毕业设计(论文)概要

毕业设计（论文）题目: 关于某些线性几何不等式的研究与推广

学生姓名徐毅学号2004125114

专业数学与应用数学班级20041251

指导教师王卫东

评阅教师张渊渊

完成日期2008年 5 月8 日

学位论文原创性声明

本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。

作者签名：年月日

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本学位论文属于

1、保密□，在_________年解密后适用本授权书。

2、不保密□。

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作者签名：年月日

导师签名：年月日

目录

摘要 (4)

关键词 (4)

前言 (4)

一、平面上一动点到三角形各顶点的距离和的线性几何不等式 (5)

二、有关外接圆和内切圆半径等的线性几何不等式 (11)

1、欧拉不等式及其一种简捷证明 (11)

2、关于,R r与半周长p的锐角三角形不等式 (12)

三、关于三角形面积的线性几何不等式及其推广 (13)

1、Oppenheim不等式的多边形推广 (13)

2、Oppenheim不等式的高维推广 (14)

四、三角形中线的线性不等式及其推广 (15)

五、关于三角形线性几何不等式的猜想 (17)

六、一个线性几何不等式的修正 (18)

七、总结 (18)

致谢 (18)

参考文献 (19)

关于某些线性几何不等式的研究与推广

学生：徐毅

指导教师：王卫东

三峡大学理学院

摘要：三角形中的几何不等式研究已取得了非常丰富的成果，本文主要围绕已知的线性几何不等式进行研究，给出三角形中一些新的线性几何不等式，并包含了作者的某些猜想。而三角形中的某些线性几何不等式直接推广到n维单形并不是一件容易的事，因而在推广到四面体中乃至n维单形时还有许多几何不等式值得探讨和研究。因此本文在这个方面做了些工作，从而进一步发掘和证明了一些线性几何不等式。

Abstract：The research of the triangle geometric inequality has obtained very rich of the outcomes. This paper studies mainly some new linear triangle geometric inequalities, focusing on the linear geometric inequalities which are known, and it also includes some conjectures of the author. But it is not an easy task to directly extend the linear triangle geometric inequality to the n-simplex, thus there are many geometric inequalities worthing exploring and researching when we extend the linear geometric inequality to the tetrahedron and the n-simplex. So this paper has done some work in this field and further explored and proved some linear geometric inequalities.

关键词：三角形；线性几何不等式；四面体；n维单形

Key words：triangle；linear geometric inequality；tetrahedron ；n-simplex

前言

几何不等式是一个魅力无穷的数学分支,20世纪70年代以来不等式的研究成果超过了前300年的六、七倍，不等式的一些专题——几何不等式，它的研究得到了蓬勃发展。几何不等式目前已有许多专著，国内外出版的数学杂志，特别是美国数学月刊，大量刊登了各种几何不等式的论文。20世纪90年代以来，由中国科学院成都计算机研究所杨路研究员研究开发的不等式型机器证明软件“BOTTEMA”的问世和不断升级，为证明和发现新的几何不等式提供了强有力的工具，刘保乾先生等借助这种软件已经发现和证明了几千个三角形几何

不等式。不等式的方法在迅速扩大，“国际一般不等式会议”每2—3年就举行一次，并出版会议文集。

我国在初等几何不等式研究方面取得了在国际上居于领先水平的一系列成果，国内形成了以杨学枝、刘保乾、陈计等为代表的中国几何不等式的研究小组，在高维几何不等式研究方面，国内主要以杨路、张景中、苏花明、冷岗松、杨世国、张含芳、匡继昌、单墫等为代表。其中杨路教授和张景中院士在距离几何不等式的研究方面做了许多开创性工作，研究成果居于世界领先地位。在杨—张的带领下，中国出现了一批研究几何不等式的精英，形成了“中国学派”，取得了居于国际领先地位的一些成果。目前，几何不等式在三角形里面取得非常丰硕的成果，而在四面体中乃至n 维单形体中也取得很大成果和突破。

