第八讲 概率与统计模型

第八讲 概率与统计模型

一、

曲线拟合

所谓曲线拟合是指从自变量和因变量的实现点列中得到反映自变量和因变量的函数关系。如下图蓝色点表明的是某个函数关系式，现需要知道有如此曲线表现的函数。

曲线拟合可以视为函数求值的逆运算，函数求值在已知函数关系式时带入自变量的值就可以得到对应的因变量，而曲线拟合恰好相反。要注意的是曲线拟合在大多数情况下只能得到反映大致的函数关系的表达式，而不能得到精确的关系式。如已知某个地区的温度C 与一种植物的生长速度V 之间有线性的关系（设为b aC V +=），为了确定两者之间的确切关系时，需要知道两组实际数据2,1),,(=i v c i i ，这样通过求解线性方程组

??

?+=+=b ac v b

ac v 22

11 可以求出),(b a 的值。但是在实际问题中，由于测量的误差或者计算过程中的问题，给出来的数据可能不止两对，n i v c i i ,,2,1),,( =，这样如果还是将给出的数据带入方程中得到的是一个超定方程组，该方程组未必有解！从而就产生了如何确定系数的问题，曲线拟合方法就是解决这种问题的方法。

与曲线拟合相平行的另一个问题是插值问题，插值就是利用给出的一些数据作为提示，要得到一些未知点处的函数值。在这里我们将两个问题整合起来，因为在通过曲线拟合得到反映规律的曲线后将需要求值的点带入即可以得到函数值。

曲线拟合的基本方法如下： （1） 确定自变量与因变量，

（2） 确定自变量与因变量之间的函数关系类型（即自变量与因变量之间的粗略关系式，

含有参数）

（3） 选择合适的曲线拟合方法（其中使用最多的是最小二乘法） （4） 使用MATLAB 后者其他计算软件求解

最小二乘法简介

设自变量为x ，因变量为y ，给出的数据对一共有n 组n i y x i i ,,2,1),,( =，因变量和自变量之间的函数关系式为),,,(1m a a x f y =，其中m a a ,,1 为待定系数，为确定待定系数的值，利用下面的思想：待定系数的确定应当最大程度的反映所给出数据的真实性，因此待定系数的确定应当使得由函数关系式所得到的函数值与已知的数值之间的误差最小，即

])),,,((min[arg ),,(1

21**1

∑=-=n

k m k k m

a a x f y a a 。

在函数拟合中，最简单的拟合是线性拟合，即用一个最合适的直线来近似描述函数关系。但是要注意的是，用直线来描述函数关系的误差可能较大，因此在实践中应当先考察函数点列的分布，与一些已知函数的特征相比较，可以先考察一个函数族：如三角函数族，指数函数族等，通过不同函数族的拟合后比较拟合的效果，而选择其中的最合适的。

曲线拟合的一些技巧

在曲线拟合的过程中有几个关键的地方：一是确定自变量和因变量之间的函数关系类型，使用最多的是线性函数（确定线性函数的曲线拟合也称为线性拟合），在得到函数关系类型时可以先通过机理分析或者量纲分析、比例分析得到粗略的关系式，也可以先画出图形，考察图形的形状选择适当的函数作为拟合的目标；二是选择合适的拟合方法，常用的拟合方法是最小二乘法，但是往往有的时候需要采用其他方法，如多项式拟合等，拟合方法的选择以最适合（偏差最小为标准），可能会出现这样的情况函数的表现是分段的，此时可以先尝试用分段插值的方法考察函数的性质；三是在使用MATLAB 等工具求解时，注意可以先将需要拟合的函数化简，通常线性拟合是最准确并且速度是最快的，因此对于可以化为线性拟合的问题尽量用线性拟合的方法做；四是为了检验曲线拟合的有效性，可以在所给出的数据中预留几个数据，如给出50组数据，可以仅用其中的45个进行拟合，而将剩下的5个用于拟合曲线的检验。

曲线拟合举例：录像机计数器模型

在录像机计数器模型中，我们已经得到计数器读数n 与录像带转过的时间t 之间的函数关系为bn an t +=2

，其中b a ,为待定系数，为了确定这两个系数，可以用足够多的测试数

取其中的一部分数据进行拟合（184,40,20,0 =t ），而将余下的数据作为检验数据用，拟合得到2

6

1045.1,1061.2--?=?=b a ，检验发现拟合的效果相当好。

在得到了拟合函数关系式后，可以利用该关系式求任何计数器读数对应的录像时间。

二、

概率模型

概率模型一 报童问题

问题重述：报童每天清晨从报社购进报纸零售，晚上将没有卖掉的报纸退回。设报纸每份的购进价格为a ，零售价格为b ，退回价格为c 。报童应当如何确定每天购进报纸的数量以获得最大的收入？

