北京市海淀区2015-2016年八年级(上)册期末数学试卷

2015-2016海淀区八年级第一学期期末练习

数 学 2016.1

一、选择题（本题共36分，每小题3分）

在下列各题的四个备选答案中，只有一个．．符合题意．请将正确选项前的字母填在表格中相应的位置． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

1．下列标志是轴对称图形的是（ ）

A B C D

2．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，2.5微米等于0.000 002 5米，把数字0.000

002 5用科学记数法表示为（ ）

A ．62.510?

B ．60.2510-?

C ．62510-?

D ．62.510-?

3．使分式2

3x -有意义的x 的取值范围是（ ）

A ．3x ≠

B ．3x >

C ．3x <

D ．3x = 4．下列计算中，正确的是（ ）

A ．238()a a =

B ．842a a a ÷=

C ．325a a a +=

D ．235a a a ?= 5．如图，△ABC ≌△DCB ，若AC ＝7，B

E ＝5，则DE 的长为（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

6．在平面直角坐标系中，已知点A （2，m ）和点B （n ，－3）关 于x 轴对称，则m n +的值是（ ）

A ．－1

B ．1

C ．5

D ．－5

7．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意

角，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，移动角尺，使角尺两边相同．．的刻度分别与点M ，N 重合，过角尺顶点C 作射线OC ．由此作法便可得△MOC ≌△NOC ，其依据是（ ）

A ．SSS

B ．SAS

C ．ASA

D ．AAS

8．下列各式中，计算正确的是（ ）

A ．2(21)21x x x -=-

B ．

2

31

93

x x x +=-- C ．22

(2)4a a +=+ D ． 2(2)(3)6x x x x +-=+-

9．若1a b +=，则222a b b -+的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．1 D ．0

10．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝40°，AB 的垂直平分线MN 交AC 于

D 点，则∠DBC 的度数是（ ）

A ．20°

B ．30°

C ．40°

D ．50° 11．若分式

6

1

a +的值为正整数，则整数a 的值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个 12．如图，等腰三角形ABC 的底边BC 长为4，面积是16，腰AC 的

垂直平分线EF 分别交AC ，AB 边于E ，F 点．若点D 为BC 边 的中点，点M 为线段EF 上一动点，则△CDM 周长的最小值为（ ）

A ．6

B ．8

C ．10

D ．12

二、填空题（本题共24分，每小题3分） 13．当x = 时，分式

1

x

x -值为0． 14．分解因式：24x y y -= ． 15．计算：2

33x y ??

-= ???

．

16．如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为 ．

17．如图，DE ⊥AB ，∠A ＝25°，∠D ＝45°，则∠ACB 的度数为 ．

18．等式222()a b a b +=+成立的条件为 ．

19．如图，在△ABC 中，BD 是边AC 上的高，CE 平分∠ACB ，交BD 于点E ，

DE ＝2，BC ＝5，则△BCE 的面积为 ．

20．图1是用绳索织成的一片网的一部分，小明探索这片网的结点数（V ），网眼数（F ），边数（E ）

之间的关系，他采用由特殊到一般的方法进行探索，列表如下：

特殊网图

结点数（V ） 4 6 9 12 网眼数（F ） 1 2 4 6 边数（E ）

4

7

12

☆

表中“☆”处应填的数字为 ；根据上述探索过程，可以猜想V ，F ， E 之间满足的等量关系为 ；

如图2，若网眼形状为六边形，则V ，F ， E 之间满足的等量关系为 ．

图1 图2

三、解答题（本题共16分，每小题4分） 21．计算：1

14(π3)32-??

---+- ???

．

22．如图，E 为BC 上一点，AC ∥BD ，AC ＝BE ，BC ＝DB ．

求证：AB= ED ．

23．计算：22

34221121

x x x x x x ++??-÷ ?---+??．

24．解方程：

3

111

x x x -=

-+．

四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分） 25．已知3x y -=，求2[()()()]2x y x y x y x -++-÷的值．

