考研数学高等数学强化习题-定积分(应用)
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模块七 定积分(应用)
Ⅰ经典习题
一.平面图形的计算
1、曲线()sin 03x
y e
x x π-=≤≤与x 轴所围成图形的面积可表示为()
()30
sin x
A e xdx π
--? ()30
sin x B e xdx π-?
()230
2sin sin sin x x x C e xdx e xdx e xdx ππ
π
π
π
----+???
()230
2sin sin x
x D e xdx e xdx π
π
π
---??
2、设b 为常数
(1)求曲线321:(2)
x bx L y x x ++=+的斜渐近线(记为l )的方程
(2)设L 与l 从1x =延伸到x →+∞之间的图线的面积A 为有限值,求,b A
3、曲线2y
x =与直线2y x =+所围成的平面图形的面积为_________.
4、假设曲线1L :()2
101y x
x =-≤≤、x 轴和y 轴所围区域被曲线2L :2y ax =分为面
积相等的两部分,其中a 是大于零的常数,试确定a 的值.
5、求曲线y =l ,使该曲线与切线l 及直线0,2x x ==所围成的平面图形面
积最小. 6、计算抛物线2
2y
x =与直线4y x =-所围成的图形面积。
7、求椭圆22
221x y a b
+=所围成图形的面积。
8、求下列各曲线围成的图形的面积 (1)2cos a ρ
θ=
(2)()22cos a
ρθ=+
二.简单几何体的体积
9、曲线()2
11y x =--及直线0y =围成的图形绕y 轴旋转而成的立体的体积是( )
()(2
1
01A dy π+
? ()(2
1
1B dy π-?
()((
2
1
011C dy ππ??-??
? ()((
2
2
1
011D dy ππ??+-???
?
? 10、设曲线方程为(0).x
y e x -=≥
(1)把曲线、x
y e
x -=轴、y 轴和直线(0)x ξξ=>所围平面图形绕x 轴旋转一周,得一
旋转体,求此旋转体体积();V ξ求满足1
()lim ()2V a V ξξ→+∞
=的a (2)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.
11、设抛物线2y
ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时0,y ≥又已知该抛物线与x 轴及直线
1x =所围图形的面积为1.3
试确定,,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V
最小.
12、过坐标原点作曲线x y e =的切线,该切线与曲线x
y e =以及x 轴围成的向x 轴负向无限延伸的平面图形记为D (1)求D 的面积
(2)求D 饶直线1x =所成旋转体体积V
13、设曲线2
y ax =(0,0x a ≥>)与曲线2
1y x =-交于点A ,过坐标原点O 和点A 的直线与曲线2y ax =围成一平面图形D
(1)求D 饶x 轴旋转一周所成的旋转体体积()V a (2)求a 的值使()V a 为最大
14、在曲线2
(0)y x x =≥上某点A 处作切线,使之与曲线及x 轴所围图形的面积为1,12
试求:
(1)切点A 的坐标;(2)过切点A 的切线方程;
(3)由上述所围平面图形绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积。
15、过原点作曲线ln y x =的切线,该切线与曲线ln y x =以及x 围成平面图形D (1)求D 的面积
(2)求D 绕直线x e =旋转一周所得旋转体的体积V
16、求曲线2
3|1|y x =--与x 轴围成的封闭图形绕直线3y =旋转所得的旋转体体积. 17、设曲线2
4y ax =及直线()000x x x =>所围成图形绕x 轴旋转的体积。
三.曲线弧长(*数学一、数学二)
18、曲线()0,0b r ae
a b θ
=>>,从0θ=到()0θαα=>的弧长为()
()0
b A s ae α
θθ=? ()0
B s θ=?
()0
C s θ=?
()0
b D s abe α
θ=?
19、计算曲线ln y x =x ≤≤ 20、求对数螺旋线a e θ
ρ=,相应于0θ?≤≤的一段弧长。 21、求曲线1ρθ=,相应于
34
43
θ≤≤的一段弧长。 22、求心形线()1cos a ρθ=+的全长。 23、求抛物线212
y x =
,被圆22
3x y +=所截下的有限部分弧长。 四.旋转曲面面积(*数学一、数学二)
24、已知摆线的参数方程为(sin )
(1cos )
x a t t y a t =-??
