福州中考数学压轴题专题复习—反比例函数的综合

一、反比例函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．在平面直角坐标系内，双曲线：y= （x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=﹣

x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．

（1）求出双曲线的解析式；

（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．

【答案】（1）解：过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，

∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，

∵直线OA：y=x和直线AB：y=﹣x+10，

∴∠AOB=∠ABO=45°，

∴△CEO∽△DEB

∴= =3，

设D（10﹣m，m），其中m＞0，

∴C（3m，3m），

∵点C、D在双曲线上，

∴9m2=m（10﹣m），

解得：m=1或m=0（舍去）

∴C（3，3），

∴k=9，

∴双曲线y= （x＞0）

（2）解：由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，

∴S四边形OCDB=S△OCE+S梯形CDFE+S△DFB

= ×3×3+ ×（1+3）×6+ ×1×1=17，

∴四边形OCDB的面积是17

【解析】【分析】（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x

和y=﹣x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知 = =3，然后设设D（10﹣m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．

2．如图，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= （x＜0）的图象交于点A（﹣1，2）和点B，点C在y轴上．

（1）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标；

（2）当 x+b＜时，请直接写出x的取值范围．

【答案】（1）解：作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求，如图所示．

∵反比例函数y= （x＜0）的图象过点A（﹣1，2），

∴k=﹣1×2=﹣2，

∴反比例函数解析式为y=﹣（x＜0）；

∵一次函数y= x+b的图象过点A（﹣1，2），

∴2=﹣ +b，解得：b= ，

∴一次函数解析式为y= x+ ．

联立一次函数解析式与反比例函数解析式成方程组：，

解得：，或，

∴点A的坐标为（﹣1，2）、点B的坐标为（﹣4，）．

∵点A′与点A关于y轴对称，

∴点A′的坐标为（1，2），

设直线A′B的解析式为y=mx+n，

则有，解得：，

∴直线A′B的解析式为y= x+ ．

令y= x+ 中x=0，则y= ，

∴点C的坐标为（0，）

（2）解：观察函数图象，发现：

当x＜﹣4或﹣1＜x＜0时，一次函数图象在反比例函数图象下方，

∴当 x+ ＜﹣时，x的取值范围为x＜﹣4或﹣1＜x＜0

【解析】【分析】（1）作点A关于y轴的对称点A′，连接A′B交y轴于点C，此时点C即是所求．由点A为一次函数与反比例函数的交点，利用待定系数法和反比例函数图象点的坐标特征即可求出一次函数与反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点A、B的坐标，再根据点A′与点A关于y轴对称，求出点A′的坐标，设出直线A′B的解析式为y=mx+n，结合点的坐标利用待定系数法即可求出直线A′B的解析式，令直线A′B解析式中x为0，求出y的值，即可得出结论；（2）根据两函数图象的上下关系结合点A、B的坐标，即可得出不等式的解集．

3．一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y= （k≠0）的图象相交于A，B两点，与y轴交于点C，与x轴交于点D，点D的坐标为（﹣1，0），点A的横坐标是1，tan∠CDO=2．过点B作BH⊥y轴交y轴于H，连接AH．

（1）求一次函数和反比例函数的解析式；

（2）求△ABH面积．

【答案】（1）解：∵点D的坐标为（﹣1，0），tan∠CDO=2，

∴CO=2，即C（0，2），

把C（0，2），D（﹣1，0）代入y=ax+b可得，

，解得，

∴一次函数解析式为y=2x+2，

∵点A的横坐标是1，

∴当x=1时，y=4，即A（1，4），

把A（1，4）代入反比例函数y= ，可得k=4，

∴反比例函数解析式为y=

（2）解：解方程组，可得或，

∴B（﹣2，﹣2），

又∵A（1，4），BH⊥y轴，

∴△ABH面积= ×2×（4+2）=6．

【解析】【分析】（1）先由tan∠CDO=2可求出C坐标，再把D点坐标代入直线解析式，可求出一次函数解析式，再由直线解析式求出A坐标，代入双曲线解析式，可求出双曲线解析式；（2）△ABH面积可以BH为底，高=y A-y B=4-(-2)=6.