26．北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．

27．已知：如图，线段AB和射线BM交于点B．

（1）利用尺规完成以下作图，并保留作图痕迹（不写作法）．

①在射线BM上作一点C，使AC＝AB；

②作∠ABM的角平分线交AC于D点；

③在射线CM上作一点E，使CE＝CD，连接DE．

（2）在（1）所作的图形中，猜想线段BD与DE的数量关系，并证明．

A

M

B

五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分）

28．如图1，我们在2016年1月的日历中标出一个十字星，并计算它的“十字差”（将十字星左右

两数，上下两数分别相乘再将所得的积作差，称为该十字星的“十字差”）．该十字星的十字差为

?-?=，再选择其它位置的十字星，可以发现“十字差”仍为48．121462048

（1）如图2，将正整数依次填入5列的长方形数表中，探究不同位置十字星的“十字差”，可以

发现相应的“十字差”也是一个定值，则这个定值为____________．

（2）若将正整数依次填入k列的长方形数表中（3

k≥），继续前面的探究，可以发现相应“十字

差”为与列数k有关的定值，请用k表示出这个定值，并证明你的结论．

（3）如图3，将正整数依次填入三角形的数表中，探究不同十字星的“十字差”，若某个十字星中心的数在第32行，且其相应的“十字差”为2015，则这个十字星中心的数为__________________（直接写出结果）．

图1 图2

图3

29．数学老师布置了这样一道作业题：

在△ABC中，AB＝AC≠BC，点D和点A在直线BC的同侧，BD＝BC，∠BAC＝α，∠DBC＝β，α＋β＝120°，连接AD，求∠ADB的度数．

小聪提供了研究这个问题的过程和思路：先从特殊问题开始研究，当α＝90°，β＝30°时（如图1），利用轴对称知识，以AB为对称轴构造△ABD的轴对称图形△ABD′，连接CD′（如图2），然后利用α＝90°，β＝30°以及等边三角形的相关知识便可解决这个问题．

图1 图2

（1）请结合小聪研究问题的过程和思路，求出这种特殊情况下∠ADB的度数；

（2）结合小聪研究特殊问题的启发，请解决数学老师布置的这道作业题；

（3）解决完老师布置的这道作业题后，小聪进一步思考，当点D和点A在直线BC的异侧时，且∠ADB的度数与（1）中相同，则α，β满足的条件为_____________________________

__________________（直接写出结果）．

八年级第一学期期末练习

数 学 答 案 2016.1

一、选择题（本题共36分，每小题3分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案

B

D

A

D

A

C

A

B

C

B

B

C

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

13．0x =； 14．(2)(2)y x x +-； 15．2

69x y

； 16．17； 17．110°；

18．0ab =； 19．5； 20．17，1V F E +-=，1V F E +-=． 三、解答题（本题共16分，每小题4分）

21．解：原式＝2123--+ ---------------------------------------------------------------------3分 ＝2 . -------------------------------------------------------------------------4分 22．证明：∵AC ∥BD ，

∴∠C ＝∠EBD ． ---------------------------------------------------------1分

在△ABC 和△EDB 中,

,,,A C E B C E B D B C D B =??

∠=∠??=?

∴△ABC ≌△EDB ． ----------------------------------------------------------------------3分 ∴AB ＝ED ． --------------------------------------------------------------------4分

23．解：原式＝2342(1)2

(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x ??+++-÷??+-+--??

--------------------------------------------1分 ＝2

(34)2(1)(1)(1)(1)2x x x x x x

+-+-?+-+ -----------------------------------------------2分

＝2

2(1)(1)(1)2

x x x x x +-?+-+ --------------------------------------------------3分

＝

1

1

x x -+. ---------------------------------------------------------------------4分 24．解：方程两边乘以(1)(1)x x +-，得

(1)(1)(1)3(x x x x x +-+-=-. ------------------------------------------1分

解得 2x =. ----------------------------------------------------------3分

检验：当2x =时，(1)(1)0x x +-≠．

所以， 原分式方程的解为2x =． ---------------------------------4分

四、解答题（本题共13分，第25题4分，第26题5分，第27题4分） 25．解：原式＝2222(2)2x xy y x y x -++-÷ -------------------------------------1分 ＝2(22)2x xy x -÷ -------------------------------------------2分

＝x y -. -------------------------------------------------------3分

当3x y -=时，

原式＝x y -＝3. -------------------------------------------4分

26．解：设普通快车的平均行驶速度为x 千米/时,则高铁列车的平均行驶速度为1.5x 千米/时．----1分 根据题意得

1801801

1.53

x x -=． -------------------------------------3分 解得 180x =． ----------------------------------------------4分 经检验，180x =是所列分式方程的解，且符合题意．

∴1.5 1.5180270x =?=．

答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时． -----------------------------5分