=-?,其中02t π≤≤,常数0a >,设摆线一拱的
弧长的数值等于该弧段饶x 轴旋转一周所围成的旋转曲面面积的数值,求a
25、设有曲线y =
过原点作其切线,求由此曲线、切线及x 轴围成的平面图形绕x 轴
旋转一周所得到的旋转体的表面积. 26、由曲线段1
(02)2
y x x =
≤≤绕x 轴的旋转面面积.
五.物理应用(*数学一、数学二)
27、曲线()sin x a t t =-,()()1cos ,02y a t t π=-≤≤的质心为
()4,
3A a a π?? ??? ()2,3B a a π?? ??
? ()5,4C a a π?? ??? ()7,4D a a π?
? ???
28、半径为r 的球沉入水中,球的上部与水面相切,球的密度与水相同,现将球从水中取出,
需要多少功?
29、一圆柱形的贮水桶高为5m ,底圆半径为3m ,桶内盛满水,试问要把桶内的水全部吸出来需要做多少的功。
30、用铁锤将一铁钉击入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉入木板的深度成正比,在击第一次时,将铁钉击入木板1cm 。如果铁锤每次锤击铁钉所作的功相等,问铁锤第二次时,铁钉又击入多少?
31、等腰梯形的闸门,它的两条底边各长10m 和6m ,高为20m ,较长的底边与水面相齐,计算闸门的一侧所受的水压力(重力加速度按2
9.8/m s 计算)。
32、一底为8cm ,高为6cm 的等腰三角形片,铅直的沉入到水中,顶在上,底在下且与水面平行,而顶离水面3cm ,试求它的每面所受的压力(重力加速度按2
9.8/m s 计算)。 33、求下列平面图形的形心坐标: (1)平面区域:(){}2
21,|1,0,0D x y x
y x y =
+≤≥≥;
(2)曲线:2
2
1,0,0x y x y +=≥≥; (3)平面区域:(){}2
22,|1,11,01D x y x
y x y =
+≥-≤≤≤≤.
Ⅱ参考答案
一.平面图形的计算
1、()C
2、【解析】:(1)321
:(2)
x bx L y x x ++=+的斜渐近线为
3221
lim lim
2(2)
x x y x bx x x x →+∞→+∞++==+ 3332
212124lim (2)lim [2]lim 4(2)(2)
x x x x bx x bx x x y x x x x x x →+∞→+∞→+∞++++---=-==-++ 所以斜渐近线方程为:24y x =-
(2)3
11115
1
21(8)122[
(24)][](2)(2)2
A b x bx b x S x dx dx dx x x x x x x
+∞+∞+∞
+
++++=--==++++??? 215111lim[(215)ln(2)ln ]lim[ln (2)(215)ln 3]22t b t t b x x t t b +→+∞→+∞
=
+++=+-+ 若21510b ++≠,即如果8b ≠-,无论8,8b b >-<-均有215lim ln (2)b t t t +→+∞
+=∞ 这与A 的面积为有限值矛盾,
所以当8b =-时,215lim ln (2)lim ln
2
b t t t t t t +→+∞
→+∞
+==+0,此时ln 3
2A S = 3、【答案】
9
2
【解析】先解出两条曲线在平面的交点,即令2
2x x =+
解得1x =-和2x =,故所围成的平面图形如右图所示: 所求面积为 ()2
2
1
2S x x dx -=
+-?
2
2311
192.2
32x x x -??=+-= ???
4、【解析】先求出曲线1L 和2L 的交点,然后利用定积分求出平面图形面积1S 和2S ,如图:
由()()2
2
1010y x x y ax a ?=-≤≤??= >??
得 11x ,a a y .a ?=??+??=?+?
所以 1
1
2120
(1)S S S ydx x dx =+=
=-?
?
1
301233
x x ??
=-=????,
()()2
2
2
1110
111a a
S x ax dx a x dx ++????=--=-+?????
?
130
1331a
a x x a
++??
=-=
?+??.
