人教版初一数学下册同步精编讲义

第1讲相交线

知识点1 直线交点个数

1. 两条直线交于一点，我们称这两条直线相交，相对的，我们称这两条直线为相交线．

【典例】

1.观察下列平面图形：

第一个图2条直线相交，最多有1个交点；第二个图3条直线相交最多有3个交点；第三个图4条直线相交；最多有6个交点，…，像这样，则30条直线相交，最多交点的个数是_____________.

【方法总结】

根据2条，3条，4条直线相交时最多的交点个数发现规律，根据规律，写出n条相交线交点最多的个数的表达式：1+2+3+4+5+…+（n﹣1），因为1+2+3+4+5+…+（n﹣1）=，所以n条相交线交点最多的个数为，令n=30即可求出答案.

【随堂练习】

1．在平面内，若两条直线的最多交点数记为a1，三条直线的最多交点数记为a2，四条直线的最多交点数记为a3，…，依此类推，则

．

2．平面上有10条直线，其中4条直线交于一点，另有4条直线互相平行，这10条直线最多有几个交点？它们最多能把平面分成多少个部分？

知识点2 邻补角与对顶角

邻补角

1. 邻补角：两个角有一条公共边，他们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角.

2. 邻补角的模型：

∠1和∠3是邻补角，∠1和∠4是邻补角，∠2和∠3是邻补角，∠2和∠4是邻补角，

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线.

3. 邻补角的性质：两个角的和为180°.

对顶角

1. 对顶角的模型：

∠1和∠2是对顶角，∠3和∠4是对顶角.

特点：①成对出现；②两个角有公共的顶点；③每个角的两边互为另一个角的反向延长线.

2. 对顶角的性质：对顶角相等.

【典例】

1.如图，直线AB、CD相交于点O，OE把∠BOD分成两部分．

（1）直接写出图中∠AOC的对顶角：__________，∠EOB的邻补角：______________; （2）若∠AOC=70°且∠BOE：∠EOD=2：3，求∠AOE的度数．

【方法总结】

（1）根据对顶角和邻补角的定义直接写出即可；（2）根据对顶角相等求出∠BOD的度数，再根据∠BOE：∠EOD=2：3求出∠BOE的度数，然后利用互为邻补角的两个角的和等于180°即可求出∠AOE的度数．

本题主要考查了对顶角和邻补角的定义，牢记“对顶角相等”和“互为邻补角的两个角的和等于180°”是解题的关键．

【随堂练习】

1．如图，直线AB、CD相交于点O．已知∠BOD＝75°，OE把∠AOC分成两

个角，且∠AOE∠EOC

（1）求∠AOE的度数；

（2）将射线OE绕点O逆时针旋转α°（0°＜α＜360°）到OF．

①如图2，当OF平分∠BOE时，求∠DOF的度数；

②若∠AOF＝120°时，直接写出α的度数．

2．如图，直线CD与EF相交于点O，∠COE＝60°，将一直角三角尺AOB的直角顶点与O重合，OA平分∠COE．

（1）求∠BOD的度数；

（2）将三角尺AOB以每秒3°的速度绕点O顺时针旋转，同时直线EF也以每秒9°的速度绕点O顺时针旋转，设运动时间为t秒（0≤t≤40）．

①当t为何值时，直线EF平分∠AOB；

②若直线EF平分∠BOD，直接写出t的值．

知识点3 垂线

垂线

1. 两直线相交所形成的角中，当有一个角等于90°时，这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，他们的交点叫做垂足.

2. 垂直的模型：

说法：①直线a是直线b的垂线（或直线b是直线a的垂线），垂足为O.

②直线a垂直于直线b于点O（或直线b垂直于直线a于点O）.

结论：两垂直直线形成的四个角都是直角，均为90°.

3. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.

垂线段

1. 过直线外一点作直线的垂线，以这个点和垂足为端点的线段叫做这个点到直线的垂线段.

2. 垂线段模型：

线段AB是点A到直线a的垂线段.

3. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.

简单说成：垂线段最短.

4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离.

注意：距离是长度，不是线段.

【典例】

1.如图，点O在直线AB上，点M，N在直线AB外，若MO⊥AB，NO⊥AB，垂足均为O，则可得点N在直线MO上，其理由是______________.

2.如图，直线AB与CD相交于O，OE⊥AB，OF⊥CD.

（1）①图中与∠AOF互余的角是___________；

②与∠COE互补的角是___________．

（把符合条件的角都写出来）

（2）如果∠AOC比∠EOF的小6°，求∠BOD的度数．

【方法总结】

结论：在同一平面内，已知直线AB，若MO⊥AB，NO⊥AB且垂足为O，则M，O，N 在同一条直线上.