几何不等式的研究不仅兼顾了中学数学教学和各类数学竞赛的需要，对中学数学的竞赛和教学有较好的指导性，而且其在大学数学教学与研究中仍占有十分重要的地位。从证明方法上看，许多几何不等式的证明要用到高等数学的工具，充分体现了初等数学与高等数学在思想方法上的继承性和相互渗透性。

线性几何不等式在几何不等式中具有十分重要的地位，它不仅形式简单优美，而且在几何不等式证明中有着较广泛的应用， 如著名的Erdos-Mordell 不等式、联系三角形中主要度量元素（边长，高，中线，内角平分线，内切圆、外接圆半径等）的线性不等式。

本文主要从平面三角形中已知的主要线性几何不等式，联系三角形高、中线、内角平分线的线性几何不等式出发，发现新的线性几何不等式，如三角形的内切圆、外接圆半径与半周长，平面上一动点p 至ABC ?三顶点距离之和与内角平分线长之和的关系探讨等；对平面三角形中已知的某些线性几何不等式进行不同角度（边数和维度）的推广，例如：给出在n 维单形中的相应几何不等式，如著名的Euler 不等式的高维推广形式，联系三角形高、中线、内角平分线等的某些线性不等式的高维推广。

一、 平面上一动点到三角形各顶点的距离和的线性几何不等式

设P 为ABC ?平面上一动点，用ABC ?的常见几何元素来表示的和式PA PB PC ++的下界是一个值得研究的几何不等式问题。本文恒用记号

,,a b c ;,,a b c l l l ;,,a b c t t t ;,,a b c h h h ;,,;,,a b c a b c k k k g g g 分别表示ABC ?的三边长、中线、内

角平分线、高、类似中线和过 Gergonne 的 Ceva 线长；,,,p R r S 分别表示ABC ?的半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积；I 表示ABC ?的内心，∑ 表示循环求和，例如

a a

b

c =++∑。本节应用 Fermat 问题的结论，证明了平面上一动点p 至ABC ?三顶点

距离之和的一个较强的线性不等式，由之导出几个推论，下面先给出几个引理。

引理1.1 设P 是ABC ?平面上一动点(Fermat 问题的结论)．

(I) 当 2max(A,B,C)3

π

≤

时，有

PA PB PC ++ （1）

(II)当A >23

π

时 ，有 PA PB PC ++b c >+ （2） 引理 1.2

[1]

在ABC ?中，若最大顶角不大于?（

3

π

?π≤≤），则对于任意实数

[]1,1μ∈-，总有

22222222(1cos sin )42cos (sin sin sin )38(sin sin )2222p t R t Rr t r ?????μ??μ?μ???

?≥+++--+++++???????

?

（3）

其中 121min (sin

cos ),2(2sin )22t ?

??--?

?

=--???

?

（4）

当且仅当ABC ?为正三角形或者为最大顶角等于?的等腰三角形时，(3)式取等号。

引理 1.3 在ABC ?中 ，若2max(A,B,C)3

π

≤

时，有

21)1)p R r ≥+ （5）

当且仅当ABC ?为正三角形或者为最大顶角等于

23

π

的等腰三角形时，(5)式取等号。

证明：在（4）中，取2,3π?μ=

=

，得

12

12m i n (s i n

c o s ),2

(2s i n )31

3

3

3t π

ππ--?

?=--=???

?

将23

,312

π?μ=

=，1t = 代入（3）式得

22

213(5(44

p R Rr r -≥

+++

即 2241)1)]p R r ≥+

上式开方即得不等式(5)，引理1.3获证。

在本文里，我们用到了类似中线的概念，所谓类似中线是指三角形的任意一个顶点（如

A ）与其对边（如BC ）上的一点D 的连线AD 满足22

2a bc

AD l b c =

+ 的线段；我们将该类

似中线AD 记作a k ，其中a l 为a k 相对应的中线。

引理 1.4 在ABC ?中，有

22222

2a b c a b c at bt ct ak bk ck ++≥++ （6）

证明 : 根据 2

2()()()a

a b c b c a bc t b c +++-=+ ，222222222

(22)()

a b c a b c k b c +-=+ 2222222222222222222

[()()()2()()()]

