江苏高考数学总复习专题 1椭圆试题含解析

专题10.1 椭圆

【三年高考】

1．【2017江苏】如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y

E a b a b

+=>>的左、右焦点

分别为1F ，2F ，离心率为1

2

，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，

过点1F 作直线1PF 的垂线1l ，过点2F 作直线2PF 的垂线2l ． （1）求椭圆E 的标准方程；

（2）若直线1l ，2l 的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．

【答案】（1）22143x y +=；（2）4737

(,)．

试题解析：（1）设椭圆的半焦距为c ．

因为椭圆E 的离心率为1

2，两准线之间的距离为8，所以12c a =，228a c

=，

解得2,1a c ==，于是223b

a c =-=，因此椭圆E 的标准方程是22143

x y

+=．

因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y +-

，直线2l 的斜率为00

1

x y --， 从而直线1l 的方程：00

1

(1)x y x y +=-

+， ① 直线2l 的方程：00

1

(1)x y x y -=-

-． ② 由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2000

1

(,

)x Q x y --． 因为点Q 在椭圆上，由对称性，得

2

0001x y y -=±，即22

001x y -=或22001x y +=． 又P 在椭圆E 上，故2200

143

x y +=．

由220022001143x y x y ?-=??+=??，解得004737x y ==；22

002

20

0114

3x y x y ?+=??+

=??，无解． 因此点P 的坐标为4737

(

． 【考点】椭圆方程、直线与椭圆的位置关系

【名师点睛】直线与圆锥曲线的位置关系，一般转化为直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组，利用根与系数关系或求根公式进行转化，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点在曲

线上（点的坐标满足曲线方程）等．

2. 【2014江苏，理17】如图在平面直角坐标系xoy 中，12,F F 分别是椭圆

22

221(0)x y a b a b

+=>>的左右焦点，顶点B 的坐标是(0,)b ，连接2BF 并延长交椭圆于点A ，过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ，连接1F C .

（1）若点C 的坐标为41

(,)33

，且22BF =，求椭圆的方程； （2）若1F C AB ⊥，求椭圆离心率e 的值.

【答案】（1）2212x y +=；（2）12

． 【解析】

试题分析：（1）求椭圆标准方程，一般要找到关系,,a b c 的两个等量关系，本题中椭圆过点

41

(,)33

C ，可把点的坐标代入标准方程，得到一个关于,,a b c 的方程，另外2222BF OB OF a =+=2=（2）要求离心率，就是要列出关

于,,a b c 的一个等式，题设条件是1F C AB ⊥，即11F C AB k k ?=-，2AB F B b

k k c

==-

，要求1F C k ，必须求得C 的坐标，由已知写出2BF 方程，与椭圆方程联立可解得A 点坐标11(,)x y ，则

11(,)C x y -，由此1F C k 可得，代入11F C AB k k ?=-可得关于,,a b c 的等式，再由

222,c

b a

c e a

=-=

可得e 的方程，可求得e .

试题解析：（1）由题意，2(,0)F c ，(0,)B b

，2BF a ===

，又41

(,)33

C ，∴

222

41()()3312b +=，解得1b =．∴椭圆方程为2

212x y +=．

（2）直线2BF 方程为1x y

c b +=，与椭圆方程22221x y a b +=联立方程组，解得A 点坐标为

2322222(,)a c b a c a c -++，则C 点坐标为23

22222(,)a c b a c a c

++，13

32222322

23F C b b a c k a c a c c

c a c +==+++，又AB

b k c

=-，由1F C AB ⊥得32

3

()13b b a c c c ?-=-+，即4224

3b a c c =+，∴222224()3a c a c c -=+

，化简得c e a =

=． 3．【2013江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为22

22=1x y a b

+(a ＞0，b

＞0)，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2.

若21d =，则椭圆C 的离心率为__________．

【答案】

3

【解析】设椭圆C 的半焦距为c ，由题意可设直线BF 的方程为

=1x y

c b

+，即bx ＋cy －bc ＝0.

于是可知1bc d a ==，22222a a c b d c c c c

-=-==.

