益阳市中考数学试卷附参考答案及评分标准

2008年湖南省益阳市中考数学试卷

本试卷包括试题卷和答题卷. 试题卷1至2页，答题卷3至8页. 本试卷共有七道大题. 考试时间为120分钟，满分120分. 考试结束后，考生将试题卷和答题卷全部交回.

试 题 卷

考生注意：答试题卷时，按要求将试题卷的答案填在答题卷中的相关答题栏中，不得答在试题卷上. 试题

卷共2道大题，16道小题，共54分.

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分，每小题提供的选项中只有一项符合题目要求，请

将符合题目要求的答案的英文字母的代号填写在答题卷上方相关答题栏中对应题号下的空格内） 1．3

1

的相反数是

A. 3

B. -3

C.

31 D. 3

1- 2．一个正方体的水晶砖，体积为100cm 3，它的棱长大约在

A. 4cm~5cm 之间

B. 5cm~6cm 之间

C. 6cm~7cm 之间

D. 7cm~8cm 之间 3．下列计算中，正确的是

A. 633a a a =+

B. 532)(a a =

C. 842a a a =?

D. a a a =÷34 4．如图1，骰子是一个质量均匀的小正方体，它的六个面上分别刻有1~6 个 点.，小明仔细观察骰子，发现任意相对两面的点数和都相等. 这枚骰子向上的一面的点数是5，它的对面的点数是

A. 1

B. 2

C. 3

D. 6

5．物理学知识告诉我们，一个物体所受到的压强P 与所受压力F 及受力面积S 之间的计算公式为S

F

P =

. 当一个物体所受压力为定值时，那么该物体所受压强P 与受力面积S 之间的关系用图象表示大致为

6．下列四个图形中不是轴对称图形的是

7．某班第一小组7名同学的毕业升学体育测试成绩(满分30分)依次为：25,23,25,23,27,30,25， 这组数据的中位数和众数分别是

A. 23,25

B. 23,23

C. 25,23

D. 25,25

图1

O P S

S

O P

O P S O P A B C D S A B C D

A.

?526sin 米 B. ?526tan 米 C. 6·cos 52°米 D. ?

526

cos 米 9．如图3 ，一个扇形铁皮OAB. 已知OA =60cm ，∠AOB =120°，小华将OA 、OB 合拢制成了一个圆锥形

烟囱帽(接缝忽略不计)，则烟囱帽的底面圆的半径为

A. 10cm

B. 20cm

C. 24cm

D. 30cm

10.有一种石棉瓦(如图4)，每块宽60厘米，用于铺盖屋顶时，每相邻两块重叠部分的宽都为10厘米，那么n (n 为正整数)块石棉瓦覆盖的宽度为

A. 60n 厘米

B. 50n 厘米

C. (50n+10)厘米

D. (60n -10)厘米

二、填空题（本题共6个小题，每小题4分，共24分，请将解答答案填写在答题卷上方的相关答题对应题号下的空格内）

11. 第29届奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京开幕，举行开幕式的国家体育场“鸟巢”共有91000个座位，这个数用科学记数法表示为 个.

12. 如图5，在△ABC 中，AB =AC ，AD 是BC 边上的高，点E 、F 是AD 的三等分点，若△ABC 的面积为12cm 2，则图中阴影部分的面积是 cm 2.

13．图6是一个五角星图案，中间部分的五边形ABCDE 是一个正五边形，则图中∠ABC 的度数是 .

14．图7是益阳市行政区域图，图中益阳市区所在地用坐标表示为(1,0)，安化县城所在地用坐标表示为(-3，-1)，那么南县县城所在地用坐标表示为 .

15. 在一个袋中，装有十个除数字外其它完全相同的小球，球面上分别写有1，2，3，4，5这5个数字. 小芳从袋中任意摸出一个小球，球面数字的平方根是无理数的概率是 .

16．在下列三个不为零的式子 44,2,4222+---x x x x x 中，任选两个你喜欢的式子组成一个分式是 ，把这个分式化简所得的结果是 .

