2017考研数学二真题及解析
2017年考研数学二真题及解析
一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定的位置上. (1)
若函数10(),0x f x ax
b x ?->?
=??≤?
在x =0连续，则 (A)12ab =
(B)12
ab =- (C)0ab = (D)2ab =
【答】应选（A ）
【解】由连续的定义可知：0
lim ()lim ()(0)x x f x f x f -+→→==，其中0
(0)lim ()x f f x b -
→==
，2
0001
112lim ()lim lim 2x x x f x ax ax a +++→→→-===
，从而12b a =，也即12ab =，故选（A ）。
(2) 设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1,(0)1f f f =-==-且()0f x ''>,则 (A) 1
1()d 0
f x x ->?
(B)
1
2
()d 0f x x -
(C)
1
1
()d ()d f x x f x x ->?
? (D)111
()d ()d f x x f x x -
【答】应选（B ）
【解】由于()0f x ''<，可知其中()f x 的图像在其任意两点连线的曲线下方，也即
()(0)[(1)(0)]21f x f f f x x ≤+-=-，(0,1)x ∈，因此11
()(21)0f x dx x dx <-=??。同
理()(0)[(0)(1)]21f x f f f x x ≤+--=--，(1,0)x ∈-。因此
01
1
()(21)0f x dx x dx --<--=?
?，从而1
1
()0f x dx -
(3) 设数列{}n x 收敛，则
(A)当limsin 0n n x →∞
=时，lim 0n n x →∞
=
(B)
当lim (0n n n x x →∞
+
= 时，则lim 0n n x →∞
=
(C)当2
lim()0n n n x x →∞
+=时, lim 0n →∞
=
(D)当lim(sin )0n n n x x →∞
+=时，lim 0
n n x →∞
=
【答】应选（D ）
【解】设lim n n x a →∞
=，则limsin sin n n x a →∞
=，可知当sin 0a =，也即a k π=,
()0,1,2,k =±±时，都有limsin 0n n x →∞
=，故（A ）错误。
lim(n n x a →∞
+
=+
，可知当0a =，也即0a =或者1a =-时，都有
lim(0n n x →∞
+
=，故（B ）错误。
22lim()n n n x x a a →∞
+=+，可知当20a a +=，也即0a =或者1a =-时，都有
2lim()0n n n x x →∞
+=，故（C ）错误。
lim(sin )sin n n n x x a a →∞
+=+，而要使sin 0a a +=只有0a =，故（D ）正确。
(4) 微分方程248(1cos 2)x y y y e x '''-+=+ 的特解可设为k
y =
(A)22(cos 2sin 2)x
x Ae
e B x C x ++ (B)22(cos 2sin 2)x
x Axe e B x C x ++
(C)22(cos 2sin 2)x
x Ae
xe B x C x ++ (D)22(cos 2sin 2)x
x Axe
xe B x C x ++
【答】应选（A ）
【解】齐次方程的特征方程为2480λλ-+=，特征根为22i λ=±，将非齐次方程拆分为：
248(1)x y y y e '''-+=与248cos 2(2)x y y y e x
'''-+=。
方程(1)的特解可以设为21x
y Ae *=，方程(2)的特解可以设为
22(cos 2sin 2)x y xe B x C x *=+，由解的叠加原理可知：方程(1)饿任意解和方程(2)的
任意解之和即为原方程的解，则原方程的特解可以设为
222(cos 2sin 2)x x y Ae xe B x C x *=++，故选（A ）。
(5) 设()f x 具有一阶偏导数，且在任意的(,)x y ，都有
(,)(,)
0,f x y f x y x y
??>??则 (A)(0,0)(1,1)f f > (B)(0,0)(1,1)f f < (C)(0,1)(1,0)f f > (D)(0,1)(1,0)f f < 【答】应选(D).
【解】由于
()
,0f x y x
?>?，可知(),f x y 关于单调x 递增，故()()0,11,1f f <。又由于
()
,0f x y y
?
。 (6) 甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,图中,实线表示甲的速度曲线
()1v v t =（单位:m/s ）,虚线表示乙的速度曲线()2v v t =,三块阴影部分面积的数值依次
为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则
(A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >
【答】应选(C).
【解】从0到0t 时刻，甲乙的位移分别为
10
()t V t dt ?
与0
20
()t V t dt ?要使乙追上甲，则有
210
[()()]t V t V t dt -?
，由定积分的几何意义可知，25210
[()()]201010V t V t dt -=-=?，可知
025t =，故选（C ）。
(7) 设A 为3阶矩阵，123,,)P =(ααα为可逆矩阵，使得1
000010002-??
??=??????
P AP ，则
123)++=A(ααα( )
(A)12+αα (B)232+αα (C)23+αα (D)12
2+αα
【答案】（B ）
【解析】
1231231()(,,)11A A αααααα?? ?
++= ? ???
11231231231(,,)(,,)(,,)11A ααααααααα-?? ?
= ? ???
1230001(,,)01010021ααα???? ???
= ??? ???????
