2019-2020学年高中数学 弧度制导学案 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学《1.3弧度制》导学案 新人教版必修4.doc
2019-2020学年高中数学《1.3弧度制》导学案 新人教版必修4【学习目标】1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空（1）角度制规定，将一个圆周分成 360 份，每一份叫做 1 度，故一周等于360 度，平角等于180 度，直角等于90度.（2）所有与角终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合=S{}Z k k ∈⋅+=,360αβ .【教材助读】1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？ (4)规定：周角3601 为1度的角； π21 叫做1弧度的角.(5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度=π180 （度）；1度=180π（弧度） (6)弧长公式： r rn l ⋅==απ180(7)扇形面积公式： lr r r n S 212136022=⋅==απ 【预习自测】1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1度的角是周角的3601，1弧度的角是周角的π21C ．根据弧度的定义， 180一定等于π弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为2，圆心角为2所对应的弧长和扇形的面积。
【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】1.把下列各角从度化为弧度：（1） 030 （2）075 （3）0210- （4）︒-135 （5）0'2230解：(1)0306180ππ=⨯(2)12518075ππ=⨯(3)67180210ππ-=⨯-(4)47180315ππ=⨯- (5)81803022'ππ=⨯- 2.把下列各角从弧度化为角度： （1）12π （2）25π （3）5.3 （4）12π- （5）103π解：（1）1518012=⨯ππ（2）7218052=⨯ππ （3）ππ6301805.3=⨯ （4）216018012-=⨯-ππ （5）54180103=⨯ππ【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限．319)1(π； 631)2(π-． 解: (1),672319πππ+= 而67π是第三象限的角,319π∴是第三象限角. (2) 631,656631ππππ-∴+-=- 是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴，y 轴上的角的集合。
2019-2020年高中数学 弧度制教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学 弧度制教案 新人教A 版必修1教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。
过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad∴ 1='185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例一 把化成弧度 解： ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例二 把化成度 解：注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad 角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在轴上的角的集合2终边在轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 例四 老《精编》P118-119 4、5、6、7 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3o rC2rad1rad r l=2r o AA B 正角零角 负角正实数 零 负实数2019-2020年高中数学弧度制教案新人教A版必修4有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.一、【学习目标】1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2、能用弧度表示终边相同角的角；3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第6页内容，回答问题（弧度制）度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？<1>什么叫角度制，请简要复述之.结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.<2>什么叫做弧度制，请简要复述之.结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如图所示：<3>半径为r的圆的圆心与圆点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B.请在下列表格中结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. <4>如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少? 结论：角的弧度数的绝对值是：，其中，l 是圆心角所对的弧长，是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定注意：①在应用公式求圆心角时，其结果是圆心角与弧度的绝对值.在物理学中计算角速度经常用到它，它的正负主要由角的旋转方向来决定；②这个公式可变形为)0(||/||≠==αααl r r l 、，在应用这两个公式时，如果已知的角以“度”为单位，应先把它们化成弧度数后再计算.可以看出，这些公式各有各的用处.2、阅读教材第7页内容，回答问题（弧度制与角度制的转换）用角度制和弧度制来 度量零角，单位不同，但量数相同（都是零）；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同. <5>角度制和弧度制应该怎样转换？结论：因为圆周的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以：3600=2πrad ，1800=πrad ，10=（π/180）rad ≈0.01745rad.反过来有1rad=（180/π）0≈57.300=57018‘. 一般地，我们可以根据如图所示的公式进行角度与弧度的换算.<6>请你设计一个算法，把角度换算为弧度.<7>熟记下列特殊角的弧度数：00，300，450，600，900，1200，1350，1500，1800，2100，2250，2400，2700，3000，3150，3300，3600结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.3、阅读教材例3，回答问题.（扇形弧长、面积公式）<8>利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1); (2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.三、【综合练习与思考探索】练习一：（教材例1、2、4）例1、按照下列要求,把化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值.例2、将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小.注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.练习二：教材第9页练习1、2、3、4、5.注意：弧度制和角度制不能混用.四、【作业】1、必做题：习题1.1A组6、7、8、9、10；2、选做题：习题1.1B组1、2、3.五、【小结】理解弧度制，能熟练的进行弧度制与角度值的转换.六、【教学反思】本节知识比较碎，但是要抓住一个重点，就是角度与弧度的转换.要让学生能熟练的运用公式进行转换.七、【课后小练】1、已知扇形面积为S，扇形的周长是否有最小值？若有，求此最小值及取最小值时扇形的中心角是多少，否则说明理由.（有，中心角为2，周长最小值为4）2、在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5s后，点P转过的弧长.（100cm）3、在扇形AOB中，扇形所对的中心角为直角，弧AB的长为l，求此扇形的内切圆面积.4、角1和角2的终边关于y=x对称，若角1为π/6，则在0—4π间，满足要求的角2等于（π/3，7π/3）5、已知扇形的内切圆半径与扇形的半径之比为1：3，则内切圆的面积与扇形的面积之比为多少?(2:3)6、圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，则这段弧所对的圆心角是多少弧度？7、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的中心角是多少？（2或4）8、一圆内切于中心角为π/3，半径为R的扇形，则该圆的周长与该扇形的周长之比为多少？9、2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积.10、已知一扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形面积最大？最大面积是多少？11、若角1的终边与8π/5的终边相同，则在[0,2π]内终边与角1的四分之一的终边相同的角是多少？（全部列举出来.）12、已知圆中的一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为多少？13、已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.14、已知扇形的圆心角为72，半径等于200，求扇形的面积.15、与-15600终边相同的角的集合中，最小正角是多少？最大负角是多少？绝对值最小的角是多少？。
高中数学人教A版必修第一册 学案与练习 弧度制
