人教版数学九年级上册：24《圆》专题练习(附答案)

word版初中数学

第二十四章《圆》专题练习

目录

专题1 与圆周角有关的辅助线作法 (1)

专题2圆周角定理 (3)

专题3 证明切线的两种常用方法 (4)

专题4与切线长有关的教材变式 (5)

专题5与圆的切线有关的计算与证明 (6)

专题6 求阴影部分的面积 (8)

专题1 与圆周角有关的辅助线作法

类型1 构造同弧或等弧所对的圆周角或圆心角

1．如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，∠AOC ＝140°，点B 是AC ︵

的中点，则∠D 的度数是( )

A ．70°

B ．55°

C ．35.5°

D ．35°

2．如图，点A ，B ，C ，D 分别是⊙O 上的四点，∠BAC ＝50°，BD 是直径，则∠DBC 的度数是( )

A ．40°

B ．50°

C ．20°

D ．35°

3．如图，A ，B ，C ，D 四个点均在⊙O 上，∠AOD ＝50°，AO ∥DC ，则∠B 的度数为( ) A ．50°

B ．55°

C ．60°

D ．65°

4．如图，A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝40°，点D 在ACB ︵

上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为( )

A ．45°

B ．60°

C ．75°

D ．85°

类型2 利用直径构造直角三角形

5．如图，在⊙O 中，∠OAB ＝20°，则∠C 的度数为 ．

6．如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，AB ＝6，则BD ＝ ．

7．如图，⊙A 过点O ，C ，D ，点C 的坐标为(3，0)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，已知∠OBD ＝30°，则⊙A 的半径等于 ．

8．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD ⊥BC 于点D ，AC ＝5，DC ＝3，AB ＝42，则⊙O 的半径为 ．

类型3 构造圆内接四边形

9．如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则∠BOD的度数是()

A．50° B．60°C．80° D．100°

10．如图，已知A，B，C，D是⊙O上的四个点，⊙O的直径AB＝2 3.若∠ACD＝120°，则线段AD的长为．

专题2 圆周角定理

1．如图，四边形APBC 是圆内接四边形，延长BP 至E ，若∠EPA ＝∠CPA ，判断△ABC 的形状，并证明你的结论．

2．如图，A ，P ，B ，C 是半径为8的⊙O 上的四点，且满足∠BAC ＝∠APC ＝60°. (1)求证：△ABC 是等边三角形； (2)求圆心O 到BC 的距离OD.

3．如图，点A ，B ，C ，D 在同一个圆上，且C 点为一动点(点C 不在BAD ︵

上，且不与点B ，D 重合)，∠ACB ＝∠ABD ＝45°.

(1)求证：BD 是该圆的直径； (2)连接CD ，求证：2AC ＝BC ＋CD.

专题3 证明切线的两种常用方法

类型1 直线与圆有交点：连半径，证垂直 (一)借助角度转换证垂直

1．如图，△ABC 内接于⊙O ，CD 是⊙O 的直径，AB 与CD 交于点E ，点P 是CD 延长线上的一点，AP ＝AC ，且∠B ＝2∠P.求证：PA 是⊙O 的切线．

(二)利用平行证垂直

2．如图，AB 是⊙O 的直径，点F ，C 是⊙O 上两点，且点C 为BF ︵

的中点，连接AC ，AF ，过点C 作CD ⊥AF 交AF 延长线于点D.求证：CD 是⊙O 的切线．

(三)利用全等证垂直

3．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ∥OC.求证： (1)DE ︵＝BE ︵； (2)CD 是⊙O 的切线．

(四)利用勾股定理的逆定理证垂直

4．(南充中考改编)如图，C 是⊙O 上一点，点P 在直径AB 的延长线上，⊙O 的半径为3，PB ＝2，PC ＝4.求证：PC 是⊙O 的切线．

类型2 不确定直线与圆是否有交点：作垂直，证半径

5．如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC 的中点，腰AB 与⊙O 相切于点D ，OB 与⊙O 相交于点E.求证：AC 是⊙O 的切线．

专题4 与切线长有关的教材变式

1．如图，AB ，BC ，CD 分别与⊙O 相切于点E ，F ，G ，若∠BOC ＝90°，求证：AB ∥CD.

2．如图，⊙O的直径AB＝12 cm，AM和BN是它的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C 两点．设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数解析式．

3．如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB，BC，AC分别相切于点D，E，F，且AC＝13，AB＝12，∠ABC＝90°，则⊙O 的半径为．

4．如图，△ABC的周长为18，其内切圆⊙O分别切三边于D，E，F三点，AF＝3，FC＝4，则BE＝．

5．已知一个三角形的三边长分别为5，7，8，则其内切圆的半径为()

A.