2008年湖南省益阳市中考数学试卷

考生注意：1.答题前，将密封线内的项目填写清楚。2.不准用红色墨水笔作答。 B

A C D F E 图5 120°

O A B 图3 A B C D E 图6 安化

益阳 南县 图7 A B C ┐

图2 图4

题号 一 二 三 四 五 六 七 总 分 合分人

复分人 得分

试题卷答题栏 评卷人： 复评人：

一、选择题(请将试题卷此题解答答案填入下表中对应题号下的空格内)

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 得分 答案

一、填空题(请将试题卷此题解答答案填入下表中对应题号下的空格内)

题号 11 12 13 14 15 16

得分 答案

答 题 卷

考生注意：答题卷共5道大题，8道小题，共66分，请将解答过程写在相应位置上.

三、解答题(本题共3道小题，每小题6分，共18分) 17．计算：200820)1()3

1

()3(2-+--+--π

18．如图8，在△ABC 中，AB =BC =12cm ，∠ABC =80°，BD 是∠ABC 的平分线，DE ∥BC . (1)求∠EDB 的度数；

(2)求DE 的长.

19．四川·汶川大地震发生后，某中学八年级(一)班共40名同学开展了“我为灾区献爱心”的活动. 活动结束后，生活委员小林将捐款情况进行了统计 ，并绘制成图9的统计图. (1)求这40 名同学捐款的平均数；

(2)该校共有学生1200名，请根据该班的捐款情况，

估计这个中学的捐款总数大约是多少元？

A B C

D E

图8 3

9

12 金额(元) 人数(人)

16

四、解答题(本题共2个小题,每小题8分,共16分)

20．5·12汶川大地震引起山体滑坡堵塞河谷后，形成了许多堰塞湖. 据中央电视台报道：唐家山堰

塞湖危险性最大. 为了尽快排除险情，决定在堵塞体表面开挖一条泄流槽, 经计算需挖出土石方13.4万立方米，开挖2天后，为了加快施工进度，又增调了大量的人员和设备，每天挖的土石方比原来的2倍还多1万立方米，结果共用5天完成任务，比计划时间大大提前. 根据以上信息，求原计划每天挖土石方多少万立方米？增调人员和设备后每天挖土石方多少万立方米？

21．乘坐益阳市某种出租汽车.当行驶 路程小于2千米时，乘车费用都是4元(即起步价4元)；当行驶路

程大于或等于2千米时，超过2千米部分每千米收费1.5元.

(1)请你求出x ≥2时乘车费用y (元)与行驶路程x (千米)之间的函数关系式；

(2)按常规，乘车付费时按计费器上显示的金额进行“四舍五入”后取整(如记费器上的数字显示范围大于或等于9.5而小于10.5时，应付车费10元)，小红一次乘车后付了车费8元，请你确定小红这次乘车路程x 的范围.

五、(本题10分)

22. △ABC 是一块等边三角形的废铁片，利用其剪裁一个正方形DEFG ，使正方形的一条边DE 落在BC 上，顶点F 、G 分别落在AC 、AB 上.

Ⅰ.证明：△BDG ≌△CEF ；

Ⅱ. 探究：怎样在铁片上准确地画出正方形.

小聪和小明各给出了一种想法，请你在．．．Ⅱ．a ．和Ⅱ．．b ．的两个问题中选择一个你喜欢的问题解答．．．．．．．．．．．．．．．．．．. ．如．

果两题都解，只以．．．．．．．．Ⅱ．a ．的解答记分．．．．．

. Ⅱa . 小聪想：要画出正方形DEFG ，只要能计算出正方形的边长就能求出BD 和CE 的长，从而

确定D 点和E 点，再画正方形DEFG 就容易了.

设△ABC 的边长为2 ，请你帮小聪求出正方形的边长(结果用含根号的式子表示，不要求分母有理化) .

