热力学统计物理 课后习题 答案
第七章 玻耳兹曼统计
7.1试根据公式V
a P L
l
l
??-
=∑ε证明,对于非相对论粒子 ()
2
222
22212z y x n n n L m m P ++??
? ??== πε,( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )有V U P 32= 上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,非相对论粒子的能量本征值为
()
2222
2,,2212z y x n n n
n n n L m m P z
y x ++??
? ??== πε ( ,2,1,0,,±±=z y x n n n )-------(1) 为书写简便,我们将上式简记为3
2
-=aV
ε-----------------------(2)
其中V=L 3就是系统的体积,常量()
22
22
2)2(z y x n n n m
a ++=
π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个量子数。 由(2)式可得
V
aV V l L εε323235
-=-=??----------------------(3) 代入压强公式,有V
U
a V
V a P l l
l L l
l
3232
=
=??-=∑∑εε----------------------(4) 式中 l
l
l a U ε
∑=
就是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
注:(4)式只适用于粒子仅有平移运动的情形。如果粒子还有其她的自由度,式(4)中的U 仅指平动内能。 7.2根据公式V
a P L
l
l
??-
=∑ε证明,对于极端相对论粒子 ()
2
1
2
222z
y x n n n L
c cp ++== πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n 有V
U
P 31=
上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
证明:处在边长为L 的立方体中,极端相对论粒子的能量本征值为
()
2
1
22
2,,2z y x n n
n n n n L
c
z
y x
++= πε, ,2,1,0,,±±=z y x n n n -------(1)
为书写简便,我们将上式简记为3
1-=aV
ε-----------------------(2)
其中V=L 3就是系统的体积,常量(
)
2
1
2
222z y x n n n c a ++= π,并以单一指标l 代表n x ,n y ,n z 三个
量子数。
由(2)式可得V
aV V l L εε313134
-=-=??----------------------(3)
代入压强公式,有V
U
a V
V a P l l
l L l
l
3131
=
=??-=∑∑εε----------------------(4) 式中 l
l
l a U ε
∑=
就是系统的内能。
上述证明未涉及分布的具体表达式,因此上述结论对于玻尔兹曼分布,玻色分布与费米分布都成立。
7.4试证明,对于遵从玻尔兹曼分布的系统,熵函数可以表示为∑-=S
S S
P P
Nk
S ln ,
式中P S 就是粒子处在量子态S 的概率, 1
Z e N e P s
s S βεβεα---=
= , ∑
S
对粒子的所有量子态
求与。
证明:根据式(6-6-9),处在能量为的量子态S 上的平均粒子数为s
e
f s βεα--=---------(1)
以N 表示系统的粒子数,粒子处在量子态S 上的概率为1
Z e N e P s
s S βεβεα---=
=---------(2) 显然,P S 满足归一化条件1=∑
S s
P ---------(3)
式中
∑
s 就是对粒子所有可能的量子态求与。粒子的平均能量可以表示为
S S s
P E ε∑=----(4)
根据式(7-1-13),定域系统的熵为
)(ln )ln (ln 111εβββ
+=??
-=Z Nk Z Z Nk S )(ln 1S S
S Z P Nk βε+=∑ ==== ∑-=S
S S
P P
Nk
S ln ----------------(5)
最后一步用了(2)式,即S S Z P βε--=1ln ln ----------------(6)
(5)式的熵表达式就是具有启发性的。熵就是广延量,具有相加性。(5)式意味着一个粒子的熵
等于 。它取决于粒子处在各个可能状态的概率P S 。如果粒子肯定处在某个状态r,即=δs r ,粒子的熵等于零;反之,当粒子可能处在多个微观状态时,粒子的熵大于零。这与熵就是无序度的量度的理解自然就是一致的。如果换一个角度考虑,粒子的状态完全确定意味着我们对它有完全的信息。粒子以一定的概率处在各个可能的微观状态意味着我们对它缺乏完全的信息。所以,也可以将熵理解为信息缺乏的量度。
7.5固体含有A 、B 两种原子.试证明由于原子在晶体格点的随机分布起的混合熵为
[]()[]()()[]x x x x Nk x N Nx N k S --+-=-=1ln 1ln !
1!!
ln
其中N 就是总原子数,x 就是A 原子的百分比,(1一x )就是B 原子的百分比.注意x <1.上式给出的熵为正值.
证明:A 、B 两种原子在晶体格点的随机分布状态数等于Nx 个A 种原子在N 个格点随即分布的状态数:
[]()[]!
1!!
x N Nx N C Nx
N
-=Ω
所以混合熵[]()[]()[]{}!1ln )!ln(!ln !
