2014届高考数学一轮复习教学案(基础知识+高频考点+解题训练)正弦定理和余弦定理(含解析)
第七节
正弦定理和余弦定理
[知识能否忆起]
1．正弦定理
2．余弦定理
3．三角形中常用的面积公式 (1)S ＝1
2ah (h 表示边a 上的高)；
(2)S ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝1
2ab sin C ；
(3)S ＝1
2
r (a ＋b ＋c )(r 为三角形的内切圆半径)．
[小题能否全取]
1．(2012·广东高考)在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝32，则AC ＝( ) A ．43 B ．2 3 C. 3
D.3
2
解析：选B 由正弦定理得：BC sin A ＝AC sin B ，即32sin 60°＝AC sin 45°，所以AC ＝323
2×2
2＝
2 3.
2．在△ABC 中，a ＝3，b ＝1，c ＝2，则A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60°
D ．75°
解析：选C ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝1＋4－32×1×2＝12，
又∵0° 3．(教材习题改编)在△ABC 中，若a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有( ) A ．无解 B ．两解 C ．一解 D ．解的个数不确定 解析：选B ∵a sin A ＝b sin B ， ∴sin B ＝b a sin A ＝24 18sin 45°， ∴sin B ＝22 3 . 又∵a 4．(2012·陕西高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c .若a ＝2，B ＝π 6 ，c ＝23，则b ＝________. 解析：由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋12－2×2×23×3 2 ＝4，所以b ＝2. 答案：2 5．△ABC 中，B ＝120°，AC ＝7，AB ＝5，则△ABC 的面积为________． 解析：设BC ＝x ，由余弦定理得49＝25＋x 2－10x cos 120°， 整理得x 2＋5x －24＝0，即x ＝3. 因此S △ABC ＝12AB ×BC ×sin B ＝12×3×5×32＝1534. 答案：153 4 (1)在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC 中，A >B ?a >b ?sin A >sin B . (2)在△ABC 中，已知a 、b 和A 时，解的情况如下： 典题导入 [例1] (2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小； (2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值． [自主解答] (1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理 a sin A ＝b sin B ，得sin B ＝3cos B ， 所以tan B ＝3，所以B ＝π 3 . (2)由sin C ＝2sin A 及a sin A ＝c sin C ，得c ＝2a . 由b ＝3及余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ， 得9＝a 2＋c 2－ac . 所以a ＝3，c ＝2 3. 在本例(2)的条件下，试求角A 的大小． 解：∵ a sin A ＝ b sin B ， ∴sin A ＝a sin B b ＝3·sin π33＝12. ∴A ＝π 6 . 由题悟法 1．应熟练掌握正、余弦定理及其变形．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷． 2．已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断． 以题试法 1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a . (1)求b a ； (2)若c 2＝b 2＋3a 2，求B . 解：(1)由正弦定理得， sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝ 2sin A ，即 sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A . 故sin B ＝ 2sin A ，所以b a ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c . 由(1)知b 2＝2a 2， 故c 2＝(2＋3)a 2.可得cos 2B ＝1 2， 又cos B >0，故cos B ＝2 2 ，所以B ＝45°. 典题导入 [例2] 在△ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且2a sin A ＝(2b ＋c )sin B ＋(2c ＋b )sin C . (1)求A 的大小； (2)若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状． [自主解答] (1)由已知，根据正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )·b ＋(2c ＋b )c ，即a 2＝b 2＋c 2＋bc . 由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 故cos A ＝－1 2，∵0 (2)由(1)得sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ＝3 4. 又sin B ＋sin C ＝1， 解得sin B ＝sin C ＝1 2 . ∵0° 由题悟法 依据已知条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有如下两种方法： (1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状； (2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论． [注意] 在上述两种方法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 以题试法 2．