平面向量方法总结大全

平面向量应试技巧总结一．向量有关概念：：既有大小

又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，．向量的概念1。如：注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）rruuua （答：_____＝（－1,3按向量已知A（1,2），B（4,2），则把向量）平移后得到的向量是AB）（3,0）0；，注意：长度为2．零向量0零向量的方向是任意的的向量叫零向量，记作：ruuu ruuu AB共线的单位向量是：长度为一个单位长度的

向量叫做单位向量(与)；3．单位向量AB ruuu?||AB相等向量：长度相等且

方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；4．baba，、记作：：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，∥5．平行向量（也叫共线向量）。规定零向量和任何向量平行：提醒①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；但两, ②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线条直线平行不包含两条直线重合；r0)；（因为有③平行向

量无传递性！ruuuuuur、ACAB?共线共线；④三点C、B、A aa。如：长度相等

方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－6．相反向量rrrr）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终2，则）若。（（下列命题：

1ba?ba?ruuuuuuruuruuruu。）若（是平行四边形。，则43点相同。（）若是平行四边形，则DCDCAB??ABABCDABCD．

rrrrrrrrrrrr_______）若（5，则。（6）若，则。其中正确的是cb//a//a?b,b?cb,ca?ca//

4（答：（）（5））二．向量的表示方法：1，注意起点在前，终点在后；．几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如ABcab，．符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，2等；i为轴、轴方向相同的两个单位向量，3．坐标表示法：

在平面内建立直角坐标系，以与y x jrrr????aaa yx,＝为向量基底，则平面内的

任一向量，称可表示为的坐标，yx,?axi?yj???a y,x的坐标表示。如果向量的起

点在原点，叫做向量那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。

ee是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的：如果和三．平面向量

的基本定理21?aeea。如=任一向量，有且只有一对实数、＋，使???212211rrrr，则若______（1）1,2)(1,(??1),c?a?(1,1),b??crr31）；（答：ba?22（2）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是

uruururuur A. B. (5,7)??1,2),2)ee?(?e(0,0),e?(1,?2112uruurruruu13 C. D.

(6,10)e??(3,5),e)??(,?e(2,?3),e212142（答：B）；rr ruuurruruuruuuruuuruuu ba,可用向量,则上的中线的边分别是）（3已知,且ACBC,b,BE??ADBEAD,aBCABC?表示为_____ rr42（答：）；ba?33???????????????sr?ACr?CDDB2CD?sAB?的值是已知）4（在，则中，点，边上，且BCABC?D．

___（答：0）??aa，它的长度和方向规定如下：的积是一个向量，记作与向量四．实数与向量的积：实数rr??????????aaaa的的方向与当的方向相同，当>0时，的方向与<0时，2,1?aarr???a0a?≠0，注意方向相反，当0＝时，：。：五．平面向量的数量积rruuuuuurr?ba，．两个向量的夹角：对于非零向量，，作1bOB?OA?a,??AOB????????bababa＝反向，当，的夹角，当同向，当＝00??时，时，＝称为向量，，?ba垂直。，时，2rr??ba我们把数量，2．平面向量的数量积：，

如果两个非零向量它们的夹角为，cos||a||brr?baabba cos ba??。规定：零向量与，记作：＝与，即的数量积（或内积或点积）叫做。如任一向量的数量积是0，注意数量积是一个实数，不再是一个向量?????????5|?|AB|?3|AC|4|BC??AB?BC，

_________1）△ABC中，，，则（）；（答：－9rrrrrurrrrur?11____（2）已知，则等于，与的夹角为dckb?(1,),a?kb,d??),b?(0,?c?aa422；（答：1）rrrrrr 等于已知____）（3，则b?a3a?bg??2,b?5,a）；（答：23rrrrrrrrr b?a与ab?aa?b?b,a____是两个非零向量，且已知，则的夹角为）（4o（答：）30r?ab cos||b如。0，它是一个实数，但不一定大于为上的投影在．3．??????，则向量，且在向量上的投影为______已知，5|??3|b|a|ba12?ab?12）（答：

5rababbaa在4．等于的模与的几何意义：数量积上的投影的积。||a???ba，：设

两个非零向量，则：，其夹角为5．向量数量积的性质rrrr0b?a?b?a?①；rrrrrr rr 222baabaabb反向时，特别地，；②当，同向时，＝，与

当??ba a?a?a?a?a,a rrrrrr??ba、ba 0a?b?，且不同向，＝－；当0＞为锐角时，是为锐角的必要非充分条件；?barrrr??ba、ba 0a?b??，且0当为钝角时，

＜是为钝角的必要非充分条件；不反向，

rrrrrrba???ba?cos，。夹角如；④的计算公式：③非零向量

|||b||a?b|?arrba????????),)b?(a?(3,22，的取值范围是，如果与的夹角为锐角，则______（1）已知ba41??????且或（答：）；0?3331?????????????FQ,OF?FQ?1OF??S的取值范（2）已知，则，若夹角的面积为，且OFQ?S22围是_________

