excel表格关于矩阵

唐宋八大家：韩愈、柳宗元，宋代的苏洵、苏轼、苏辙、欧阳修、王安石、曾巩

体操:

男子(8个小项):自由体操\鞍马\吊环\跳马\双杠\单杠\个人全能\团体

女子(6个小项):自由体操\平衡木\跳马\高低杠\个人全能\团体

艺术体操(女子项目2个小项):

个人全能\集体全能

蹦床(男女共2个小项):

第 1 章 Excel-矩阵的求逆、转置与相乘

1.1 SUMSQ(A1,B1) A1和B1各自平方后求和 1.2 TRANSPOSE函数

TRANSPOSE函数的功能是求矩阵的转置矩阵。公式为 = TRANSPOSE(array)

式中，Array—需要进行转置的数组或工作表中的单元格区域。函数TRANSPOSE必须在某个区域中以数组公式的形式输入，该区域的行数和列数分别与array的列数和行数相同。

步骤：

（1）选取存放转置矩阵结果的单元格区域。

（2）单击工具栏上的【粘贴函数】按钮，在【粘贴函数】对话框中选取函数TRANSPOSE，在该函数对话框中输入（可用鼠标拾取）单元格A2:C5，按“Crtl+Shift+Enter”组合键，即得转置矩阵。

利用TRANSPOSE函数可以把工作表中的某些行（或列）排列的数据转换成列（或行）排列的数据。例如，由于工作需要，要把工作表中的某些行数据改为列数据，若一个一个地改动数据，将是很麻烦也很费时的，而利用TRANSPOSE函数则可以很轻松地进行这项工作。但需要注意的是，利用TRANSPOSE函数对行（列）数据进行转换，则无法单独修改其中转换单元格区域中的某单元格的数据。

1.3 MINVERSE函数

MINVERSE函数的功能是返回矩阵的逆矩阵。公式为 = MINVERSE(array)

式中，array—具有相等行列数的数值数组或单元格区域。

MINVERSE函数的使用方法与TRANSPOSE函数是一样的。在求解线性方程组时，常常用到MINVERSE函数。

1.4 MMULT函数

MMULT函数的功能是返回两数组的矩阵乘积。结果矩阵的行数与 array1 的行数相同，列数与 array2 的列数相同。公式为

= MMULT(array1?array2)

式中 array1? array2—要进行矩阵乘法运算的两个数组

array1的列数必须与 array2 的行数相同，而且两个数组中都只能包含数值。array1和array2可以是单元格区域、数组常数或引用。如果单元格是空白单元格或含有文字串，或是array1的行数与 array2 的列数不相等时，则函数MMULT返回错误值#VALUE!。

同样地，由于返回值为数组公式，故必须以数组公式的形式输入。以例2-7的原矩阵和其转置矩阵为例，它们的乘积矩阵求解方法如下：（1）选取存放乘积矩阵结果的单元格区域，如J2:L5。

（2）单击工具栏上的【粘贴函数】按钮，在【粘贴函数】对话框中选取函数MMULT，在该函数对话框中的array1栏中输入（可用鼠标拾取）单元格区域A2:C5，在array2栏中输入单元格区域E2:H4，然后按“Crtl+Shift+Enter”组合键，即得矩阵的乘积。

第 2 章 EXCEL矩阵运算归纳

2.1 Excel快速生成单位矩阵

利用Excel计算投入产出表时，经常需要用到单位矩阵，手工输入十分不便。下面以Excel2007为例，介绍如何运用函数快速生成单位矩阵。

1.

应用R1C1引用样式。Excel的列号默认用字母ABC…….表示，想要找到需用的列，还要进行26进制转换，十分不方便。选取Excel选项--公式，选中R1C1引用样式，列号就以数字形式显示了。

2.

快速选取需要的区域。按下F5键，会弹出“定位”功能窗口，输入“R1C1:R42C42”（表示选择从第1行1列到42行42列的所有单元格），单击确定，所需区域即被选中。

3.