()()a

a

abc b c b c a b c bc b c b c a bc b c at ak b c b c ++-+-++++-=

++ 2222222

2222

[()()()]()()()abc b c b c a b c bc b c b c b c ++-++=-++ ； 2222222222222

[()()()]

()()()

a

b

abc a c a c b c a ca bt bk c a a c a c ++-++-=-++ ； 222222222

2222

[()()()]()()()

c

c

abc a b a b c a b ab ct ck a b a b a b ++-++-=-++ ； 所以不等式(6)等价于

22222222222

()()()

()0()()

b c b c a b c bc b c b c b c ++-++-≥++∑ （7） 不妨设 a ≥ b ≥ C ，则易证

222222()()()c a c a b c a ca ++-++2232222()()()0c c a a c c a ca a b =+++++->； 222222()()()a b a b c a b ab ++-++2232222()()()0b a b a b a b ab a c =+++++->；

又易证22

2222

()()b c a c b c c a --≤++，所以欲证(7)式 ，只需证

222222222222222222

()()()()()()

0()()()()

a c

b

c a b c bc a c a c b a c ac b c b c a c a c ++-++++-+++>++++ 上式化简等价于

2222222222222222222()()()()()()()()()()0

b c c a b c a c a b c bc c a a c b a c ac b c b c ++++-++++-++++>2222222222222222()()[2()()()()][()()()()]0b c a c b c c a a c a b b c abc a c a c a b b c b c ?++++-+-+-+++++>

22222222()()[222)[()]b c a c a b ab ca bc c a b ?++++++-- 322223223222()()()[()(())]c a b c b c a c abc a b c b a b ++++++-+-

2422332222222[622()][()()2()][()]0

abc c a b ac bc c a b abc a b a ab b c a b c a b +++++-++++++-->最后一步显然成立 ，也即(7)、(6)式成立，从而引理1.4获证。

引理 1.5 在?ABC 中，有 22()()()2(2)b c c a a b p p Rr r +++=++ （8）

222

2

2()

2a p Rr r b c p Rr r

--=+++∑ （9） 22

222()()2bc p Rr r a b c a p Rr r -+=++++∑ （10）

以上三角形恒等式证明简单，由

)

c S

r p =

=与

4abc R S =

=

可以计算得到，证明从略。

下面证明的定理即为陈计先生在文献[2]中提出的猜想。

定理1.1 设 P 是ABC ?平面上任意一点，则 2

()3

a b c PA PB PC t t t ++≥

++ （11） 当且仅当ABC ?为正三角形且P 为其中心时，（11）取等号。 证明： 证明王振提出的更强的不等式（参阅文献[3]） 2

2

41()9a PA PB PC at a

++≥∑∑ （12） 根据引理1.1，下面分两步证明 (I) 当 max(A ，B ，C)≤23

π

时，只需证

2222141()29a a b c at a

+++≥∑∑ （13） 由引理1.3得

(62(3410R r R r ≥+≥+ （14） 而依据引理1.5及恒等式2

2

4bc ca ab p Rr r ++=++ 可得

2

214()[3()]a bc abcp p a a at bc a abc b c b c -==-++∑∑∑∑∑∑

23

()2()()

a bc

bc bc bc b c c a a b =-+?+++∑∑∑

∑∑= 222222222222

222

4[3(2)2(2)(2)4()](2)

p Rr r p Rr r p Rr r p Rr r p Rr r p Rr r +++++++-+--+++

22422232224[2018(4)](2)

p Rr r p Rrp r p r R r p Rr r ++=++++++ 再由恒等式 222222(4)a b c p Rr r ++=--,S pr =,欲证(12)，只需证