∵21d =

，∴2b c a

=

，即2ab =. ∴a2(a2－c2)＝6c4.∴6e4＋e2－1＝0.∴e2＝

1

3

.

∴3

e =

. 4．【2017浙江，2】椭圆22

194

x y +=的离心率是

A

．

3

B

．

3

C ．

23

D ．

59

【答案】B 【解析】 试题分析：945

33

e -=

=，选B ． 【考点】 椭圆的简单几何性质

【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于c b a ,,的方程或不等式，再根据c b a ,,的关系消掉b 得到c a ,的关系式，建立关于c b a ,,的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等．

5.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，

且以线段A 1A 2

为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

A ．

6

3

B ．

33

C ．

23

D ．

13

【答案】A 【解析】

【考点】 椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系

【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝

c

a

；

②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).

6．【2017课标1，理20】已知椭圆C：22 22

=1

x y

a b

+（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，

3

2

），P4（1，

3

2

）中恰有三点在椭圆C上.

（1）求C的方程；

（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.

【解析】

试题解析：（1）由于

3

P，

4

P两点关于y轴对称，故由题设知C经过

3

P，

4

P两点.

又由

2222

1113

4

a b a b

+>+知，C不经过点P1，所以点P2在C上.

因此

2

22

1

1

13

1

4

b

a b

?

=

??

?

?+=

??

，解得

2

2

4

1

a

b

?=

?

?

=

??

.

故C的方程为

2

21

4

x

y

+=.

【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系.

【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中为告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在情况，接着通法是联立方程组，求判别式、韦达定理，根据题设关系进行化简.

7．【2016高考新课标1文数改编】直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的1

4,则该椭圆的离心率为 ．

【答案】

12

【解析】

试题分析：如图,由题意得在椭圆中,11OF c,OB b,OD 2b b 42

===

?= 在Rt OFB ?中,|OF ||OB||BF ||OD |?=?,且222a b c =+,代入解得

22a 4c =,所以椭圆得离心率得1

e 2

=

．

考点：椭圆的几何性质

【名师点睛】求椭圆或双曲线离心率是高考常考问题,求解此类问题的一般步骤是先列出等式,再转化为关于a ,c 的齐次方程,方程两边同时除以a 的最高次幂,转化为关于e 的方程,解方程求e .

8．【2016高考新课标Ⅲ文数改编】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22

221(0)

x y a b a b

+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为 ． 【答案】

1

3

【解析】

试题分析：由题意设直线l 的方程为()y k x a =+，分别令x c =-与0x =得点

||()FM k a c =-，||OE ka =，由OBE CBM ??:，得

1

||

||2||||

OE OB FM BC =，即2(c)ka a k a a c =-+，整理，得13c a =，所以椭圆离心率为1

3

e =．

考点：椭圆方程与几何性质．

【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得,a c 的值，进而求得e

的

值；（2）建立,,a b c 的齐次等式，求得b

a

或转化为关于e 的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出e ．

9．【2016高考北京文数】（本小题14分）

已知椭圆C ：22

221x y a b

+=过点A （2,0），B （0,1）两点.

（I ）求椭圆C 的方程及离心率；

（Ⅱ）设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值.

【答案】（Ⅰ）2214

x y +=

；=e .

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b 的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM 的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线,AN BM 的值求乘积为定值即可.

试题解析：（I ）由题意得，2a =，1b =．

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=．

又c =

=

所以离心率c e a =

=． （II ）设()00,x y P （00x <，00y <），则22

0044x y +=．

又()2,0A ，()0,1B ，所以， 直线PA 的方程为()0

022

y y x x =

--． 令0x =，得0022y y x M =-

-，从而0

02112y y x M BM =-=+-． 直线PB 的方程为00

1

1y y x x -=

+．

令0y =，得001x x y N =-

-，从而0

0221

x x y N AN =-=+-． 所以四边形ABNM 的面积

1

2

S =

AN ?BM 00002121212x y y x ?

???=++ ???--????

()

22000000000044484

222x y x y x y x y x y ++--+=

--+ 000000002244

22

x y x y x y x y --+=

--+

2=．

从而四边形ABNM 的面积为定值．

考点：椭圆方程，直线和椭圆的关系，运算求解能力.