利用IF函数自动生成单位矩阵。直接输入“=if(row()=column(),1,0)”，然后按“Ctrl+Enter”，完成单位矩阵。

2.2 矩阵运算

首先讲一下数组和矩阵的定义，Excel的数组、数组名和矩阵函数的设置：矩阵不是一个数，而是一个数组。在Excel里，数组占用一片单元域，单元域用大括号表示，例如{A1：C3}，以便和普通单元域A1：C3相区别。设置时先选定单元域，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键，大括弧即自动产生，数组域得以确认。

一个单元格就是一个变量，一片单元域也可以视为一组变量。为了计算上的方便，一组变量最好给一个数组名。例如A={A1：C3}、B={E1:G3}等。数组名的设置步骤是：选定数组域，单击“插入”菜单，选择“名称”项中的“定义”命令，输入数组名，单击“确定”按钮即可。更简单的命名办法为：选择数组域，单击名称框，直接输入名称就行了。

矩阵函数是Excel进行矩阵计算的专用模块。用“插入”－“函数”命令打开“粘贴函数”对话框（如图11），选中函数分类栏中的“数学与三角函数”，在右边栏常用的矩阵函数有： MDETERM--计算一个矩阵的行列式； MINVERSE--计算一个矩阵的逆矩阵； MMULT--计算两个矩阵的乘积； SUMPRODUCT--计算所有矩阵对应元素乘积之和。

其次介绍一下矩阵的基本计算：

数组计算和矩阵计算有很大的区别，比如下面这个例子中，A和B都是定义好的数组，因为这两个数组都是3×3的，输出结果也是3×3个单元格。计算时先选定矩阵计算结果的输出域，为3×3的单元格区域，然后输入公式。如果输入“=A＋B”或“=A-B”，计算结果是数组对应项相加或相减，输入“=A*B”表示数组A和B相乘，输入“=A/B”表示数组A除数组B。如果要进行矩阵计算，就要用到相应的矩阵函数。矩阵相加、相减与数组的加减表

达形式是一样的，也是“=A＋B”和“=A-B”，表示矩阵相乘可以输入“=MMULT(A，B)”，而矩阵相除是矩阵A乘B的逆矩阵，所以计算公式是“=MMULT(A，MINVERSE（B）)”。公式输入后，同时按Shift＋Ctrl＋Enter键得到计算结果。对于更复杂的矩阵计算，可以采用分步计算。

2.3 矩阵计算的应用举例

在测量平差过程中，有大多数精力用在矩阵的运算上，只要解决了矩阵求逆的计算，测量平差也并不是很复杂的过程，现在我们就介绍利用大家经常使用的办公软件Excel进行矩阵的求逆计算，示例中使用的是3×3的矩阵，实际工作中对于多阶矩阵，对Excel来说也是小菜一碟：

1、输入待求逆矩阵，如下图：

第 3 章 nxn方阵对应行列式的值

第二步，选中A4单元格，在“插入”菜单中选中“函数”菜单项：第三步，在打开的“函数”对话框中，选中“MDETERM”函数如图2，并按“确定”按钮：

第四步，在弹出的对话框中输入矩阵所在的地址，按确定即得到行列式的值。

矩阵求和已知

第二步，在A5单元格中输入公式：=A1+El，按回车，这时A5中显示数字7；

第三步，选中A5单元格，移动鼠标至其右下角，鼠标形状变为黑色十字时，按下鼠标左键往右拖至C5，B5和C5中分别显示一3．3。同样的方法选中A5：C5，往下拖至A7：C7，便得到A+B的值。

矩阵求逆

第一步，在A1：C3中输入矩阵A；

第二步。选中A5：C7，“插入”→“函数”→“MINVERSE”→“确定”：

第三步，在“array”项中输入A1：C3，按F2，同时按CTRL+SHIFF+ENTER即可如图6。

5 矩阵转置

第一步，在Al：C3中输入矩阵A，并选中；第二步，“编辑”→“复制”；

第三步，选中A5，“编辑”→“选择性粘贴”→“转置”→确定”。

矩阵求秩

6．1矩阵秩的概念

定义设A是mxn矩阵，从A中任取k行k列(k≤min(m，n))，由这些行、列相交处的元素按原来的次序所构成的阶行列式，称为矩阵A的一个k阶子行列式，简称k阶子式。