1!!
ln
ln x N Nx N k x N Nx N k k S ---=-=Ω=
当N 很大时,利用公式()得,1ln !ln -≈m m m
()()()()[]{}()()[]x x x x Nk Nx N x N Nx Nx N N k S --+-=-------≈1ln 1ln 1ln 11ln 1ln
证毕
7.8气体以恒定的速度沿Z 方向作整体运动。试证明,在平衡状态下分子动量的最概然分布为Z Y X P P P P m
dP dP dP h V
e
Z Y X 3
]
)([22022-++-
-βα。 证明:气体就是非定域系统,由于满足经典极限条件而遵从玻尔兹曼分布。与分布{}a 相应的
气体的微观状态数为!
l l
a l
l
a l ∏∏=Ωω
---------(1)
其对数为)1(ln ln !ln ln ln --=-=
Ω∑∑∑∑
l l l
l l l
l l
l l l
a a a a a ωω---------(2)
在气体沿Z 方向作整体运动的情形下,分布必须满足下述条件:
N a l l
=∑
;
E a l l l
=∑
ε ;
Z lZ l l
P P a =∑
---------(3)
其中P Z 就是气体在Z 方向的总动量,P LZ 就是处在能级l 的分子所具有的Z 方向动量。 气体分子的最概然分布就是在限制条件(3)下,使ln Ω为极大的分布。令各有a l 的变化δ a l , ln Ω将因而有变化l l
l
l
a a δωδln
ln ∑
-=Ω
限制条件(3)要求
N a l l
δδ=∑
;
0==∑
E a l l l
δδε ;
0==∑
Z l lZ l
P a P δδ
用拉氏乘子 α1,β 与γ乘这三个式子并从δ ln Ω中减去,得
0)(ln
ln 1=+++-=---Ω∑l lZ l l
l
l
Z a P a P E N δγβεαωγδβδδαδ
根据拉氏乘子法原理,每个δ a l 的系数都等于零,所以有0ln
=+++lZ l l
l
P a γβεαω
热力学统计物理
热力学与统计物理学(Thermodynamics and Statistical Physics)
课程内容第0章导论 热力学 第一章热力学的基本规律 第二章均匀物质的热力学性质 *第三章单元系的相变 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 *第五章不可逆过程热力学简介 统计物理学 第六章统计规律性与概率统计分布 第七章近独立粒子系统的最概然分布 第八章玻耳兹曼统计理论 第九章费米统计和玻色统计理论 *第十章系综理论 *第十一章涨落理论 *第十二章非平衡态统计理论初步
教材与参考书 教材： 1. 汪志诚，《热力学·统计物理》(第三版)，高等教育出版社，2003年（兰州大学） 参考书： 1. 汪志诚，《热力学·统计物理（第3版）学习辅导书》，高等教育出版社，2004年 2. 马本堃，《热力学与统计物理学》(第二版)，高等教育出版社，1995年（北京师范大学） 3. 钟云霄，《热力学与统计物理学》，科学出版社，1988年（北京大学） 4. 苏汝铿，《统计物理学》(第二版)，高等教育出版社，2004年（复旦大学） 5. 龚昌德，热力学与统计物理学，（南京大学） 6. 王诚泰，统计物理学，（清华大学） 7. [美]L.E.雷克，《统计物理现代教程(上)》，北京大学出版社，1983年 8. L. E. Reichl, A Modern Course in Statistical Physics (2nd Edition), 1998，University of Texas 9. R. K. Pathria, Statistical Mechanics (2nd Edition), 2003, University of Waterloo, Canada 10. 中国科技大学物理班，《美国物理试题与解答第五卷热力学与统计物理学》，中国科技大学出版社，1986年 11. 李湘如、彭匡鼎，《热力学与统计物理学例题和习题(热力学分册)》，高等教育出版社，1988年 12. 彭匡鼎、李湘如，《热力学与统计物理学例题和习题(统计物理学分册)》，高等教育出版社，1988年
热力学统计物理试题
1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 简述题 1. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 一个处在温度和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的自由能的改变均大于零。即0F ?>。 2. 写出系统处在平衡态的吉布斯函数判据。 一个处在温度和压强不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的吉布斯函数的改变均大于零。即0G ?>。 3. 写出系统处在平衡态的熵判据。 一个处在内能和体积不变条件下的系统，处在稳定平衡态的充要条件是，对于各种可能的有限虚变动，所引起的熵变均小于零。即 0S ?< 4. 熵的统计解释。 由波耳兹曼关系ln S k =Ω 可知，系统熵的大小反映出系统在该宏观状态下所具有的可能的微观状态的多少。而可能的微观状态的多少，反映出在该宏观平衡态下系统的混乱度的大小。故，熵是系统内部混乱度的量度。 5. 为什么在常温或低温下原子内部的电子对热容量没有贡献？ 不考虑能级的精细结构时，原子内的电子激发态与基态的能量差为1~10eV ，相应的特征温度为4 5 K 10~10。在常温或低温下，电子通过热运动获得如此大的能量而跃迁到激发态的概率几乎为零，平均而言电子被冻结基态，因此对热容量没有贡献。 6. 为什么在常温或低温下双原子分子的振动对热容量贡献可以忽略？ 因为双原子分子的振动特征温度3 K θ~10v ，在常温或低温下 kT < 第一章 概念 1.