5.1.2 弧度制学习目标1.借助圆建立弧度制的概念，培养数学抽象、直观想象的核心素养.2.应用弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式，培养逻辑推理和数学运算的核心素养.1.角的单位制及换算关系(1)角的单位制①角度制为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角规定周角的1360度制.②弧度制长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做弧度制，它的单位符号是rad，读作弧度.③角的弧度数的求法在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么|α|=l.r一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)角度与弧度的换算(3)一些特殊角与弧度数的对应关系2.弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式角度与弧度的换算[例1] 将下列角度与弧度进行互化.(1)20°;(2)-800°;(3)7π12;(4)-11π5.解:(1)20°=20×π180 rad=π9rad.(2)-800°=-800×π180 rad=-40π9rad.(3)7π12 rad=712×180°=105°.(4)-11π5 rad=-115×180°=-396°.在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad=180°是关键，由它可以得到:度数×π180=弧度数，弧度数×(180π)°=度数.提醒:用弧度表示角，涉及π时，直接保留π，不要将π写成小数.针对训练1:将下列角度与弧度进行互化.(1)511π6;(2)-5π12;(3)10°;(4)-855°.解:(1)511π6 rad=5116×180°=15 330°.(2)-5π12 rad=-512×180°=-75°.(3)10°=10×π180=π18rad.(4)-855°=-855×π180=-19π4rad.弧度制的综合应用[例2] 在平面直角坐标系中，α=-2π3，β的终边与α的终边分别有如下关系时，求β.(1)若α，β的终边关于x 轴对称; (2)若α，β的终边关于y 轴对称; (3)若α，β的终边关于原点对称. 解:如图，在平面直角坐标系中，α=-2π3.(1)若α，β的终边关于x 轴对称，则{β|β=2π3+2k π，k ∈Z}.(2)若α，β的终边关于y 轴对称，则{β|β=-π3+2k π，k ∈Z}.(3)若α，β的终边关于原点对称，则{β|β=π3+2k π，k ∈Z}.(1)用弧度制表示终边相同的角2k π+α(k ∈Z)时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍.(2)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α=2k π+30°，k ∈Z 是不正确的写法.针对训练2:若角β的终边落在直线y=-√33x 上，写出角β的集合;当β∈(-2π，2π)时，求角β.解:终边落在直线y=-√33x 上的角β组成的集合A={β|β=k π+5π6，k∈Z}.因为β∈(-2π，2π)，则当k=-2，-1，0，1时，符合题意，所以β=-7π6，-π6，5π6，11π6.扇形的弧长公式和面积公式的应用[例3] 扇形AOB 的面积是4 cm 2，它的周长是10 cm ，求扇形的圆心角α的弧度数及弦AB 的长.解:设扇形弧长为l cm ，半径为r cm ， 则由题意知{l +2r =10,12l ·r =4,解得{r =1,l =8或{r =4,l =2.当r=1，l=8时， α=lr =8>2π(舍去)，所以r=4，l=2， 此时α=l r =12(rad).如图可知AB=2·r ·sin α2=2×4×sin 14=8sin 14(cm).扇形弧长公式及面积公式的应用类问题的解决方法首先，将角度转化为弧度表示，弧度制的引入使相关的弧长公式、扇形面积公式均得到了简化，所以解决这类问题时通常采用弧度制.一般地，在几何图形中研究的角，其范围是(0，2π);其次，利用α，l ，R ，S 四个量“知二求二”代入公式.在求解的过程中要注意 (1)看清角的度量制，选用相应的公式;(2)扇形的周长等于弧长加两个半径长，对于扇形周长或面积的最值问题，通常转化为某个函数的最值问题.针对训练3:已知扇形AOB 的周长为10 cm ，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时圆心角的大小及弧长.解:设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，面积为S ，由l+2r=10，得l=10-2r>0，所以0<r<5. S=12lr=12(10-2r)·r=5r-r 2=-(r-52)2+254，因为0<r<5，所以当r=52时，S 取得最大值254，这时l=10-2×52=5，所以θ=l r=552=2.故该扇形的面积的最大值为254cm 2，取得最大值时圆心角为2 rad ，弧长为5 cm.1.已知α=-2 rad ，则角α的终边在( C ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析:因为1 rad=(180π)°，所以α=-2 rad=-(360π)°≈-114.6°，故角α的终边在第三象限.故选C. 2.将300°化为弧度是( D )A.-π3B.7π6C.11π6D.5π3解析:300°=300×π180=5π3rad.故选D.3.设终边在y 轴的负半轴上的角的集合为M ，则( D ) A.M={α|α=3π2+k π，k ∈Z}B.M={α|α=3π2-kπ2，k ∈Z}C.M={α|α=-π2+k π，k ∈Z}D.M={α|α=-π2+2k π，k ∈Z}解析:在-π～π内，终边在y 轴的负半轴上的角为-π2，所以终边在y轴的负半轴上的角可以表示为{α|α=-π2+2k π，k ∈Z}.故选D.4.已知一个扇形的圆心角为30°，所对的弧长为π3，则该扇形的面积为( D ) A.π2540B.13C .π6D .π3解析:因为|α|=lr，所以r=l|α|=π3π6=2，所以该扇形的面积S=12lr=12×π3×2=π3.故选D.[例1] (多选题)下列说法正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC.1 rad 的角比1°的角要大D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关解析:对于A ，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，故选项A 正确;对于B ，周角为360°，所以1°的角就是周角的1360，周角为2π弧度，所以1 rad 的角是周角的12π，故选项B 正确; 对于C ，根据弧度制与角度制的互化，可得1 rad=(180π)°>1°，故选项C 正确;对于D ，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径是无关的，故选项D 错误. 故选ABC.[例2] (多选题)(2021·浙江绍兴期末)设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，面积为S ，周长为L ，则( ) A.若α，r 确定，则L ，S 唯一确定 B.若α，l 确定，则L ，S 唯一确定 C.若S ，L 确定，则α，r 唯一确定 D.若S ，l 确定，则α，r 唯一确定解析:由弧长公式得l=αr ，S=12lr=12αr 2，周长L=l+2r ，若α，r 确定，则l 确定，则L ，S 唯一确定，故A 正确; 若α，l 确定，则r 确定，则L ，S 唯一确定，故B 正确;若S ，L 确定，则{L =l +2r =αr +2r ,S =12αr 2,则α，r 不一定唯一确定，故C 错误;若S ，l 确定，则r 确定，则α唯一确定，故D 正确. 故选ABD.[例3] 如图所示，用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分的角的集合.解:(1)将阴影部分看成是由OA 逆时针转到OB 所形成， 故满足条件的角的集合为{α|3π4+2k π<α<4π3+2k π，k ∈Z}.(2)若将终边为OA 的一个角改写为-π6，此时阴影部分可以看成是OA逆时针旋转到OB 所形成，故满足条件的角的集合为{α|-π6+2k π<α<5π12+2k π，k ∈Z}.(3)将图中x 轴下方的阴影部分看成是由x 轴上方的阴影部分旋转π rad 而得到，故满足条件的角的集合为{α|k π≤α≤π2+k π，k ∈Z}.(4)将第二象限阴影部分旋转π rad 后可得到第四象限的阴影部分， 故满足条件的角的集合为{α|2π3+k π<α<5π6+k π，k ∈Z}.[例4] 已知α，β分别是第二象限角、第四象限角，试问:12(α+β)是第几象限角?12(β-α)呢?解:若α，β分别是第二象限角、第四象限角， 则2k π+π2<α<2k π+π，k ∈Z ，2t π-π2<β<2t π，t ∈Z ，则2(k+t)π<α+β<2(k+t)π+π，k ∈Z ，t ∈Z ，则(k+t)π<12(α+β)<(k+t)π+π2，k ∈Z ，t ∈Z ，则12(α+β)为第一或第三象限角.-2k π-π<-α<-2k π-π2，k ∈Z ，2(t-k)π-3π2<β-α<2(t-k)π-π2，k ∈Z ，t ∈Z ，则(t-k)π-3π4<12(β-α)<(t-k)π-π4，k ∈Z ，t ∈Z ，则12(β-α)位于第三象限或第四象限或y 轴的非正半轴，或者第一象限或第二象限或y 轴的非负半轴.选题明细表基础巩固1.(多选题)下列说法中，正确的是( ABC ) A.半圆所对的圆心角是π rad B.周角的大小等于2π radC.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度解析:根据弧度的定义及角度与弧度的换算知A ，B ，C 均正确，D 中应为“长度等于半径长的圆弧，而不是弦”.故D 错误.故选ABC. 2.下列转化结果正确的是( D )A.60°化成弧度是π6radB.π12rad化成角度是30°C.1°化成弧度是180πradD.1 rad化成角度是(180π)°解析:对于A，60°化成弧度是π3rad，所以A错误;对于B，π12rad化成角度是15°，所以B错误;对于C，1°化成弧度是π180rad，所以C错误;对于D，1 rad化成角度是(180π)°，所以D正确.故选D.3.如果一个圆的半径变为原来的一半，而弧长变为原来的32倍，那么该弧所对的圆心角是原来的( D )A.12B.2倍 C.13D.3倍解析:设圆的半径为r，弧长为l，则该弧所对圆心角的弧度数为lr，若将半径变为原来的一半，弧长变为原来的32倍，则该弧所对圆心角的弧度数变为3 2 l1 2r=3·lr，即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.故选D.4.3弧度的角终边在( B )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:因为π2<3<π，所以3弧度的角终边在第二象限.故选B.5.若α是第三象限角，则3π2-α是第象限角.解析:因为α是第三象限角，则π+2kπ<α<3π2+2kπ，k∈Z，所以-3π2-2k π<-α<-π-2k π，k ∈Z ，则-2k π<3π2-α<π2-2k π，k ∈Z ，故在第一象限.答案:一6.一个半径为2的扇形，如果它的周长等于所在的半圆的弧长，那么扇形的圆心角是 弧度，扇形面积是 . 解析:由题意知r=2，l+2r=πr ， 所以l=(π-2)r ， 所以圆心角α=l r =(π-2)rr =(π-2)rad ，扇形面积S=12lr=12×(π-2)·r ·r=2(π-2)=2π-4. 答案:(π-2) 2π-4能力提升7.集合{α|k π+π4≤α≤k π+π2，k ∈Z}中角所表示的范围(阴影部分)是( C )解析:k 为偶数时，集合对应的区域为第一象限内直线y=x 左上部分(包含边界);k 为奇数时，集合对应的区域为第三象限内直线y=x 的右下部分(包含边界).故选C.8.中国扇文化有着深厚的文化底蕴，文人雅士喜在扇面上写字作画.如图，是一幅书法扇面，其尺寸如图所示，则该扇面的面积为( A )A.704 cm 2B.352 cm 2C.1 408 cm 2D.320 cm 2解析:如图，设∠AOB=θ，OA=OB=r cm ，由弧长公式可得{24=rθ,64=(r +16)θ,解得r=485，所以S扇面=S扇形OCD-S扇形OAB=12×64×(485+16)-12×24×485=704(cm 2).故选A.9.(2021·安徽合肥高一期末)已知半径为r 的扇形OAB 的面积为1，周长为4，则r= .解析:由题意得S 扇=12lr=1，C 扇=2r+l=4，联立解得r=1.答案:110.已知角α=1 200°.(1)将α改写成β+2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角;(2)在区间[-4π，π]内找出所有与角α终边相同的角. 解:(1)因为α=1 200°=1 200×π180=20π3=3×2π+2π3，所以角α与角2π3的终边相同，又因为π2<2π3<π，所以角α是第二象限角.(2)因为与角α终边相同的角(含角α)可表示为2π3+2k π(k ∈Z)，且-4π≤2π3+2k π≤π(k ∈Z)，所以-73≤k ≤16(k ∈Z)，所以k=-2或k=-1或k=0，所以在区间[-4π，π]内与角α终边相同的角有-10π3，-4π3，2π3.11.已知扇形面积为4，当扇形圆心角为多少弧度时，扇形周长最小?并求出最小值.解:设圆心角是α，扇形半径是r ， 则S=12αr ·r=12r 2α=4，所以r 2α=8.设扇形的周长为L ，则L=2r+r α≥2√2r ·rα=2×4=8， 当且仅当2r=r α，即α=2时，取“=”， 所以α=2时，该扇形的周长最小，最小值为8.应用创新12.《九章算术》是我国古代的数学巨著，其中《方田》章给出的计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=12×(弦×矢+矢2)，弧田(如图阴影部分所示)是由圆弧和弦围成，公式中的“弦”指圆弧所对的弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为2π3，矢为2的弧田，按照上述方法计算出其面积是( A )A.2+4√3B.√3+12 C.2+8√3 D.4+8√3解析:如图，由题意可得∠AOB=2π3，在Rt△AOD中，∠AOD=π3，∠DAO=π6，所以OC=OA=2OD.结合题意可知矢=OC-OD=CD=2，则OD=2，半径OC=4，弦AB=2AD=2√16-4=4√3，所以弧田面积=12(弦×矢+矢2)=12(4√3×2+22)= 4√3+2.故选A.。