模型分析：报童面临的问题是两个矛盾的进货方式：（1）进货太多，报纸不能完全卖出，将要赔钱；（2）进货太少，报纸不够卖，丧失了赚钱的机会。影响最终收入的两个因素：进货量n 与报纸的需求量r 。其中进货量是需要做出的决策变量，而需求量不是报童所能够控制的，是受到很多因素的影响（人流量、天气、行人对报纸的亲睐程度、其他报童的竞争），需求量是预先无法决定的，因此是一个不确定量，是一个随机变量。 模型建立与求解：

（1） 决策变量：进货量n ；

（2） 目标函数：收入G 与进货量之间的函数关系

??

?

≤---->-==n

r r n c b r b a n

r n b a n G G )

)(()()()( （3） 需求量的分布：假设需求量r 的分布函数为 ,2,1,0),()(===k k f k r P 。 （4） 优化模型：)(max n G 。但是注意到)(n G 是一个随机目标，因此求其最大值是没

有意义的，需要对优化目标函数进行修改。修改的结果应当使得目标函数的最大值有意义，最典型的是化为确定函数，与随机变量相对应的确定函数是该随机变量的数学期望（可以理解为平均收入）。因此优化目标函数用期望收入)(n G 代替。下面主要是要计算)(n G （注意到报纸的份数取值为整数）：

∑∑∞

+==-+

----=1

)()()()])(()[()(n r n

r r nf b a r f r n c b r b a n G

该问题很难求解，为了求解的需要将上述函数进行连续化，注意到离散求和的连续化为积分形式：

??∞

+-+----=1

)()()()])(()[()(n n

dr r nf b a dr r f r n c b r b a n G

问题可以变形为)(max n G ，这是一个单变量无约束的函数最值问题，按照计算规则，由

0)(='n G 可以得到最终解

)()()()()()()()()()()()()(0

=-+--=-+-----='????∞

∞

n

n

n

n

dr r f b a dr r f c b dr

r f b a n nf b a dr r f c b n nf b a n G

得到

c b b a dr

r f dr r f n

n

--=??∞

)()(0，即有c a b a dr r f n

--=?0

)(。 从该结果发现最佳的订货数可以由上式决定的分位数得到。

问题讨论：报童问题是一个订货销售问题的缩影，现实生活中的其他问题，如衣服销售问题等都可以用报童问题相同的方法解决。在衣服销售问题中，往往有折价销售的情况出现，可以考虑有折价销售情况下的最佳订货量问题。

比如某衣服零售商每个季度从批发商处进一批衣服进行销售（假设这些衣服的质地，使用季节完全相同），设每件衣服的购进价格为a ，零售价格为b ，在每个季度末，如果有未销售完的衣服，零售商将以价格c 进行折价销售，折价销售接受后的衣服将由批发商以价格d 回收。请确定零售商每个季度的进货数量以获得最大的收入？

概率模型二 轧钢中的浪费

问题重述：将粗大的钢坯制成合格的钢材需要两道工序：粗轧（热轧），形成刚才的雏形；精轧（冷轧），得到规定长度的成品材料。由于受到环境、技术等因素的影响，得到钢材的长度是随机的，大体上呈正态分布，其均值可以通过调整轧机设定，而均方差是由设备的精度决定，不能随意改变。如果粗轧后的钢材长度大于规定长度，精轧时要把多余的部分切除，造成浪费；而如果粗轧后的钢材长度小于规定长度，则造成整根钢材浪费。如何调整轧机使得最终的浪费最小。 模型假设：

（1） 成品材料的规定长度已知为l （2） 粗轧后的钢材长度的均方差为σ

（3） 粗轧后的钢材长度的均值m 可以通过调整轧机设定 （4） 粗轧后的钢材的长度服从正态分布),(2σm N

问题分析：精轧后的钢材长度记为X ，按照题意，),(~2σm N X 。在轧钢过程中产生的浪费由两种情况构成：若l X >，则浪费量为l X -；若l X <，则浪费量为X 。注意到当

m 很大时，l X >的可能性增加，浪费量同时增加；而当m 很小时，l X <的可能性增加，

浪费量也增加，因此需要确定一个合适的m 使得总的浪费量最小。

模型建立与求解： （1） 决策变量：m ； （2） 决策函数：总的浪费量。

关键在于总的浪费量的计算。按照概率论知识，X 的密度函数为

22)(21)(σσ

πm x e

x f --

=

。

总的平均浪费长度为（该式可以修正）

lp m l X lP X E dx x p l dx x xp dx x xp dx x p l x W l

l l

-=>-=-=

+-=????∞

+∞∞

-∞

-∞)()()()()()()(

其中)(

1)(σ

m

l l X P p -Φ-=>=，)(?Φ为标准正态分布的累计分布函数。

考察一下上式W 表示的含义：表示每粗轧一根钢材的平均浪费量，这是从最终的产量分析浪费量；但是从一个工厂自身的发展看，工厂追求的是效益，即生产一根成品钢材浪费的平均长度来衡量，因此需要把目标函数修改为