(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝????cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝7 2 . (1)求角A 的大小； (2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判断△ABC 的形状． 解：(1)∵m ＝(4，－1)，n ＝??? ?cos 2A 2，cos 2A ， ∴m ·n ＝4cos 2A 2－cos 2A ＝4·1＋cos A 2－(2cos 2A －1)＝－2cos 2A ＋2cos A ＋3. 又∵m ·n ＝7 2 ， ∴－2cos 2A ＋2cos A ＋3＝7 2， 解得cos A ＝1 2 . ∵0 3 . (2)在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，且a ＝3， ∴(3)2＝b 2＋c 2－2bc ·1 2＝b 2＋c 2－bc .① 又∵b ＋c ＝23， ∴b ＝23－c ，代入①式整理得c 2－23c ＋3＝0，解得c ＝3，∴b ＝ 3，于是a ＝b ＝c ＝ 3，即△ABC 为等边三角形． 典题导入 [例3] (2012·新课标全国卷)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0. (1)求A ； (2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c . [自主解答] (1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ， 所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0. 由于sin C ≠0，所以sin ????A －π6＝1 2. 又0＜A ＜π，故A ＝π 3 . (2)△ABC 的面积S ＝1 2bc sin A ＝3，故bc ＝4. 而a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，故b 2＋c 2＝8. 解得b ＝c ＝2. 由题悟法 1．正弦定理和余弦定理并不是孤立的．解题时要根据具体题目合理选用，有时还需要交替使用． 2．在解决三角形问题中，面积公式S ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝1 2ac sin B 最常用，因为公式 中既有边也有角，容易和正弦定理、余弦定理结合应用． 以题试法 3．(2012·江西重点中学联考)在△ABC 中，1 2cos 2A ＝cos 2A －cos A . (1)求角A 的大小； (2)若a ＝3，sin B ＝2sin C ，求S △ABC . 解：(1)由已知得1 2(2cos 2A －1)＝cos 2A －cos A ， 则cos A ＝12.因为0 3. (2)由 b sin B ＝ c sin C ，可得sin B sin C ＝b c ＝2， 即b ＝2c . 所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝4c 2＋c 2－94c 2＝12， 解得c ＝3，b ＝23， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×23×3×32＝33 2 . 1．在△ABC 中，a 、b 分别是角A 、B 所对的边，条件“a cos B ”成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选C a cos B . 2．(2012·泉州模拟)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π 3，b ＝1， △ABC 的面积为 3 2，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.3 2 D. 3 解析：选D 由已知得12bc sin A ＝12×1×c ×sin π3＝3 2，解得c ＝2，则由余弦定理可得 a 2＝4＋1－2×2×1×cos π 3 ＝3?a ＝ 3. 3．(2013·“江南十校”联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝23，c ＝22，1＋tan A tan B ＝2c b ，则C ＝( ) A ．30° B ．45° C ．45°或135° D ．60° 解析：选B 由1＋tan A tan B ＝2c b 和正弦定理得 cos A sin B ＋sin A cos B ＝2sin C cos A ， 即sin C ＝2sin C cos A ， 所以cos A ＝1 2，则A ＝60°. 由正弦定理得23sin A ＝22 sin C ， 则sin C ＝ 22 ， 又c 4．(2012·陕西高考)在△ABC 中 ，角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，若a 2＋b 2 ＝2c 2，则cos C 的最小值为( ) A.3 2 B.22 C.12 D ．－12 解析：选C 由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，又c 2＝12(a 2＋b 2)，得2ab cos C ＝1 2(a 2 ＋b 2 )，即cos C ＝a 2＋b 24ab ≥2ab 4ab ＝1 2 . 5．(2012·上海高考)在△ABC 中，若sin 2 A ＋sin 2B D ．不能确定 解析：选C 由正弦定理得a 2 ＋b 2 ，所以cos C ＝a 2＋b 2－c 2 2ab <0，所以C 是钝角，故 △ABC 是钝角三角形． 6．在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c .若b ＝2a sin B ，则角A 的大小为________． 解析：由正弦定理得sin B ＝2sin A sin B ，∵sin B ≠0， ∴sin A ＝1 2，∴A ＝30°或A ＝150°. 答案：30°或150° 7．在△ABC 中，若a ＝3，b ＝3，A ＝π 3，则C 的大小为________． 解析：由正弦定理可知sin B ＝b sin A a ＝ 3sin π3 3＝12，所以B ＝π6或5π 6 (舍去)，所以C ＝π －A －B ＝π－π3－π6＝π 2 . 答案：π2 8．