高三数学数列综合(理)人教版知识精讲

高三数学数列综合（理）人教版

【同步教育信息】 本周教学内容： 数列综合

重点、难点:

1. 等比、等差数列综合应用。

2. 利用等比等差数列，研究非等差等比数列。

3. 求｛a n ｝的最大项。

【典型例题】

［例1］ 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上

4所得三个数成等差数列，如果再把这

个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。

解:等差数列为a d ， a ， a d

2 ... (a d) (a d) (a 4)

2

(a d)(a d 32) a a 2 d 2

a 2 8a 16(1)

① d 8 a 10

② d - a 26

3

9

???此三数为 2、6、18 或-、10、50

9 9

9 ［例2］等差数列｛a n ｝中, a 1

393, a 2 a 3

768 , {b n }是等比数列，q (0,1),

b 1 2 , ｛b n ｝所有项和

为

20,求

(1)求 a n 、b n

（2）解不等式归

a 2m

160b 2

m 1

解：

(1)： 2a 1 3d

768 ? d 6

a n 6n

399

b 1

“

9 9 n 1

20

q

b n

2 () 1 q

10

10

-m(a m 1

a 2m

)

9

不等式

2

9

160 2 —

m 1

10

2 2

(a d ) 32(a

2

.a 8a 16 32a

2

1 d 8

(4d 2)

3

2

3d 32d 64 0

2

d) a (2)

2

32d a 2 3a 4d

16

(3d 8)( d 8) 0 0代入（1）

1

m(6m 39 2 3 12m 399)

16 1 8 (m 1)

9m 2 396m 1 6 18 (m 1) 0 2 m

12m

i 32 0

(m 4)(m 8) 0 m {4,5 6

7,8}

[例 3] { a n ｝

等差，｛b n ｝

等比，a 1

b

, a 2 b 2 0 , a 1 a 2,求证：a n b n ( n 3) 解: a 2 b 2 a 1 d

a.

.q

? d a,q 1)

b n

n 1

a n ae

a 1 (n

1)d

ad(q n 1 1)

(n 1)(q 1)]

a/q 1)(q n 2 n 3

q

1) (n 1)(q 1)]

a,q

1)[(q n 2

1) (n 1)]

a,q

1)[(q n 2

1)

(q n 3

1)

(

q 1) (1

1)]*

q (0,1) q 1 0 q n

1 0

* 0

q (1,

) q

1 0 n

q 1 0 *

nN

n 3 时，b n a n

［例4］等差数列｛a *｝所有项依次排，并分组，(aj(a 2a 3)(a 4a 5a 6a 7)(a 8 ) ，第m 组 中有2m 1个数，和记为T n ，并且T 3 48 , T 4 0，求：

("求 T n ； (2) S n

T 1

T 2

T n

，求 S n 。

解：

a 4 a 5

a 6 a 7

48 a

21 a 8

a 9

a 15

d 2

T n 中共2n 1个数，依次成等差数列 T i ~ T n 1 共有数 1 2 2n 2 2n 1 1 项

?- T n 的第一个为 a 2n 1

21 (2n1 1) 2

[例 5] an a 12 a 13 a 14

a 1n

2

数表由n 个正数组成 a 21 a 22 a 23 a 24

a 2n 每一行成等差数列 a 31

a 32

a 33

a 34

a 3n

每一列成等比数列 a 41 a 42 a 43 a 44 a 4n

并且公比相等

?2n 1 23 2门1 ?2n 2 ?n 1

3 22n 2 3 2n 2

S n T 1

T 2

T n

3[( 20

22

2

：

2n 2

) (23

3 [

1(1 4n ) 23(1 2n ) ]4n

[

1 4 1 2

4n 24 2n 23 (2n 23)(2n

2n 2)]

1 3 2n 3 24

1) a 1 a 2

a 2n 1

??? T n 2n 1 (2n 23) -!(2n 1) (2n 1 1) 2

2

[例6] {a n }等差，

{b n

}等比，

a n n 1， 解:

C n 1

C n

9n 1(n n 1

2)

