公开课教案(等腰三角形)
12.3.1 等腰三角形
第1课时
花地中学古瑜青
教学内容
本节主要内容是等腰三角形的性质.
教学目标
1.知识与技能
在观察、操作中认识等腰三角形的性质,感受等腰三角形“三线合一”的意义.
2.过程与方法
经历探索等腰三角形性质的过程,掌握其应用方法.
3.情感、态度与价值观
让学生感悟等腰三角形的实际应用价值,激发他们的求知欲.
重、难点与关键
1.重点:等腰三角形的性质.
2.难点:等腰三角形的性质2的应用.
3.关键:借助轴对称变换来研究等腰三角形.
教具准备
剪刀、长方形纸片.
教学方法
采用“情境──探究”式教学方法.
教学过程
一、操作观察,探索新知
【问题探究】
教师叙述:请同学们把一张长方形的纸对折(如课本图14.3─1)剪去一个角,再把它展开,得到的三角形有什么特点?
【学生活动】拿出事先准备好的纸和剪刀,动手操作,然后观察得出结论:“剪刀剪过的两条边是相等的.”
【师生共识】有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另一条边叫做底,两腰所夹的角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.
【媒体使用】投影显示课本图12.3─1和图1.
【教学形式】操作引入,师生互动.
【继续探究】
上面剪出的等腰三角形是轴对称图形吗?
把剪出的等腰三角形ABC沿折痕对折,找出其中重合的线段和角,填入下表:
重合的线段
你能发现等腰三角形的性质吗?说一说你的猜想.
【教师活动】操作投影仪,提出探究的问题,引导学生观察,发现.
【学生活动】动手操作、观察,发现重合的线段是AB=AC,BD=CD,底边上的高、顶角的平分线,底边上的中线重合.重合的角是∠B=∠C,∠BAD=∠CAD.?∠ADB=?∠ADC=90°.【媒体使用】投影显示“思考题”和图2.
【形成性质】
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”);
重合的角
D
C
B A
性质2:等腰三角形的顶角的平分线,底边上的中线、、底边上的高相互重合.【证明】如课本图12.3─2,△ABC中,AB=AC,作底边BC的中线AD.
∵
,
,
, AB AC BD CD AD AD
=
?
?
=
?
?=
?
∴△BAD≌△CAD(SSS).
∴∠B=∠C,
∴BD=CD,
∴∠BDA=∠CDA=90°.
【评析】从这个证明也可以看出,等腰三角形底边上的中线的左、右两部分经翻转可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的对称轴.
【教师活动】引导学生共同完成等腰三角形性质的推理证明.
【学生活动】同教师一起分析、口述证明思路后,个别学生上台演示.
二、范例点击,应用所学
【例1】如课本图12.3-3,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求△ABC 各角的度数.
【思路点拨】首先应用等腰三角形的性质得到∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,再运用三角形内角和定理求解∠A=36°,∠ABC=∠C=72°,这里可以运用代数的方法列式求解方程.【教师活动】操作投影,分析例1,讲明推理的方法.
【学生活动】参与教师的讲例分析中,踊跃发表自己的见解,并尝试用不同于课本例1的推理表达来书写例题1的解答.不设∠A=x,然后相互讨论、比较.
【教学形式】在教师引导下合作交流.
【猜想】
猜想一下,等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗?如图3,你可以将等腰三角形ABC 沿对称轴AD,观察DE与DF的关系.
如果DE、DF分别是AB、AC上的中线或∠ADB、∠ADC的平分线,它们还相等吗?由等腰三角形是轴对称图形,利用类似的方法,还可以得到等腰三角形中哪些线段相等?
【教师活动】操作投影仪,提出讨论的问题,引导学生思考.
【学生活动】分四人小组合作交流,通过动手操作,感悟规律.