A B C

D E F G 图10(1)

A

Ⅱb . 小明想：不求正方形的边长也能画出正方形. 具体作法是： ①在AB 边上任取一点G’，如图作正方形G’D’E’F’；

②连结BF’并延长交AC 于F ； ③作FE ∥F’E’交BC 于E ，FG ∥F ′G ′交AB 于G ，GD ∥G ’D ’交BC 于D ，则四边形DEFG 即为所求.

你认为小明的作法正确吗？说明理由.

六、(本题10分)

23. 两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A =60°，AC =1. 固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：

(1) 如图11(1)，△DEF 沿线段AB 向右平移(即D 点在线段AB 内移动)，连结DC 、CF 、FB ，四边形CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积.

(2)如图11(2)，当D 点移到AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由.

(3)如图11(3)，△DEF 的D 点固定在AB 的中点，然后绕D 点按顺时针方向旋转△DEF ，使DF 落在AB 边上，此时F 点恰好与B 点重合，连结AE ，请你求出sinα的值.

A B C

D E F G 图10(3)

G ′

F ′ E ′ D ′ A B E F

C 图11(1)

A B F C

D 图11(2)

B

() (F )

C D

A O

B M D

C 图12

y

x

七、(本题12分)

24.我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.

如图12，点A 、B 、C 、D 分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为(0，-3)，AB 为半圆的直径，半圆圆心M 的坐标为(1,0)，半圆半径为2.

(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围； (2)你能求出经过点C 的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D 的“蛋圆”切线的解析式.

2008年湖南省益阳市中考数学试卷

参考答案及评分意见

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）

二、填空题(本题共6个小题，每个小题4分，满分24分)

题号

11

12 13 14 15 16

答案 9.1×104

6

108° （2,4）

5

3 答案不惟一如：

x

x ,

x x x 2

24

22+--

16题还有如下答案：24222+--x x ,x x

x ；2244422-++--x x ,x x x ；2244422+--+-x x ,x x x ；244222-+--x x ,x x x x ；x x ,

x

x x x 2

24422--+-.（每空2 分）

三、解答题(本题共3个小题，每个小题6分，满分18分)

17.解：原式＝2＋1－9＋1 ·············································································· 4分

＝－5 ······················································································· 6分

18.解：（1）∵DE ∥BC ，

∴∠EDB ＝∠DBC ＝?=∠402

1ABC ··················································· 3分

（2）∵AB ＝BC ， BD 是∠ABC 的平分线，∴D 为AC 的中点 ∵DE ∥BC ，∴E 为AB 的中点，

∴DE ＝

cm AB 62

1

= ········································································ 6分 19.解：（1）

41)310016*********(40

1

=?+?+?+? ·

··············································· 3分 (2) 41×1200=49200(元)

答：这40 名同学捐款的平均数为41元，这个中学的捐款总数大约是49200元 ······ 6分

四、解答题(本题共2个小题,每小题8分,共16分)

20.解：设原计划每天挖土石方x 万立方米，增调人员和设备后每天挖y 万立方米 ······· 1分

可列出方程组：?

??=-++=4.13)25(21

2y x x y ·························································· 5分

解之得：??==6.33.1y x 题号 1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 答案 D A D B C A

D

D

B

C

答：原计划每天挖土石方1.3万立方米，增调人员和设备后每天挖3.6万立方米 ···· 8分 21.解：(1) 根据题意可知：y =4+1.5(x -2) ， ∴ y =1.5x +1(x ≥2) ····················································· 4分 (2)依题意得：7.5≤1.5x +1＜8.5 ··························································· 6分 ∴

3

13

≤x ＜5 ································································· 8分

五、(本题10分)

22．Ⅰ.证明：∵DEFG 为正方形，

∴GD =FE ，∠GDB =∠FEC =90° ···················································· 2分

∵△ABC 是等边三角形，∴∠B =∠C =60° ······································· 3分 ∴△BDG ≌△CEF (AAS ) ······························································ 5分 Ⅱa .解法一：设正方形的边长为x ，作△ABC 的高AH ，