3

2

B.

3

2

C. 3 D．2 3

专题5 与圆的切线有关的计算与证明

1．如图，过⊙O 外一点P 引⊙O 的两条切线PA ，PB ，切点分别是A ，B ，OP 交⊙O 于点C ，点D 是优弧ABC ︵

上不与点A ，点C 重合的一个动点，连接AD ，CD.若∠APB ＝80°，则∠ADC 的度数是( )

A ．15°

B ．20°

C ．25°

D ．30°

2．如图，将正方形ABCD 绕点A 按逆时针方向旋转30°，得正方形AB 1C 1D 1，B 1C 1交CD 于点E ，AB ＝3，则四边形AB 1ED 的内切圆半径为( )

A.

3＋12 B.3－32 C.3＋13 D.3－3

3

3．如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，连接AC ，⊙P 和⊙Q 分别是△ABC 和△ADC 的内切圆，则PQ 的长是( )

A.52

B. 5

C.5

2

D ．2 2

4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，点E 为△ABC 的内心，连接AE 并延长交⊙O 于点D ，连接BD 并延长至点F ，使得BD ＝DF ，连接CF ，BE.求证： (1)DB ＝DE ；

(2)直线CF 为⊙O 的切线．

5．如图，点O在∠APB的平分线上，⊙O与PA相切于点C.

(1)求证：直线PB与⊙O相切；

(2)PO的延长线与⊙O交于点E，若⊙O的半径为3，PC＝4.求弦CE的长．

6.如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝60°，连接PO并延长与⊙O交于C点，连接AC，BC.

(1)求证：四边形ACBP是菱形；

(2)若⊙O 的半径为1，求菱形ACBP 的面积．

7．如图，⊙O 是边长为6的等边△ABC 的外接圆，点D 为BC ︵

的中点，过点D 作DE ∥BC ，DE 交AC 的延长线于点E ，连接AD ，CD.

(1)DE 与⊙O 的位置关系是相切； (2)求△ADC 的内切圆半径r.

专题6 求阴影部分的面积

类型1 直接利用公式求面积

1．如图，从一块直径为2 m 的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( ) A.π2 m 2 B.32

π m 2 C ．π m 2 D ．2π m 2

类型2 利用和差法求面积

2．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝23，以点B 为圆心，BC 的长为半径作弧，交AB 于点D.若点D 为AB 的中点，则阴影部分的面积是( )

A ．23－23π

B ．43－23π

C ．23－43π D.23

π

3．如图，在扇形AOB 中，∠AOB ＝90°，正方形CDEF 的顶点C 是AB ︵

的中点，点D 在OB 上，点E 在OB 的延长线上，当正方形CDEF 的边长为22时，则阴影部分的面积为( )

A ．2π－4

B ．4π－8

C ．2π－8

D ．4π－4

4．如图，分别以五边形ABCDE 的顶点为圆心，以1为半径作五个圆，则图中阴影部分的面积之和为( )

A.32π B ．3π C.7

2

π D ．2π

5．如图，将半径为2，圆心角为120°的扇形OAB 绕点A 逆时针旋转60°，点O ，B 的对应点分别为O ′，B ′，连接BB ′，则图中阴影部分的面积是( )

A.

2π3 B ．23－π3 C ．23－2π3 D ．43－2π3

6．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12，点E 为BC 的中点，以CD 为直径作半圆CFD ，点F 为半圆的中点，连接AF ，EF ，图中阴影部分的面积是( )

A ．18＋36π

B ．24＋18π

C ．18＋18π

D ．12＋18π

7．如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＜AD ，∠D ＝30°，CD ＝4，以AB 为直径的⊙O 交BC 于点E ，则阴影部分的面积为 ．

8．如图，在Rt △ABC ，∠B ＝90°，∠C ＝30°，O 为AC 上一点，OA ＝2，以O 为圆心，以OA 为半径的圆与CB 相切于点E ，与AB 相交于点F ，连接OE ，OF ，则图中阴影部分的面积是 ．

类型3 利用等积转化法求面积

9．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠CDB ＝30°，CD ＝23，则阴影部分的面积为( )

A ．2π

B ．Π C.π3 D.2π3

10．如图，在正方形ABCD中，O为对角线交点，将扇形AOD绕点O顺时针旋转一定角度得到扇形EOF，则在旋转过程中图中阴影部分的面积()

A．不变 B．由大变小

C．由小变大 D．先由小变大，后由大变小

11．如图是某商品的标志图案，AC与BD是⊙O的两条直径，首尾顺次连接点A，B，C，D，得到四边形ABCD.若AC ＝10 cm，∠BAC＝36°，则图中阴影部分的面积为()