【新教材】新人教A版必修一 弧度制 教案
2019—2020学年新人教A 版必修一 弧度制 教案一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。
（6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法 创设情境，引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制—-—弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备。
二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用。
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用。
三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1。
6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制。
高中数学人教A版(2019)必修第一册 5 弧度制 教学设计(表格式)
5.1.2《弧度制》教学设计【课题】弧度制【授课类型】新授课【设计理念】通过创设符合学生认知规律的问题情景，挖掘学生内在潜能，理解引入弧度制的必要性，理解弧度制概念的“来龙去脉”，领悟蕴涵其中的数学思想和方法，进一步培养学生的自主探究能力，逻辑推理能力，形成缜密的思维，养成探究的习惯，真正体现学生的主体地位。
【内容解析】本节课人民教育出版社出版的必修第一册第五章第二节第一课时《弧度制》。
学生在初中已接触了角度制及圆的相关知识、高中又学习了任意角的概念，在此基础上来学习本节内容。
弧度制是《三角函数》的重要概念之一，它是研究三角函数图象与性质的基本立足点，也是后续学习立体几何及微积分的理论基础，同时在物理学的研究中有着广泛应用。
因此，本节课起着“承前启后”的作用。
【教学目标】（1）理解引入弧度制的必要性；（2）理解弧度制概念，正确领会1弧度角的含义；（3）能正确进行角度和弧度的换算；（4）通过弧度制与角度制换算关系的推导，会用联系的观点看问题；通过对弧度制概念的构建及两种角的度量制的比较，增强学生自主探究的能力，培养合作交流意识，养成良好的学习习惯。
【教学重点和难点】重点: 弧度制的概念、角度制与弧度制的换算关系难点:弧度制概念的建立【教学方法】教法:问题驱动法学法: 类比发现法自主探究法训练巩固法分层作业课后延伸分层作业一、基础作业：教材P175练习1，2二、提高作业：三、拓展作业:1.手表上时针与分针从第一次重合到第二次重合，分针转过多少弧度？2. 你还有什么困惑吗？基础题题帮助学生巩固新知，选做题为后续内容学习奠定基础，拓展题从生活实例出发，拓宽学有余力同学的知识面，体现了分层的教学思想。
课后教师提供交流互动平台，延伸课堂。
【教学反思】本节课以两个知识点的探究为主线，立足教材，贴近学生，着眼于概念本身的发现过程，注重知识产生的必要性，让概念的价值得到体现；注重及时评价反馈教学，让多样的评价推动有效的课堂；注重拓展任务延伸教学，让多彩的生活丰富教学的资源。
2019-2020学年人教A版必修 第一册2 5.1.2 弧度制学案
5．1.2 弧度制问题导学预习教材P172－P175，并思考以下问题： 1．1弧度的角是如何定义的？ 2．如何进行弧度与角度的换算？3．以弧度为单位的扇形弧长、面积公式是什么？1．度量角的两种制度(1)用弧度为单位表示角的大小时，“弧度”或“rad ”可以略去不写，只写这个角对应的弧度数即可，如角α＝－3.5 rad 可写成α＝－3.5.而用角度为单位表示角的大小时，“度”或“°”不可以省略.(2)不管是以弧度还是以度为单位的角的大小，都是一个与半径的大小无关的定值． 2．弧度数的计算与互化 (1)弧度数的计算(2)弧度与角度的互化3．弧度制下扇形的弧长与面积公式(r 是扇形所在圆的半径，n 为扇形的圆心角)(1)在应用扇形面积公式S ＝12|α|r 2时，要注意α的单位是“弧度”．(2)由α，r ，l ，S 中任意的两个量可以求出另外的两个量．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 rad 的角比1°的角要大．( )(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关．( ) (3)每个弧度制的角，都有唯一的角度制的角与之对应．( ) (4)1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12π.( )答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√8π5弧度化为角度是( ) A ．278° B ．280° C ．288° D ．318°答案：C半径为2，圆心角为π3的扇形的面积是( )A.4π3 B ．π C.2π3 D.π3答案：C(1)18°＝________rad ；(2)310π＝________．答案：(1)π10(2)54°角度制与弧度制的互化将下列角度与弧度进行互化：(1)37°30′；(2)－216°；(3)7π12；(4)－11π5.【解】 (1)37°30′＝37.5°＝⎝⎛⎭⎫752°＝752×π180＝5π24. (2)－216°＝－216×π180＝－6π5.(3)7π12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12×180π°＝⎝⎛⎭⎫712×180°＝105°. (4)－115π＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－115π×180π°＝－396°.角度制与弧度制的互化原则(1)原则：牢记180°＝π rad ，充分利用1°＝π180 rad 和1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算．(2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180rad.1．把下列角度化为弧度． (1)－1 500°＝________． (2)67°30′＝________．解析：(1)－1 500°＝－1 500×π180＝－253π.(2)67°30′＝67.5°＝67.5×π180＝3π8.答案：(1)－25π3 (2)3π82．把下列弧度化为角度． (1)23π6＝________．(2)－13π6＝________． 解析：(1)23π6＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23π6×180π°＝690°.(2)－13π6＝－⎝⎛⎭⎪⎫13π6×180π°＝－390°. 答案：(1)690° (2)－390°用弧度制表示终边相同的角把－1 480°写成2k π＋α(k ∈Z )的形式，其中0≤α<2π，并判断它是第几象限角？【解】 －1 480°＝－1 480×π180＝－74π9＝－10π＋16π9，其中0≤16π9<2π，因为16π9是第四象限角，所以－1 480°是第四象限角．(变问法)若本例的条件不变，在[－4π，4π)范围内找出与α终边相同的角的集合． 解：与α终边相同的角为2k π＋169π(k ∈Z )．由－4π≤2k π＋169π<4π知k ＝－2，－1，0，1.所以所求角的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫－209π，－29π，169π，349π.用弧度制表示终边相同角的两个关注点(1)用弧度制表示终边相同的角2k π＋α(k ∈Z )时，其中2k π是π的偶数倍，而不是整数倍． (2)注意角度制与弧度制不能混用．1．若角θ的终边与8π5角的终边相同，则在[0，2π]内终边与角θ4的终边相同的角是____________．解析：因为θ＝8π5＋2k π，k ∈Z ，所以θ4＝2π5＋k π2，k ∈Z .当k ＝0，1，2，3时，θ4＝2π5，9π10，7π5，19π10且θ4∈[0，2π]． 答案：2π5，9π10，7π5，19π102．如图所示：(1)分别写出终边落在OA ，OB 位置上的角的集合． (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合． 解：(1)终边在OA 上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|α＝3π4＋2k π，k ∈Z . 终边在OB 上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β|β＝－π6＋2k π，k ∈Z . (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α|－π6＋2k π≤α≤3π4＋2k π，k ∈Z .扇形的弧长与面积的计算(1)已知扇形的圆心角为120°，半径为 3 cm ，则此扇形的面积为________ cm 2. (2)已知扇形的周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数． 【解】 (1)设扇形的弧长为l ， 因为120°＝120×π180 rad ＝2π3(rad)，所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3(cm)．所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π(cm 2)．故填π.(2)设扇形圆心角的弧度数为θ(0＜θ＜2π)，弧长为l ，半径为R ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10，①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0，解得R 1＝1，R 2＝4. 当R ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad ＞2π rad 舍去． 当R ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12 (rad)．综上可知，扇形圆心角的弧度数为12rad.扇形的弧长和面积的求解策略(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S ＝12lR ＝12αR 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形圆心角的弧度数，0＜α＜2π)．(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用扇形弧长公式、面积公式直接求解或列方程(组)求解．1．已知一个扇形的弧所对的圆心角为54°，半径r ＝20 cm ，则该扇形的周长为________cm.解析：因为1°＝π180rad ，所以54°＝π180×54＝3π10，则扇形的弧长l ＝3π10×20＝6π(cm)，故扇形的周长为(40＋6π)cm.答案：(40＋6π)2．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形的圆心角为θ，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ，所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，最大值为100 cm 2，这时θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.1．