22

2

2

42223222

449[2018(4)]9(2)

p Rr r p r p Rrp r p r R r p Rr r +++≥++++++ 上式展开整理等价于：

6424222242256023(2842495)(26029277)0p Rrp r p r p R Rr r r R Rr r -+-+-+++≥

上式分解整理等价于：

422234222222(52021239)(165)4(917)(2)0p Rrp r p Rr r p Rr r r p r R r +----+++-≥

据 Gerretsen 不等式22165p Rr r ≥-和 Euler 不等式 R ≥ 2r ，易知上式成立 ，故(12)成立．

(II)当 2A=max(A,B,C)>

3

π

时，只需证 22

19(b+c)4a at a

>∑∑ （15）

2

2

2

9()4()[3]()a b c bc ca ab b c ?+>++-+∑

222

2

2229()12()44[]0()()()

a b c b c ab ac bc bc bc b c c a a b ?+-+++++>+++∑∑ 因为 22222()()()()

b c bc c a a b c a a b +≥

++++，所以上式只需证 322

2

448()()()448()a a bc

b c a b c b c ab ac bc b c b c +-++----++++80()()

bc bc c a a b +>++∑ 而2

()0b c -≥，上式只需证

22222

[()]488()()4()()()

a b c a bc a bc

b c a b c a b c b c c a a b -++-+++-++++0> 2222224()()4[()2()]4)

8()()0()()()

a a

b

c b c a a bc a a b c b c a b c b c a b c b c b c c a a b +++-++-++?+-+-+>++++

2222224()()[2()()]4[()2()]40b c b c a b c a a b c a bc a a b c b c a b c ?++-+-+++++-++>∏

222224()(22)()4()(22)40b c a b c b c a a bc b c a a b c a b c ?++++--+-+++>∏

因为4()22,,b c a b c a b a c a a +>+++>+>，所以只需证

2222222(22)()4()(22)40a a b c b c a a bc b c a a b c a b c +++--+-+++≥

22[(22)()2]0a a b c b c a bc ?+++--≥

最后一步显然成立，以上每步均可逆．故不等式(15)成立。

综上不等式(12)成立，由Cauchy 不等式可知：

22221111()()a a b c at at bt ct a a b c

∑∑=++++

)))

222

2

2

2

[][]

c =++?++

2)a ≥2()a b c t t t =++ 显然不等式（12）较不等式（11）更强，也即不等式(11)成立，定理证毕。

根据引理1.4，不等式(12)及 Cauchy 不等式可得 推论 1.1 设 P 为ABC ?平面上一动点 ，则 2

() 3

a b c PA PB PC k k k ++≥++ （16） 根据a a t AI r g ≥+≥及不等式(11)可得 推论 1.2 设 P 为ABC ?平面上一动点 ，则 2

() 3

a b c PA PB PC g g g ++≥++ （17） 不等式[4,5]

2()b c a PA PB PC r a

b c

++≥+

+(*) 的另外一种轮换式为 2()c a b

PA PB PC r a b c

++≥++ （18）

由不等式(*)及不等式(18)相加化简，即得 推论 1.3 设 P 为ABC ?平面上一动点 ，则

3a b c PA PB PC h h h r ++≥++- （19） 注：不等式(11)与不等式(16)，不等式(17)与不等式(18)不分强弱．不等式(19)与不等式 (17)，(18)不分强弱。

众所周知,费马 （Fermat ） 点是三角形内的点到三角形各顶点的距离之和取最小值的点, 该点与三顶点相连,每两条连线所夹的角120。 那么,三角形内的点到三角形各顶点的距离和有没有最大值点呢？

定理1.2 ABC ?中，AB BC CA >>，P 是ABC ?内的任意一点,

则PA PB PC AB BC ++<+

1L 2

1

B

证明：如图，P 是ABC ?内的任一点,过P 分别作121221//,//,//M N AC N L AB M L BC ,分别交,,AB BC AC 边于点121212,,,,,M M N N L L . 设