A．5π cm2 B．10π cm2 C．15π cm2 D．20π cm2

12．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD，EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD ＝6，EF＝8.则图中阴影部分的面积是()

A.25

2

π B．10π C．24＋4π D．24＋5π

13．如图，在△ACB中，∠BAC＝90°，AC＝2，AB＝3，现将△ACB绕点A逆时针旋转90°得到△AC1B1，则阴影部分的面积为．

参考答案：

专题1 与圆周角有关的辅助线作法

1．D

2．A

3．D

4．D

5．110°__．

6

7．1．

8

2

9．D

11．3．

专题2 圆周角定理——教材P90T14的变式与应用1．解：△ABC是等腰三角形，理由：

∵四边形APBC是圆内接四边形，

∴∠EPA＝∠ACB.

∵∠EPA＝∠CPA，∠CPA＝∠ABC，

∴∠ACB＝∠ABC.

∴AB＝AC.

∴△ABC是等腰三角形．

2．解：(1)证明：∵∠ABC＝∠APC＝60°，∠BAC＝∠APC＝60°，

∴∠ABC＝∠BAC＝60°.

∴△ABC是等边三角形．

(2)连接OB ，OC.

可得∠BOC ＝2∠BAC ＝2×60°＝120°. ∵OB ＝OC ，

∴∠OBD ＝∠OCD ＝1

2×(180°－120°)＝30°.

∵∠ODB ＝90°，∴OD ＝1

2OB ＝4.

3．

证明：(1)∵∠ACB ＝∠ADB ＝45°， ∠ABD ＝45°， ∴∠BAD ＝90°. ∴BD 是该圆的直径．

(2)在CD 的延长线上截取DE ＝BC ，连接EA. ∵∠ABD ＝∠ADB ，∴AB ＝AD.

∵∠ADE ＋∠ADC ＝180°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABC ＝∠ADE. 在△ABC 和△ADE 中， ????

?AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADE ，BC ＝DE ，

∴△ABC ≌△ADE (SAS )． ∴∠BAC ＝∠DAE.

∴∠BAC ＋∠CAD ＝∠DAE ＋∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAE ＝90°.

∵∠ACD＝∠ABD＝45°，

∴△CAE是等腰直角三角形．

∴2AC＝CE.

∴2AC＝DE＋CD＝BC＋CD.

专题3 证明切线的两种常用方法1．证明：连接OA，AD.

∵∠B＝2∠P，∠B＝∠ADC.

∴∠ADC＝2∠P.

又∵AP＝AC，

∴∠P＝∠ACP.

∴∠ADC＝2∠ACP.

∵CD为直径，∴∠DAC＝90°.

∴∠ADC＝60°，∠ACD＝30°.

∴△ADO为等边三角形．∴∠AOP＝60°.

而∠P＝∠ACP＝30°，

∴∠OAP＝90°.∴OA⊥PA.

又∵AO为⊙O的半径，

∴PA是⊙O的切线．

2．

证明：连接OC，

∵CF ︵＝CB ︵

，OA ＝OC ， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝∠ACO. ∴AD ∥OC. ∵CD ⊥AF 于点D ， ∴∠DCO ＝90°. 又∵OC 为⊙O 的半径， ∴CD 为⊙O 的切线． 3．

证明：(1)连接OD. ∵AD ∥OC ，

∴∠DAO ＝∠COB ，∠ADO ＝∠DOC. 又∵OA ＝OD ，∴∠DAO ＝∠ADO. ∴∠COB ＝∠COD. ∴DE ︵＝BE ︵.

(2)由(1)知∠DOE ＝∠BOE ， 在△COD 和△COB 中， ????

?CO ＝CO ，∠DOC ＝∠BOC ，OD ＝OB ，

∴△COD ≌△COB (SAS )． ∴∠CDO ＝∠B.

又∵BC ⊥AB ，∴∠CDO ＝∠B ＝90°.

∵点D在⊙O上，

∴CD是⊙O的切线．

4．

证明：连接OC.

∵⊙O的半径为3，

∴OC＝OB＝3.

又∵BP＝2，∴OP＝5.

在△OCP中，OC2＋PC2＝32＋42＝52＝OP2，

∴△OCP为直角三角形，∠OCP＝90°.

∴OC⊥PC.

∵C是⊙O上一点，

∴PC为⊙O的切线．

5．

证明：连接OA，OD，作OF⊥AC于点F，垂足为F. ∵△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，

∴AO⊥BC，AO平分∠BAC.

∵AB与⊙O相切于点D，∴OD⊥AB.

而OF⊥AC，∴OF＝OD.

∴AC是⊙O的切线．