又因为12S S =,所以
22331a
=?+,即12a +=,解得3a .= 5、【解析】过曲线上已知点00(,)x y 的切线方程为00()y y k x x -=-,其中当0()y x '存在时,0()k y x '=.
如图所示,设曲线上一点(,)t t 处的切线方程为
()2y t x t t
-=
-,
化简即得 2t
y t
=
+
. 面积 2
4
()232t S t x dx t t t ????=
+-=+-?? ? ??????
?
, 其一阶导数 3/21/211()222S t t t t t
--'=-
+=. 令()0S t '=解得唯一驻点1t =,而且S '在此由负变正,即()S t 在(,1]-∞单调递减,在
[1,)+∞单调递增,在此过程中()S t 在1t =时取极小值也是最小值,所以将1t =代入先前所
设的切线方程中,得所求切线方程为122
x y =+. 6、答案:18
7、答案:ab π
y O
2
t
t
8、(1)答案:2a π(2)答案:2
18a π
二.简单几何体的体积
9、()D
10、【解析】:(1)2
220
()(1),2
x V y dx e dx e ξ
ξ
ξπ
ξππ--===
-?
?
2lim (),()(1).2
2
a V V a e ξπ
π
ξ-→+∞
=
=
-
要 1()lim (),2V a V ξξ→+∞=
即2(1),24a e ππ--=得1
ln 2.2
a = (2)设切点为(,),e
α
α-则切线方程为().y e e x ααα---=--
令0x =得
(1);y e αα-=+令0y =得1.x α=+切线与坐标轴所夹面积
221
11
(1),(1)(1)(1)(1).2
22
S e S e e e ααααααααα----'=
+=+-+=+-
令 0S '= 得
1221,1().其中舍去ααα==-
由于当1α<时,0;S '>当1α>时,0.S '<故当1α=时,面积S 有极大值,即最大值。 所求切点为1
(1,),e -最大面积21
1122.2
S e e --=
?= 11、【解析】:∵曲线过原点,∴0.c = 由题设有
1
20
1(),323
a b ax bx dx +=
+=?
即2
(1)3b a =-及
2221
2
2
201114
()(1)(1).5235339a b a V ax bx dx ab a a a πππ????=+=++=+-+?- ???????
?
令 2
1
2
8
(1)0,53327a V a a a π??
'=+---=????
得5
,4a =-代入b 的表达式得3
.2b = 又因54
()04
135
a V π''-=>及实际情况,知当
53
,,042
a b c =-==
12、【解析】:设切点为00(,)P x y ,于是曲线x
y e =在点P 的切线斜率为
00
x
y e '= 故切线方程为:000()x
y y e x x -=-
此切线经过点(0,0),所以000x
y x e -=-,再由0
0001,x y e x y e =?==
即切线方程为:x
y e =
(1)易得:2000(ln )[ln ]lim ln 222
e
e D y y y e e
S y dy y y y y y e e +→=-=-+=+=? (2)D 饶直线1x =旋转一周所成的旋转体积
2
2
12
02(ln 2ln )e
y y V y y dy e e π=-+-?
232
025[ln 4ln 4]33
e y y y y y y y e e e ππ=-++-=
13、【解析】:22
1y ax y x
?=?=-?
的交点)1a A a +,直线OA
的方程为y = (1)旋转体体积
222245
2
2()()115
(1)
a a V a x a x dx a a ππ
=-=?++
(2)5
3
2
2
2
2752
5
2(1)(1)()2(4)215(1)
15(1)a a a a dV a a a da a a ππ+-?+-=?=++ 在0a >时得()V a 的唯一驻点4a =
当04a <<时()0V a '>,当4a >时()0V a '<,故4a =为()V a 的唯一极大值点,为最大值点 14、【解析】: 设切点A 的坐标为2
(,),a a 则过A 点的切线的斜率为
2,x a
y a ='
=
切线方程为
22(),y a a x a -=- 即 22.y ax a =-
切线与x 轴的交点为,0,2a ??
???
曲线、x 轴及切线所围图形面积为
3333
2
.43412
a
a a a a S x dx =-=-=?
由题设 1
,12
S =
因此 1.a = 于是,切点A 的坐标为(1,1);过切点(1,1)的切线方程为21;y x =-旋转体的体积为
1
1
22
210
2
()(21).30
V x dx x dx π
ππ=--=
??