系统：孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换，但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系； 2.平衡态 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化；2.热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；3.在平衡状态下，系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落；4.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程：进行得非常缓慢的过程，系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程，系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达B所经历的过程无关; 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义: 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值 定容热容量: 定压热容量: 6.循环过程和卡诺循环 循环过程（简称循环）：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程：如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后，它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原状。 8.自由能：F和G 定义态函数：自由能F，F＝U－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS+PV，可得GA－GB－W1 热力学与统计物理学基础 Classical Thermodynamics and Statistical Physics 课程编号：课程属性：学科基础课课时/学分：50/2.5 预修课程：高等数学 教学目的和要求： 本课程为力学学科博士研究生的学科基础课，也可为物理学以及其它应用科学研究生的选修课。 通过本课程的学习，学生不仅能掌握热力学和统计物理学的一般知识并熟练运用，而且还能系统地学习到从宏观上和微观上描述热力学系统热现象和热性质的方法。这些有助于学习和掌握其它课程，并大大开拓学生的研究思路。 内容提要： 引言 第一章热力学的基本规律 热力学系统的平衡状态及其描述，热平衡定律和温度，物态方程，热力学第一定律，热容量、焓、内能，卡诺循环，热力学第二定律，热力学第三定律。 第二章热力学基本微分方程 熵，自由能、吉布斯函数，基本热力学函数的确定，特性函数 第三章单元系的相变 热动平衡判据，开系的热力学基本方程，复相平衡条件，单元复相系的平衡性质，临界点和气液两相的转变。 第四章多元系的复相平衡和化学平衡 多元系的热力学函数和热力学方程，多元系的复相平衡条件，吉布斯相律，化学平衡条件，混合理想气体的性质，理想气体的化学平衡。 第五章统计物理学基本理论 统计规律性，概率分布，统计平均值，等概率原理，近独立粒子系统的经典统计理论。 第六章平衡态统计物理学 系统微观状态的描述，统计系综，刘维尔定律，微正则系综，正则系综，巨正则系综，正则分布对近独立粒子系统的应用，能量均分定律和理想气体比热容，实际气体的物态方程。 第七章涨落理论 涨落的准热力学方法，涨落的空间关联与时间关联，布朗运动，仪器的灵敏度，电路中的热噪声。 第八章非平衡态热力学与统计物理简介 不可逆过程与偏离平衡态的物质，昂萨格关系，波尔兹曼积分微分方程，H定理与细致平衡原理，气体的黏滞性，输运过程的动理论。 主要参考书： 1. Ashley H. Carter, Classical and Statistical Thermodynamics(热力学与统计物 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为,pV nRT = 由此易得11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? 11,V p nR p T pV T β???= == ???? 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得：()ln T V = αdT κdp -?如果1 1 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以, T p 为自变量，物质的物态方程为(),,V V T p = 其全微分为.p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ??????? （1）全式除以V ，有11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ? ??????根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2）上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有()ln .T V dT dp ακ= -? （3） 若 11,T T p ακ= =，式（3）可表为11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4）选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体积由0V 最终变到V ，有000 l n =l n l n ,V T p V T p -即000p V pV C T T ==（常量），或.pV CT =(5) 式（5）就是由所给11 ,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。 