方法：求一个角的度数时，若涉及多个有关联的未知角，用方程的思想解题比较简单明了.设所求角度数为x，用x表示出题目中有关联的各个角，根据等量关系列出方程，解方程，进而求得答案.

3.如图，AC⊥CB于C，CD⊥AB于D，下列关系中一定成立的是_________（填序号）（1）AD＞CD；（2）CD＞BD；（3）BC＞BD；（4）AC＞AD.

4.如图，BC⊥AC，BC=3，AC=4，AB=5，则点C到线段AB的距离是________．

【方法总结】

注意：垂线段是一条线段，距离是长度，即一个有长度单位的一个数值.点到直线的距离即垂线段的长度.一定要分清两者的联系与区别.

结论：已知直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，则斜边上的高为，即直角顶点到斜边的距离.

【随堂练习】

1．如图，OA⊥OB，引射线OC（点C在∠AOB外），OD平分∠BOC，OE平分∠AOD．

（1）若∠BOC＝40°，请依题意补全图，并求∠BOE的度数；

（2）若∠BOC＝α（0°＜α＜90°），请直接写出∠BOE的度数（用含α的代数式表示）．

2．根据要求画图，并回答问题．

已知：直线AB，CD相交于点O，且OE⊥AB．

（1）过点O画直线MN⊥CD；

（2）若点F是（1）中所画直线MN上任意一点（O点除外），若∠AOC＝35°，求∠EOF的度数．

知识点4 同位角、内错角、同旁内角

模型：

1. 同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角分别在两直线的同一方，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．如∠1与∠8，∠2与∠5.

2. 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两侧，则这样一对角叫做内错角．如∠1与∠6，∠4与∠5.

3. 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同一旁，则这样一对角叫做同旁内角．如∠1与∠5，∠4与∠6.

4. 三线八角中的某两个角是不是同位角、内错角或同旁内角，完全由那两个角在图形中的相对位置决定．在复杂的图形中判别三类角时，应从角的两边入手，具有上述关系的角必有两边在同一直线上，此直线即为截线，而另外不在同一直线上的两边，它们所在的直线即为被截的线．同位角的边构成“F”形，内错角的边构成“Z”形，同旁内角的边构成“U” 形.【典例】

1.如图，与∠α构成同旁内角的角有________个.

2.如图，用数字标出的八个角中，同位角、内错角、同旁内角分别有哪些？请把它们全部写出来．

【方法总结】

判断一对角是不是同位角、内错角或同旁内角有两种方法：①按定义判断，找到截线（两个

角的公共边所在的直线）与被截线，判断两个角的位置关系；②按两个角构成的形状判断，若构成“F”形，则为同位角；若构成“Z”形，则为内错角；若构成“U”形，则为同旁内角.数角的对数的时候，要认真仔细，做到不重不漏.

【随堂练习】

1．已知：如图是一个跳棋棋盘，其游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角．跳动时，每一步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始位置∠1跳到终点位置∠3写出其中两种不同路径，路径1：∠1﹣同旁内角→∠9﹣内错角→∠3．

路径2：∠1一内错角→∠12一内错角→∠6﹣同位角→∠10﹣同旁内角→∠3．试一试：（1）从起始∠1跳到终点角∠8；

（2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点∠8？

2．如图所示，把一根筷子一端放在水里，一端露出水面，筷子变弯了，它真的弯了吗？其实没有，这是光的折射现象，光从空气中射入水中，光的传播方向发生了改变．

（1）请指出与∠1是同旁内角的有哪些角？请指出与∠2是内错角的有哪些角？（2）若∠1＝115°，测得∠BOM＝145°，从水面上看斜插入水中的筷子，水下部分向上折弯了多少度？请说明理由．

综合运用

1.如图，2条直线两两相交最多能有1个交点，3条直线两两相交最多能有3个交点，4条直线两两相交最多能有6个交点，5条直线两两相交最多能有_________个交点，…，n条直线两两相交最多能有___________个交点（用含有n的代数式表示）

2.如图所示，直线AB，CD相交于点O，∠AOF=∠DOE．

（1）图中的对顶角有___对，它们是_____________________；

（2）∠COB的邻补角是___________，∠COE的补角是___________；

（3）若∠AOC=70°，∠DOE=32°，那么∠BOE=_____，∠DOF=______．

3.如图所示，某自来水厂计划把河流AB中的水引到蓄水池C中，问从河岸AB的何处开渠，才能使所开的渠道最短？画图表示，并说明设计的理由．

4.作图并写出结论：

如图，点P是∠AOB的边OA上一点，请过点P画出OA，OB的垂线，分别交BO 的延长线于M、N，线段_______的长表示点P到直线BO的距离；线段_____的长表示点M到直线AO的距离；线段ON的长表示点O到直线______的距离；点P到直线OA的距离为______．