【名师点睛】解决定值定点方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算. 10．【2016高考山东文数】(本小题满分14分)

已知椭圆C :x 2

a +y 2

b =1（a >b >0）的长轴长为4，焦距为2√2. （I ）求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)过动点M (0，m )(m >0)的直线交x 轴与点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段

PN 的中点.过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长线QM 交C 于点B .

(i)设直线PM 、QM 的斜率分别为k 、k'，证明k ′

k 为定值. (ii)求直线AB 的斜率的最小值.

【答案】(Ⅰ) 2214

2x y +=.(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为62【解析】

试题分析：(Ⅰ)分别计算,a b 即得. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>， 利用对称点可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 得到直线PM 的斜率，直线QM 的斜率，即可证得.

(ii)设()()1122,,,A x y B x y ，分别将直线PA 的方程y kx m =+，直线QB 的方程3y kx m =-+与椭圆方程

22

142

x y +=联立，

应用一元二次方程根与系数的关系得到21x x -、21y y -及AB k 用k 表示的式子，进一步应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c ，

由题意知24,2a c ==

所以2,a b ==，

所以椭圆C 的方程为22

142

x y +=. (Ⅱ)(i)设()()0000,0,0P x y x y >>， 由()0,M m ，可得()()00,2,,2.P x m Q x m - 所以 直线PM 的斜率00

2m m m

k x x -=

= ， 直线QM 的斜率00

23'm m m k x x --=

=-. 此时

'3k k =-，所以'

k k

为定值3-. (ii)设()()1122,,,A x y B x y ， 直线PA 的方程为y kx m =+， 直线QB 的方程为3y kx m =-+.

联立 22142

y kx m x y =+??

?+

=?? ，

整理得()

222214240k x mkx m +++-=.

由20122421m x x k -=+可得()()212

2221m x k x -=+ ， 所以()

()2112

2221k m y kx m m k

x -=+=

++，

同理()

()()

()22222

2

2262,181181m k m x y m k

x k x

---=

=

+++.

所以()()()()()

()()2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

22223221812118121m m k m x x k x k x k k x -----=-=++++，

()()()()()()()()

2

2

2

2

2

1

2

2

2

2

622286121812118121k m m k k m y y m m k x k x k k x ----+--=+--=++++ ，

所以2212161116.44AB

y y k k k x x k k -+??===+ ?-??

由00,0m x >>，可知0k >，

所以1

6k k

+

≥

，等号当且仅当k =时取得.

=

，即7m =，符号题意.

所以直线AB

考点：1.椭圆的标准方程及其几何性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.基本不等式. 【名师点睛】本题对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此类题目，利用,,,a b c e 的关系，确定椭圆（圆锥曲线）方程是基础，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到参数的解析式或方程是关键，易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出..本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分析问题解决问题的能力等.

11．【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆

22

1164

x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为 . 【答案】22325()24

x y -+=

【解析】设圆心为（a ，0），则半径为4a -，则2

2

2

(4)2a a -=+，解得3

2

a =，故圆的方程为22325()24

x y -+=

.

12．【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()22

2210x y a b a b

+=>>，点O 为坐标原点，

点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线

OM

的斜率为

10

. （I ）求E 的离心率e ；

（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为

7

2

，求E 的方程. 【解析】（I ）由题设条件知，点M 的坐标为2

1(,)33a b

，又OM k =

，从而2b a =，进

而得,2a c b ==

=

，故c e a =

=. （II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB

1y

b

+=，点N 的坐

标为1,)2b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的

坐标为117

,)244

x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k ?=-,

从而有11744171

x b b b +-++=?+?=?

???解得3b =

，所以a =，故椭圆E 的方程为221459x y +=. 13.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆()22

2210x y a b a b

+=>>的左、右焦点分别

为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥

（

1）若1222PF PF ==，求椭圆的标准方程

（2）若1,

PF PQ =求椭圆的离心率

.e

【解析】 (1)由椭圆的定义，((

122|PF ||PF |224a a =+=+-=，故

=2.设椭圆的

半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥

，因此

122|FF |

c ==

即从而b 1=，故所求椭圆的标准方程为22

+y =14

x .