1.3 简单固体和液体的体胀系数α和等温压缩系数T κ数值都很小，在一定温度范围内可以把α和T κ看作常量. 试证明简单固体和液体的物态方程可近似为()()000(,),01.T V T p V T T T p ακ=+--???? 解: 以,T p 为状态参量，物质的物态方程为(),.V V T p =根据习题1.2式（2），有 .T dV dT dp V ακ=- （1）将上式沿习题1.2图所示的路线求线积分,在α和T κ可以看作常 量 的 情 形 下 ， 有 ()()000 ln ,T V T T p p V ακ=---（2）或 ()()()() 0000,,.T T T p p V T p V T p e ακ---=（3）考虑到α和T κ的数值很小，将指数函数展开， 准确到α和T κ的线性项，有()()()()0000,,1.T V T p V T p T T p p ακ=+---????（4） 如果取00p =，即有()()()00,,01.T V T p V T T T p ακ=+--????（5） 热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； 开尔文（汤姆孙）表述：不可能从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其 他变化（表明功变热的过程是不可逆的）； 另一种开氏表述：第二类永动机不可能造成的。 V p W d d -= 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果11 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1,T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 00 p V pV C T T ==（常量） ， 或 .p V C T = （5） 式（5）就是由所给11,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。 1.10 声波在气体中的传播速度为 s p αρ?? ?= ???? 假设气体是理想气体，其定压和定容热容量是常量，试证明气体单位质量的内能u 和焓h 可由声速及γ给出： ()2 1a a u u h h γγγ=+=+-2 , -1 其中00,u h 为常量。 解：根据式（1.8.9），声速a 的平方为 2v,a p γ= （1） .填空题 1.设一多元复相系有个「相，每相有个k组元，组元之间不起化学反应。此系统平 衡时必同时满足条件：________ 、________ 、__________ 。 2.热力学第三定律的两种表述分别叫做：________ 和______ 。 3.假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能 的微观态数为：_______ 。 5.均匀系的平衡条件是_______ ;平衡稳定性条件是_______ 。 7.玻色分布表为___ ；费米分布表为______ ;玻耳兹曼分布表为______ 。当满足条 件________ .时，玻色分布和费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。 8.热力学系统的四个状态量S、V、P、T所满足的麦克斯韦关系 为________ ,_________ ,__________ ,_________ 。 9?玻耳兹曼系统粒子配分函数用乙表示，内能统计表达式为____________ ，广义力统计表达式为________ ，熵的统计表达式为________ ，自由能的统计表达式 为________ 。 11.单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分 ^是：_____ ， ___ ，_____ ，_____。 12?均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方 程：________ ，________ ，________，_______ 。 13.等温等压条件下系统中发生的自发过程，总是朝着_________ 方向进行，当_______ 时，系统达到平衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝 着____ ， ____ 方向进行，当________ 时，系统达到平衡态。 14.对于含N个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动 对热容量_______ ;温度大大于振动特征温度时，热容量为__________ ;温度小小于转动特征温度时，热容量为__________ 。温度大大于转动特征温度而小小于振动特征温度时，热容量为__________ 。 15.玻耳兹曼系统的特点是：系统由______ 粒子组成；粒子运动状态用_______ 来描写; 确定______ 即可确定系统的微观态；粒子所处的状态_________ 的约束。 第一章 热力学的基本规律 习题1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数T κ。 解：由得：nRT PV = V nRT P P nRT V ==; 所以, T P nR V T V V P 11)(1==??=α T PV Rn T P P V /1)(1==??