27．解：（1）（注：不写结论不扣分）

M

E D

C B A

-------------------------------1分

（2）BD ＝DE -------------------------------------------------------------2分

证明：∵BD 平分∠ABC ，

∴∠1＝

1

2

∠ABC ． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠4． ∴∠1＝

1

2

∠4． ∵CE ＝CD ， ∴∠2＝∠3．

∵∠4＝∠2＋∠3， ∴∠3＝

1

2

∠4． ∴∠1＝∠3．

∴BD ＝DE ． ---------------------------------------------------------4分

五、解答题（本题共11分，第28题5分，第29题6分） 28．（1）24； -------------------------------------------------------------------------------------1分

4

3

21

M

E D

C

B A

（2）21k -； ---------------------------------------------------------------------------2分 证明：设十字星中心的数为x ，则十字星左右两数分别为1x -，1x +，上下两数分别为x k -，x k +（3k ≥）．

十字差为(1)(1)()()x x x k x k -+--+ -----------------------------------3分

＝222(1)()x x k ---

＝2221x x k --+

＝21k -． -------------------------------------------------4分

∴这个定值为21k -．

（3）976． --------------------------------------------------------------------5分 29．（1）解：如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′．

∵AB ＝AC ，∠BAC ＝90°， ∴∠ABC ＝45°． ∵∠DBC ＝30°，

∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝15°．

∵AB ＝AB ，∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ， ∴△ABD ≌△ABD′． ∴∠ABD ＝∠ABD′＝15°，∠ADB ＝∠AD ′B ． ∴∠D′BC ＝∠ABD′＋∠ABC ＝60°． ∵BD ＝BD′，BD ＝BC ， ∴BD′＝BC ．

∴△D′BC 是等边三角形． ----------------------------------------------1分 ∴D′B ＝D′C ，∠BD′C ＝60°． ∵AB AC =，AD AD ''=， ∴△AD ′B ≌△AD ′C ． ∴∠A D′B ＝∠A D′C ．

∴∠ A D′B ＝

1

2

∠BD′C ＝30°． ∴∠ADB ＝30°． -------------------------------------------------------------2分

（2）解：第一种情况：当60120α??＜≤时

如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′． ∵AB ＝AC ， ∴∠ABC ＝∠ACB ．

∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， ∴α＋2∠ABC ＝180°．

∴∠ABC ＝1809022

αα?-=?-．

∴∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ＝902

α

β?--．

同（1）可证△ABD ≌△ABD′． ∴∠ABD ＝∠ABD′＝902

α

β?-

-，BD ＝BD′，∠ADB ＝∠AD ′B ．

∴∠D′BC ＝∠ABD′＋∠ABC ＝9090180()2

2

α

α

βαβ?-

-+?-

=?-+．

D 'D

C

B

A

∵120αβ+=?，

∴∠D′BC ＝60°．

以下同（1）可求得∠ADB ＝30°． -----------------------------------------3分 第二种情况：当060α??＜＜时，

如图,作∠AB D′＝∠ABD ， B D′＝BD ，连接CD′，A D′． ∵AB ＝AC ，

∴∠ABC ＝∠ACB ．

∵∠BAC ＋∠ABC ＋∠ACB ＝180°， ∴α＋2∠ABC ＝180°． ∴∠ABC ＝

1809022

αα

?-=?-． ∴∠ABD ＝∠DBC －∠ABC ＝902α

β-?-（）

． 同（1）可证△ABD ≌△ABD′．

∴∠ABD ＝∠ABD′＝902α

β-?-（）

，BD ＝BD′，∠ADB ＝∠AD ′B ． ∴∠D′BC ＝∠ABC －∠ABD′＝90[(90)]=180()2

2

α

α

βαβ?---?-

?-+．

∵120αβ+=?，

∴∠D′BC ＝60°．

∵BD ＝BD′，BD ＝BC ， ∴BD′＝BC ．

∴△D′BC 是等边三角形． ∴D′B ＝D′C ，∠BD′C ＝60°． 同（1）可证△AD ′B ≌△AD ′C ． ∴∠A D′B ＝∠A D′C ．

∵∠A D′B ＋∠A D′C ＋∠BD′C ＝360°， ∴2∠ A D′B ＋60°＝360°． ∴∠ A D′B ＝150°． ∴∠ADB ＝150°． ---------------------------------------------4分

（3）0180α??＜＜，60β=?或120180α??＜＜，120αβ-=?． ------------------------------6分

（注：本卷中许多问题解法不唯一，请老师根据评分标准酌情给分）