与60°终边相同的角可表示为( ) A ．k ·360°＋π3(k ∈Z )B ．2k π＋60°(k ∈Z )C ．2k ·360°＋60°(k ∈Z )D ．2k π＋π3(k ∈Z )解析：选D.选项A ，B 中角度的表示混合用到了角度制和弧度制，不符合要求；选项C 错误，故选D.2．1 920°的角化为弧度数为( ) A.163 B.323 C.163π D.323π 解析：选D.因为1°＝π180 rad ，所以1 920°＝1 920×π180 rad ＝323π rad.3．在半径为8 cm 的圆中，5π3的圆心角所对的弧长为( ) A.403π cm B.203π cm C.2003π cm D.4003π cm 解析：选A.根据弧长公式，得l ＝5π3×8＝40π3(cm)．4．把下列各角化成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角． (1)－1 725°；(2)64π3.解：(1)因为－1 725°＝－5×360°＋75°，所以－1 725°＝－10π＋5π12.所以－1 725°角与5π12角的终边相同．又因为5π12是第一象限角，所以－1 725°是第一象限角．(2)因为64π3＝20π＋4π3，所以64π3角与4π3角的终边相同．又因为4π3是第三象限角，所以64π3是第三象限角．[A 基础达标]1.3π4对应的角度为( ) A ．75° B ．125° C ．135°D ．155°解析：选C.由于1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°，所以3π4＝34π×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝135°，故选C.2．用弧度制表示与150°角的终边相同的角的集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝－5π6＋2k π，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋k ·360°，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝2π3＋2k π，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫β⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z解析：选 D.150°＝150×π180＝5π6，故与150°角终边相同的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫β⎪⎪⎪β＝5π6＋2k π，k ∈Z . 3．(2019·广西贺州期末)角29π12的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选 A.因为29π12＝2π＋5π12，角5π12是第一象限角，所以角29π12的终边所在的象限是第一象限．4．钟表的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143 π B ．－143πC.718π D ．－718π解析：选B.分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.5．一段圆弧的长度等于其所在圆的圆内接正方形的边长，则这段圆弧所对的圆心角为( )A.π2B.π3C. 2D. 3解析：选C.设圆内接正方形的边长为a ，则该圆的直径为2a ，所以弧长等于a 的圆弧所对的圆心角α＝l r ＝a22a ＝2，故选C.6．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角α的集合为________． 解析：若角α的终边落在x 轴上方，则2k π＜α＜2k π＋π(k ∈Z )． 答案：{α|2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z }7．在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角α是________弧度，扇形面积S 是________．解析：|α|＝l r ＝128＝32rad ，S ＝12lr ＝12×12×8＝48. 答案：32488．圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的____________．解析：设原来圆的半径为r ，弧长为l ，弧所对的圆心角为α(0<α<2π)，则现在的圆的半径为3r ，弧长为l ，设弧所对的圆心角为β(0<β<2π)，于是l ＝αr ＝β·3r ，所以β＝13α.答案：139．一个扇形的面积为1，周长为4，求圆心角的弧度数． 解：设扇形的半径为r ，弧长为l ， 圆心角为α.则2r ＋l ＝4.根据扇形面积公式S ＝12lr ，得1＝12lr .联立⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝4，12lr ＝1.解得r ＝1，l ＝2，所以α＝l r ＝21＝2.故所求圆心角的弧度数为2. 10．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求角γ，使γ与角α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝14π9，所以α＝14π9＋(－3)×2π.因为角α与14π9终边相同，所以角α是第四象限角．(2)因为与角α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α终边相同，所以γ＝2k π＋14π9，k ∈Z .又γ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1.所以γ＝－2π＋14π9＝－4π9. [B 能力提升]11．若α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，则α2的终边在( ) A ．第一象限B ．第四象限C ．x 轴上D ．y 轴上解析：选D.因为α3＝2k π＋π3(k ∈Z )，因为α＝6k π＋π(k ∈Z )，所以α2＝3k π＋π2(k ∈Z )．当k 为奇数时，α2的终边在y 轴的非正半轴上；当k 为偶数时，α2的终边在y 轴的非负半轴上．综上，α2的终边在y 轴上，故选D. 12．(2019·河南新乡期末)若角α与角x ＋π4有相同的终边，角β与角x －π4有相同的终边，那么α与β间的关系为( )A ．α＋β＝0B ．α－β＝0C ．α＋β＝2k π(k ∈Z )D ．α－β＝2k π＋π2(k ∈Z ) 解析：选D.因为α＝x ＋π4＋2k 1π(k 1∈Z )，β＝x －π4＋2k 2π(k 2∈Z )，所以α－β＝π2＋2(k 1－k 2)π(k 1∈Z ，k 2∈Z )．所以k 1∈Z ，k 2∈Z ，所以k 1－k 2∈Z .所以α－β＝π2＋2k π(k ∈Z )． 13．已知扇形AOB 的周长为8 cm.(1)若这个扇形的面积为3 cm 2，求该扇形的圆心角的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦AB 的长度．解：(1)设该扇形AOB 的半径为r ，圆心角为θ，面积为S ，弧长为l . 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2.所以圆心角θ＝l r ＝61＝6或θ＝l r ＝23， 所以该扇形的圆心角的大小为23rad 或6 rad. (2)θ＝8－2r r， 所以S ＝12·r 2·8－2r r＝4r －r 2＝－(r －2)2＋4， 所以当r ＝2，即θ＝8－42＝2时，S max ＝4 cm 2. 此时弦长AB ＝2×2sin 1＝4sin 1(cm)．所以扇形面积最大时，圆心角的大小等于2 rad ，弦AB 的长度为4sin 1 cm.14．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．解：如题图(1)，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12， 所以终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪2k π－π6<θ<2k π＋5π12，k ∈Z . 如题图(2)，因为30°＝π6，210°＝7π6，这两个角的终边所在的直线相同， 因此终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ， 又终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ， 从而终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .[C 拓展探究]15．如图，一长为 3 dm ，宽为1 dm 的长方形木块在桌面上作无滑动翻滚，翻滚到第四次时被一小木块挡住，使木块底面与桌面所成角为π6，试求点A 走过的路程及走过的弧所在的扇形的总面积．(圆心角为正)解：在扇形ABA 1中，圆心角恰为π2，弧长l 1＝π2·AB ＝π2·3＋1＝π，面积S 1＝12·π2·AB 2＝12·π2·4＝π.在扇形A 1CA 2中，圆心角也为π2，弧长l 2＝π2·A 1C ＝π2·1＝π2，面积S 2＝12·π2·A 1C 2＝12·π2·12＝π4.在扇形A 2DA 3中，圆心角为π－π2－π6＝π3，弧长l 3＝π3·A 2D ＝π3·3＝33π，面积S 3＝12·π3·A 2D 2＝12·π3·(3)2＝π2，所以点A 走过的路程长l ＝l 1＋l 2＋l 3＝π＋π2＋3π3＝（9＋23）π6，点A 走过的弧所在的扇形的总面积S ＝S 1＋S 2＋S 3＝π＋π4＋π2＝7π4.。
5 1 2弧度制学案 高中数学人教A版(2019)必修第一册
第五章 三角函数5.1.2 弧度制学案一、学习目标1.理解并掌握弧度制的定义，领会弧度制定义 的合理性.2.掌握并运用弧度制表示的弧长公式，扇形面积公式.3.熟练地进行角度制与弧度制的换算.二、 基础梳理1.我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫作1弧度的角，弧度单位用符号rad 表示，读作弧度，这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫 作弧度制.2.角α的弧度数公式：||l rα=（弧长用l 表示），一般的，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.3.角度与弧度的换算：（1）1°=180πrad ≈0.01745rad. （2）1 rad =180π° ≈57.30°. 4.弧长公式：弧长l =R α（R 是圆的半径，(02)ααπ<<为圆心角）.5.扇形面积公式：S =212R α= 12lR （R 是圆的半径，(02)ααπ<<为圆心角）. 三、巩固练习1.将2π3弧度化成角度为( ) A.30︒ B. 60︒ C. 120︒ D. 150︒2.与30°角终边相同的角的集合是( ) A.π360,6k k αα⎧⎫=⋅+∈⎨⎬⎩⎭︒Z ∣ B.{}2π30,k k αα=+︒∈Z ∣ C.{}236030,k k αα=⋅︒+︒∈Z ∣ D.π2π,6k k αα⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z ∣ 3.设集合|18045,,|18045,24k kM x x k N x x k ︒︒︒⎧⎫⎧⎫==⋅+∈==⋅+∈⎨⎬⎨︒⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ,那么( ) A.M N = B.M N ⊆ C.N M ⊆ D.M N ⋂=∅4.-300°化为弧度是( ) A.4π3- B.5π3- C.45π- D.7π6- 5.把-855°表示成2π()k k θ+∈Z 的形式，且使(0,2π)θ∈，则θ的值为( ) A.3π4 B.5π4 C.π4 D.7π46.若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A.