4．抛物线y= +x+m的顶点在直线y=x+3上，过点F（﹣2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．

（1）先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF=NB；

（3）若射线NM交x轴于点P，且PA?PB= ，求点M的坐标．

【答案】（1）解：y= x2+x+m= （x+2）2+（m﹣1）

∴顶点坐标为（﹣2，m﹣1）

∵顶点在直线y=x+3上，

∴﹣2+3=m﹣1，

得m=2；

（2）解：过点F作FC⊥NB于点C，

∵点N在抛物线上，

∴点N的纵坐标为： a2+a+2，

即点N（a， a2+a+2）

在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB﹣CB= a2+a，

∴NF2=NC2+FC2=（ a2+a）2+（a+2）2，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4，

而NB2=（ a2+a+2）2，

=（ a2+a）2+（a2+4a）+4

∴NF2=NB2，

NF=NB

（3）解：连接AF、BF，

由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的思路知，MF=MA，

∴∠MAF=∠MFA，

∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，

∴MA∥NB，

∴∠AMF+∠BNF=180°

∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，

∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°，

∵∠MAB+∠NBA=180°，

∴∠FBA+∠FAB=90°，

又∵∠FAB+∠MAF=90°，

∴∠FBA=∠MAF=∠MFA，

又∵∠FPA=∠BPF，

∴△PFA∽△PBF，

∴ = ，PF2=PA×PB= ，

过点F作FG⊥x轴于点G，在Rt△PFG中，

PG= = ，

∴PO=PG+GO= ，

∴P（﹣，0）

设直线PF：y=kx+b，把点F（﹣2，2）、点P（﹣，0）代入y=kx+b，解得k= ，b= ，

∴直线PF：y= x+ ，

解方程 x2+x+2= x+ ，

得x=﹣3或x=2（不合题意，舍去），

当x=﹣3时，y= ，

∴M（﹣3，）．

【解析】【分析】（1）利用配方法将二次函数化成顶点式，写出顶点坐标，由顶点再直线y=x+3上，建立方程求出m的值。

（2）过点F作FC⊥NB于点C，根据已知条件点N在抛物线上，可得出N点坐标，在Rt△FCN中，利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，用含a的代数式分别表示出进而得出NF2、NB2，即可得出到NF=NB。

（3）要求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，再通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA?PB的值转化为PF2的值，进而求出点F的坐标和直线PF的解析式，由图像可知直线PF和抛物线相较于点M，建立方程求解，即可得点M的坐标。

5．【阅读理解】

我们知道，当a＞0且b＞0时，（﹣）2≥0，所以a﹣2 +≥0，从而a+b≥2 （当a=b时取等号），

【获得结论】设函数y=x+ （a＞0，x＞0），由上述结论可知：当x= 即x= 时，函数y有最小值为2

（1）【直接应用】

若y1=x（x＞0）与y2= （x＞0），则当x=________时，y1+y2取得最小值为________．（2）【变形应用】

若y1=x+1（x＞﹣1）与y2=（x+1）2+4（x＞﹣1），则的最小值是________

（3）【探索应用】

在平面直角坐标系中，点A（﹣3，0），点B（0，﹣2），点P是函数y= 在第一象限内图象上的一个动点，过P点作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，设点P的横坐标为x，四边形ABCD的面积为S

①求S与x之间的函数关系式；

②求S的最小值，判断取得最小值时的四边形ABCD的形状，并说明理由．

【答案】（1）1；2

（2）4

（3）解：①设P（x，），则C（x，0），D（0，），

∴AC=x+3，BD= +2，

∴S= AC?BD= （x+3）（ +2）=6+x+ ；

②∵x＞0，

∴x+ ≥2 =6，

∴当x= 时，即x=3时，x+ 有最小值6，

∴此时S=6+x+ 有最小值12，

∵x=3，

∴P（3，2），C（3，0），D（0，2），

∴A、C关于x轴对称，D、B关于y轴对称，即四边形ABCD的对角线互相垂直平分，

∴四边形ABCD为菱形．

【解析】【解答】解：（1）∵x＞0，∴y1+y2=x+ ≥2 =2，∴当x= 时，即x=1时，y1+y2有最小值2，故答案为：1；2；（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞0，∴ = =