(1)等腰三角形底边中点到两腰的距离相等,也可以应用“AAS”证明△BDE≌△CDF.(2)如果DE,DF分别是AB,AC上的中线或∠ADB,∠ADC的平分线,它们仍然相等,这是运用轴对称图形的概念和性质得到结论,还可以通过三角形全等予以证明.(3)?由等腰三角形是对称轴图形,利用类似的方法,还可以得到:等腰三角形对称轴上任意一点到两腰的距离相等;等腰三角形顶点到两腰上的中点(高线),底角的平分线的距离相等;等腰三角形两腰上的中线(高线)的交点到两腰的距离相等;等腰三角形两底角的平分线交点到两腰的距离相等.
三、随堂练习,巩固深化
课本P51练习第1、2、3题.
【探研时空】
已知:如图4所示,△ABC是等腰直角三角形,∠A=90°,BD是角的平分线,DE?⊥BC 于E,若BC=10cm,求△DEC的周长.
【思路点拨】如图4,在等腰直角三角形中,可以找到许多重要的等量关系,这些关系通过证明应逐步认识,∠A=90°,∴∠ABC=∠C=45°,AB=AC,又由BD平分∠ABC,?DE⊥BC 可知∠ABD=∠CBD=22.5°,AD=DE,△ABD≌△EBD,则BE=AB=AC,再由∠DEC=?90°,∠C=45°,可知△ECD是等腰直角三角形,则DE=EC,在这个图形中,应注意BD?是角的平分线,而不是中线,所以AD≠DC,由上述关系就可求得△DEC的周长为10cm.
【评析】有些常见图形中的数量关系应该逐步记住,如本题思路点拨中分析图中的各种关系都应记清,这样就有利于今后证明及计算有关问题.
四、课堂总结,发展潜能
提问:1.什么叫做等腰三角形?
2.等腰三角形有哪些性质?
3.你对本节课中等腰三角形与轴对称概念的联系有何体会.
五、布置作业,专题突破
1.课本P56习题12.3第1、2、3、4、12题.
2.选用课时作业设计.
板书设计
把黑板分成三等份,左边板书概念,中间板书例1,右边板书练习.
疑难解析
已知:如图5,AB 思路点拨:在三角形全等的判定中,要注意两边及两边所夹的角相等,?两个三角形全等,而两边及其中一边的对角相等,两个三角形不一定全等.?本题中△ABD?与△CBD正 是这种情况:BD=BD,AD=DC,∠ABD=∠CBD,但△ABD与△CBD并不全等,?这样两个不全等的三角形有什么联系呢?在BC上截取BE=BA,则△BDC被分成两个三角形,?容易看到,△BDE与△BDA全等,△DEC是等腰三角形,这样问题就解决了. 从这个例子可以归纳出,记住一些基本图形对于证明几何题是必要的,本题如果能深刻认识两边与其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等的关系,那么图中添加DE这条辅助线就十分自然了. 第一课时作业设计 一、选择题. 1.如果等腰三角形的底边长大于腰长,那么这个等腰三角形的顶角是(). A.锐角 B.直角 C.钝角 D.锐角、直角或钝角 2.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于(). A.顶角 B.顶角的一半 C.顶角的2倍 D.底角的一半 3.在等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠BAC=50°,P是△ABC内一点,且∠PBC=∠ACP,则∠BPC为(). A.100° B.140° C.130° D.115° 4.如图,AB=AC=BD,那么∠1与∠2之间的关系满足(). A.∠1=2∠2 B.2∠1+∠2=180° C.∠1+3∠2=180° D.3∠1-∠2=180° 二、证明题. 5.如图,AB=AC,BD=DC,AD的延长线交BC于点E,求证:AE⊥BC. 6.你能证明:等腰三角形两腰上的中线相等吗?试一试! (要求:依题意先画图,写出已知、求证,然后再证明) 三、探索题. 7.已知:如图,点D 、E 在△ABC 的边BC 上,AB=AC ,AD=AE ,求证:BD=CE . 请将此题改编为两道题,要求原题中的“BD=CE ”成为已知条件之一,?而原已知条件中的某一部分成为求证,并简要说明改编所得到的每一道题的证明方法. 四、聚焦中考. 8.如图,AB=AE ,∠ABC=∠AED ,BC=ED ,点F 是CD 的中点. (1)求证:AF ⊥CD ; (2)在你连接BE 后,还能得出什么新的结论?请写出三个.(不要求证明) E D B A F