15、【解析】: (1) 设切点的横坐标为0x ,则曲线y=lnx 在点)ln ,(00x x 处的切线方程是
).(1
ln 00
0x x x x y -+
= 由该切线过原点知 01ln 0=-x ,从而.0e x = 所以该切线的方程为 .1x e
y = 平面图形D 的面积 ?
-=
-=
1
.12
1
)(e dy ey e A y (2) 切线x e
y 1
=
与x 轴及直线x=e 所围成的三角形绕直线x=e 旋转所得的圆锥体积为 .3
1
21e V π=
曲线y=lnx 与x 轴及直线x=e 所围成的图形绕直线x=e 旋转所得的旋转体体积为
dy e e V y 2
1
02)(?-=
π, 因此所求旋转体的体积为
).3125(6
)(312102221+-=--=
-=?e e dy e e e V V V y π
ππ
16、【解析】如右图所示,曲线左右对称, 与x 轴的交点是(2,0),(2,0)-. 只计算右半部分即可.作垂直分割, 相应于[],x x dx +的小竖条的体积微元:
22222
3(3)3(1)dV y dx x dx π????=--=--????
24(82),02x x dx x π=+-≤≤,
于是 2
240
448
2(82)15
V x x dx ππ=+-=
?
. 17、2
02ax π
y =
三.曲线弧长(*数学一、数学二)
18、(
)A 19、答案:131ln 22
+
20、)1a e ?
- 21
、答案:
35ln
212
+ 22、答案:8a 23、
ln
四.旋转曲面面积(*数学一、数学二)
24、【解析】:摆线一拱弧长 220
s a π
π
=
=?
?
202sin 8
2
t
a dt a π
==?
摆线一拱饶x 轴旋转一周所生产的旋转曲面面积为
22200
2(2(1cos S y t a t π
π
ππ==-?
?
222
3
2
2200648sin 8(1cos )sin 2223t t t a dt a dt a π
ππππ==-=??
按题意,2643
838a a a ππ
=?=
25、【解析】先求切线方程:00(,)x y 处的切线为
000
1
(
)2y y x x y -=
-. 以0,0x y ==代入切线方程,解得002,
1x y ===, 切线方程为1
2
y x =
.(见右图) 由曲线段2)y x =
≤≤绕x 轴的旋转面面积
22
11
1
2321
1
2221
(43)
1).
34
6
S x ππππ====??-=
???
2
2
20
2
2200
221
.
2S xdx x ππ===?=???
由此,旋转体的表面积为
121).6
S S S π
=+=
26
、2
2
2
220000
122.222S xdx x ππ====?=???
五.物理应用(*数学一、数学二)
27、()A
28、答案 :443
r g π 29、答案:112.5()KJ π 30、
答案:
)
1cm -
31、答案:14373kn 32、答案:1.65N 33、(1)()
44,,33x y ππ??=
???;(2)()22,,x y ππ??= ???;(3)()
2,0,123x y π
?
?
= ?-??
.