5.如图，点A表示小雨家，点B表示小樱家，点C表示小丽家，她们三家恰好组成一个直角三角形，其中AC⊥BC，AC=900米，BC=1200米，AB=1500米．

（1）试说出小雨家到街道BC的距离以及小樱家到街道AC的距离．

（2）画出表示小丽家到街道AB距离的线段．

6.如图，已知直线a，b被直线c，d所截，直线a，c，d相交于点O，按要求完成下列各小题．

（1）在图中的∠1～∠9这9个角中，同位角共有多少对？请你全部写出来；

（2）∠4和∠5是什么位置关系的角？∠6和∠8之间的位置关系与∠4和∠5的相同吗？

7.如图，∠1和∠4，∠2和∠5，∠3和∠5，∠3和∠4分别是哪两条直线被哪一条直线多截成的？它们各是什么角？

8.如图所示，a、b两条直线交于一点，生成∠9，探索∠9与原有角的位置关系．

（1）直线b、c被直线a所截，∠9与∠4是_______．

（2）∠9与∠5是直线_______被直线_______所截形成的_______．

（3）图中共有几对同旁内角？

9.已知直线AB和CD相交于O点，CO⊥OE，OF平分∠AOE，∠COF=34°，求∠BOD的

度数．

第2讲平行线

知识点1 平行公理及推论

1. 在同一平面内，不重合的两条直线只有两种位置关系：相交和平行.

直线a与直线b不相交时，直线a与b互相平行，记作a∥b.

2. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.

平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 【典例】

1.如图，直线a，点B，点C.

（1）过点B画直线a的平行线，能画几条？

（2）过点C画直线a的平行线，它与（1）中所作的直线平行吗？

【方法总结】

本题考查了平行公理及其推论．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.在公理中，要准确理解“有且只有”的含义．从作图的角度说，它是“能但只能画出一条”的意思.推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．平行公理的推论是判定两直线平行的一种常用方法，要牢固掌握.

【随堂练习】

1．下列四种说法：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；

②在同一平面内，两条不相交的线段是平行线段；

③相等的角是对顶角；

④在同一平面内，若直线AB∥CD，直线AB与EF相交，则CD与EF相交．其中，错误的是_____（填序号）．

2．下列说法中：①同位角相等；②过一个点有且只有一条直线与已知直线垂直；

③两直线相交成的四个角中相邻两角的角平分线互相垂直；④三条直线两两

相交，总有三个交点；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥若a⊥b，b⊥c，则a ⊥c．其中正确的说法是____．

知识点2 平行线的判定

1. 平行线的判定方法：

判定方法1 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：同位角相等，两直线平行.

如图1，∵∠4=∠2，∴a∥b.

判定方法2 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

简单说成：内错角相等，两直线平行.

如图2，∵∠4=∠5，∴a∥b.

判定方法3 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵∠4+∠1=180°，∴a∥b.

2. 重要结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行.

注意：条件“同一平面”不能缺少，否则结论不成立.

【典例】

1.如图，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠E为直角，AB与CD平行吗？试说明理由.

【方法总结】

首先根据角平分线的定义可得∠ABD=2∠α，∠BDC=2∠β，根据等量代换可得∠ABD+∠

BDC=2（∠α+∠β）.由∠E为直角可得∠α+∠β=90°，进而得到∠ABD+∠BDC=180°，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”可得答案．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握角平分线的定义和平行线的判定方法．

【随堂练习】

1．如图，已知∠A＝∠F，∠C＝∠D，试说明BD∥CE．

2．已知：如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠5＝∠6．求证：ED∥FB．

知识点3 平行线的性质

平行线的性质：

性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.

简单说成：两直线平行，同位角相等.

如图1，∵a∥b，∴∠4=∠2.

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.

简单说成：两直线平行，内错角相等.

如图2，∵a∥b，∴∠4=∠5.

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：同旁内角互补，两直线平行.

如图3，∵a∥b，∴∠4+∠1=180°.

【典例】

1.如图1，对于直线MN同侧的两个点A，B，若直线MN上的点P满足∠APM=∠BPN，则称点P为A，B在直线MN上的反射点．已知如图2，MN∥HG，AP∥BQ，点P为A，B在直线MN上的反射点，判断点B是否为P，Q在直线HG上的反射点，并说明理由．

【方法总结】

依据点P为A，B在直线MN上的反射点，即可得到∠APM=∠BPQ，再根据平行线的性质，即可得到∠PAB=∠PBA，经过等量代换可得∠PBA=∠QBG，所以点B是P，Q在直线HG 上的反射点．本题是新定义题，正确理解“反射点”的概念和特征，并熟练应用平行线的性质是解题的关键.