9n

(n 1)

n

10

10 n 8时， C n 1 C n ,即 C 1

C 2 C 3

n 8时， C 9 C 8

c 8时， c

n 1

c n

即 C 9 C 10

C 11

99

c n max

C 8 C 9

8

10

［例7］求数列a n 財n 的最大项与最小项。

b n (1。) ， C n a n

b n ， 求C n 的最大值。

9n (9 n 18 10n

10) 9n (8 n)

n 1

10

n 1

10

C 8

a 24

1 a 42

a n1 a n2 a n3 a n4 a nn

a 43

3 16

（1）求这n 2个数之和；

a 33 一行公差为d （2）

求an a 22

解： 设a 11 a ，第 a 24

(a 3d) q a 42

(a d)q 3

a 43

(a 2d)q 3

设第n 行的和为T n

T

1

i n

2

n （n

1 1

8 3 16

a nn ，公比为q

1

2

1 2 1 2

a 11

P

n

1)

1 /

2 4(n

T i [1

n) T n qT n

&

T

i

T n

1P n

2P

n

P n

1 2

1 2 (2)2

(

2)

'(1)2

a 22 2（

寸）

a 33

中]1 (

n(n

1 2 ' 2

3 1 2 2(

2)

?

1) a nn

e )n

(1 G )n

1

（1）

￡

(

2)

(n 1

1)(1)n

2 1 2* 1

n

（扩

2 J a n 2 2

a 3 a 6 a 9

a 99等于（ ）

1

解：y f (x) x x

x [3,

] ?In [f(x)]

1

一 In x

x

1 1 In f ( \f\

x T (x)

:1 x x

In x

v [3,)

f (x) 0

T

(x )

2

f (x)

x 1

l 入

丿

2

x

x ??? 3

3

4

4

5 5

n

n 1

a 1 1 a 2

. 2

a min a 1

1

a max

a 3

3

3

[例8] ｛a n ｝等差a i 1，前n 项和为S n ,佝｝等比，|q| 1，前n 项和为T n ,

b ?,

S 6 2T ?

1, lim T n 8

n

("求 a n , b n

(2)数列｛c n ｝满足 b i C i b 2C 2

b n C n a * 1

对一切n N *成立，｛C n ｝前n 项和为P n ，求lim F n b n 。

n

解：

2.设x y ，且两数列x ,a 1,a 2,y 及x,b 1,b 2,b 3,y 都是等差数列，则色一亚等于（

b 1 b 2

(1)

3d dq

15d 2b 1(1 q) bi

b 1 1 q

3 1 2

b n 1

a n

C n 1

如 2)

b "

G )"3

a n

1

1 n 3

b n C n

—

C n

2

3

3

P n

1 (1)

(1 2n ) 1

n

(2n

1) 3

1 2

12

2

lim P n b n —

n

3

P n b n

2

1^2

(1)

n3

1.数列 11，21

2 3

41 的一个通项公式是（

5

A. a n C. a n

n 2 1 n 1

n 2 n 1

B. a n D. a n

n 2 n 1 n 1

2

.

n n 1 2

n

3

4

A.

B. C

4 5

2的等差数列，若a 1 a 4 a 7

a 97 50，则

（2

b 1

c b n C n

be

a n 1 【模拟试题】（答题时间:

40分钟）

4

D.

3.数列｛a n ｝是公差为

A. 182

B. 78

C. 148

D. 82 4.

公差不为零的

等差数列的第 2, 3, 6项组成等比数列，则公比为（ ） 平均增长率为（ )

A.

匕B.

1

11

n C.

12 ---------

n 1

11

D.

. n

1

11

1

2 3 n

6.

已知数列1011

,10 11 10右，…, 1017,…, 它的前n 项之积小于

100000,则正整

数n 的最大值为（

)

A. 8

B. 9

C. 10

D. 11

7. 数列｛a n ｝

中，

a 1 1,

a n 1 a n

2n 1 , n N ,则 a 11

(

)

A. 101

B. 121

C. 122

D. 253

8. 设等差数列｛a n

｝

满足 3a 8

5a 13, 且 a 1 0 , S n 为其前n 项之和， 则S n 中最大的是

（

)

A. So

B.

S1

C.

S 20 D

S 21

二 .

计算题：

1. 正数数列｛a n ｝中， S n

o (a n -

），求 a n 。

2

a n

1月份产值的n 倍，则该厂2002年度产值的月

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

5.某厂2002年12月份产值计划为当年