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高数不定积分例题
不定积分例题 例1、设)(x f 的一个原函数是x e 2-,则=)(x f ( ) A 、x e 2- B 、2-x e 2- C 、4-x e 2- D 、4x e 2- 分析:因为)(x f 的一个原函数是x e 2- 所以)(x f ='=-)(2x e 2-x e 2- 答案:B 例2、已知?+=c x dx x xf sin )(,则=)(x f ( ) A 、x x sin B 、x x sin C 、x x cos D 、x x cos 分析:对?+=c x dx x xf sin )(两边求导。 得x x xf cos )(=,所以= )(x f x x cos 答案:C 例3、计算下列不定积分 1、dx x x 23)1(+ ? 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+? 分析:利用基本积分公式积分运算性质进行积分,注意在计算时,对被积函数要进行适当的变形 解:1、dx x x 23)1 (+?dx x x x )12(3++ =? c x x x dx x dx x xdx +-+=++=? ??22321ln 22112 2、dx x e e x x x )sin 3(2-+?dx x dx e x ??+=2sin 1)3(c x e x +-+=cot 3ln 1)3( 例4、计算下列积分
1、dx x x ?-21 2、dx e e x x ?+2) 1( 分析:注意到这几个被积函数都是复合函数,对于复合函数的积分问题一般是利用凑微分法,在计算中要明确被积函数中的中间变量)(x u ?=,设法将对x 求积分转化为对)(x u ?=求积分。 解:1、dx x x ?-21c x x d x +--=---=?2221)1(1121 2、dx e e x x ?+2) 1(c e e d e x x x ++-=++=?11)1()1(12 例5、计算?+xdx x sin )1( 分析:注意到这些积分都不能用换元积分法,所以要考虑分部积分,对于分部积分法适用的函数及u ,v '的选择可以参照下列步骤①凑微分,从被积函数中选择恰当的部分作为dx v ',即dv dx v =',使积分变为?udv ;②代公式,?udv ?-=vdu uv ,计算出dx u du '=;③计算积分?vdu 解:?+xdx x sin )1(???--=+=x x xd xdx xdx x cos cos sin sin ?+-+-=---=c x x x x x xdx x x cos sin cos cos )cos cos (
高等数学定积分应用
第六章 定积分的应用 本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题,其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式,而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。 一、教学目标与基本要求: 使学生掌握定积分计算基本技巧;使学生用所学的定积分的微元法(元素法)去解决各种领域中的一些实际问题; 掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等) 二、本章各节教学内容及学时分配: 第一节 定积分的元素法 1课时 第二节 定积分在几何学上的应用 3课时 第三节 定积分在物理学上的应用 2课时 三、本章教学内容的重点难点: 找出未知量的元素(微元)的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法 6.1定积分的微小元素法 一、内容要点 1、复习曲边梯形的面积计算方法,定积分的定义 面积A ?∑=?==→b a n i i i dx x f x f )()(lim 1 ξλ 面积元素dA =dx x f )( 2、计算面积的元素法步骤: (1)画出图形; (2)将这个图形分割成n 个部分,这n 个部分的近似于矩形或者扇形; (3)计算出面积元素; (4)在面积元素前面添加积分号,确定上、下限。 二、教学要求与注意点 掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。 三、作业35 6.2定积分在几何中的应用
一、内容要点 1、在直角坐标系下计算平面图形的面积 方法一 面积元素dA =dx x x )]()([12??-,面积 A = x x x b a d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出y 的两个表达式)(1x y ?=,)(2x y ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出x 的两个常数值a x =,b x =;不够时由)(1x ?)(2x ?=解出, b x a ≤≤,)()(21x y x ??≤≤,面积S =x x x b a d )]()([12??-? 方法二 面积元素dA =dy y y )]()([12??-,面积 A = y y y d c d )]()([12??-? 第一步:在D 边界方程中解出x 的两个表达式)(1y x ?=,)(2y x ?=. 第二步:在剩下的边界方程中找出y 的两个常数值c y =,d y =;不够时由)(1y ?)(2y ?=解出, d y c ≤≤,)()(21y x y ??≤≤,面积S =y y y d c d )]()([12??-? 例1 求22-=x y ,12+=x y 围成的面积 解?????+=-=1 222x y x y ,1222+=-x x ,1-=x ,3=x 。当31<<-x 时1222+<-x x ,于是 面积?--=+-=--+=3 1 313223 210)331 ()]2()12[(x x x dx x x 例2 计算4,22-==x y x y 围成的面积 解 由25.0y x =,4+=y x 得,4,2=-=y y ,当42<<-y 时 45.02+ 《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1. 