（x+1）+ ≥2 =4，∴当x+1= 时，即x=1时，有最小值4，故答案为：4；

【分析】（1）直接由结论可求得其取得最小值，及其对应的x的值；（2）可把x+1看成

一个整体，再利用结论可求得答案；（3）①可设P（x，），则可表示出C、D的坐标，从而可表示出AC和BD，再利用面积公式可表示出四边形ABCD的面积，从而可得到S

与x的函数关系式；②再利用结论可求得其最得最小值时对应的x的值，则可得到P、C、D的坐标，可判断A、C关于x轴对称，B、D关于y轴对称，可判断四边形ABCD为菱形．

6．如图，过原点的直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象分别交于两点A，C和B，D，连接AB，BC，CD，DA．

（1）四边形ABCD一定是________四边形；（直接填写结果）

（2）四边形ABCD可能是矩形吗？若可能，试求此时k1，k2之间的关系式；若不能，说明理由；

（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，a=

，b= ，试判断a，b的大小关系，并说明理由．

【答案】（1）平行

（2）解：∵正比例函数y=k1x（k1＞0）与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于A，

∴k1x= ，解得x= （因为交于第一象限，所以负根舍去，只保留正根）

将x= 带入y=k1x得y= ，

故A点的坐标为（，）同理则B点坐标为（，），

又∵OA=OB，

∴ = ，两边平方得： +k1= +k2，

整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，

∵k1≠k2，

所以k1k2﹣1=0，即k1k2=1；

（3）解：∵P（x1， y1），Q（x2， y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，∴y1= ，y2= ，

∴a= = = ，

∴a﹣b= ﹣ = = ，

∵x2＞x1＞0，

∴＞0，x1x2＞0，（x1+x2）＞0，

∴＞0，

∴a﹣b＞0，

∴a＞b．

【解析】【解答】解：（1）∵直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，

∴OA=OC，OB=OD，

∴四边形ABCD 是平行四边形；

故答案为：平行；

【分析】（1）由直线y=k1x和y=k2x与反比例函数y= 的图象关于原点对称，即可得到结论．（2）联立方程求得A、B点的坐标，然后根据OA=OB，依据勾股定理得出 = ，两边平分得 +k1= +k2，整理后得（k1﹣k2）（k1k2﹣1）=0，根据k1≠k2，则k1k2﹣1=0，即可求得；（3）由P（x1，y1），Q（x2，y2）（x2＞x1＞0）是函数y= 图象上的任意两点，得到y1= ，y2= ，求出a= = = ，得到a﹣b= ﹣ = = ＞0，即可得到结果．

7．在平面直角坐标系xOy中，对于双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0），如果

m=2n，则称双曲线y= （m＞0）和双曲线y= （n＞0）为“倍半双曲线”，双曲线y=

（m＞0）是双曲线y= （n＞0）的“倍双曲线”，双曲线y= （n＞0）是双曲线y= （m＞0）的“半双曲线”，

（1）请你写出双曲线y= 的“倍双曲线”是________；双曲线y= 的“半双曲线”是________；

（2）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知点A是双曲线y= 在第一象限内任意一点，过点A与y轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点B，求△AOB的面积；

（3）如图2，已知点M是双曲线y= （k＞0）在第一象限内任意一点，过点M与y轴

平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点N，过点M与x轴平行的直线交双曲线y= 的“半双曲线”于点P，若△MNP的面积记为S△MNP，且1≤S△MNP≤2，求k的取值范围．

