高中数学中数列通项与求和若干方法探讨

高中数学中数列通项与求和若干方法探讨-中学数学论文

高中数学中数列通项与求和若干方法探讨

卢炼

（靖江市斜桥中学，江苏靖江214500）

摘要：数列不仅在高中数学里有特别重要的比重，而且对大学数学也有重要影响，数列和函数、不等式、方程、积分、微分、极限、级数等等都有很大的联系，而且在数列题目中，经常会涉及到分类讨论和等价转化，这些都是很重要的数学基本技能和思想方法。数列的通项和求和是每年高考的必考考点，对数列求通项公式和求和是一个技巧性强、灵活度大、方法多的过程，需要学生灵活的运用学习到的内容。掌握数列通项公式和求和的方法对高考取得好成绩有很大的帮助。新课改过后，高中数学教材书上只安排了等比数列和等差数列的通项公式和求和方法，但他们都只是最基础的数列，数列的形式复杂种类繁多，大部分的数列即不是等差数列也不是等比数列，所以本文对高中阶段一般数列的求和通项方法进行了归纳和总结，现结果如下。

关键词：高中数学；数列；通项公式与求和；方法探讨

中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-07-0059-01 一、求得数列的通项公式的几种常见方法

（一）观察法

当我们知道数列的前面几项时，要求这个数列的通项公式可以仔细观察这几项数列的排列规律，写出通项公式，如这样一组数列：2、4、6、8、10，所以我们可以得出这组数列的通项公式为An=2n。但是这种方法只适合很简单的排列组合，大部分的数列都不可能一眼就看出规律，但是仔细的观察可以给求通项公式

指明方向。

（二）公式法

如果知道了这个数列前n项和的表达式Sn，那么这个数列的通项公可以根据Sn-Sn-1得出，但是这个时候需要注意的就是，n要大于或等于2，不然Sn-1就没有意义了。在求数列的通项公式时，有时候会用到分段求解，这时同学们一定要注意n的范围，而且当n=1时要特别注意。有些题目会直接告诉同学们，这个数列是等比数列或者等差数列，这时，在求数列的通项公式时，只要直接套公式就可以了，这类题目一般难度很低，如2011年辽宁省的高考数学题：An 为等差数列，且A2=0，A6+A8=-10，求An的通项公式。

（三）叠算法

如果题目告诉了我们数列任何相邻两项之间的关系式，我们就可以根据这个关系式进行运算。比如An+1=An+f(n)，可以将题中的n变成n+1或者n-1，然后将变的关系式和原式进行加减，消去An+1，这样就可以得出An，这是叠加法。如果题目告知An+1和An之间相除得到的值f(n)，方法同上，将n变为n+1或者n-1，将原式和变换后的式子进行乘除，相同的项消除后，可以得到An的最终结果，这是叠乘法。

（四）构造法

有的题目虽然给出了数列相邻两项的关系式，但是关系式过于复杂，不能运用叠加或者叠乘的方法，这时我们可以对题目所给的关系式进行相应的变形，再构造一个重新的数列，这个数列是我们很熟悉的等差数列或者等比数列。如果原来的数列不是等比数列或者等差数列，那我们可以把这个数列的每一项都加上一个数字或者一个式，这样就产生了新的数列，如An+1=bAn+c或者加f(n)，其中b、

c都是明确的数字，这样求出了这个式子，An 也就很好解出来了。这些构造的方法适合于递推式中，待定系数法、对数法、倒数法、特征方程法等等都是求数列通项公式的方法，在这里不再一一解释了。

二、高中数学中数列求和的几种方法

（一）拆项法

如果题目中所给的数列可以拆成等比数列或者等差数列的和，那就可以用拆项法求解了，只需利用等比或等差数列的求和公式，原数列中的n次方项当成一个整体。

（二）裂项相消法

如果题目中给出的数列通向公式已经被解出来，而且这个数列中的每一项都可以分裂为两项的差，那么就可以用裂项消除法了，这种方法的关键是要消除中间的项，最终求出和的公式，写出数列的通项公式，明确怎样分裂是这种方法的另一关键。

（三）错位相减法

当数列的通项公式中幂的次数很高或者幂之前的常数也不一定时，可以用错位相减法，将原式中的n变成n-1，将得到的式子和原式进行加减，得到Sn和Sn-1，最终求出Sn，这时也要注意n的范围，而且当带幂的变相前面有Bn时，要首先考虑0的存在情况，然后再用这种方法进行运算。

（四）奇偶数讨论方法

有些数列除了需要分段之外，还要考虑到在奇数和偶数时不同的情况，然后再将所有的情况综合起来的最终结果。碰到这种题目时，同学们一定要细心。与奇偶数有关的题目，一般幂为n-1或者n+1，这是当n为偶数时，幂就为奇数，当

n为奇数时，幂就是偶数。

（五）猜想法

数学需要大胆的猜想和假设，在碰到特别难的数列求和时，要仔细观察它可能存在的内在规律，首先将S1 ；S2；S3；S4；S5等明确的算出来，从中发现规律，然后用归纳法进行证明。

求数列前n项和的方法还有很多，如综合法、常数列法、递推法等等。

三、结语

高中数列在高考中占有很重要的地位，同学们要重视对数列的学习。在做题时，要根据题目的具体设定特征，合适地构造出辅助的数列，尽可能地利用学到的基本数列，简捷的求出数列的通项公式。上文中提到的几种类型是在我们的高中阶段最常见的基本类型，其他一些较为复杂的数列递推关系式也都可以通过巧妙的变形后转化为这几种简单的形式求解。数列作为初等数学和高等数学之间的衔接点和数式函数和方程还有不等式之间都有着很密切的联系，所以在各年的高考考试中试题里都占有比较大的比重。解数列类的题目主要重在检测学生的理性思维水平和逻辑思维能力，对学生的创造能力和创新意识进行考察，所以在历届高考都占有很重大的地位，自然也就成了历年高考中的热点内容。对于这类问题，求数列的通项公式往往都是解题的关键点和突破口，本文对数列通项公式的求解和求和做了一个简要的归纳，希望对同学们有所帮助。

参考文献：

［1］曹跃.求数列通项策略［M］．

［2］张泉.世纪金榜·数学［M］.延边大学出版社,2008.