)

()

(l X P m W J >=。

因此总的目标函数变形为l m l m

p

lp

m J --Φ-=-=

)

(1σ

，决策目标为)(min m J 。

这是一个单变量的无约束最小值问题，由0)(='m J 得到：

0)]())(1[(]

1[1)(2

=---Φ-Φ-=

'σ?σσm l m m l m J ， 即

σ

m

l -应当是方程

σ

?l

x x x =+Φ-)()(1的解，其中)(??是标准正态分布的密度函数。

为了求解该方程，可以先根据标准正态分布的函数表现将)

()

(1)(x x x F ?Φ-=制成表格或

者绘制图形后再求解，或者利用数值求解的方法计算。

举例：若2.0,2==σl ，可以计算得到45.0=m 。 模型的改进及其他相关问题：

（1） 在建立目标函数时，可以考虑这样的问题，从理论上讲，当粗轧出的钢材超过l 时，

并非是全部浪费，最终的浪费量为l l X X ]/[-，因此从全面的分析角度看，应当把这多余的钢材长度进行多次的采用。但是在实际生产过程中是不会出现这种问题的，通常σ>>l ，这样可以时的多余的部分不可能太多。同时0

（2） 在实际生活中，粗轧的钢材往往有多种用途，即当有另外的要求l l <1时，1l X <得

部分可以降级使用。（这种情况下的建模问题留做作业）

概率模型三 航空公司的预订票策略 问题重述：

在激烈的市场竞争中，航空公司为了争取更多的客源开展了预订票业务。公司承诺，预先订购机票的乘客如果没有按时登机，可以不加任何费用乘坐下一班机或者退票；也可以订票时

只定座位，到登机时才付款。这里我们考虑预订票的费用在登机前支付的情形。开展预订票业务时，对于一次航班，若公司限制预订票的数量恰好等于飞机的容量，可能会有一些定了机票的乘客不能按时到达致使飞机不满员飞行而利润降低甚至亏本；而如果不限制预订票的数量，当持票按时前来登机的乘客超过飞机的容量时，必然会引起那些不能飞走的乘客的抱怨，公司不论什么方式补救，也会导致声誉受损和议定的经济损失，如客源减少、公司无偿提供食宿、付给一定的赔偿金等。所以航空公司需要综合考虑经济利益和社会声誉，确定预订票数量的最佳限额。

问题分析：

关键的问题是如何度量公司的经济利益，社会声誉。收益=机票收入-飞行费用-赔偿金；社会声誉用持票按时前来登机，但因为满员不能飞走的乘客限制在一定数量为标准。在这两个指标中，预订票的乘客是否按时前来登机是随机的。因此决策目标是两个指标的平均值，决策变量是预订票数量的险恶。

模型假设：

（1） 飞机的容量是常数n ，机票的价格为常数g ，飞行费用为常数r ，r 与乘客数量无

关，机票的价格按照n r g λ/=制订，其中1<λ称为利润调节因子，如6.0=λ表示飞机60%的满员率就不会亏本。

（2） 预订票数量的限额为常数)(n m m >，每位乘客不能按时前来登机的概率为p ，每

位乘客是否按时前来登机是相互独立的。

（3） 每位被挤掉的乘客获得的赔偿金为常数b 。

模型建立：

（1） 公司的经济利益用公司的平均利润G 来衡量。当m 个预订机票的乘客中有k 位乘客

不能按时前来登机时的收益为，

??

?