π6B.π3C.3 7.（多选）下列转化结果正确的是( )A.6730'︒化成弧度是3π8B.10π3-化成角度是-600°C.-150°化成弧度是7π6-D.π12化成角度是5° 8. （多选）下列说法正确的是( )A.“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B.1°的角是周角的1360，1rad 的角是周角的12πC.1rad 的角比1°的角要大D.用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关答案以及解析1.答案：C解析：πrad 180=︒，即1802π2π1801rad ,rad 120π33π⎛⎫⎛⎫=︒∴=⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭︒︒.故选C. 2.答案：D解析：与30°角终边相同的角可表示为36030,k k α=⋅+︒︒∈Z ，化为弧度制为π2π,6k k α=+∈Z . 3.答案：B解析：由于M 中,180459045(21)45,,2k x k k k N =⋅︒︒︒︒︒+=⋅+=+⋅∈Z 中,180454545(1)45,4k x k k k ︒︒︒=⋅+=︒︒⋅+=+⋅∈Z ,因此必有M N ⊆,故选B. 4.答案：B 解析：π5π3003001803-=-⨯=-°.故选B. 5.答案：B解析：855︒-表示成弧度制为19π4-，又19π24π5π5π6π,444θ-+-==-+∴的值为5π4.故选B. 6.答案：D解析：如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角2π3AOB ∠=， 作OM AB ⊥，垂足为M ，在Rt AOM △中，AO r =，π3AOM ∠=，2AM r ∴=，AB =，l ∴=，则圆心角的弧度数l r α=== 7.答案：AB 解析：对于A ，π3π673067.5,1808'=⨯=︒正确;对于B ，10π3-=10π180600,3π︒-=-︒⨯正确;对于C ，π5π150150,1806-=-⨯=-︒错误;对于D ，ππ18015,1212π︒==︒⨯错误.故选AB.8.答案：ABC 解析：由题意，对于A 中，“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位，所以是正确的；对于B 中，周角为360°，所以1的角是周角的1360，周角为2π弧度，所以1rad 的角是周角的12π是正确的； 对于C 中，根据弧度制与角度制的互化，可得1801rad1π︒ =>︒，所以是正确； 对于D 中，用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径无关的，所以D 项是错误的.故选ABC.。
(完整word版)高中数学弧度制导学案新人教A版必修1
弧度制-、预案 1.弧度制的定义： (1 )定义：长度等于 ______________ 所对的圆心角叫做 1弧度角，记作 _________ ,或1弧度,或1(单位可以省略不写). (2)如果一个半径为r 的圆的圆心角 所对的弧长是l ,那么a的弧度数是多少？ 角的弧度数的绝对值是：，其中，1是圆心角所对的弧长，r 是半径.2 •角度制与弧度制得互化：(1)角度化弧度：180rad360 rad ； 1rad ；(2)弧度化角度：rad度；2rad度；1rad度； (3)某些特殊角的角度数与弧度数的互化：角度制0o45o60o90o150o 180o315o弧度制62 35 43 223.弧长公式= _______________【预习自测】将下■列弧度与角度制进行互化’(3) 36° = rad ；( 5)— 105° = rad 二、导案1、 学习目标：(1).理解弧度制的意义；(2).能正确的应用弧度与角度之间的换算;(3)•记住公式| | -( I 为以.作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径)；r(4) .熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
2、教学过程问题1:度量角的大小用什么单位？1度的角是如何规定的？<思考 >:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?12(2)13£⑷-600°教学课件探究：如果一个半径为 r 的圆的圆心角a 所对的弧长是 ，那么a 的弧度数是多少 ？既然角度制和弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？ 例1、 把下列各角从弧度化为度，从度化为弧度：17 5 (1)⑵：(3) 1000128变式1把下列各角从度化为弧度，从弧度化为度：4(1)— 210o(2)1200 o(3) __3练习：若三角形的三个内角之比是 2： 3： 4,求其三个内角的弧度数.例2、请判断2是第几象限角例3、用弧度表示：(1)终边在x 轴上的角的集合 _______________________________________(2) 第一象限角的集合为 ____________________________________ ;变式 3： (1)终边在 y 轴上的角的集合 ____________________________________ ;(2)第三象限角的集合为 ______________________________________弧长及扇形面积公式：例4、知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ,,求该扇形的面积。
2019-2020学年高一数学 1.3弧度制导学案.doc
A A 2019-2020学年高一数学 1.3弧度制导学案【学法指导】1.阅读探究课本的基础知识和例题，自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；2.完成预习自学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1．理解弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的换算； 2．掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；3. 理解在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。
【学习过程】一 . 预习自学（我学习，我主动，我参与，我收获。
） （一）、阅读课本，回答下列问题： 1、（请用自己的语言表述）在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？ 2、（请同学们用自己的语言表述）1弧度的规定：3、如图：圆O 的半径为1（单位圆），∠AOB 所对的弧长为1，则∠AOB =________rad ； ∠AOC 所对的弧长为2.5，则∠AOC =_________rad ；周角所对的弧长是圆的周长，为_____，则周角=______°=________rad 。
所以180°=_______rad ； 1°=________rad ≈0.01745 rad ；1rad=_______°≈57.3°=57°18’ 4、推导弧长公式与扇形面积公式:5、在半径为R 的圆中，（1）360°角所对的弧长l =_____,面积S=_____;1°角所对的弧长l =_______ ,面积S=________ 在角度制中，弧长l =___________,面积S=__________ (设所对圆心角为n °)（2）2πrad 角所对的弧长l =_____,面积S=______;1rad 角所对的弧长l =______,面积S=________;在弧度制中，弧长l =_______,面积S= _________ （设所对圆心角为αrad ）=__________(已知所对弧长为l ) （二）预习检测：1、下列四个说法中，不正确的是（ ） A 、半圆所对的圆心角是πrad B 、周角的大小等于2πC 、1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D 、大圆中1弧度的角比小圆中1弧度角大 2、6π=_____°,4π=_____°,3π= _____°,2π= _____°120°=________，135°=_______，150°=_______，180°=_________温馨提示：（1） 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0； （2） 角α的弧度数的绝对值|α|=lr（l 为弧长，r 为半径）； （3） 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）； （4） 用角度制和弧度制来度量任意非零角，单位不同，数量也不同； （5） 角度制和弧度制不能混用，如k •360°+3π（k ∈Z ）这种写法是不妥当的。
《弧度制》教学设计、导学案、同步练习
第五章三角函数《5.1.2弧度制》教学设计【教材分析】本节课是普通高中教科书人教A版必修第一册第五章第一节第二课，本节课起着承上启下的作用:在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”，并且上节课学了任意角的概念,将角的概念推广到了任意角;本节课作为三角函数的第二课时,该课的知识还是后继学习任意角的三角函数等知识的理论准备,因此本节课还起着启下的作用。
通过本节弧度制的学习,我们知道实数与角之间一一对应的关系，而且在弧度制下的弧长公式与扇形面积公式有了更为简单形式。
另外弧度制为今后学习三角函数带很大方便。
【教学目标与核心素养】【教学重难点】1.教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明；2.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题。
【教学过程】键。
注:常规写法①用弧度数表示角时，常常把弧度数写成多少π的形式，不必写成小数．②用弧度制表示角时,“弧度”二字或“rad”通常略去不写,面只写该角所对应的弧度数.③弧度与角度不能混用．即不能出现这样的形式:630π+︒。
填写下列表中特殊角的弧度数或度数。
角度 00 300600120135270弧度4π2π65πππ23. 角的概念推广后，角与实数之间建立了一一对应关系，任意角的集合实数集R例3.利用弧度制证明下列扇形的公式：（1）2R 21S 2αα==）（R l lR21S 3=）（。
（其中R 是扇形的半径，l 是弧长，为圆心角（)20παα<<，S 是扇形的面积）。
三、达标检测【教学反思】由于弧度制是一个新的角单位制的概念,主要是让学生理解弧度制的意义,重点是让学生能正确进行弧度制与角度制的换算,并理解任意角的集合与实数集之间建立一一对应的关系,关键是让学生学会类比思想,并让学生学会在弧度制下的弧长公式,及扇形的面积公式。
学生在学习弧度制的时候主要是对弧度制理解的不够透彻,可能是因为新的概念,所以有大部分学生还不够熟悉,在讲解习题的时候我就逐层深入的讲解,所以学生反映还是不错。
2019-2020学年新人教A版必修一 弧度制 学案