11,,0,1AM BN AB BC αβαβ==<<,由于21N C M A

BC AB

α==, 故2N C BC α=，于是 1212(1)N N BC BN N C BC αβ=--=--

由于12N N 0>，可以得到1αβ+<；又因为 12

PN N ABC ??，所以

2121PN N N AC BC αβ==--, 即1211,(1)CL PN CL AC AC AC αβαβ==--=--， 21

AL BN AC BC

β==, 于是2AL AC β= 由上可得 (1)P B B C

A B βαβ<+--, (1)PC BC AC ααβ<+--, (1)()(1)PA PB PC AB BC AC βαβα++<-+++-

(1)()(1)AB BC AC AC

βαββαβ=-++++--(1)()(1)AB BC AB BC βαββαβ≤-++++--AB BC =+

由定理1.2可以推知：三角形内的点到三顶点的距离和无最大值,但却存在一个上界。

二、有关外接圆和内切圆半径等的线性几何不等式

1、欧拉不等式及其一种简捷证明

定理2.1 ABC ?的外接圆半径R 与内切圆半径r 之间的不等式，即著名的Euler 不等式：

2R r ≥ （20）

当且仅当ABC ?为正三角形时，不等式（20）等号成立。

欧拉不等式的证明方法有很多，但都不容易。本节给出应用三角形的边变换及均值不等式的一种简捷证法。

,,0,x y z >设 ,,a y z b z x c x y =+=+=+，则

S r

p =

==

=

；

4abc R S =

=2r ≥= 证毕. 由此，数学中的变换和转化的巨大作用可略见一斑。

Euler 不等式有很多加强形式，它的一个加强的线性几何不等式为[14]

：

2a a R r t h -≥- 当且仅当ABC ?为正三角形时，该不等式取等号。

Euler 不等式在n 维单形的推广表达形式为

[6]

：

在n 维单形A 中，()R A 与()r A 分别为A 的外接球和内切球的半径，则有

()()R A nr A ≥ （21） 仅当单形A 为正则单形时，（21）取等号。

2、关于,R r 与半周长p 的锐角三角形不等式 引理2.2

[10]

二次不等式 222

(2742)p R R r r

λμλμ≥++-- （22） 对锐角三角形成立的必要条件是： 4λ≤，

2(7(3μλ≤- （23）

充要条件是（23）式以及 2(14λ≤≤ （24）

特别地，当（23）取等号，即

2(7(3μλ=- 时，

（22）化为

222(,)[2(7(3[(12(1p H R r R Rr r λλλλ≥≡+--+- （25） 则（25）成立的充要条件是（24）式成立。

定理2.2 使锐角三角形不等式

2)p KR K r ≥+ （26）

成立的最大常数 (1)(33)

K =+

证明：不妨设0K ≥，则（26）等价于

2222222)2)p K R K K Rr K r ≥++ 于是根据引理2.2知上式成立，当且仅当

24K ≤ 且

2

2(2)

22)

2)

K K K ≤-， 即

0(1K ≤≤+ 证毕.

三、关于三角形面积的线性几何不等式及其推广

A.Oppenheim 曾建立了如下的结果[7]：设i i i ABC ?的边长，面积，外接圆半径分别为

,,,,,1,2i i i i i a b c S R i =，则以

a b c ==

为边长的ABC ?的面积S 满足 12S S S ≥+ （27）

1、Oppenheim 不等式的多边形推广 引理3.1

[8]

设平面凸n 边形12n A A A ???的面积为F ，各边长分别为

121232,A A a A A a ==,1n n A A a ???=；再设实数12,(0,)n π??????∈，且12n π?+?+???+?=，则

222

11224n n a ctg a ctg a ctg F ?+?+????≥ (28)

等号成立当且仅当此n 边形内接于圆，且

12122sin sin sin n n

a a a

R ==???==??? 其中R 为圆半径。

定理3.1 设12,a a n a ???,1F 和122,,n b b b F ???分别是凸n 边形12n A A A ???和12n B B B ???的边长和面积，则以

12,n c c c ===

为边长的圆内接n 边形12n c c c ???的面积F 满足不等式

12F F F ≥+ （29） 等号成立当且仅当12n A A A ???和12n B B B ???是相似的圆内接凸n 边形。

证明 ：将不等式（28）分别用于凸n 边形12n A A A ???和12n B B B ???，得

222

112214n n a ctg a ctg a ctg F ?+?+????≥和 222112224n n b ctg b ctg b ctg F ?+?+????≥