【答案】（1）y=

；y=

（2）解：如图1，

∵双曲线y= 的“半双曲线”是y= ，

∴△AOD的面积为2，△BOD的面积为1，

∴△AOB的面积为1

（3）解：解法一：如图2，

依题意可知双曲线的“半双曲线”为，

设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴CM= ，CN= ．

∴MN= ﹣ = ．

同理PM=m﹣ = ．

∴S△PMN= MN?PM=

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8，

解法二：如图3，

依题意可知双曲线的“半双曲线”为，

设点M的横坐标为m，则点M坐标为（m，），点N坐标为（m，），∴点N为MC的中点，同理点P为MD的中点．

连接OM，

∵，

∴△PMN∽△OCM．

∴．

∵S△OCM=k，

∴S△PMN= ．

∵1≤S△PMN≤2，

∴1≤ ≤2．

∴4≤k≤8．

【解析】【解答】解：（1）由“倍双曲线”的定义

∴双曲线y= ，的“倍双曲线”是y= ；

双曲线y= 的“半双曲线”是y= ．

故答案为y= ，y= ；

【分析】（1）直接利用“倍双曲线”的定义即可；（2）利用双曲线的性质即可；（3）先利用双曲线上的点设出M的横坐标，进而表示出M，N的坐标；方法一、用三角形的面积公式建立不等式即可得出结论；方法二、利用相似三角形的性质得出△PMN的面积，进而建立不等式即可得出结论．

8．如图1，抛物线y＝ax2﹣4ax+b经过点A（1，0），与x轴交于点B，与y轴交于点C，且OB＝OC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）将△OAC沿AC翻折得到△ACE，直线AE交抛物线于点P，求点P的坐标；

（3）如图2，点M为直线BC上一点（不与B、C重合），连OM，将OM绕O点旋转90°，得到线段ON，是否存在这样的点N，使点N恰好在抛物线上？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）解：由题意知：抛物线的对称轴为：x=2，则B（3，0）；

已知OB=OC=3，则C（0，-3）；

设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-3），依题意有：

a（0-1）（0-3）=-3，a=-1；

故抛物线的解析式为：y=-x2+4x-3．

（2）解：设AE交y轴于点F；

易证得△FOA∽△FEC，有，

设OF＝x，则EF＝3x，

所以FA＝3x﹣1；

在Rt△FOA中，由勾股定理得：

（3x﹣1）2＝x2+1，

解得x＝；

即OF＝，F（0，）；

求得直线AE为y＝﹣x+ ，

联立抛物线的解析式得：，

解得，；

故点P（，）．

（3）解：∵B（3，0），C（0，﹣3），

∴直线BC：y＝x﹣3；

设点M（a，a﹣3），则：

①当点M在第一象限时，OG＝a，MG＝a﹣3；过M作MG⊥x轴于G，过N作NH⊥x轴于H；

根据旋转的性质知：∠MON＝90°，OM＝ON，

则可证得△MOG≌△NOH，得：

OG＝NH＝a，OH＝MG＝a﹣3，

故N（a﹣3，﹣a），

将其代入抛物线的解析式中，得：

﹣（a﹣3）2+4（a﹣3）﹣3＝﹣a，

整理得：a2﹣11a+24＝0，

a＝3（舍去），a＝8；

故M（8，5），N（5，﹣8）．

②当点M在第三象限时，OG＝﹣a，MG＝3﹣a；

同①可得：MG＝OH＝3﹣a，OG＝NH＝﹣a，则N（3﹣a，a），代入抛物线的解析式可得：

﹣（3﹣a）2+4（3﹣a）﹣3＝a，

整理得：a2﹣a＝0，故a＝0，a＝1；

由于点M在第三象限，

所以a＜0，

故a＝0、a＝1均不合题意，此种情况不成立；

③当点M在第四象限时，OG＝a，MG＝3﹣a；

同①得：N（3﹣a，a），在②中已经求得此时a＝0（舍去），a＝1；

故M（1，﹣2），N（2，1）；

综上可知：存在符合条件的N点，且坐标为N（2，1）或（5，﹣8）．

【解析】【分析】（1）根据抛物线的解析式，可得抛物线的对称轴方程，进而可根据点A 的坐标表示出点B的坐标，已知OB=OC，即可得到点C的坐标，从而利用待定系数法求得抛物线的解析式．（2）点P为直线AE和抛物线的交点，欲求点P，必须先求出直线AE的解析式；设直线AE与y轴的交点为F，易得△FOA∽△FEC，由于OA=1，EC=3，根据相似三角形的对应边成比例即可得到FE=3OF，设OF=x，则EF=3x，AF=3x-1，进而可在Rt△FOA 中求出x的值，也就能求出F点的坐标，然后利用待定系数法求出直线AE的解析式，联立抛物线的解析式即可得到点P的坐标．（3）此题应分三种情况讨论：①当点M在第一象限时，可设M（a，a-3），由于ON是由OM旋转90°而得，因此△OMN是等腰直角三角形，分别过M、N作MG、NH垂直于x轴，即可证得△OMG≌△NOH，得MG=OH，NH=OG，由此可表示出N点的坐标，然后将其代入抛物线的解析式中，即可求得点M、N 的坐标；②当点M在第三象限，④点M在第四象限时，解法同①．

9．如图，二次函数（其中a，m是常数，且a>0，m>0）的图象与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C(0，－3)，点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连接AD.过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE.