??；（答：）)(,34rrrrrrrr①，已知与之间有关系式）

（3),yy?(cos,sin),(cos a?x,sin xbba0k?,3ka?b?a?kb其中rrrrrr；②求用表示的大小与的最小值，并求此时的夹角?ba?ba?bakrr121?k o?60?）（答：①，；②最小值为0)??ab(?k 2k4：六．向量的运算．

1．几何运算：

①向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向uuuruuurruuurrrAC量，如此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：

设，那么向量叫做与abAB?a,BC?rruuuruuuruuurra?b?AB?BC?AC；的和，即buuurruuurrrruuuruuuruuur②向量的减法：用“三角形法则”：设，由减向量CA?AB?AC那么a?b?AB?a,AC?b,的终点指向被减向量的终点。注意：此处减向量

与被减向量的起点相同。如

uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur（1）化简：①___；②____；③_____?)(AC?BD(AB?CD)??DCAD?ABAB?BC?CD??uuuruuurrCB0）；（答：①；②；③ADuuurruuurruuurrrrr（2）若正方形的边长为1，，则＝_____

c?,BC?b,ACaAB?|?c|a?b ABCD22）（答：；

uuuruuuruuuruuuruuur OB?OC?OB?OC?2OA，则的形状且满足3（）若O是所在平面内一点，ABCABCVV为____

（答：直角三角形）；

uuuruuuruuurrPA?BP?CP?0，的中点，的边所在平面内有一点，满足4（）若为BCABC?ABC?PDuuur|AP|??uuur设的值为___，则?|PD|（答：2）；

rruuuruuuruuu的外心，且是）若点____，则为的内角5（0?COOBOA??COABCABC△△o120（答：；）

rr，则：坐标运算：设2．)),b?(x,y,a?(xy2112rr。如①向量的加减法运算：，)?yy x?a?b?(x2121ruuruuuruuuu在第P，若已知点，，则当＝____时，点（1）???)?RAC(AP?AB?(7,10)A(2,3),B(5,4)C一、三象限的角平分线上1（答：）；2uuur??1已知，，则（2）??yx)?,x,y?xA(2,3),B(1,4),且AB?(sin,cos y)(222??或）；（答：?26ruruuuuururuururuuru的，则合力（3）已知作用在点的三个力FF?F(3,1)??F?F(3,4),F?(2,?5),F?(1,1)A322113终点坐标是

（答：（9,1））r????????：。②实数与向量的积

y,a??,xyx1111ruuu??)),B(x,yA(x,y yx?x,yAB??，即一个向量的坐标等于表示这个向量的，则③若21121221如有向线段的终点坐标减去起点坐标。ruruuuuuruuuuuur1、D__________的坐标分别是，且设，，则C AB3AD?,5)1A(2,3),B(?AB?AC311）；（答：

7,9)?(1,),(3rr如。④平面向量数量积：y?yb?xxa?2211?cba，求x）若＝, 1＝（－，0）。（1已知向量sinx＝（，cosx）, sinx＝（，sinx）3??13??ca]?,[的值的最大值为x2、的夹角；（）若∈，求，函数向量b??(fx)a2481

o?2?1;(2)(1)150）（答：；或2．

rrr2222。如⑤向量的模：y??,a?|a||a|x uurrrr o＝_____ 已知均为单位向量，它们的夹角为，那么60ba,||a?3b13）；（答：

22????????y?yx?x??|AB|y,B,y,xAx。：若如，则⑥两点间的距离12122112o60xOy??，平面上任一点P如图，在平面斜坐标系中，关于斜坐标系的斜坐标是这

xOy uuururuururuur xy轴同方向的单位向量，则P轴、点斜坐标样定义的：

若，其中分别为与e,eyexe?OP?2121为。（1）若点P的斜坐标为（2，－2），求P 到O的距离｜PO｜；（2）求以O为圆心，1)y(x,为半径的圆在斜坐标系中的方程。xOy22?xy?1?y?0x））； 21）2；（（答：（七．向量的运算律：rrrrrrrrrr????????ab?b?a?a?b??abaa?，；，1．交换律：rrrrrrrrrrrrrrrrrr?????????????b?b?c?a?b??a?ba???ab?c?a?bc,a?b?ca；2．结合律：，rrrrrrrrrrrrrr?????????????cb?a?c??a?b?cba?aa??a,a??b?，。3．分配律：如

????????????????22||?a)?(b?baaa?a?(bc)??b??c?(?c)(a?)?cab；②；③下列命题中：①

rrrrrr rr???????222ca?|||?2a|?b|?b|,a?c??bb；；④若则，则；⑥或；⑤若0b0?a?0?a?b a?a rrrrrrrrrrrrrba?b2222；⑧；⑨______。其中正确的是⑦22r?b(a?b)a?a?2?b?(a?b)?a?br

2aa （答：①⑥⑨）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一

个向量等式，可以移项，）（1提醒：两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一）向量的“乘法”不满足2；（个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)，即结合律，

为什么？c?(a?b)a(b?c)rrrrrrrr22如的充要条件共线)：＝0。八．向量平行(?|)||b?(a?b)?(|ab?a//b?ax?y?xy2112rrrrba与_____时共线且方向相同(1)若向量，当＝)(4,x?(x,1),b?ax2（答：）；rrrrrrrrrr______x＝，则，（2）已知，，