2019-2020学年新人教A 版必修一 弧度制 学案一、弧度制的概念1．角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示] “1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 二、角度制与弧度制的换算 1．角度制与弧度制的换算角度化弧度 弧度化角度 360°＝2π rad 2π rad＝360° 180°＝π rad π rad＝180°1°＝π180rad≈0.017 45 rad1 rad ＝180π度≈57.30°2.一些特殊角的度数与弧度数的对应关系角度 0° 1° 30° 45° 60° 90° 弧度 0 π180 π6 π4 π3 π2 角度 120° 135° 150° 180° 270° 360° 弧度2π33π45π6π3π22π3.任意角的弧度数与实数的对应关系正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示] 利用1°＝π180弧度和1弧度＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行弧度与角度的换算． 三、扇形的弧长公式及面积公式 1．弧度制下的弧长公式：如图，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.2．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .1．思考辨析(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( ) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( ) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．将下列弧度与角度互换 (1)－2π9＝________；(2)2＝________； (3)72°＝________； (4)－300°＝________. (1)－40° (2)⎝⎛⎭⎪⎫360π° (3)2π5 rad (4)－5π3 rad[(1)－2π9 rad ＝－29×180°＝－40°.(2)2 rad ＝2×⎝⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°.(3)72°＝72×π180 rad ＝2π5rad.(4)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3rad.]3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为________，面积为________．2π3 π3 [∵α＝2π3，r ＝1，∴弧长l ＝α·r ＝2π3， 面积＝12lr ＝12×2π3×1＝π3.]角度制与弧度制的互化【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化． [解] (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°；(3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8 rad.角度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度． 1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)20°＝20π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad.(3)7π12 rad ＝712×180°＝105°.(4)－11π5 rad ＝－115×180°＝－396°.用弧度制表示角的集合【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合． [解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z. (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z. (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z. 表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②[解] (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z . (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .扇形的弧长及面积问题 [探究问题]1．公式l ＝|α|r 中，“α”可以为角度制角吗？ 提示：公式l ＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角．2．在扇形的弧长l ，半径r ，圆心角α，面积S 中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r ，可利用l ＝|α|r ，求l ，进而求S ＝12lr ；又如已知S ，α，可利用S ＝12|α|r 2，求r ，进而求l ＝|α|r .【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路点拨：设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ， 依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2r r.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25. 此时l ＝10，α＝2，故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大．1．(变条件)本例条件变为“扇形圆心角是72°，半径等于20 cm”，求扇形的面积． [解] 设扇形弧长为l ，因为72°＝72×π180＝2π5(rad)，所以l ＝αr ＝2π5×20＝8π(cm)，所以S ＝12lr ＝12×8π×20＝80π(cm 2)．2．(变结论)本例变为“扇形周长为10 cm ，面积为4 cm 2，求扇形圆心角的弧度数．”请解答．[解] 设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l ，半径为r ，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝10， ①12lr ＝4. ②①代入②得r 2－5r ＋4＝0， 解得r 1＝1，r 2＝4. 当r ＝1时，l ＝8(cm)，此时，θ＝8 rad>2π rad(舍去)．当r ＝4时，l ＝2(cm)，此时，θ＝24＝12rad.灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.提醒：(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)看清角的度量制，选用相应的公式. (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.教师独具1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad (3)1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. 3．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)弧度制的概念辨析； (2)角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用． 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用． 1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________. (1)24° (2)－216° (3)469π rad (4)－2π5 rad [(1)2π15 rad ＝215×180°＝24°.(2)－6π5 rad ＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180 rad ＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180 rad ＝－2π5rad.]2．若扇形的周长为4 cm ，面积为1 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 2 [设扇形所在圆的半径为r cm ，扇形弧长为l cm.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝4，12lr ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1.所以α＝lr＝2.因此扇形的圆心角的弧度数是2.]3．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______．{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z[若角α的终边落在x 轴的上方，则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z .]4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．[解] (1)∵180°＝π rad， ∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6. ∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )， 则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°.β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。
2019-2020学年新人教A版必修一 弧度制 教案
【例1】 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 项是假命题，A 、B 、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角． [思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；(2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π，α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )，由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1.用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 rad B ．2 rad C ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝l r＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2.此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)用弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2S r2.2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D [56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π A [240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝α·r ＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． －10π＋74π [由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数． [解] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则2r ＋l ＝4.①由扇形的面积公式S ＝12 lr ，得12lr ＝1. ②由①②得r ＝1，l ＝2，∴α＝l r＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad.。
2019-2020新课程同步人教A版高中数学必修第一册新学案课件：5.1 5.1.2 弧 度 制
答案：C
第六页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．与角－π6终边相同的角是
()
5π
π
A. 6
B.3
11π C. 6
2π D. 3
解析：与角－π6终边相同的角的集合为αα＝－π6＋2kπ，k∈Z，
当 k＝1 时，α＝－π6＋2π＝116π，故选 C.