（1）用含m的代数式表示a；

（2）求证：为定值；

（3）设该二次函数图象的顶点为F.探索：在x轴的负半轴上是否存在点G，连接CF，以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形？如果存在，只要找出一个满足要求的点G即可，并用含m的代数式表示该点的横坐标；如果不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：将C（0，-3）代入函数表达式得，，∴

（2）证明：如答图1，过点D、E分别作x轴的垂线，垂足为M、N.

由解得x1=－m，x2=3m.∴A(－m，0)，B(3m，0).

∵CD∥AB，∴点D的坐标为（2m，－3）.

∵AB平分∠DAE.∴∠DAM=∠EAN.

∵∠DMA=∠ENA=900，∴△ADM∽△AEN, ∴ .

设点E的坐标为（x, ）,

∴ ,∴x=4m.

∴为定值.

（3）解：存在，

如答图2，连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G.

由题意得：二次函数图像顶点F的坐标为（m，-4），

过点F作FH⊥x轴于点H，

在Rt△CGO和Rt△FGH中,

∵tan∠CGO＝ , tan∠FGH＝ , ∴ = .∴OG="3m,"

由勾股定理得，GF= ，AD=

∴ .

由（2）得，，∴AD∶GF∶AE=3∶4∶5.

∴以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，此时点G的横坐标为－3m.【解析】【分析】1）将C点代入函数解析式即可求得.（2）令y=0求A、B的坐标，再根

据，CD∥AB，求点D的坐标，由△ADM∽△AEN,对应边成比例，将求的比转化成求比，结果不含m即为定值.（3）连接FC并延长，与x轴负半轴的交点即为所求点G..过点F作FH⊥x轴于点H，在Rt△CGO和Rt△FGH中根据同角的同一个三角函数相等，可求OG

（用m表示），然后利用勾股定理求GF和AD（用m表示），并求其比值，由（2）

是定值，所以可得AD∶GF∶AE=3∶4∶5，由此可根据勾股定理逆定理判断以线段GF、AD、AE的长度为三边长的三角形是直角三角形，直接得点G的横坐标.

10．如图1，平面直角坐标系中，B、C两点的坐标分别为B（0，3）和C（0，﹣），点A在x轴正半轴上，且满足∠BAO＝30°.

（1）过点C作CE⊥AB于点E，交AO于点F，点G为线段OC上一动点，连接GF，将△OFG沿FG翻折使点O落在平面内的点O′处，连接O′C，求线段OF的长以及线段O′C的最小值；

（2）如图2，点D的坐标为D（﹣1，0），将△BDC绕点B顺时针旋转，使得BC⊥AB于点B，将旋转后的△BDC沿直线AB平移，平移中的△BDC记为△B′D′C′，设直线B′C′与x轴交于点M，N为平面内任意一点，当以B′、D′、M、N为顶点的四边形是菱形时，求点M 的坐标.

【答案】（1）解：如图1中，

∵∠AOB=90°，∠OAB=30°，

∴∠CBE=60°，

∵CE⊥AB，

∴∠CEB=90°，∠BCE=30°，

∵C（0，- ），

∴OC= ，OF=OC?tan30°= ，CF=2OF=3 ，

由翻折可知：FO′=FO= ，

∴CO′≥CF-O′F，

∴CO′≥ ，

∴线段O′C的最小值为

（2）解：①如图2中，当B′D′=B′M=BD= 时，可得菱形MND′B′.

在Rt△AMB′中，AM=2B′M=2 ，

∴OM=AM-OA=2 -3 ，

∴M（3 -2 ，0）.

②如图3中，当B′M是菱形的对角线时，由题意B′M=2OB=6，此时AM=12，OM=12-3

，可得M（3 -12，0）.

③如图4中，当B′D′是菱形的对角线时，由∠D′B′M=∠DBO