(2)解法一：如图(21)图，设点P 00(,y )x 在椭圆上，且12PF PF ⊥，则

22222000022y +=1,

x x y c a b +=，求得200=y .b x c =±由12|P F |=|||P F |

PQ >,得0>0x

,

从而

()(2

2

2

2

2221|PF |=22.b a b a c ???+=-+=+ ?????

由椭

圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有

11|QF |42|PF |a =-，又由12PF PF ⊥

，1|PF |=|PQ |知

11|QF |PF |，因此

(

1|PF |

=4a ，于是(

(

24.a a

=

解得

e ==

解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a +=+=,从而由

122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a =-，又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |

知

11|QF |PF |

，因此1142|PF |PF |a -

,1|PF |a ,

从而21|PF |=2-|PF |21)a a a a =-=

由12PF PF ⊥,知22222

122|PF ||P F ||PF |(2)4c c +===，因此

c

e a =14.【2015高考湖北，理21】一种作图工具如图1所示．O 是滑槽AB 的中点，短杆ON 可绕

O 转动，长杆MN 通过N 处铰链与ON 连接，MN 上的栓子D 可沿滑槽AB 滑动，且

1DN ON ==，3MN =．当栓子D 在滑槽AB 内作往复运动时，带动．．N 绕O 转动一周（D 不

动时，N 也不动），M 处的笔尖画出的曲线记为C ．以O 为原点，AB 所在的直线为x 轴建立如图2所示的平面直角坐标系． （Ⅰ）求曲线C 的方程；

（Ⅱ）设动直线l 与两定直线1:20l x y -=和2:20l x y +=分别交于,P Q 两点．若直线l 总与曲线C 有且只有一个公共点，试探究：OQP ?的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由．

【解析】（Ⅰ）设点(,0)(||2)D t t ≤，00(,),(,)N x y M x y ，依题意，2MD DN =u u u u r u u u r

，且

||||1DN ON ==u u u r u u u r ，所以00(,)2(,)t x y x t y --=-，且22

0022

0()1,

1.x t y x y ?-+=??+=??，即0022,

2.t x x t y y -=-??=-?且0(2)0.t t x -= 由于当点D 不动时，点N 也不动，所以t 不恒等于0，于是02t x =，故00,42

x y

x y ==-，代入

2

20

1x y +=，可得22

1164

x y +=，即所求的曲线C 的方程为22 1.164x y +=

（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l 为4x =或4x =-，都有1

4482

OPQ S ?=??=.

当直线l 的斜率存在时，设直线1

:()2l y kx m k =+≠±， 由22

,416,y kx m x y =+??+=?

消去y ，可得222(14)84160k x kmx m +++-=.因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点， 所以2222644(14)(416)0k m k m ?=-+-=，即22164m k =+. ①

又由,20,y kx m x y =+??-=?

可得2(,)1212m m P k k --；同理可得2(,)1212m m

Q k k -++.由原点O 到直线PQ 的距

离为d =

和|||P Q PQ x x -，可得

22

111222||||||||222121214OPQ

P Q m m m S PQ d m x x m k k k ?=?=-=?+=-+-. ② 将①代入②得，

222241281441

OPQ k m S k k ?+==--. 当2

14k >时，2224128()8(1)84141OPQ

k S k k ?+==+>--； 当2

104k ≤<时，222

4128()8(1)1414OPQ k S k k

?+==-+--.因2

104k ≤<，则20141k <-≤，22214k ≥-，所以2

28(1)814OPQ S k

?=-+≥-，当且仅当0k =时取等号.所以当0k =时，OPQ S ?的最小值为8.

15.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b

+=（0a b >>）的

半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，

()0,b 的直线的距离为

1

2

c ． （I ）求椭圆E 的离心率；

（II ）如图，AB 是圆:M ()()2

2

5

212

x y ++-=

的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，

求椭圆E 的方程．

【解析】（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc +-=，则原点O 到直线的距离

22

bc d a b c =

=

+，由12

d c =，得22

22a b a c ==-，解得离心率32c a =.