求()x f x e -=在R 上的一个原函数。 2. 已知2 2 2 (sin )cos tan f x x x '=+,求()01f x x <<。 3. 设 2 ()f x dx x C =+?,则2(1)xf x dx -=? 。 4. 计算 3。 5。 计算。 6. 计算 71 (2) dx x x +?。 7。 计算。 8. 计算 21 13sin dx x +?。 9。 计算172 2 1sin cos dx x x ? 。 10. 计算 () 2 2 sin cos x dx x x x +?。 11. 计算 ()()2 ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++?。 12. 设()arcsin xf x dx x C =+? ,则 1 () dx f x =? 。 13. 设2 2 2(1)ln 2 x f x x -=-,且(())ln f x x ?=,求()x dx ??。 14. 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +?。 15. 计算x 。 16. 计算 1sin 22sin dx x x +?。 17. 计算ln t tdt α ? 。 18. 计算()ln n x dx ?。 《高等数学》考研辅导练习5 定积分 1.设02 ()2 l kx x f x l c x l ? ≤≤??=??<≤??,求0 ()()x x f t dt Φ=?。 2. 设1 ()2()f x x f x dx =+? ,则()f x = 。 3. 计算 {}2 23 min 2,x dx -? 。 4. 已知()f x 连续,且满足()()1f x f x -=,则 2 2cos 1()x dx f x π π-+?= 。 题 号 一 二 三 四 总分 统分人 分 数 得 分 一、选择 (8小题,共26分) 得分 阅卷人 1. 4)(2 x dt t f x =? ,则=?dx x f x 40)(1( ) A 、16 B 、8 C 、4 D 、2 2.设正值函数 )(x f 在],[b a 上连续,则函数 dt t f dt t f x F x b x a ? ?+=) (1 )()(在),(b a 上至少有( )个根。 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 3. =+? dx x x 3 1 ( ) A .18 B . 3 8 C . 1 D .0 4.设 )(x ?''在[b a ,]上连续,且a b =')(?,b a =')(?,则 ?='''b a dx x x )()(??( ) (A )b a - (B )21(b a -) (C ))(2 1 22b a + (D ))(2 122 b a - 5. 19 3 8 dx x +? 定积分作适当变换后应等于 A 、3 23xdx ? B 、30 3xdx ? C 、 2 3xdx ? D 、3 23xdx --? 6.sin 22y x x ππ?? -=???? 在 ,上的曲线与轴围成图形的面积为 A 、 22 sin xdx π π-? B 、2 sin xdx π ? C 、0 D 、 22 sin x dx π π-? 7.2 1 x xe dx +∞ -=? 广义积分 A 、 12e B 、12e - C 、e D 、+∞ 8 . 2 ()d ()(0)0(0)2lim x x f x x f x f f x →'==?若为可导函数,且已知,,则之值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、1 2 二、填空 (2小题,共5分) 得分 阅卷人 高等数学不定积分例题思路和答案超全 内容概要 课后习题全解 习题4-1 :求下列不定积分1.知识点:。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析:!利用不定积分的运算性质和基本积分公式,直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数,由积分表中的公式(2)可解。 解: (2)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (3)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。:解. (4)★思路: 根据不定积分的线性性质,将被积函数分为两项,分别积分。解: (5)思路:观察到后,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: (6)★★思路:注意到,根据不定积分的线性性质,将被积函数分项,分别积分。 解: 注:容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地,如果被积函数为一个有理的假分式,通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式,再分项积分。(7)★思路:分项积分。 解: (8)★思路:分项积分。 解: (9)★★思路:?看到,直接积分。 解: (10)★★思路: 裂项分项积分。解: (11)★解: (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法:指数不变,底数相乘。显然。 解: (13)★★思路:应用三角恒等式“”。 解: (14)★★思路:被积函数,积分没困难。 解: (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时,一般地先降幂,再积分。 解: (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式,先升幂再积分。 解: () 17★思路:不难,关键知道“”。 :解. ()18★思路:同上题方法,应用“”,分项积分。 解: ()19★★思路:注意到被积函数,应用公式(5)即可。 解: ()20★★思路:注意到被积函数,则积分易得。 解: 、设,求。2★知识点:。