>-----≤---=n

k m b n k m r ng n k m r g k m G )()( 而按照假设2，不按时前来登机的乘客数K 服从二项分布),(p m B ：

k m k

k m k p p C k K P p --===)1()( 因此平均利润为∑∑-=--=--+

----=

m

n m k k

n m k k

p

r g k m p

b n k m r ng m G ])[(])()[()(1

注意到

m p kp

m

k k

=∑=0

，因此有∑--=--+--=1

)()

()(n m k k

p

n k m b g r qmg m G 。

（2） 公司从社会声誉和经济利益两个方面考虑，应该要求被挤掉的乘客不要太多，而随

机量不能进行控制，转而用被挤掉的乘客数不超过若干人的概率作为度量指标。设

)(m P j 表示m 个订票的乘客中有超过j 个人被挤掉的概率，

∑---==

1

)(j n m k k

j p m P （因为被挤掉的乘客人数超过j 等价于m 位预订机票的乘客中不能按时前

来登机的人数不超过1---j n m 人）。显然0)(=+j n P j 。

（3） 公司的决策目标是在保持社会声誉的前提下使得公司获得的经济利益最大，因此可

以用)(m P j 不超过某个给定值作为约束条件，而以)(m G 作为单目标函数求解。

（4） 为了减少)(m G 中的参数，以

1])()1([1)()(1

---+-==∑--=n m k k p n k m g b qm n r m G m J λ

作为新的目标函数，其中g b /是赔偿金占机票价格的比例。 约束条件为

α≤=

∑---=1

)(j n m k k

j p

m P

其中α是预先确定的小于1的正数。 模型求解：

该约束决策问题没有解析解，当给定g b p n /,,,λ时，只能用数值计算的方法求解。

三、 随机模拟方法

在一些涉及随机现象的实际问题，无法用解析的方法求解，此时可以使用随机模拟的方法求解。所谓随机模拟，又称为仿真，就是在随机的现象中产生一系列满足分布假设的随机数，再利用现象内在的规律讨论相关问题。

例：考虑下面一个超市收费口的情形。假设只有一个收银员收费，顾客到来间隔时间θ服从参数为0.1的指数分布；收银员对顾客的服务时间η服从]15,4[上的均匀分布；排队按先到先服从规则，对队长没有限制。假设时间以分钟为单位，对上述模型模拟在开始收银后300分钟内的情形，得到下列数据（300分钟内共有多少顾客到来，已经服务了多少顾客，有顾客在等待，顾客的平均等待时间）

收银模型的全过程： （1） 开始计数；

（2） 第一个顾客到达，记录到达的时间，收银员开始服务，记录服务时间；在此期间，

可能有新的顾客达到等待，记录第二个顾客到达的时间和等待时间（第二个顾客的等待时刻=接受服务的时刻-到达时刻=前一个顾客离开的时刻-到达时刻）；

（3） 顾客接受完服务后离开。

注：在此过程中，由两个因素是随机的，一个是每个顾客达到收银台的时间，另一个是该顾客接受服务的时间。该问题是排队问题的一种特殊情形，可以用解析的方法求解，但是比较复杂，这里主要介绍用随机模拟的方法求解。

在计算机模拟程序中三个主要方面及其产生和处理方法：

（1） 根据适当的方式产生随机数； （2） 模拟模型的动态运行情形；

（3） 根据模型的运行过程，统计出关心的数量指标。

这里将结合实际的单服务员的例子介绍随机模拟的基本方法。 模拟过程中用到的几个变量：

i —接受服务的顾客数

i x —第i 个顾客达到时刻与第1-i 个顾客到来的时刻差 i y —第i 个顾客接受服务的时间 i c —第i 个顾客到来的时刻

i b —第i 个顾客接受服务的时刻 i e —第i 个顾客结束服务的时刻 i w —第i 个顾客等待的时间

wait —累计等待时间

waita —平均等待时间（=累计等待时间/接受服务的顾客总数）

按照变量之间的联系，有下列的关系：

j i x x c ++= 1，其中k x 为随机变量 )0}(,max{01==-e e c b i i i

i i i y b e +=，其中k y 为随机变量 i i i c b w -=

模拟框图如下：

说明：

在随机数的产生中，可以充分利用一些计算软件自带的随机数产生命令，如MATLAB 中的均匀分布产生，正态分布产生等等；如果没有一些分布的自动生成命令，可以利用均匀分布产生所需要的分布，如])1,0([~U ξ，则λξη/)ln(-=服从参数为λ的指数分布。

附录：上述模型的MATLAB 程序

function f=sim(n) x(1)=exprnd(0.1); c(1)=x(1);b(1)=x(1); y(1)=rand(1)*11+4; e(1)=b(1)+y(1); wait=0; sto=b(1); i=2;

while(sto<=n) x(i)=exprnd(0.1); c(i)=c(i-1)+x(i); b(i)=max(c(i),e(i-1)); y(i)=rand(1)*11+4; e(i)=b(i)+y(i); wait=wait+b(i)-c(i); sto=b(i); i=i+1; end i=i-1 waita=wait/i