=β P P nRT V P V V T T /111)(12=--=??-=κ 习题1.2 试证明任何一种具有两个独立参量的物质p T ,,其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数T κ,根据下述积分求得:?-=)(ln dp dT V T κα如果1T α= 1T p κ= ,试求物态方程。 解： 因为0),,(=p V T f ,所以,我们可写成),(p T V V =,由此, dp p V dT T V dV T p )()(??+??=, 因为T T p p V V T V V )(1,)(1??-=??=κα 所以, dp dT V dV dp V dT V dV T T κακα-=-=, 所以, ?-=dp dT V T καln ,当p T T /1,/1==κα. CT pV p dp T dT V =-=?:,ln 得到 习题 1.3测得一块铜块的体胀系数和等温压缩系数分别为1510*85.4--=K α和1710*8.7--=n T p κ，T κα,可近似看作常量，今使铜块加热至10°C 。问（1压强要增加多少n p 才能使铜块体积不变？（2若压强增加100n p ，铜块的体积改多少 解：分别设为V xp n ?;，由定义得： 74410*8.7*10010*85.4;10*858.4----=?=V x T κ 所以，410*07.4,622-=?=V p x n 习题 1.4描述金属丝的几何参量是长度L ，力学参量是张力η，物态方程是 第二章 均匀物质的热力学性质 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 (),p f V T = （1） 式中()f V 是体积V 的函数. 由自由能的全微分 dF SdT pdV =-- 得麦氏关系 .T V S p V T ??????= ? ??????? （2） 将式（1）代入，有 ().T V S p p f V V T T ?????? === ? ??????? （3） 由于0,0p T >>，故有0T S V ??? > ????. 这意味着，在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加. 设一物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： (),p f V T = （1） 故有 ().V p f V T ???= ???? （2） 但根据式（2.2.7），有 ,T V U p T p V T ?????? =- ? ??????? （3） 所以 ()0.T U Tf V p V ??? =-= ???? （4） 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度T 的函数. 求证： ()0;H S a p ???< ???? ()0.U S b V ??? > ???? 解：焓的全微分为 .dH TdS Vdp =+ （1） 令0dH =，得 0.H S V p T ???=-< ???? （2） 内能的全微分为 .dU TdS pdV =- （3） 令0dU =，得 0.U S p V T ??? => ? ??? （4） 已知0T U V ??? = ????，求证0.T U p ???= ? ??? 解：对复合函数 (,)(,(,))U T P U T V T p = （1） 求偏导数，有 .T T T U U V p V p ???? ?????= ? ? ?????????? （2） 如果0T U V ??? = ????，即有 0.T U p ?? ?= ???? （3） 式（2）也可以用雅可比行列式证明： (, )(, )(,)(,)(, )(,) T U U T p p T U T V T V T p T ????= ? ??????= ?? 宝鸡文理学院试题 课程名称中学物理教育理论 适用时间2011年7月与实践研究 试卷类别 A 适用专业、年级、班专升本 一. 填空题（本题共7 题，每空3 分，总共21 分） 1. 假设一物质的体涨系数和等温压缩系数经过实验测得为：，则该物质的物态方程为：。 2. 1 mol 理想气体，保持在室温下（K）等温压缩，其压强从1 准静态变为10 ，则气体在该过程所放出的热量为：焦耳。 3. 计算机的最底层结构是由一些数字逻辑门构成的，比如说逻辑与门，有两个输入，一个输出，请从统计物理的角度估算，这样的一个逻辑与门，室温下（K）在完成一次计算后，产生的热量是：焦耳。 4. 已知巨热力学势的定义为，这里是系统的自由能，是系统的粒子数，是一个粒子的化学势，则巨热力学势的全微分为：。 5. 已知粒子遵从经典玻耳兹曼分布，其能量表达式为，其中是常数，则粒子的平均能量为：。 6. 温度时，粒子热运动的热波长可以估算为：。 7. 正则分布给出了具有确定的粒子数、体积、温度的系统的分布函数。假设系统的配分函数为，微观状态的能量为，则处在微观状态上的概率为：。 二. 简答题(本题共3 题，总共30 分) 1. 请从微观和统计物理的角度解释：热平衡辐射的吉布斯函数为零的原因。(10分) 2. 请说说你对玻耳兹曼分布的理解。(10分) 3. 等概率原理以及在统计物理学中的地位。(10分) 三. 计算题(本题共4 题，总共49 分) 1. 一均匀杆的长度为L，单位长度的定压热容量为，在初态时左端温度为T1，右端温度为T2，T1 < T2，从左到右端温度成比例逐渐升高，考虑杆为封闭系统，请计算杆达到均匀温度分布后杆的熵增。（你可能要用到的积分公式为）(10分) 2. 设一物质的物态方程具有以下形式：，试证明其内能和体积无关。(10分) 3. 表面活性物质的分子在液面上作二维自由运动，可以看作是二维气体。