近三年高考全国卷理科立体几何真题
新课标卷近三年高考题
1、(20XX 年全国I 高考)如图,在以A ,B ,C ,D ,E ,F 为顶点的五面体中,面 ABEF 为正方形,AF =2FD ,90AFD ∠= ,且二面角D -AF -E 与二面角C -BE - F 都是60 .
(I )证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (II )求二面角E -BC -A 的余弦值. 【解析】 ⑴ ∵ABEF 为正方形 ∴AF EF ⊥
∵90AFD ∠=? ∴AF DF ⊥
∵=DF EF F ∴AF ⊥面EFDC AF ⊥面ABEF ∴平面ABEF ⊥平面EFDC
⑵ 由⑴知60DFE CEF ∠=∠=? ∵AB EF ∥
AB ?平面EFDC EF ?平面EFDC ∴AB ∥平面ABCD AB ?平面ABCD ∵面ABCD 面EFDC CD = ∴AB CD ∥,∴CD EF ∥
∴四边形EFDC 为等腰梯形
以E 为原点,如图建立坐标系,设FD a =
()
()000020E B a ,,,, ()3022022a C a A a a ??
? ???
,,,,
()020EB a = ,,,3222a BC a a ??
=- ? ???
,,,()200AB a =- ,, 设面BEC 法向量为()m x y z =
,,.
00m EB m BC ??=?
??=?? ,即1111203
2022
a y a x ay a z ?=????-+?=?? 111301x y z ===-,,
(
)
301m =
- ,,
设面ABC 法向量为()222n x y z =
,,
=0
0n BC n AB ?????=??
.即22223202220a x ay az ax ?-+=???=? 222034x y z ===,, ()
034n =
,,
设二面角E BC A --的大小为θ.
4219
cos 1931316m n m n
θ?-===-+?+? ∴二面角E BC A --的余弦值为219
19
-
2、(20XX 年全国II 高考)如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,
5,6AB AC ==,点,E F 分别在,AD CD 上,5
4
AE CF ==
,EF 交BD 于点H .将DEF ?沿EF 折到'D EF ?位置,10OD '=.
(Ⅰ)证明:D H '⊥平面ABCD ; (Ⅱ)求二面角B D A C '--的正弦值.
【解析】⑴证明:∵54
AE CF ==,∴
AE CF
AD CD
=, ∴EF AC ∥.
∵四边形ABCD 为菱形,∴AC BD ⊥, ∴EF BD ⊥,∴EF DH ⊥,∴EF D H '⊥. ∵6AC =,∴3AO =;
又5AB =,AO OB ⊥,∴4OB =,
∴1AE
OH OD AO
=
?=,∴3DH D H '==, ∴2
2
2
'OD OH D H '=+,∴'D H OH ⊥. 又∵OH EF H =I ,∴'D H ⊥面ABCD . ⑵建立如图坐标系H xyz -.
()500B ,,,()130C ,,,()'003D ,,,()130A -,,,
()430AB =uu u r ,,,()'133AD =-uuur ,,,()060AC =uuu r
,,, 设面'ABD 法向量()1n x y z =,,u r
,
由11
00n AB n AD ??=??'?=?? 得430330x y x y z +=??-++=?,取345x y z =??=-??=?,
∴()1345n =-u r
,,.
同理可得面'AD C 的法向量()2301n =u u r
,,,
∴1212
9575
cos 255210n n n n θ?+==
=?u r u u r
u r u u r , ∴295
sin 25
θ=.
3、(20XX 年全国III 高考)如图,四棱锥P ABC -中,
PA ⊥地面ABCD ,AD BC ,3AB AD AC ===,4PA BC ==,M 为线段AD 上一点,
2AM MD =,N 为PC 的中点.
(I )证明MN 平面PAB ;
(II )求直线AN 与平面PMN 所成角的正弦
值
.
设),,(z y x n =为平面PMN 的法向量,则?????=?=?00PN n PM n ,即???