定义矩阵A的所有不为零的子式的最高阶数r称为矩阵A的秩，记作r(A)，即r(A)=r。

6．2矩阵秩的数学求法

6．2．1行列式法：即定义从矩阵的最高阶子式算起，计算出不等于零的子式的最高阶数r，此r即为该矩阵的秩。

6．2．2行初等变换法：用初等行变换化矩阵为阶梯形矩阵，此阶梯形矩阵非零行的行数r 就是该矩阵的秩。

6．3利用EXCEL求矩阵秩

方法一，根据矩阵秩的定义，可以求所有不为零子式的最高阶数。求矩阵A的秩．

显然A是4x4矩阵，4为其所有子式的最高阶数。先求IAI的值，若｜A｜不为零，则矩阵A的秩为4。若｜A｜为零，求所有阶数为3的子式的值。若存在阶数为3的子式的值不为零，则矩阵A的秩为3，否则继续求所有阶数为2的子式的值，依次类推。步骤如下：

第一步，按照上面所介绍利用EXCEL求矩阵行列式的方法求｜A｜的值

IAI=0．则说明该矩阵的秩小于4；

第二步，取第二、三、四行，第一、二、四列，位于这些行、列相交处的元素所构成的三阶行列式

方法二，从解方程组的角度去求矩阵的秩

若A是满秩的，则齐次方程组AX＝0只有零解，否则就有非零解。从这一思想出发可以得出另外一种求矩阵秩的方法。在讲这个方法之前。我们先介绍用EXCEL去解方程组。

然后利用EXCEL提供的“规划求解”功能，求得的结果就是线性方程组的解。

下面是就如何在“规划求解”过程中得到矩阵A的秩给出具体的步骤。其步骤是：

第一步，用“规划求解”工具解线性方程组A X=O，如果在“规划求解结果”中出现提示“[设置目标单元格]的值未收敛”，则表示A的秩＜n，也即齐次方程组有非零解。则转入第二步。否则停止计算：

第二步，在“规划求解结果”中选“恢复为原值”，然后在“规划求解参数”中增设约束之后再转第一步；

第一步，以所给矩阵作为系数矩阵A，用刚才所说的方法求解齐次方程组A X=O，结果提示“[设置目标单元格]的值未收敛”。

第二步，恢复为原值后，增设约束X4＝-1，再用方法2求解，结果提示仍然是“[设置目标单元格]的值未收敛”。

第三步，再恢复为原值，再增设约束x3=1，用方法2求解，提示为“规划求解找到一解，可满足所有约束及最优状况”。

则A的秩r(A)=2，此时X的存放区域中的数值0，1，1，－1就是使A的列向量的线性组合为0的组合系数．即线性代数教材中的λ1，λ2，λ3，λ4。

如果仅仅是检查一个n阶矩阵是否满秩，采用矩阵运算的求逆就要方便得多。

矩阵乘积

当矩阵很大并且乘积矩阵数目很多的时候，人工求其乘积工作量会很大，如果不细心很容易出错，所以找到一种利用计算机去计算矩阵乘积就显得非常必要。也有很多计算机爱好者用编程的方法去实现，也是不错的方法，但是编程也要一定的时间，我们不如直接利用EXCEL 提供的函数直接去求来得快捷和方便。

在EXCEL中有专门用于矩阵乘积的函数MMULIT(arrayl，array2，>)，可以比较快速地得到

两个矩阵的乘积矩阵。

第一步，分别在A1：C3区域和E1：G3区域中输入A和B如图7：

第二步，选中A5：C7区域，“插入”→“函数”→“MMULT”；第三步，在arrayl中输入A1：C3，在array2中输入E1：G3；第四步，按F2进入“编辑”状态，同时按下CTRL+SHIFT+ENTER 即可得到AB如图7。

矩阵特征向量和特征值

设A是n阶矩阵，如果存在数入及非零的n维向量X，使得 AX=λX (7．1)

成立，就称入是矩阵A的特征值，X是矩阵A属于特征值λ的一个特征向量。

如何求λ的值，由(7．1)可推出｜A-λE｜=0

如果A的每个对角元的绝对值都比所在行的非对角元的绝对值的和要大，即a_ii>sum{j!=i}a_ij 对所有的i成立，那么称A是（行）严格对角占优阵。