焦半径公式的证明

FFaa>cFFc）2到两定点|=2，）（距离之和为定值22（|【寻根】椭圆的根在哪里？自然想到椭圆的定义：2121的动点轨迹（图形）.

ca.

和这里，从椭圆的“根上”找到了两个参数ca，就确定了椭圆的形状和大小.就确定了椭圆的位

置；再加上另一个参数比较它们的第一个参数“身，ca更“显贵”比份”来，.

c的踪影，故有人开玩笑地说：椭圆方程有“忘本”遗憾的是，在椭圆的方程里，却看不到. 之嫌cc的“题根”. 为了“正本”，我们回到椭圆的焦点处，寻找，并寻找关于

一、用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式

数学题的题根不等同数学教学的根基，数学教学的根基是数学概念，如椭圆教学的根基是椭圆的定义.但是在具体数学解题时，不一定每次都是从定义出发，而是从由数学定义引出来的某些已知结论（定理或公式）出发，如解答椭圆问题时，经常从椭圆的方程出发.

FcFcPxy,0)(（,0，）和）是椭圆上任意一点，是椭圆的两个焦（【例1】已知点-21 a PFPFa+-|=|=；|.

.点求证：|21PFPFy”即可然后利用椭圆的方程“消. .可用距离公式先将||和||分别表示出来分析【】21【解答】由两点间距离公式，可知

PF (1)

||=1．解出从椭圆方程

(2)

代（2）于（1）并化简，得

axPFa)

|(-≤|=≤1 aPF xa)

|≤|=≤(-同理有2通过例1，得出了椭圆的焦半径公式【说明】

ea-ex ra+exr==( )

=21Px,yrxrx的减）横坐标的一次函数. 的增函数，从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点是（是21a+ca-cx,y轴，关于原点）（关于.

.从焦半径公式，函数，它们都有最大值还可得椭圆的对称性质,最小值

二、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径

用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.

椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接用距离公式即可. P x,yPFcFcaa>c>0）（.，0(）的距离的和为)是平面上的一点，到两定点2（-），0，试用】【例2 （21xyrPFrPF|.

的解析式来表示和=|=|，|2112rfxrgxxrr的方程组，然后从中得出为参数列出关于（和）.】【分析问题是求=先可视（）和=2211rr.

和21【解答】依题意，有方程组

③得②-rr= ⑤代①于④并整理得-21联立①，⑤得．

【说明】椭圆的焦半径公式可由椭圆的定义直接导出，对椭圆的方程有自己的独立性.由于公式中含cb，其基础性显然.

而无

三、焦半径公式与准线的关系

用椭圆的第二定义，也很容易推出椭圆的焦半径公式.

PxyF-c,l：，0）是以如图右，点）为焦点，以（（11x=-PDlD.按椭圆为准线的椭圆上任意一点.于⊥1的第二定义，则有

ra+exra-ex.同理有==,即21准线缺乏定义的“客观性”.. 对中学生来讲，椭圆的这个第二定义有很大的“人为性”. 因此，把椭圆的第二定义视作椭圆的一条性质定理更符合逻辑性

PxyFcFcal为直线的椭圆上任意一点.（，3】 0（，）为焦点，以距离之和为）是以2（-，0），【例21x=-PDllD.

交，⊥于11求证：.

PFaex.

| 由椭圆的焦半径公式+|=【解答】1x+PDPDx-.

对|=|用距离公式 ||= 11故有.

x=lc,xlFFc,)0-与定直线（该椭圆上任意一点，说明【】此性质即是：到定点（（）:=-0））(：2211．

ee<1）（0<的距离之比为定值.

四、用椭圆的焦半径公式证明椭圆的方程

现行教材在椭圆部分，只完成了“从曲线到方程”的单向推导，实际上这只完成了任务的一半.而另一半，从“方程到曲线”，却留给了学生（关于这一点，被许多学生所忽略了可逆推导过程并不简单,特别是逆过程中的两次求平方根）.

其实，有了焦半径公式，“证明椭圆方程为所求”的过程显得很简明.

PxyFxy-c,FcP，（.）适合方程求证：点（（，0【例4】设点（）到两定点，）和21222baac.

）的距离之和为02-（=）【分析】这题目是为了完成“从方程到曲线”的这一逆向过程.利用例2导出的焦点半径公式，很快可推出结果.

PxyFcrPF|.由椭圆的焦点半径公式可知=|（-】【解答（,0，）的距离设作）到111ra+ex

①= 1同理还有

ra-ex② =2rra +=2① +②得21PFPFa.

|+||=2即 |21PxyFcFc,a.20）和（）的距离之和为0-即（，）到两定点（，说明】椭圆方程是二元二次方程，而椭圆的焦半径公式是一元一次函数.因此，围绕着椭圆21【

焦半.

径的问题，运用焦半径公式比运用椭圆方程要显得简便