(II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为2

2

2

44x y b +=. (1)

依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10=易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2

2

2

2

(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=，设

1122(,y ),B(,y ),A x x 则22

121222

8(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++由124x x +=-，得2

8(21)4,14k k k +-=-+解得12

k =.从而21282x x b =-.于是()

2

2

212121215|AB |1|410(2)22x x x x x x b ??

=+-=

+-=- ???

由|AB |10=2

10(2)10b -2

3b =.故椭圆E 的方程为22

1123

x y +=.

解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为2

2

2

44x y b +=. (2)

依题意，点A ，B 关于圆心()2,1M -对称，且|AB |10.设1122(,y ),B(,y ),A x x 则

2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合12124,y 2,x x y +=-+=得

()1212-4()80x x y y -+-=.易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率

12121k .2AB y y x x -=

=-因此AB 直线方程为1

(2)12

y x =++，代入(2)得224820.x x b ++-=所

以124x x +=-，2

1282x x b =-.于是

12|AB ||x x =-=

=由|AB |=

2

3b =.故椭圆E 的方程为22

1123

x y +=.

【2018年高考命题预测】

纵观2017各地高考试题，对椭圆的考查，重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，高考中以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，一般是难题，分值一般为5-12分. 展望2018年高考，对椭圆的考查，仍重点考查椭圆的定义、标准方程、几何性质及直线与椭圆的位置关系，仍以选择题、填空、解答题的第一小题的形式考查椭圆的定义、标准方程及椭圆的几何性质，难度仍为容易题或中档题，以解答题的第二问的形式考查直线与椭圆的位置关系，难度仍难题，分值保持在5-12分.在备战2018年高考中，要熟记椭圆的定义，会利用定义解决椭圆上一点与椭圆的焦点构成的三角形问题，会根据题中的条件用待定系数法、定义法等方法求椭圆的标准方程，会根据条件研究椭圆的几何性质，会用舍而不求思想处理直线与椭圆的位置关系，重点掌握与椭圆有关的最值问题、定点与定值问题、范围问题的处理方法，注意题中向量条件的转化与向量方法应用.

【2018年高考考点定位】

高考对椭圆的考查有三种主要形式：一是直接考查椭圆的定义与标准方程；二是考查椭圆的几何性质；三是考查直线与椭圆的位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、直线方程与两直线的位置关系、圆、平面向量、函数最值、方程、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点. 【考点1】椭圆的定义与标准方程 【备考知识梳理】

1.椭圆的定义：把平面内与两定点12,F F 的距离之和等于常数（大于12||F F ）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：

12||||2PF PF a +=(122||a F F >).

注意：（1）当122||a F F =时，轨迹是线段12F F .(2)当122||a F F <时，轨迹不存在.

2.椭圆的标准方程：（1） 焦点在x 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>；焦点在

y 轴上的椭圆的标准方程为22221(0)y x a b a b +=>>.给定椭圆22

221(0,0)x y m n m n

+=>>，要

根据,m n 的大小判定焦点在那个坐标轴上，焦点在分母大的那个坐标轴上.(2)椭圆中,,a b c 关系为：222a b c =+. 【规律方法技巧】

1.利用椭圆的定义可以将椭圆上一点到两焦点的距离进行转化，对椭圆上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用椭圆的定义与正余弦定理去处理.

2.求椭圆的标准方程方法

(1)定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之和为常数（常数大于两点之间的距离），符合椭圆的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为长轴长的椭圆，从而求出椭圆方程中的参数，写出椭圆的标准方程.

(2)待定系数法，用待定系数法求椭圆标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是椭圆；②定位判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量,,,a b c e 的关系式，解出参数即可求出椭圆的标准方程.

3.若若椭圆的焦点位置不定，应分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上，也可设椭圆方程为

221(0,0)Ax By A B +=>>，可避免分类讨论和繁琐的计算.

【考点针对训练】

1. 已知椭圆2222:1x y C a b += (0)a b >>的焦距为2,过M （1,1）斜率为-2

3直线l 交曲线C 于

,A B 且M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的标准方程为_____________.

【答案】22132

x y += 【解析】由题知，2c=2，c=1，即22

1a b =+，①