 2．比较大小（1）3

2tan

tan

,2π

π；（2）1cos ,1sin ．

3．判断函数x x x

x x f cos sin 1cos sin 1)(++-+=

的奇偶性．

4．设关于x 的函数

2cos 2cos (21)y x a x a =--+的最小值为()f a ，试确定满足1

()2f a =

的a 的值，并对此时的a 值求y 的最大值．

第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度．零向量：长度为0的向量．

单位向量：长度等于1个单位的向量．

平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．

相等向量：长度相等且方向相同的向量． 17、向量加法运算：

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+．

⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．

⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则

()1212,a b x x y y +=++．

18、向量减法运算：

C B

a b C C -=A -AB =B

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--．设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． 19、向量数乘运算：

⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=；

②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=．

⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==．

20、向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数

λ，使b a λ=．

设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、()0b b ≠共线．

21、平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）

22、分点坐标公式：设点P 是线段12P P 上的一点，1P 、2P 的坐标分别是()11,x y ，()22,x y ，当12λP P =PP 时，点P 的坐标是1212,11x x y y λλλλ++??

?++??

． 23、平面向量的数量积：

⑴()cos 0,0,0180a b a b a b θθ?=≠≠≤≤．零向量与任一向量的数量积为0．

⑵性质：设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥??=．②当a 与b 同向时，a b a b ?=；当a 与b 反向时，a b a b ?=-；2

2a a a a ?==或

a a a =?．③a

b a b ?≤．

⑶运算律：①a b b a ?=?；②()()()a b a b a b λλλ?=?=?；③

()a b c a c b c +?=?+?．

⑷坐标运算：设两个非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ?=+．若(),a x y =，则2

22a x y =+，或2a x y =+ 设()11,a x y =，()22,b x y =，则12120a b x x y y ⊥?+=．

设a 、b 都是非零向量，()11,a x y =，()22,b x y =，θ是a 与b 的夹角，则

cos a b a b

x θ?=

+．

基础型训练一、选择题

1．化简AC -BD +CD -AB 得（） A ． AB B ． C ． BC D ． 0

2．设00,a b 分别是与,a b 向的单位向量，则下列结论中正确的是

（）

A ． 00a b =

B ． 001a b ?=

C ． 00||||2a b +=

D ． 00||2a b += 3．已知下列命题中：

（1）若k R ∈，且0kb =，则0k =或0b =，

（2）若0a b ?=，则0a =或0b =

（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-?+b a b a

（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =?其中真命题的个数是（） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 4．下列命题中正确的是（） A ．若a ?b ＝0，则a ＝0或b ＝0 B ．若a ?b ＝0，则a ∥b

C ．若a ∥b ，则a 在b 上的投影为|a|

D ．若a ⊥b ，则a ?b ＝(a ?b)2

5．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x =（） A ． 3- B ． 1- C ． 1 D ． 3