请用经典统计理论计算： （1）二维气体分子的速度分布和速率分布。(9分) （2）二维气体分子的最概然速率。(4分) 4. （1）证明，在二维情况下，对于非相对论粒子，压强和内能的关系为： 这里，是面积。这个结论对于玻尔兹曼分布、玻色分布和费米分布都是成立的。（8分）（2）假设自由电子在二维平面上运动，电子运动为非相对论性的，面密度为，试求: 0 K 时电子气体的费米能量、内能和简并压强。(8分) 热力学统计物理各章重点总结 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 第一章 概念 1.系统:孤立系统、闭系、开系 与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统称为孤立系； 与外界没有物质交换,但有能量交换的系统称为闭系； 与外界既有物质交换，又有能量交换的系统称为开系; 2.平衡态 平衡态的特点：1.系统的各种宏观性质都不随时间变化;2．热力学的平衡状态是一种动的平衡，常称为热动平衡；３．在平衡状态下,系统宏观物理量的数值仍会发生或大或小的涨落;４.对于非孤立系，可以把系统与外界合起来看做一个复合的孤立系统，根据孤立系统平衡状态的概念推断系统是否处在平衡状态。 3.准静态过程和非准静态过程 准静态过程:进行得非常缓慢的过程,系统在过程汇总经历的每一个状态都可以看做平衡态。 非准静态过程,系统的平衡态受到破坏 4.内能、焓和熵 内能是状态函数。当系统的初态A和终态B给定后，内能之差就有确定值，与系统由A到达Ｂ所经历的过程无关； 表示在等压过程中系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加值。这是态函数焓的重要特性 克劳修斯引进态函数熵。定义： 5.热容量：等容热容量和等压热容量及比值 定容热容量: 定压热容量： 6.循环过程和卡诺循环 循环过程(简称循环)：如果一系统由某个状态出发，经过任意一系列过程，最后回到原来的状态，这样的过程称为循环过程。系统经历一个循环后，其内能不变。 理想气体卡诺循环是以理想气体为工作物质、由两个等温过程和两个绝热过程构成的可逆循环过程。 7.可逆过程和不可逆过程 不可逆过程:如果一个过程发生后,不论用任何曲折复杂的方法都不可能使它产生 的后果完全消除而使一切恢复原状。 可逆过程：如果一个过程发生后,它所产生的后果可以完全消除而令一切恢复原 状。 8.自由能:F和G 定义态函数:自由能F，Ｆ＝Ｕ－TS 定义态函数：吉布斯函数G，G=U-TS＋PV,可得GA-GB－W1 《热力学与统计物理》考试大纲 一、考试目的与要求 本课程考试目的是测试学生对“热力学与统计物理”知识的掌握程度。考试分三个层次要求：了解：只要求初步定性认识并了解其含义。 理解：不但能领会，还能解释其含义。 掌握：要求对某些重要概念、物理公式、定理及相关证明、计算作综合运用。 二、考试方式 本课程作为全省统考科目，无论正考与补考均采用闭卷考试方式。 三、考试内容 1、考试范围 汪志诚编《热力学·统计物理》（第三版）所教授内容。 2、考试具体内容 第一章热力学的基本定律 基本概念：平衡态、热力学参量、热平衡定律 温度，三个实验系数（α，β，）转换关系，物态方程、功及其计算，热力学第一定律（数学表述式）热容量（C，C V，C p的概念及定义），理想气体的内能，焦耳定律，绝热过程及特性，热力学第二定律（文字表述、数学表述），可逆过程克劳修斯不等式，热力学基本微分方程表述式，理想气体的熵、熵增加原理及应用。 综合计算：利用实验系数的任意二个求物态方程，熵增（ΔS）的计算。 第二章均匀物质的热力学性质 基本概念：焓（H），自由能F，吉布斯函数G的定义，全微公式，麦克斯韦关系（四个）及应用、能态公式、焓态公式，节流过程的物理性质，焦汤系数定义及热容量（Cp）的关系，绝热膨胀过程及性质，特性函数F、G，空窖辐射场的物态方程，内能、熵，吉布函数的性质。 综合运用：重要热力学关系式的证明，由特性函数F、G求其它热力学函数（如S、U、物态方程） 第三章、第四章单元及多元系的相变理论 该两章主要是掌握物理基本概念： 热动平衡判据（S、F、G判据），单元复相系的平衡条件，多元复相系的平衡条件，多元系的热力学函数及热力学方程，一级相变的特点，吉布斯相律，单相化学反应的化学平衡条件，热力学第三定律标准表述，绝对熵的概念。 统计物理部分 第六章近独立粒子的最概然分布 基本概念：能级的简并度，空间，运动状态，代表点，三维自由粒子的空间，德 布罗意关系（），相格，量子态数。 等概率原理，对应于某种分布的玻尔兹曼系统、玻色系统、费米系统的微观态数的计算 公式，最概然分布，玻尔兹曼分布律（）配分函数 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 2111 .T T V nRT V p V p p κ???????=-=--= ? ? ???????? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V =αdT κdp -? 如果1 1 ,T T p ακ== ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ??????=+ ? ??????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ=-? （3） 若1 1,T T p ακ==，式（3）可表为 11ln .V dT dp T p ?? =- ???? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ），相应地体 积由0V 最终变到V ，有 000 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 000 p V pV C T T ==（常量）， 或 .pV CT = （5） 式（5）就是由所给11,T T p ακ==求得的物态方程。 