且)x?(1,1),b?(4,av//u?2a?u?a?2bbv4）；（答：ruuuuuuruuru_____k＝设共线时，A,B,C，则（3）)(10,kPCPB?(4,5),?PA?(k,12),11（答：－2或）rrrrrrrr地特的充要条件：别.直九．向量垂

|ab?b?a?b?0|a?|?|?b?a0x?x?yy?2112ruuurruuuuuuuuurACACABAB)?()??(如。

ruuuuuruuuruuuurACACABAB uuuruuurrruuuuuu已知(1)，则，

若)?OA?(1,2),(3,?mOBOBOA??m3）；（答：2（2）以原点O和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形OAB，，则点B的坐标是?B?90?________

（答：(1,3)或（3，－1））；

rurrurrur（3）已知向量，且，则________ 的坐标是),ba?n(,mm?nm?n （答：）)a?b,b,?a)或((十．线段的定比分点：

?若存在一个实数，、P的任意一点，P是直线PP上异于P1．定比分点的概念：设点2211uuuuruuuur uuuruuur??的的以定比为所成的比，P，则点叫做有向线段

叫做点P分有向线段使PPPP?PPPP?122211定比分点；

???>0；当P点在线P点在线段 PP2．上时的符号与分点P的位置之间的关系：当21???；若点P分有P点在线段P PP的延长线上时P的延长线上时<－1；当段0??1??2211uuuuruuuur1?如所成的比为。所成的比为，则点P分有向线段向线段PPPP1221?uuuruuur3若点分所成的比为，则分所成的比为_______AP BPAB47（答：）?3uuuur?，分有向线段所成的比为：设、，3．线段的定比分点公

式)y)yP(x,P(x,PP)yP(x,22121121x?x??21x?x?x??21?x?2????1??的中点公式。在使用定P，特别地，当P＝1时，就得到线段则y?y??2121??y y?y??12?y?2 ???1?(x,y)(x,y)的意义，即分别为分点，起点，终点的比分点的坐标公式时，应明确，、)y(x,1122坐标。在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应?。如的定比

1??????MN?MP?的坐标为P_______，且），-2，N（6，-1），则点（1（）若M-337(?6,?)）；（答：3ruuuruuuu1已知）等于，交于与线段且直线，_______，则2（MAB)B,0),(Aaa(3,2?MBAM?2aaxy?2（答：２或－４）．

r??x?hx?????；曲线，则按向量平移至十一．平移公式：如果点

ka?,h),xxP(,y)yP(???y?yk?r??：平移得曲线.按向量）函数按向量平移与平常“左注意（1k,ha?0?y?k0)f(x?h,(fx,y)?加右减”有何联系？（2）向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊！如rr按向量把平移到，则按向量把点平移到点______（1）aa7,2)(2,?3)((1,?2)?（答：（－８，３））；

??＝，则函数的图象按向量平移后，所得函数的解析式是（2）aa1?y?cos2y?sin2xx ________?）（答：),(?1412、向量中一些常用的结论：（1）一个封闭图形

首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；rrrrrrrrr rrrr?、ba

0|a?b|?|b|?|a||a|?|b||?|，特别地，当2）同向或有（|?|b|?b|?|a|a rrrrr rrrrrrrrrrrr a、ba b、0?；当向或有；当不共线反??||ba?b|?|a|?||?b||?|a||a|?|b|?bb||?|a||a|?|rrrrrr?(这些和实数比较类似). |b?|?b|?|a||||a|?|b||?a??????yx,BCx,yAyx,,,，则其重心的坐，（3）在中①若标为ABC?313122x?x?xy?y?y??123231。如,G??33??若⊿ABC的三边的中点分别为（2，1）、（-3，4）、（-1，-1），则⊿ABC的重心的坐标为_______ 24(?,)）；（答：

33uuuruuuruuuruuuruuuruuuruuurr1PG?(PA?PB?PC)PA?PB?PC?0?P?为的的重心，特别地为②GABCABC??3重心；

uuuruuuruuuruuuruuuruuurPA?PB?PB?PC?PC?PA?P为③的垂心；ABC?．uuuruuurACAB??uuruuruu(?)(?0)④向量是的角平分线所在直线)；(所在直线过

的内心BACABC??|AB||AC|uuuruuuruuuruuuruuuruuurr⑤的内心；P?|PB?0|BC|PA?|CA?|AB|PC ABC?uuuuruuuur uuuur uuur?MPMP??，点为平面内的任一点，则分有向线段）若P所成的比为，（3PPM21MP?21??1ruuuuuruuuruuuMPMP?的中点为特别地；PP P12??MP21

2uuuruuuruuur uuuruuuruuur????PCPBPA??AC、B、?中三终点（4）向量且存在实数使得共线、PCPA、PB、??.如1??平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点,,若点满足)3,1)(B?1,A(3CO???????????????OBOA??OC _______的轨迹是,其中,则点且1,???R C212112（答：直线AB）