考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析::。即可1直接利用不定积分的性质解::等式两边对求导数得 、,。求的原函数全体设的导函数为3★知识点:。仍为考查不定积分(原函数)与被积函数的关系思路分析:。连续两次求不定积分即可解:,由题意可知:。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点:。考查原函数(不定积分)与被积函数的关系思路分析:。只需验证即可解:,而、,且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数,求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点:属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题,实质仍为考查原函数(不定积分)与被积函数的关系。 思路分析:求得曲线方程的一般式,然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。 解:设曲线方程为,由题意可知:,; 又点在曲线上,适合方程,有, 所以曲线的方程为 、,:问6一物体由静止开始运动,经秒后的速度是★★(1)在秒后物体离开出发点的距离是多少? 常 用 积 分 公 式 (一)含有ax b +的积分(0a ≠) 1.d x ax b +? =1 ln ax b C a ++ 2.()d ax b x μ+?=11 ()(1) ax b C a μμ++++(1μ≠-) 3.d x x ax b +? =21 (ln )ax b b ax b C a +-++ 4.2d x x ax b +? =22311()2()ln 2ax b b ax b b ax b C a ?? +-++++???? 5.d () x x ax b +?=1ln ax b C b x +-+ 6.2 d () x x ax b +?=21ln a ax b C bx b x +-++ 7.2d ()x x ax b +? =21(ln )b ax b C a ax b ++++ 8.22 d ()x x ax b +?=2 31(2ln )b ax b b ax b C a ax b +-+-++ 9.2 d ()x x ax b +? = 211ln ()ax b C b ax b b x +-++ 的积分 10.x C + 11.x ?=2 2(3215ax b C a -+ 12.x x ?=2223 2 (15128105a x abx b C a -+ 13.x =22 (23ax b C a - 14.2x =2223 2(34815a x abx b C a -+ 15 . =(0) (0) C b C b ?+>< 16 . 2a b - 17 .x =b +18 .x =2a x -+ (三)含有22x a ±的积分 19.22d x x a +?=1arctan x C a a + 20.22d ()n x x a +?=2221222123d 2(1)()2(1)()n n x n x n a x a n a x a ---+-+-+? 21.22 d x x a -? =1ln 2x a C a x a -++ (四)含有2(0)ax b a +>的积分 22.2d x ax b +? =(0) (0) C b C b ?+>+< 23.2 d x x ax b +? =2 1ln 2ax b C a ++ 24.22d x x ax b +?=2d x b x a a ax b -+? 25.2d ()x x ax b +?=2 2 1ln 2x C b ax b ++ 26.22d ()x x ax b +? =21d a x bx b ax b --+? 第四章 不 定 积 分 § 4 – 1 不定积分的概念与性质 一.填空题 1.若在区间上)()(x f x F =',则F(x)叫做)(x f 在该区间上的一个 , )(x f 的 所有原函数叫做)(x f 在该区间上的__________。 2.F(x)是)(x f 的一个原函数,则y=F(x)的图形为?(x)的一条_________. 3.因为 dx x x d 2 11)(arcsin -= ,所以arcsinx 是______的一个原函数。 4.若曲线y=?(x)上点(x,y)的切线斜率与3 x 成正比例,并且通过点A(1,6)和B(2,-9),则该 曲线方程为__________?。 二.是非判断题 1. 若f ()x 的某个原函数为常数,则f ()x ≡0. [ ] 2. 一切初等函数在其定义区间上都有原函数. [ ] 3. ()()()??'='dx x f dx x f . [ ] 4. 若f ()x 在某一区间内不连续,则在这个区间内f ()x 必无原函数. [ ] 5. =y ()ax ln 与x y ln =是同一函数的原函数. [ ] 三.单项选择题 1.c 为任意常数,且)('x F =f(x),下式成立的有 。 (A )?=dx x F )('f(x)+c; (B )?dx x f )(=F(x)+c; (C )? =dx x F )()('x F +c; (D) ?dx x f )('=F(x)+c. 2. F(x)和G(x)是函数f(x)的任意两个原函数,f(x)≠0,则下式成立的有 。 (A )F(x)=cG(x); (B )F(x)= G(x)+c; (C )F(x)+G(x)=c; (D) )()(x G x F ?=c. 3.下列各式中 是| |sin )(x x f =的原函数。 (A) ||cos x y -= ; (B) y=-|cosx|; (c)y={ ;0,2cos , 0,cos <-≥-x x x x (D) y={ . 0,cos ,0,cos 21<+≥+-x c x x c x 1c 、2c 任意常数。 4.)()(x f x F =',f(x) 为可导函数,且f(0)=1,又2 )()(x x xf x F +=,则f(x)=______.完整word版,高等数学考研辅导练习题不定积分定积分及常微分方程
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