6．已知向量)sin ,(cos θθ=,向量)1,3(-=则|2|-的最大值，最小值分别是（）

A ． 0,24

B ． 24,4

C ． 16,0

D ． 4,0 二、填空题

1．若=)8,2(，=)2,7(-，则31

=_________

2．平面向量,a b 中，若(4,3)a =-=1，且5a b ?=，则向量b =____．

3．若

3a =,

b =，且与的夹角为0

60，则a b -= ．

4．把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点

所构成的图形是___________．

5．已知)1,2(=a 与)2,1(=b ，要使b

t a +最小，则实数t 的值为

___________．三、解答题

1．如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，

=b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．

2．已知向量a 与b 的夹角为60，||4,(2).(3)72b a b a b =+-=-,求向量a 的模．

3．已知点(2,1)B -，且原点O 分→

AB 的比为3-，又(1,3)b →

=，求→

b 在→

AB 上的投影．

4．已知(1,2)a =,)2,3(-=,当k 为何值时，（1）ka b +与3a b -垂直？

（2）ka +b 与3a -b 平行？平行时它们是同向还是反向？

提高型训练

一、选择题

1．若三点(2,3),(3,),(4,)A B a C b 共线，则有（）

A ． 3,5a b ==-

B ． 10a b -+=

C ． 23a b -=

D ． 20a b -=

2．设πθ20<≤，已知两个向量()θθsin ,cos 1=OP

， ()θθcos 2,sin 22-+=OP ，则向量21P P 长度的最大值是（）

A ． 2

B ． 3

C ． 23

D ． 32 3．下列命题正确的是（）

A ．单位向量都相等

B ．若与是共线向量，与是共线向量，则与是共线向量（）

C ． ||||b a b a -=+，则0a b ?=

D ．若0a 与0b 是单位向量，则001a b ?= 4．已知,a b

均为单位向量，它们的夹角为060，那么

3a b +=

（）

A ． 7

B ． 10

C ． 13

D ． 4 5．已知向量a ，b 满足1,4,

a b ==且2a b ?=,则a 与b 的夹角为

A ． 6π

B ． 4π

C ． 3π

D ． 2π

6．若平面向量b 与向量)1,2(=a 平行，且52||=b ，则=b ( ) A ． )2,4( B ． )2,4(-- C ． )3,6(- D ． )2,4(或)2,4(-- 二、填空题

1．已知向量(cos ,sin )a θθ=，向量(3,1)b =-，则2a b

-的最大值

是．

2．若(1,2),(2,3),(2,5)A B C -，试判断则△ABC 的形状_________． 3．若(2,2)a =-，则与a 垂直的单位向量的坐标为__________． 4．若向量||1,||2,||2,a b a b ==-=则||a b += ．

5．平面向量,中，已知(4,3)a =-，1b =，且5a b =，则向量=______．

三、解答题

1．已知,,a b c 是三个向量，试判断下列各命题的真假．（1）若a b a c ?=?且0a ≠，则b c =

（2）向量a 在b 的方向上的投影是一模等于cos a θ（θ是a 与b 的夹角），方向与a 在b 相同或相反的一个向量．

2．证明：对于任意的,,,a b c d R ∈，恒有不等式

22222()()()ac bd a b c d +≤++

3．平面向量

(3,1),(,)

2a b =-=，若存在不同时为0的实数k 和t ，使

2(3),,x a t b y ka tb =+-=-+且x y ⊥，试求函数关系式()k f t =．

4．如图，在直角△ABC 中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点

A 为中点，问BC PQ 与

的夹角θ取何值时CQ BP ?的值最大？并求出这个最大值．

一、选择题 1．

000tan 600,4tan 6004tan 604a

a =

=-=-=--2． C 当x 是第一象限角时，3y =；当x 是第二象限角时，1y =-；当x 是第三象限角时，1y =-；当x 是第四象限角时，1y =- 3． A