现将上面两式的两边分别相加，得

222

1122124()n n c ctg c ctg c ctg F F ?+?+????≥+ （30）

再令 sin ,1,2,,,2i

i c i n R

?=

=??? 其中R 为凸n 边形12n C C C ???的外接圆半径，则（30）的左边4F =，所以12F F F ≥+，等号成立当且仅当12n A A A ???与12n B B B ???为相似的圆内接凸n 边形。

2、Oppenheim 不等式的高维推广 引理3.2

[9]

若A ,,B C 是n 维单形，(),()V B V C 分别表示,B C 的体积，设A 的顶点是

121,,,n A A A +???；B 的顶点是121,,,n B B B +???，且,ij i j ij i j b B B c C C ==，用i S 来表示 121(,,,)/n i C C C C +???所成的1n -维单形的面积，ij θ表示i S 与j S 的夹角，则有不等式

22223

cos ()()

n

n

ij i j

ij i j

b S S

n V B V C θ-

<≥∑ （31）

等号成立当且仅当两个单形对应相似。

定理 3.2 设n 维单形A 与B 的棱长及体积分别为,()ij a V A 与,()ij b V B ，

11i j n ≤<≤+，(11)ij c i j n =≤<≤+ 为棱长的n 维单形121

n C C C +???的体积()V C 满足不等式

222()()()n

n

n

V C V A V B ≥+ （32）

等号成立当且仅当单形A 与B 对应相似。 证明：将单形A 代替引理3.2中的B ，得

22223

cos ()()

n

n

ij i j

ij i j a S S

n V A V C θ-

<≥∑ （33）

将（33）与（31）相加，得 222

23

2

32()

[()()]cos ()n

n

n

ij i j ij i j

n V C V A V B c S S n V C θ-

<+≤=∑

两边同除223

()

n

n V C -

，即得

222()()()n

n

n

V A V B V C +≤， 等号成立当且仅当A C 且B C ，即A B 。

四、三角形中线的线性不等式及其推广

引理4.1 三角形的一中线的2倍小于夹此中线两边之和。

G

B

C

A

证明：设AM 是ABC ?的一条中线，延长AM 到G ，使MG AM =，连接BG ，则

B M G

C M A ???，从而

BG AC =。 在ABG ?中，有 .A G A B B G <+ 即 2.AM AB AC <+

定义4.1 连接四面体的一个顶点和这个顶点所对的面（每个面都是三角形）的重心的线段称为这个四面体过这个顶点的一条中线。

苗国证明了：四面体的四条中线共点，且这点把四面体的每一条中线都分成3：1的两段

[11]

。

现在把三角形这个中线的线性不等式推广到3维四面体中：

定理4.1 四面体的一条中线小于夹此中线的三条棱长和的

13

。

4

A 3

2

A 1

A

证明： 设四面体1234A A A A 的顶点i A 所对的面的重心为i G (1,2,3,4)i =，连接21A G ,12AG 并分别延长交34A A 于E ，E 为34A A 中点。取21A G 的中点F ，连接1A E 、1A F 。因1G 是

234A A A ?的重心，2112A G G E =，故11AG 、1A F 分别为1A EF ?与121A A G ?的中线。由引

理知

11112,AG A E A F <+ （34）

112112.A F A A AG <+ （35） (34)×2，得 1111422.AG A E A F <+ （36） 由（35）与（36），知 111121142.AG A E A A AG <++

∴ 1111232.AG A E A A <+ （37） 又1A E 是134A A A ?的中线，由引理，得

113142.A E A A A A <+ （38） 再由（37）与（38），得 111213143.AG A A A A A A <++ 即 111213141