123230(,,)122ααααα?? ?
==+ ? ???
.
(8) 已知矩阵200021001????=??????A ，210020001????=??????B ，100020002????=??????
C ，则 (A)
A 与C 相似，
B 与
C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D)
A 与C 不相似，
B 与
C 不相似
【答】应选(B).
【解】由()λ-=E A O 可知A 的特征值为2,2,1.又3(2)1r --=E A ,故A 可相似
对角化,且?? ? ? ???
A
100020002 . 由()λ-=E B O 得B 的特征值为2,2,1.又3(2)2r --=E B ,故不可相似对角化,显然C 可相似对角化,~A C ,且B 不相似于C 。
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分. 请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9) 曲线()
2arcsin y =x +x 1的斜渐近线方程为 . 【答】应填2y x =+.
【解】应填21arcsin lim
1x x x k x →∞?
?+ ?
??==,2lim 1arcsin 2x b x x x →∞??=+-= ??
?,则斜渐近线方程为2y x =+.
(10) 设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t
?=+?=?确定，则20
2
d d t y
x = .
B
【答】应填18
-. 【解】
()cos ()1t dy y t t dx x t e '==
'+，
2223sin (1)cos cos sin sin cos (1)111(1)t t
t t t t t t t t e e t
t d y t e t e t e e dx e e e '-+-?? ?---++??===
+++
22
01
8
t d y dx ==-. (11)
()
2
ln(1)
d 1x x x +∞
+=+?___________.
【答】应填1.
【解】200ln(1)1ln(1)(1)1x dx x d x x +∞+∞+?
?=+- ?++??
?? 2
00
11ln(1)11x dx x x +∞
+∞??=-++ ?++??? 0
011ln(1)11x x x +∞+∞
=-+-++ 011=+=。
(12) 设函数(),f x y 具有一阶连续偏导数，且()()d ,d 1d y y f x y ye x x y e y =++，
()0,00f =则(),f x y == .
【答】应填y xye .
【解】由题可知，y x f ye '=，()1y y f x y e '=+，(),()y y f x y ye dx xye c y ==+?，
()y y y y y f xe xye c y xe xye ''=++=+，即()0c y '
=，即()c y c =，
()0,00
f =，故0c =，即
(),y
f x y xye =.
(13)
1
1
tan d d y x
y x x
=?
?
. 【答】应填ln(cos1)-。
【解】111
111
0000tan tan tan ln cos ln cos1ln cos0ln cos1y
y x x dy dx dx dy xdx x x x ??=??=?=-=-+=-。
(14) 设矩阵41212311a -??
?
= ? ?-??A 的一个特征向量为112?? ? ? ???
，则a = .
【答】应填1-.
【解】因为111=3222A a ???? ? ?+ ? ? ? ?????
，即321a +=,可得1a =-. 三、解答题：（15～23小题，共94 分.） (15) （本题满分10分）
求0
d lim t x t +
→【解
】先对变上限积分
t dt ?
作变量代换u x t =-，得
()t x u x u x
dt du e du --=-=?
?
?
则由洛必达法则可知： 原式
=0
lim 3
x
u x e
du +
-→+?
=022lim 33
u x du +
-→+
=022
lim 33
x x x +
→--++
=022lim 1332
x x x x
xe xe e +
-→--+-+2
3
=. (16) （本题满分10分）设函数(),f u v 具有2阶连续性偏导数，()
,cos x y f e x =,求
d d x y x
=,
22
d d x y x =.
【解析】由复合函数求导法则，可得：
12(sin )x dy
f e f x dx ''=+-
故
1(1,1)x dy f dx
='=
进一步地：
212122
()()cos sin x x d f d f d y e f e xf x dx dx dx ''''=+-- 111
1222122(sin )cos sin (sin )x x x x e f e f e f x xf x f e f x ''''''''''=+---- 221211
2122cos 2sin sin x x x e f xf e f e xf xf ''''''''=-+-+ 故20
1211
2
(1,1)(1,1)(1,1)x d y
f f f dx
=''''=-+. (17) （本题满分10分）求21lim
ln 1n
n k k k n n
→∞
=??+ ???∑. 【解析】由定积分的定义式可知
原式=()1
011lim ln 1ln 1n n k k k x x dx n n
n →∞=??+=+ ???∑?，再由分部积分法可知：
()()()1
12
001ln 1ln 112x x dx x d x +=+-??
()()22
11
0011ln 1|ln 122x x x d x --=+-+?()()1210011111|244
x dx x =--=--=?. (18) （本题满分10分）已知函数()y x 由方程33
3320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值.