答案：C
第七页，编辑于星期日：点 二十九分。
知识点二 扇形的弧长和面积公式
(2)用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关． ( )
(3)1°的角是周角的3160，1 rad 的角是周角的21π. (4)1 rad 的角比 1°的角要大．
() ()
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
第五页，编辑于星期日：点 二十九分。
2．下列转化结果错误的是
()
A．60°化成弧度是π3
第二十七页，编辑于星期日：点 二十九分。
3．[利用公式求扇形面积的最值及弧长]已知扇形 AOB 的周
长为 10 cm，求该扇形的面积的最大值及取得最大值时的
弧长．
解：设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l，半径
为 r，面积为 S，
由 l＋2r＝10 得 l＝10－2r，
S＝12lr＝12(10－2r)·r≤1410－22r＋2r2＝245，当且仅当 10－2r
1°＝1π80 rad≈0.017 45 rad 度数×1π80＝弧度数
弧度化角度 2π rad＝360° π rad＝_1_8_0_°_ 1 rad＝1π80°≈57.30° 弧度数×1π80°＝度数
第四页，编辑于星期日：点 二十九分。
(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位. ( )
5.1.2 弧度制-【新教材】2020-2021学年人教A版(2019)高中数学必修第一册导学案
§5.1.2 弧度制导学目标:（1）掌握弧度制的定义;学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念、（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式、（预习教材P 130~ P 135,回答下列问题）复习1:平角 ;周角 ;1度= 分 复习2:规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制、 思考:还有没有其他度量角的单位制呢? 【知识点一】弧度制我们规定,长度等于 所对的圆心角称为1弧度的角、用弧度来度量角的单位制叫做弧度制、在弧度制下, 1弧度记做 ; 在实际运算中,常常将rad 单位省略,即1rad α=可简记为1α=、 自我检测1-1:如图:1AOB ∠=radAOC ∠=周角=思考:如图,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?则圆心角α= rad角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分:（1）正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） o rC2rad1rad r 2r o AAB第五章 三角函数- 2 -（3）用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;角度制与弧度制可以自由互换,但同一代数式中角度制与弧度制不可混用、 自我检测1-2:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合、交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格、AOB ∠的度数 弧AB 的长 OB 旋转的方向 AOB ∠的弧度数360 2r π逆时针方向 180 r π逆时针方向9090- 180- 360-1rad【知识点二】角度制与弧度制的换算从上表可知:3602π=rad , 所以180π= rad ,类比可以得到:yxAαOB自我检测2:常见角的角度和弧度的互化 120 150 180角度制下的扇形弧长公式为:180n rl π=;面积公式为:3602R n S π=扇 ;（n 是角度数）借助公式⇒=rlαl =扇 ;=S 扇 ;（α是弧度数）自我检测3:利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径、【知识点四】角和实数的对应关系今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad ; 应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系、 oR Sl第五章 三角函数- 4 -题型一 角度与弧度的换算【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化: （1）67.5︒; （2）11230︒'; （3）94π; （4）－115π.【例1-2】已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+( k Z ∈,02βπ≤<)的形式,并指出角α是第几象限的角; （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角.题型二 用弧度制表示角的集合 【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）终边落在x 正半轴上的角: （2）终边落在y 正半轴上的角: （3）终边落在x 负半轴上的角: （4）终边落在y 负半轴上的角: （5）终边落在y 轴上的角: （6）终边落在坐标轴上的角:（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角: （8）终边落在第一象限内的角:【例2-2】用弧度表示终边落在如图( 1)( 2)所示的阴影部分内的角的集合、题型三 与扇形弧长、面积相关的问题 【例3】( 1)已知扇形的圆心角为120°,半径为 3 cm,则此扇形的面积为________ cm 2;( 2)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数、1、下列说法中错误的是（ ）A 、弧度制下,角与实数之间建立了一一对应关系B 、1度的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12πC 、根据弧度的定义,180︒一定等于π弧度D 、不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 2、下列角中,与角3π终边相同的角是（ ） A 、56π-B 、53π-C 、43π D 、23π第五章 三角函数- 6 -3、把20165π-表示成2()k k Z θπ+∈的形式,使||θ最小的θ的值是（ ） A 、65π- B 、5π-C 、45πD 、45π-4、当角α与β的终边互为反向延长线,则角α与β的关系一定是()k ∈Z （ ）A 、αβπ=+B 、αβ=-C 、(21)k αβπ=++D 、2k αβπ=-+5、若角α的终边在直线y x =-上,则角α的取值集合为（ ） A 、2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB 、32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C 、3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D 、,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z§5.1.2 弧度制 参考答案导学目标:（1）掌握弧度制的定义;学会弧度制与角度制互化,并进而建立角的集合与实数集R 一一对应关系的概念、（2）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式、（预习教材P 130~ P 135,回答下列问题）复习1:平角 ;周角 ;1度= 分 复习2:规定把周角的3601作为1度的角,用度做单位来度量角的制度叫做角度制、 思考:还有没有其他度量角的单位制呢? 【知识点一】弧度制我们规定,长度等于 所对的圆心角称为1弧度的角、用弧度来度量角的单位制叫做弧度制、在弧度制下, 1弧度记做 ; 在实际运算中,常常将rad 单位省略,即1rad α=可简记为1α=、 自我检测1-1:如图:1AOB ∠=radAOC ∠=周角=思考:如图,如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?则圆心角α= rado rC2rad1rad r 2r o AAB第五章 三角函数- 8 -角有正负零角之分,它的弧度数也应该有正负零之分:（1）正角的弧度数是正数,负角的弧度数是负数,零角的弧度数是0 （2）角α的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长,r 为半径） （3）用角度制和弧度制来度量零角,单位不同,但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角,单位不同,量数也不同;角度制与弧度制可以自由互换,但同一代数式中角度制与弧度制不可混用、 自我检测1-2:如图,半径为r 的圆的圆心与原点重合,角α的终边与x 轴的正半轴重合、交圆于点A ,终边与圆交于点B .