求得3=AH ······································· 7分

由△AGF ∽△ABC 得：3

32

x

x -= ············ 9分

解之得：3

232+=

x (或634-=x ) ······· 10分

解法二：设正方形的边长为x ，则2

2x

BD -=

········································· 7分 在Rt △BDG 中，tan ∠B =

BD

GD

， ∴

32

2=-x x

································································ 9分 解之得：3

232+=

x (或634-=x ) ··································· 10分

解法三：设正方形的边长为x ，

则x GB x

BD -=-=

2,2

2 ····················································· 7分 由勾股定理得：2

22)2

2(

)2(x x x -+=- ·································· 9分 解之得：634-=x ························································· 10分 Ⅱb .解： 正确 ······························································································· 6分 由已知可知，四边形GDEF 为矩形 ······················································· 7分

∵FE ∥F ’E ’ ，

FB

FE A

B

C

D

E

F G 解图10(2)

H

A

同理B

F FB

G F FG '=

''， ∴

G F FG

E F FE '

'=

'' 又∵F’E ’=F’G’，

∴FE =FG

因此，矩形GDEF 为正方形 ····························································· 10分

六、(本题10分)

23．解：(1)过C 点作CG ⊥AB 于G ，

在Rt △AGC 中，∵sin 60°=

AC

CG

，∴23=CG ········· 1分

∵AB =2，∴S 梯形CDBF =S △ABC =2

3

23221=

?? ·········· 3分 (2)菱形 ···························································································· 4分

∵CD ∥BF ， FC ∥BD ，∴四边形CDBF 是平行四边形 ·························· 5分 ∵DF ∥AC ，∠ACD =90°，∴CB ⊥DF ··············································· 6分 ∴四边形CDBF 是菱形 ··································································· 7分 (判断四边形CDBF 是平行四边形，并证明正确，记2分)

(3)解法一：过D 点作DH ⊥AE 于H ，则S △ADE =

2

3

3121EB AD 21=??=??8分 又S △ADE =23

21=??DH AE ，)721(7

33或==AE DH ································ 9分 ∴在Rt △DHE ’中，sinα=

)14

21(723或=DE DH ········································· 10分 解法二：∵△ADH ∽△ABE ······························································ 8分

∴

AE

AD

BE DH = 即：

7

13

=

DH

∴7

3=DH ······································································ 9分

∴sinα=

)14

21

(723或=DE DH ················································· 10分

A

B E

F

C

解图11(1)

七、(本题12分)

24．解：(1)解法1：根据题意可得：A (-1,0)，B (3,0)；

则设抛物线的解析式为)3)(1(-+=x x a y (a ≠0)

又点D (0，-3)在抛物线上，∴a (0+1)(0-3)=-3，解之得：a =1

∴y =x 2

-2x -3 ····················································································· 3分 自变量范围：-1≤x ≤3 ········································································ 4分

解法2：设抛物线的解析式为c bx ax y ++=2(a ≠0)

根据题意可知，A (-1,0)，B (3,0)，D (0，-3)三点都在抛物线上

∴?????-==++=+-30390c c b a c b a ，解之得：??

?

??-=-==321

c b a

∴y =x 2

-2x -3 ··································································· 3分

自变量范围：-1≤x ≤3····················································· 4分

(2)设经过点C “蛋圆”的切线CE 交x 轴于点E ，连结CM ， 在Rt △MOC 中，∵OM =1，CM =2，∴∠CMO =60°,OC =3 在Rt △MCE 中，∵OC =2，∠CMO =60°，∴ME =4

∴点C 、E 的坐标分别为(0，3)，(-3,0) ·········································· 6分

∴切线CE 的解析式为3x 3

y +=

·················································· 8分 A

O

B

M

D

C

解图12

y

x

E

(3)设过点D (0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y =kx -3(k ≠0) ························ 9分

由题意可知方程组??

??

?--=-=323

2

x x y kx y 只有一组解 即3232--=-x x kx 有两个相等实根，∴k =-2 ······································· 11分

∴过点D “蛋圆”切线的解析式y =-2x -3 ·············································· 12分