().3

AG A A A A A A <++

定理4.2 四面体四中线之和大于六棱和的

49，小于六棱和的23

。 证明： 设四面体1234A A A A 的六棱长分别为

121132143234255346,,,,,A A a A A a A A a A A a A A a A A a ======，由定理4.1可得：

11

1231()3AG a a a <++，同理有 221451()3A G a a a <++，332461()3A G a a a <++，443561

()3

A G a a a <++

四式相加，得 4

6

11

23i i i i i AG a ==<

∑∑ 设四面体的重心为0G ,由文[11]知 1001:3:1A G G G

=，故10113

4

A G A G =，同理有20223

4A G A G =

。在120A A G ?中，121020A A AG A G <+，即 1211223()4A A A G A G <+ 就是 111223

()4

a AG A G <+

仿此有 211333()4a AG A G <+，311443()4a AG A G <+，4

22333

()4a A G A G <+， 522443()4a A G A G <+，633443

()4

a A G A G <+

以上六式相加得: 6

4

11

94i i i i i a AG ==<∑∑

所以 6

4

11

49i i i i i a AG ==<∑∑

综上有 64

6

111

4293i i i i i i i a AG a ===<<

∑∑∑ ，定理证毕。 n 维单形可以看成有1n +个顶点的广义四面体，四面体就是3维单形，采用类似的方

法不难把该定理推广到n 维单形。

五、关于三角形线性几何不等式的某些猜想及其它

1982年，席竹华在证明

a a a h l t p ++时，发现了一个很细致的不等式[12]

：

1)2b c l t a b +≤+ 由此易知

2a

a l

t +≤∑∑ ，针对这一不等式，我们详细考察了a l ∑，a t ∑与

p 之间的不等式关系[15]，提出：

猜想5.1： （a ）

2

1)(3a

a l

t p +≤+∑∑；

(b)

(183(18a

a l

p t -≥+-∑∑；

注意：不等式（a ）要强于

2a

a l

t +≤∑∑

六、一个线性几何不等式的修正

文[13] 给出了如下的几何不等式：在ABC ?中，AB AC >，,BE CF 为高， 则有：AB CF AC BE +>+.

由条件易知：当90A ∠=时，CF AC =，BE AB =，上述不等式显然取到等号,正确的结论应为AB CF AC BE +≥+。另一方面，从证明过程来看，原文仅对A ∠为锐角的情形予以证明，对A ∠为钝角的情形未加说明，虽然二者证法相同，但图形位置却是不同的。在文[13] 的证法中,没有分类讨论是导致错误的根本原因,为了避免分类讨论和添加辅助线,下面给出该不等式 （修正后的） 的另一证法。 证明： 记ABC ?的面积为S ，

因为 1122S AB CF AC BE =

?=? ，所以 22,S S BE CF AC AB

==, 从而22()()S S AB CF AC BE AB AC AB AC +-+=+--(2)AB AC

AB AC S AB AC

-=?-? ;

又 2s i n S A B A C

A A

B A

C =??≤? 即 20AB AC S ?-≥（当且仅当90A ∠=时等号

成立）

故 (2)0

A B A C

A B A C S A B A C

-?-≥? 即 A B C F A C B E +≥+

（当且仅当90A ∠=时等号成立）。

综上有：

定理5.1 ABC ?中，AB AC >，,BE CF 分别为三角形边AC ，AB 上的高， 则有

AB CF AC BE +≥+.

七、总结

本文从多个角度考察了三角形中存在的一些线性几何不等式，并对其进行了理论证明；对于提出的某些线性几何不等式，对它们进行了不同形式的推广。当然里面也收录了某些已知的不等式（如欧拉不等式），本文主要给出了它的一种新的证明。除此之外，在文章最后作者还提出了两个线性几何不等式的猜想，修正了一个文献的结果，文中提出的线性几何不等式（如定理2.2）正是对他人提出的猜想的一种解答，这充分说明了数学是在“猜想”中发展和进步的。

致谢

本论文是在王卫东老师的指导下完成的.从开始到完成，王卫东老师给我提出了宝贵的意见，尤其在文献资料方面和论文细节处理上.在此，特向王卫东老师表示感谢！

参考文献

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