确定常量C 需要进一步的实验数据。 第一章 热力学的基本规律 1.1 试求理想气体的体胀系数α,压强系数β和等温压缩系数κT 。 解：已知理想气体的物态方程为 ,pV nRT = （1） 由此易得 11 ,p V nR V T pV T α???= == ? ??? （2） 11 ,V p nR p T pV T β???= == ? ??? （3） 211 1 .T T V nRT V p V p p κ???????=- =- -= ? ? ??????? ? （4） 1.2 证明任何一种具有两个独立参量,T p 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数α及等温压缩系数κT ，根据下述积分求得： ()ln T V = αdT κ dp -? 如果11,T T p α κ= = ，试求物态方程。 解：以,T p 为自变量，物质的物态方程为 (),,V V T p = 其全微分为 .p T V V dV dT dp T p ?????? =+ ? ? ?????? （1） 全式除以V ，有 11.p T dV V V dT dp V V T V p ?? ????= + ? ? ?????? 根据体胀系数α和等温压缩系数T κ的定义，可将上式改写为 .T dV dT dp V ακ=- （2） 上式是以,T p 为自变量的完整微分，沿一任意的积分路线积分，有 ()ln .T V dT dp ακ = -? （3） 若11,T T p α κ= = ，式（3）可表为 11 ln .V dT dp T p ??= - ??? ? （4） 选择图示的积分路线，从00(,)T p 积分到()0,T p ，再积分到（,T p ）， 相应地体 积由0V 最终变到V ，有 ln =ln ln ,V T p V T p - 即 000 p V pV C T T ==（常量）， 或 .p V C T = （5） 热力学?统计物理 （汪志诚） 概 念 部 分 汇 总 复 习 热力学部分 第一章 热力学的基本规律 1、热力学与统计物理学所研究的对象：由大量微观粒子组成的宏观物质系统 其中所要研究的系统可分为三类 孤立系：与其他物体既没有物质交换也没有能量交换的系统； 闭系：与外界有能量交换但没有物质交换的系统； 开系：与外界既有能量交换又有物质交换的系统。 2、热力学系统平衡状态的四种参量：几何参量、力学参量、化学参量和电磁参量。 3、一个物理性质均匀的热力学系统称为一个相；根据相的数量，可以分为单相系和复相系。 4、热平衡定律(热力学第零定律）：如果两个物体各自与第三个物体达到热平衡，它们彼此 也处在热平衡. 5、符合玻意耳定律、阿氏定律和理想气体温标的气体称为理想气体。 6、范德瓦尔斯方程是考虑了气体分子之间的相互作用力（排斥力和吸引力）,对理想气体状 态方程作了修正之后的实际气体的物态方程。 7、准静态过程：过程由无限靠近的平衡态组成，过程进行的每一步，系统都处于平衡态。 8、准静态过程外界对气体所作的功：，外界对气体所作的功是个过程量。 9、绝热过程：系统状态的变化完全是机械作用或电磁作用的结果而没有受到其他影响。绝 热过程中内能U 是一个态函数：A B U U W -= 10、热力学第一定律（即能量守恒定律）表述：任何形式的能量，既不能消灭也不能创造， 只能从一种形式转换成另一种形式，在转换过程中能量的总量保持恒定；热力学表达式： Q W U U A B +=-；微分形式：W Q U d d d += 11、态函数焓H ：pV U H +=，等压过程：V p U H ?+?=?，与热力学第一定律的公 式一比较即得：等压过程系统从外界吸收的热量等于态函数焓的增加量。 12、焦耳定律：气体的内能只是温度的函数，与体积无关，即)(T U U =。 13．定压热容比：p p T H C ??? ????=；定容热容比：V V T U C ??? ????= 迈耶公式：nR C C V p =- 14、绝热过程的状态方程：const =γpV ；const =γ TV ；const 1 =-γγT p 。 15、卡诺循环过程由两个等温过程和两个绝热过程组成。正循环为卡诺热机，效率 211T T -=η，逆循环为卡诺制冷机，效率为2 11T T T -=η（只能用于卡诺热机）。 16、热力学第二定律：克劳修斯表述：不可能把热量从低温物体传到高温物体 而不引起其他变化（表明热传导过程是不可逆的）； V p W d d -= 1. 设一多元复相系有个相，每相有个k 组元，组元之间不起化学反应。此系统平衡时 必同时满足条件：、、。 2. 热力学第三定律的两种表述分别叫做：和。 3. 假定一系统仅由两个全同玻色粒子组成，粒子可能的量子态有4种。则系统可能的微 观态数为：。 5. 均匀系的平衡条件是；平衡稳定性条件是。 7. 玻色分布表为；费米分布表为；玻耳兹曼分布表为。当满足条件时，玻色分布和 费米分布均过渡到玻耳兹曼分布。 8. 热力学系统的四个状态量S、V、P、T 所满足的麦克斯韦关系 为, , , 。 9. 玻耳兹曼系统粒子配分函数用Z1 表示，内能统计表达式为，广义力统计 表达式为，熵的统计表达式为，自由能的统计表达式为。 11. 单元开系的内能、自由能、焓和吉布斯函数所满足的全微分 12. 均匀开系的克劳修斯方程组包含如下四个微分方 程：，，，。 13. 等温等压条件下系统中发生的自发过程，总是朝着方向进行，当时，系统达到平 衡态；处在等温等压条件下的系统中发生的自发过程，总是朝着. 方向进行，当时，系统达到平衡态。 14. 对于含N 个分子的双原子分子理想气体，在一般温度下，原子内部电子的运动对热 容量；温度大大于振动特征温度时，热容量为；温度小小于转动特征温度时，热容量为。温度大大于转动特征温度而小小于振动特征温度时，热容量为。 15. 