请完成表格、AOB ∠的度数 弧AB 的长 OB 旋转的方向 AOB ∠的弧度数3602r π逆时针方向 180 r π逆时针方向90 090- 180- 360-1rad【知识点二】角度制与弧度制的换算从上表可知:3602π=rad , 所以180π= rad ,类比可以得到:yxAαOB自我检测2:常见角的角度和弧度的互化 角度 0°45°60°120 150 180°360°弧度6π2π23π【知识点三】弧度制下的扇形弧长和面积公式角度制下的扇形弧长公式为:180n rl π=;面积公式为:3602R n S π=扇 ;（n 是角度数）借助公式⇒=rlαl =扇 ;=S 扇 ;（α是弧度数）自我检测3:利用弧度制证明扇形面积公式lR S 21=其中l 是扇形弧长,R 是圆的半径、【知识点四】角和实数的对应关系今后在具体运算时,“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如:3表示3rad ; 应确立如下的概念:角的概念推广之后,无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系、题型一 角度与弧度的换算【例1-1】将下列各角进行角度与弧度的互化: （1）67.5︒; （2）11230︒'; （3）94π; （4）－115π.oR Sl正角 零角 负角正实数 零 负实数- 10 -（1）67.567.51808︒=⨯=（2）511230112.51808ππ︒'=︒⨯= （3）9918040544πππ︒=⨯=︒ （4）－115π＝－115×180°＝－396°.【例1-2】已知角2025α=︒.（1）将角α改写成2k βπ+( k Z ∈,02βπ≤<)的形式,并指出角α是第几象限的角; （2）在区间[)5,0π-上找出与角α终边相同的角. 【答案】（1）2025α=︒=45520251018044ππππ⨯==+,54π是第三象限角, ∴α是第三象限角、 （2）由55204k πππ-≤+<得25588k -<<-,因为k Z ∈,∴3,2,1k =---,对应角依次为19113,,444πππ---、题型二 用弧度制表示角的集合 【例2-1】用弧度制表示下列角的集合（1）终边落在x 正半轴上的角: （2）终边落在y 正半轴上的角: （3）终边落在x 负半轴上的角: （4）终边落在y 负半轴上的角: （5）终边落在y 轴上的角: （6）终边落在坐标轴上的角:（7）终边落在射线(),0y x x =≥上的角:【例2-2】用弧度表示终边落在如图( 1)( 2)所示的阴影部分内的角的集合、【答案】对于题图( 1),225°角的终边可以看作是－135°角的终边,化为弧度,即－3π4,60°角的终边即π3的终边,∴所求集合为⎩⎨⎧α⎪⎪⎭⎬⎫2k π－3π4<α<2k π＋π3，k ∈Z . 对于题图( 2),同理可得,所求集合为22,62k k k Z ππαπαπ⎧⎫+<≤+∈⎨⎬⎩⎭∪22,62k k k Z ππαππαππ⎧⎫++<≤++∈=⎨⎬⎩⎭,62k k k Z ππαπαπ⎧⎫+<≤+∈⎨⎬⎩⎭题型三 与扇形弧长、面积相关的问题【例3】( 1)已知扇形的圆心角为120°,半径为 3 cm,则此扇形的面积为________ cm 2;( 2)已知扇形的周长为10 cm,面积为4 cm 2,求扇形圆心角的弧度数、【答案】( 1)设扇形弧长为l ,因为120°＝120×π180 rad ＝2π3( rad),所以l ＝αR ＝2π3×3＝23π3( cm)、所以S ＝12lR ＝12×23π3×3＝π( cm 2)、故填π.( 2)设扇形圆心角的弧度数为θ( 0<θ<2π),弧长为l ,半径为R ,依题意有⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2R ＝10.①12lR ＝4.②①代入②得R 2－5R ＋4＝0,解之得R 1＝1,R 2＝4. 当R ＝1时,l ＝8( cm),此时,θ＝8 rad>2π rad 舍去、当R ＝4时,l ＝2( cm),此时,θ＝24＝12( rad)、综上可知,扇形圆心角的弧度数为12rad 、第五章 三角函数- 12 -1、下列说法中错误的是（ ）A 、弧度制下,角与实数之间建立了一一对应关系B 、1度的角是周角的1360,1弧度的角是周角的12πC 、根据弧度的定义,180︒一定等于π弧度D 、不论是用角度制还是用弧度制度量角,它们均与圆的半径长短有关 【答案】D 2、下列角中,与角3π终边相同的角是（ ） A 、56π-B 、53π-C 、43π D 、23π 【答案】B 3、把20165π-表示成2()k k Z θπ+∈的形式,使||θ最小的θ的值是（ ） A 、65π- B 、5π-C 、45πD 、45π-【答案】C4、当角α与β的终边互为反向延长线,则角α与β的关系一定是()k ∈Z （ ）A 、αβπ=+B 、αβ=-C 、(21)k αβπ=++D 、2k αβπ=-+【答案】C5、若角α的终边在直线y x =-上,则角α的取值集合为（ ） A 、2,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭ZB 、32,4k k πααπ⎧⎫=+∈⎨⎬⎩⎭Z C 、3,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z D 、,4k k πααπ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z【答案】D。
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2019-2020学年高中数学 弧度制导学案 新人教A 版必修1
一、预案
1.弧度制的定义：
（1）定义：长度等于__________所对的圆心角叫做1弧度角，记作_____，或1弧度，
或1(单位可以省略不写).
（2）如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是l ,那么a 的弧度数是多少?
角α的弧度数的绝对值是：______，其中，l 是圆心角所对的弧长，r 是半径. 2．角度制与弧度制得互化：
（1）角度化弧度：180_____rad ︒= ； 360_____rad ︒= ； 1___rad ︒=； （2）弧度化角度：___rad π=度； 2___rad π=度； 1___rad =度；
（3）36°= rad ；（5）－105°= rad ； 二、导案
1、学习目标：（1）.理解弧度制的意义； （2）.能正确的应用弧度与角度之间的换算； （3）.记住公式||l
r
α=
（l 为以.α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）； （4）．熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
2、教学过程
问题1：度量角的大小用什么单位？ 1度的角是如何规定的？
<思考>：圆心角的弧度数与半径的大小有关吗？
探究:如果一个半径为r 的圆的圆心角α所对的弧长是 ,那么
α的弧度数是多少?既然角度制和弧度制都是角的度量制,那么它们之间如何换算?
l
例1、把下列各角从弧度化为度，从度化为弧度：
17 (1)
12π
5
(2)
8
π0
(3)1000
(4)-600
变式1 把下列各角从度化为弧度，从弧度化为度：
（1）—210º (2)1200º
4
(3)-
3
π
3
(4)
10
π
某些特殊角的角度数与弧度数的互化：
练习：若三角形的三个内角之比是2：3：4，求其三个内角的弧度数．
例2、请判断２是第几象限角
例3、用弧度表示：
（1）终边在x轴上的角的集合；
（2）第一象限角的集合为；
变式3：（1）终边在y轴上的角的集合；
（2）第三象限角的集合为 ； 弧长及扇形面积公式:
例4、知扇形的周长为8cm ，圆心角α为2rad ，，求该扇形的面积。
变式：若2弧度的圆心角所对的弧长是4cm ，则这个圆心角所在的扇形面积
是 ．
当堂检测
1、 把角度化成弧度，把弧度化成度：
(1)
12
π
7(2)-
6
π
（3） —210º (4)1095º
2、用弧度表示：第二象限角的集合为 ；
第四象限角的集合为 ．
3、若圆的半径是cm 6，则
15的圆心角所对的弧长是 ；
所对扇形的面积是 .
4、已知扇形的弧长为 ，面积为 ，求扇形的中心角的弧度数。
课后作业：
1、在半径为R 的圆中，240º的圆心角所对的弧长为 ，
面积为2R 2
的扇形的圆心角等于 弧度。
2、半径为120mm 的圆上，有一条弧的长是144mm ，求该弧所对的圆心角的弧度数。
3、以原点为圆心，半径为１的圆中，一条弦AB
AB 所对的圆心
角α的弧度数为 ．
8cm 2
4cm
O
A
B
4、在ABC ∆中，若::3:5:7A B C ∠∠∠=，求A ，B ，C 弧度数。
5、选做题
如图，扇形OAB 的面积是2
4cm ，它的周长是8cm ，求扇形的中心角及弦AB 的长。