(2012·北京西城期末)在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若b ＝25，B ＝π4，sin C ＝5 5 ，则c ＝________；a ＝________. 解析：根据正弦定理得 b sin B ＝ c sin C ，则c ＝b sin C sin B ＝22，再由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2 －2ac cos B ，即a 2－4a －12＝0，(a ＋2)(a －6)＝0，解得a ＝6或a ＝－2(舍去)． 答案：22 6 9．(2012·北京高考)在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝－1 4，则b ＝________. 解析：根据余弦定理代入b 2＝4＋(7－b )2－2×2×(7－b )×????－1 4，解得b ＝4. 答案：4 10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a sin A ＋c sin C －2a sin C ＝b sin B . (1)求B ； (2)若A ＝75°，b ＝2，求a ，c . 解：(1)由正弦定理得a 2＋c 2－2ac ＝b 2. 由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B . 故cos B ＝ 2 2 ，因此B ＝45°. (2)sin A ＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝2＋6 4 . 故a ＝b ×sin A sin B ＝2＋62＝1＋3， c ＝b ×sin C sin B ＝2×sin 60° sin 45° ＝ 6. 11．(2013·北京朝阳统考)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0. (1)求角B 的大小； (2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB · AC 的值． 解：(1)因为3a －2b sin A ＝0， 所以 3sin A －2sin B sin A ＝0， 因为sin A ≠0，所以sin B ＝ 3 2 . 又B 为锐角，所以B ＝π 3. (2)由(1)可知，B ＝π 3.因为b ＝ 7. 根据余弦定理，得7＝a 2＋c 2－2ac cos π 3， 整理，得(a ＋c )2－3ac ＝7. 由已知a ＋c ＝5，得ac ＝6. 又a >c ，故a ＝3，c ＝2. 于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝7＋4－947 ＝7 14， 所以AB ·AC ＝|AB |· |AC |cos A ＝cb cos A ＝2×7× 7 14 ＝1. 12．(2012·山东高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知sin B (tan A ＋tan C )＝tan A tan C . (1)求证：a ，b ，c 成等比数列； (2)若a ＝1，c ＝2，求△ABC 的面积S . 解：(1)证明：在△ABC 中，由于sin B (tan A ＋tan C )＝ tan A tan C ， 所以sin B ????sin A cos A ＋sin C cos C ＝sin A cos A ·sin C cos C ， 因此sin B (sin A cos C ＋cos A sin C )＝sin A sin C ， 所以sin B sin(A ＋C )＝sin A sin C . 又A ＋B ＋C ＝π， 所以sin(A ＋C )＝sin B ， 因此sin 2B ＝sin A sin C . 由正弦定理得b 2＝ac ， 即a ，b ，c 成等比数列． (2)因为a ＝1，c ＝2，所以b ＝2， 由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝12＋22－22×1×2＝34， 因为0 7 4 ， 故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝12×1×2×74＝7 4 . 1．(2012·湖北高考)设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若三边的长为连续的三个正整数，且A >B >C ，3b ＝20a cos A ，则sin A ∶sin B ∶sin C 为( ) A ．4∶3∶2 B ．5∶6∶7 C ．5∶4∶3 D ．6∶5∶4 解析：选D 由题意可得a >b >c ，且为连续正整数，设c ＝n ，b ＝n ＋1，a ＝n ＋2(n >1，且n ∈N * )，则由余弦定理可得3(n ＋1)＝20(n ＋2)·(n ＋1)2＋n 2－(n ＋2)2 2n (n ＋1) ，化简得7n 2－13n － 60＝0，n ∈N *，解得n ＝4，由正弦定理可得sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c ＝6∶5∶4. 2．(2012·长春调研)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4sin 2 A ＋B 2 －cos 2C ＝7 2 ，且a ＋b ＝5，c ＝7，则△ABC 的面积为________． 解析：因为4sin 2A ＋B 2－cos 2C ＝7 2， 所以2[1－cos(A ＋B )]－2cos 2C ＋1＝7 2 ， 2＋2cos C －2cos 2C ＋1＝72，cos 2C －cos C ＋1 4 ＝0， 解得cos C ＝12.根据余弦定理有cos C ＝12＝a 2＋b 2 －7 2ab ， ab ＝a 2＋b 2－7,3ab ＝a 2＋b 2＋2ab －7＝(a ＋b )2－7＝25－7＝18，ab ＝6，所以△ABC 的面积S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝33 2 . 答案：33 2 3．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0. (1)求角A 的大小； (2)若a ＝3，S △ABC ＝33 4，试判断△ABC 的形状，并说明理由． 解：(1)法一：由(2b －c )cos A －a cos C ＝0及正弦定理，得 (2sin B －sin C )cos A －sin A cos C ＝0， ∴2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0， sin B (2cos A －1)＝0. ∵0 2.