玻耳兹曼系统的特点是：系统由粒子组成；粒子运动状态用来描写；确 定即可确定系统的微观态；粒子所处的状态的约束。 16 准静态过程是指的过程；无摩擦准静态过程的特点是。 . 简述题 1. 玻尔兹曼关系与熵的统计解释。 2. 写出系统处在平衡态的自由能判据。 热力学·统计物理第五版答案 【篇一：热力学与统计物理答案第二章】 =txt>2.1 已知在体积保持不变时，一气体的压强正比于其热力学温度. 试证明在温度保质不变时，该气体的熵随体积而增加. 解：根据题设，气体的压强可表为 p?f?v?t,（1） 式中f(v)是体积v的函数. 由自由能的全微分 df??sdt?pdv 得麦氏关系 将式（1）代入，有 p??s???p? ??f(v)?.（3） ???? t??v?t??t?v ?s? ??0. 这意味着，在温度保持不变时，该?v??t??s???p??????. （2） ??v?t??t?v 由于p?0,t?0，故有?? 气体的熵随体积而增加. 2.2 设一物质的物态方程具有以下形式： p?f(v)t, 试证明其内能与体积无关. 解：根据题设，物质的物态方程具有以下形式： 故有 ??p? ???f(v). （2） ?t??v 但根据式（2.2.7），有 ??u???p? ?t?????p, （3） ?v?t??t??v 所以 ??u????tf(v)?p?0. （4） ??v?t 这就是说，如果物质具有形式为（1）的物态方程，则物质的内能与体积无关，只是温度t的函数. 2.3 求证： (a)???s? )???p???0; (b ??s? u 解：焓的全微分为 dh?tds?vdp. 令dh?0，得 ???s???p????v ?0. h t内能的全微分为 du?tds?pdv. 令du?0，得 ???s? ??v? ??p?0. ut 2.4 已知???u ? ??0，求证? ??u? ??v?t??p???0. t 解：对复合函数 u(t,p)?u(t,v(t,p))求偏导数，有 ???u???u???v? ??p?????v??? ?.t?t??p?t 如果?? ?u? ??v???0，即有 t ???u? ??p???0. t 式（2）也可以用雅可比行列式证明：（1） （2）（3） （4）（1） （2）（3） ??u??(u, ??? ??p?t?(p, ?(u,? ?(v, t)t)t)?(v,t)t)?(p,t) ??u???v????. （2） ?? 第三章 单元系的相变 3.1 证明下列平衡判据（假设S >0）； （a ）在,S V 不变的情形下，稳定平衡态的U 最小. （b ）在,S p 不变的情形下，稳定平衡态的H 最小. （c ）在,H p 不变的情形下，稳定平衡态的S 最小. （d ）在,F V 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小. （e ）在,G p 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小. （f ）在,U S 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小. （g ）在,F T 不变的情形下，稳定平衡态的V 最小. 解：为了判定在给定的外加约束条件下系统的某状态是否为稳定的平衡状态，设想系统围绕该状态发生各种可能的自发虚变动. 由于不存在自发的可逆变动，根据热力学第二定律的数学表述（式（1.16.4）），在虚变动中必有 ?,U T S W δδ<+ （1） 式中U δ和S δ是虚变动前后系统内能和熵的改变，?W 是虚变动中外界所做的功，T 是虚变动中与系统交换热量的热源温度. 由于虚变动只涉及无穷小的变化，T 也等于系统的温度. 下面根据式（1）就各种外加约束条件导出相应的平衡判据. （a ） 在,S V 不变的情形下，有 0, ?0. S W δ== 根据式（1），在虚变动中必有 0.U δ< （2） 如果系统达到了U 为极小的状态，它的内能不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,S V 不变的情形下，稳定平衡态的U 最小. （b ）在,S p 不变的情形下，有 0, ?, S W pdV δ==- 根据式（1），在虚变动中必有 0,U p V δδ+< 或 0.H δ< （3） 如果系统达到了H 为极小的状态，它的焓不可能再减少，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,S p 不变的情形下，稳定平衡态的H 最小. （c ）根据焓的定义H U pV =+和式（1）知在虚变动中必有 ?.H T S V p p V W δδδδ<+++ 在H 和p 不变的的情形下，有 0,0, ?, H p W p V δδδ===- 在虚变动中必有 0.T S δ> （4） 如果系统达到了S 为极大的状态，它的熵不可能再增加，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,H p 不变的情形下，稳定平衡态的S 最大. （d ）由自由能的定义F U TS =-和式（1）知在虚变动中必有 ?.F S T W δδ<-+ 在F 和V 不变的情形下，有 0, ?0, F W δ== 故在虚变动中必有 0.S T δ< （5） 由于0S >，如果系统达到了T 为极小的状态，它的温度不可能再降低，系统就不可能自发发生任何宏观的变化而处在稳定的平衡状态，因此，在,F V 不变的情形下，稳定平衡态的T 最小. （e ）根据吉布斯函数的定义G U TS pV =-+和式（1）知在虚变动中必有 ?.G S T p V V p W δδδδ<-++- 在,G p 不变的情形下，有热力学统计物理精彩试题
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