【解析】等式两边同时对x 求导可得，
2233330x y y y ''+-+= (1)
令0y '=可得2330x -=，故1x =±。由极限的必要条件可知，函数的极值之梦能取在
1x =-与1x =处，为了检验该点是否为极值点，下面来计算函数的二阶导数，对(1)式两
边同时求导可得，()2
2
66330x y y y y y '''''+++= (2)
当1x =时，1y =，将1,1,0x y y '===代入（2）式可得2y ''=-，故()11y =是函数的
极大值。
当1x =-时，0,0y y '==，代入（2）式可得2y ''=，故()10y -=是函数的极小值。 (19) （本题满分10分）()f x 在[]
0,1上具有2阶导数，0
()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→><，证明 （Ⅰ）方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根;
（Ⅰ）方程[]2
()()()0f x f x f x '''+= 在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根. 【证明】 （I ）由于0
()lim 0x f x x +
→<，则由保号性可知：0δ?>，使得当(0,)x δ∈时，()
0f x x
<，
也即()0f x <.
又由于(1)0f >，则由零点存在定理可知，()0f x =在(0,1)内至少有一个实根. （II ）令()()()F x f x f x '=。由0
()lim 0x f x x +
→<可知0()
(0)lim 0x f x f x x
+→=?=.
又由（I ）可知：0(0,1)x ?∈使得0()0f x =.
由罗尔定理可知：10(0,)x ξ?∈使1()0f ξ'=，从而10(0)()()0F F F x ξ===. 再由罗尔定理可知：21(0,)ξξ?∈，310(,)x ξξ∈使得23()()0F F ξξ''==. 也即2
()()()[()]0F x f x f x f x ''''=+=在0(0,)(0,1)x ?内有两个不同的实根. (20) （本题满分11分）已知平面区域(){}
2
2,2D x y x
y y =
+,计算二重积分
()
2
1d d D
x x y +??.
【解析】由对称性与奇偶性()
2
1d d D
x x y +=??()21d d D
x x y +=??2d d d d D
D
x x y x y +????,
显然
d d D
x y π=??.
令cos sin x r y r θ
θ=??
=?
(0,02sin )r θπθ,则
2
d d D
x x y ??2sin 32
d cos d r r πθ
θθ=??
2
4
4cos sin d π
θθθ=?2420
8cos sin d π
θθθ=?
2
4
20
8(1-sin )sin d π
θθθ=?4
622008sin d sin d ππ
θθθθ??=- ???
??
31531842264224
πππ
??=??-???= ???,
故
()
2
1d d D
x x y +??54
π=
. (21) （本题满分11分）设()y x 是区间3(0,)2
内的可导函数，且(1)0y =，点P 是曲线
:()L y y x =上的任意一点,L 在点P 处的切线与y 轴相交于点(0,)P Y ,法线与x 轴相交
于点(,0)P X ,若p P X Y =,求L 上点的坐标(,)x y 满足的方程.
【解析】设(,())p x y x 的切线为()()()Y y x y x X x '-=-，令0X =得，
()()p Y y x y x x '=-，法线1
()()()
Y y x X x y x -=-
-'，令0Y =得，()()p X x y x y x '=+。由p p Y X =得，()()y xy x x yy x ''-=+，即1()1y y y x x x ??
'+=- ???
。令y u x =，则y ux =，dy du x u dx dx =+，
那么，(1)(1)du u x
u u dx ??
++=- ???
，即211u dx du u x +=-+??，解得，
()21
ln 1arctan ln u u x C x
++=-+。 (22) （本题满分11分）三阶行列式123(,,)=A ααα有3个不同的特征值，且3122=+ααα （Ⅰ）证明()2r =A ;
（Ⅰ）如果123=++βααα求方程组=AX β 的通解.
【证】（I ）因为A 有三个不同的特征值，所以A ≠O ，()1r A ≥，假若()1r A =时，0是二重的，故不符合，那么()2r A ≥，又因为3122ααα=+，所以()2r A ≤，即()2r A =。 【解】（II ）因为()2r A =，所以0Ax =的基础解析只有一个解向量，又因为3122ααα=+，即12320ααα+-=，即基础解系的解向量为(1,2,1)T
-，又因为123βααα=++，故
Ax β=的特解为(1,1,1)T ，所以Ax β=的通解为(1,2,1)(1,1,1)T T k -+，k R ∈。
(23) （本题满分11分）设13222
1232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换
=X QY 下的标准型为22
1122
y y λλ+ 求a 的值及一个正交矩阵Q .
【解】二次型对应的矩阵为21411141A a -?? ?=- ? ?-??
，因为标准型为22
1122y y λλ+，所以0A =，
从而46a +=，即2a =，代入得
2
14
1
1
104
1
2
E A λλλλ---=-+-=--，解得0,3,6λ=-；
当0λ=时，2140111412E A --?? ?-=-- ? ?--??，化简得111012000--?? ?
- ? ???
，对应的特征向量为
1(1,2,1)T k ；
当3λ=-时，5143121415E A --?? ?--=--- ? ?--??，化简得1210
11000---?? ?
? ???
，对应的特征向量为2(1,1,1)T k -；
当6λ=时，4146171414E A -?? ?-=-- ? ?-??，化简得171010000--?? ?
? ???
，对应的特征向量为
3(1,0,1)T k -；
从而正交矩阵203332
6Q ?-
? ?=-
? ? ? ? ??
?
.