22,(),4242,(),

k k k Z k k k Z π

παππππαππ+

<<+∈+<<+∈

,(),

k k k Z π

ππ+

∈2α在第三、或四象限，sin 20α<，

cos2α可正可负；2α

在第一、或三象限，

cos

2α

可正可负

4．

sin cos tan cos αααα==

=5．

sin sin cos cos cos αα

ααα

+=+，

当α是第二象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αα

αααα

+=-+=；

当α是第四象限角时，sin sin tan tan 0cos cos αααααα

+=-=

6．

41,cos sin 32πααα=

-=-+=

二、填空题

1．

二，

cos 0α=<，则α是第二、或三象限角，而20y P =>

得α

是第二象限角，则12sin ,tan 23x x αα===-=-2． (21)k βαπ=++

3．一、二

07.4122,

2π

π<-<

得1α是第一象限角；

9.994,

ππ<-+<得2α是第二象限角

4． 0202-

00020025360(202)-=-?+- 5． 0

00000

tan 00,cos900,sin1800,cos 2700,sin 3600===== 三、解答题 1．解：0000009090,4545,9090,

βα-<-<-<-

<-<<

()22β

βαα-

=+-，00

1351352β

α-<-<

2．解：

11411()cos ,()()1332332f f f π===-=-

()()0

33f f ∴+=

3．解：（1）222222222121

sin cos tan 2173434sin cos 3

4sin cos tan 112x x x x x x x x ++

+==

=++ （2）222

222sin sin cos cos 2sin sin cos cos sin cos x x x x

x x x x x x -+-+=

22tan tan 17

tan 15x x x -+==

+ 4．证明：右边

2(1sin cos )22sin 2cos 2sin cos αααααα=-+=-+- 2(1sin cos sin cos )

2(1sin )(1cos )αααααα=-+-=-+

22(1sin )(1cos )(1sin cos )αααα∴-+=-+

综合训练

一、选择题

1． C 在同一坐标系中分别作出函数121

sin ,4

y x y x π==

的图象，左边三个交点，右边三个交点，再加上原点，共计7个

2． C 在同一坐标系中分别作出函数12sin ,cos ,(0,2)y x y x x π==∈的图象，观察：

刚刚开始即(0,

)4x π

∈时，cos sin x x >；到了中间即5(,)44x ππ

∈时，x x cos sin >；

最后阶段即5(,2)4

x π

π∈时，cos sin x x >

3． C 对称轴经过最高点或最低点，

()1,sin(2)128882

f k ππππ

??π=±?+=±??+=+ ,4

k k Z π

?π=+

∈

4． B ,sin cos ;sin cos 2

A B A B A B B A B A π

-?>>

-?>

sin sin cos cos ,A B A B P Q ∴+>+> 5． A 22,(2)sin(2)1,T f π

πθθπ

==+=可以等于

6． D 0,sin 0

sin sin 202sin ,sin 0

x y x x y x x ≥?=-=?-≤≤?

二、填空题

1． 3(1,)2- 23

023341cos 0,10,,123421

4a a a

x a a a a -?-?-?

2． 1[,1]2-

22,cos 1632

k x k x ππππ-≤≤+-≤≤ 3． 28[4,4],33k k k Z ππππ++∈ 函数cos()23

x y π

=-递减时，

2223x k k π

πππ≤-≤+

4． 3[,2]2 令,,2222x x ππππωωω-≤≤-≤≤则[,]22ππωω

-是函数的关于

原点对称的递增区间中范围最大的，即[,]34ππ

?[,]22ππ

ωω

-，

则342223

2ππωωππ

ω?≤???≤≤??-≥-??

5． (2,2),()22

k k k Z π

ππ-

+∈ sin(cos )0,1cos 1,0cos 1,x x x >-≤≤∴<≤而 22,2

k x k k Z π

ππ-<<+

∈

三、解答题

1．解：（1）12042log 0tan 02

x x k x k x πππ<≤?+≥??????≤<+??≥??

得02

x π

<<，或4x π≤≤

(0,

)[,4]2

x π

π∴∈

（2）0,0sin 1x x π≤≤≤≤当时，而[01]，是()cos f t t =的递减区间当sin 1x =时，min ()cos1f x =；当sin 0x =时，max ()cos 01f x ==．

2．解：（1）2tan tan 332tan tan

,2233

πππ

>∴>；（2）

1,sin1cos14

∴>

3．解：当2

x π

时，()12

f π=有意义；而当2

x π

时，()2

f π

无意义，

()f x ∴为非奇非偶函数．

4．解：令cos ,[1,1]x t t =∈-，则2

22(21)y t at a =--+，对称轴2

t =，当

12a <-，即2a <-时，[1,1]-是函数y 的递增区间，min 112y =≠；当12a >，即2a >时，[1,1]-是函数y 的递减区间，min 141,2

y a =-+= 得1

a =，与2a >矛盾；

当112

-≤≤，即22a -≤≤时，22min 121,43022a y a a a =---=++=

高中数学必修4知识点与习题 带答案

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