??=-+=-022
5042z y x z x ,可取
)1,2,0(=n , 于是255
8|
||||||,cos |=?=> 4、【2015高考新课标2,理19】 如图,长方体1111ABCD A B C D -中,=16AB ,=10BC ,18AA =,点E ,F 分别在 11A B ,11C D 上,114A E D F ==.过点E ,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形. (Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由); (Ⅱ)求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) 45 15 . 【考点定位】1、直线和平面平行的性质;2、直线和平面所成的角. D D 1 C 1 A 1 E F A B C B 1 A 1 A B 1B D 1D C 1 C F E H G M 【名师点睛】根据线面平行和面面平行的性质画平面α与长方体的面的交线;由交线的位置可确定公共点的位置,坐标法是求解空间角问题时常用的方法,但因其计算量大的特点很容易出错,故坐标系的选择是很重要的,便于用坐标表示相 关点,先求出面α的法向量,利用sin cos ,n AF θ=<> 求直线AF 与平面α所成角的正弦值. 5、【2015高考新课标1,理18 】 如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC =120°,E ,F 是平面ABCD 同一侧的两点,BE ⊥平面ABCD ,DF ⊥平面ABCD ,BE =2DF ,AE ⊥EC . (Ⅰ)证明:平面AEC ⊥平面AFC ; (Ⅱ)求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值. 【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ) 3 3 又∵AE ⊥EC ,∴EG =3,EG ⊥AC , 在Rt △EBG 中,可得BE =2,故DF =22 . 在Rt △FDG 中,可得FG = 62 . 在直角梯形BDFE 中,由BD =2,BE =2,DF =22可得EF =322 , ∴222EG FG EF +=,∴EG ⊥FG , ∵AC ∩FG=G ,∴EG ⊥平面AFC , ∵EG ?面AEC ,∴平面AFC ⊥平面AEC . ……6分 (Ⅱ)如图,以G 为坐标原点,分别以,GB GC 的方向为x 轴,y 轴正方向,|| GB 为单位长度,建立空间直角坐标系G-xyz ,由(Ⅰ)可得A (0,-3,0),E (1,0, 2),F (-1,0,22),C (0,3,0),∴AE =(1,3,2),CF =(-1, -3, 2 2 ).…10分 故3 cos ,3|||| AE CF AE CF AE CF ?<>==- . 所以直线AE 与CF 所成的角的余弦值为 3 3 . ……12分 【考点定位】空间垂直判定与性质;异面直线所成角的计算;空间想象能力,推理论证能力 【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路,思路1:几何法,先由线线垂直证明线面垂直,再由线面垂直证明面面垂直;思路2:利用向量法,通过计算两个平面的法向量,证明其法向量垂直,从而证明面面垂直;对异面直线所成角问题,也有两种思路,思路1:几何法,步骤为一找二作三证四解,一找就是先在图形中找有没有异面直线所成角,若没有,则通常做平行线或中位线作出异面直线所成角,再证明该角是异面直线所成角,利用解三角形解出该角. 6、[2014·新课标全国卷Ⅱ] 如图1-3,四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 为矩形,P A ⊥平面ABCD ,E 为PD 的中点. (1)证明:PB ∥平面AEC ; (2)设二面角D -AE -C 为60°,AP =1,AD =3,求三棱锥E -ACD 的体积. 图1-3 解:(1)证明:连接BD 交AC 于点O ,连接EO . 因为ABCD 为矩形,所以O 为BD 的中点. 又E 为PD 的中点,所以EO ∥PB . 因为EO ?平面AEC ,PB ?平面AEC , 所以PB ∥平面AEC . (2)因为P A ⊥平面ABCD ,ABCD 为矩形, 所以AB ,AD ,AP 两两垂直. 如图,以A 为坐标原点,AB →,AD ,AP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向, |AP →|为单位长,建立空间直角坐标系A -xyz ,则D ()0,3,0,E ? ????0,32,12,AE →=? ????0,32,12. 设B (m ,0,0)(m >0),则C (m ,3,0),AC →=(m ,3,0). 设n 1=(x ,y ,z )为平面ACE 的法向量, 则?????n 1·AC →=0,n 1·AE →=0,即???mx +3y =0,32y +12z =0, 可取n 1=? ?? ?? 3m ,-1,3. 又n 2=(1,0,0)为平面DAE 的法向量, 由题设易知|cos 〈n 1,n 2〉|=1 2,即 33+4m 2=12 ,解得m =32. 因为E 为PD 的中点,所以三棱锥E -ACD 的高为1 2.三棱锥E -ACD 的体积V =13×12×3×32×12=38. 7、[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-5,三棱柱ABC -A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,AB ⊥B 1C . 图1-5 (1)证明:AC =AB 1; (2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1=60°,AB =BC ,求二面角A -A 1B 1 -C 1的余弦值. 解:(1)证明:连接BC 1,交B 1C 于点O ,连接AO ,因为侧面BB 1C 1C 为菱形,所以B 1C ⊥BC 1,且O 为B 1C 及BC 1的中点. 又AB ⊥B 1C ,所以B 1C ⊥平面ABO . 由于AO ?平面ABO ,故B 1C ⊥AO . 又B 1O =CO ,故AC =AB 1. (2)因为AC ⊥AB 1,且O 为B 1C 的中点,所以AO =CO . 又因为AB =BC ,所以△BOA ≌ △BOC .故OA ⊥OB ,从而OA ,OB ,OB 1两两垂直. 以O 为坐标原点,OB 的方向为x 轴正方向,|OB |为单位长,建立如图所示 的空间直角坐标系O - xyz . 因为∠CBB 1=60°,所以△CBB 1为等边三角形,又AB =BC ,则A ? ????0,0,33,B (1,0,0),B 1? ????0,33,0,C ? ?? ??0,-33,0. AB 1 →=? ?? ??0,33,-33, A 1B 1 →=AB =? ????1,0,-33, B 1C →1=BC =? ?? ??-1,-33,0. 设n =(x ,y ,z )是平面AA 1B 1的法向量,则 ?????n · AB 1=0,n ·A 1B 1→=0,即?????33y -33z =0,x -33z =0.所以可取n =(1,3,3). 设m 是平面A 1B 1C 1的法向量, 则?????m ·A 1B 1→=0,m ·B 1C 1→=0, 同理可取m =(1,-3,3). 则cos 〈n ,m 〉=n ·m |n ||m |=17. 所以结合图形知二面角A -A 1B 1 - C 1的余弦值为1 7.