郑州轻工业学院概率论与数理统计(13-14第一学期)(B)

评分标准（B ）

2013——2014第2学期《概率统计》期末试卷B

一、填空题（每空3分，共21分）

1.设P (A )=0.7, P (B )=0.2, 且B ?A , 则P (A -B )= . 答案：0.5

2. 设随机变量X 的分布律为

,15

.031.024.04

321C P X

i

则C = .

答案：0.3

15.已知随机变量X 的分布函数为F (x ), 则Y = 2X – 1的分布函数G (y ) = . 答案：)2

1

(

+y F 3. 设随机变量(X ,Y )的分布律为

则P {X >Y }= . 答案：0.85

4.设随机变量X 的概率密度为

???>=-其它

,00

,2)(2x e x f x

则X 所服从的分布为 ，E (2X +1)= . 答案：参数为0.5或参数为2的指数分布，2

5.已知一批零件的长度X （单位：厘米）服从正态分布N (μ,1),从中随机抽取16个零件，得到长度的平均值为40厘米，则μ的置信水平为0.90的置信区间为 . 答案：（39.598,40.411）或)(2

ασ

z n

X ±

一、单选题（每小题3分，共21分）

1. 设P (A )>0, P (B )>0, 且A 与B 相互独立，则下列说法成立的是( ) (A)AB =? (B) P (AB )=0 (C)P (A ∪B )=P (A )+P (B ) (D) P (AB )=P (A )P (B ) 答案：D

2.随机变量ξ的分布函数F (x )=P {ξ≤x }在区间（-∞，+∞）上( ) (A)处处连续 (B)必有间断点 (C)处处左连续 (D)处处右连续 答案：D

3. 设二维随机变量(X ,Y )的概率密度为 ??

?≤≤≤=其它，

,0,

10,2),(y x y x f

则P {X +Y ≤1}=( )

(A)0.5 (B)0.1 (C)0.2 (D)0.25 答案：A

4. 对任意两个随机变量X 和Y ，以下选项正确的是( )

(A)D (X +Y )=D (X )+D (Y ) (B)E (X +Y )=E (X )+E (Y ) (C)E (XY )=E (X )E (Y ) (D)D (XY )=D (X )D (Y )

答案：B

5.设随机变量X ~B (n ,p ), p ∈(0,1), 当n 充分大时，X 近似服从( ) (A)X ~N (np ,np (1-p )) (B)X ~N (p ,p (1-p )) (C)X ~N (np ,p (1-p )) (D)X ~N (p ,np (1-p ))

答案：A

6. 设X 1, X 2, …，X n 是来自总体N (0,1)的样本, 则

∑=n

i i

X

1

2服从的分布为( )

(A)自由度为n 的χ2分布 (B) 自由度为n -1的χ2分布 (C) 自由度为n 的T 分布 (D) 自由度为n -1的T 分布 答案：A

7.在假设检验中，显著性水平α是指( ) (A) P {接受H 0|H 0为假} (B) P {拒绝H 0|H 0为真} (C) P {拒绝H 1|H 1为真} (D) P {接受H 1|H 1为假} 答案：B

三、解答题（共58分）

1. （本题 分） 仓库中有不同工厂生产的灯管，其中甲厂生产的为1000支，次品率为2%；乙厂生产的为2000支，次品率为3%; 丙厂生产的为3000支，次品率为4%; 如果从中随机抽取一支，发现为次品，问该次品是甲厂产品的概率为多少？

解：设A , B , C 分别表示产品是由甲、乙、丙三厂生产；H 表示产品为次品. 显然A , B , C 构成完备事件组，且由题知

%4}|{%,3}|{%,2}|{===C H P B H P A H P

由Bayes 公式，所求概率为

)

()|()()|()()|()

()|()()()|()|(C P C H P B P B H P A P A H P A P A H P H P A P A H P H A P ++=

=

63%462%361%261

%2?

+?+??

=

1.0=

2. 某种化合物中酒精含量的百分比X 是一随机变量，其分布函数为

45

0,0()54,011,1x F x x x x x

假设该化合物的成本为每升3C 元，而销售价格与酒精百分含量X 有关：当12

33

X << 时，销售价格每升1C 元，否则每升2C 元.试求： (1) 随机变量X 的密度函数f (x ); (2)每升利润Y 的概率分布.

解：(1)由题意可知，当01x ≤<时，),1(20)

()(3x x dx

x dF x f X -== 于是X 的概率密度为

320(1),01

()0,x x x f x ?-<<=?

?其它

(2)由题意可知，每升的利润Y 是酒精含量的百分比X 的函数：

132312,

33

,C C X Y C C ?

-<

其它

由于

1221101

{}()()0.4156.3333243

P X F F <<=-=≈（） 可见每升利润Y 的概率分布为

13230.41560.5844C C C C --?? ???或1

323101

142243

243C C C C --?? ? ?

??? 3. 设随机变量X 在区间(2, 5)内服从均匀分布，现对X 进行三次独立观测，试求至少两次观测值大于3的概率.

解：因为随机变量X 在(2，5)上服从均匀分布，所以X 的概率密度为

?????<<=其它

,052 ,3

1

)(x x f 事件“对X 的观测值大于3”的概率为

3

2

31}3{5

3==>?

dx X P 设Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数，则??

? ??32,3~B Y ，于是

2720)32(31)32(}2{3

33223=

+=≥C C Y P

4.设二维随机变量(ξ, η)的联合分布律为

已知ξ, η相互独立，求： (1) α, β的值；

(2) E ξ, E η, E (ξ+ η);

(3) U =max{ξ, η}, V =min{ξ, η}的分布律； 解：ξ, η的边缘分布律如下：

,2

12

1β

αξ

+p

.3

16

121βαη++p (1) 由于ξ, η相互独立，所以 P {ξ=1, η=1}=P {ξ=1}P {η=1}

即

)6

1

(2161α+?= 解之得6

1

=α

再由归一性知13161=+++βα，即得31

=β

(2) 2

3

)(2211=+?+?=βαξE

3

5

)31(2)61(1=+?++?=βαηE

6

19

)(=+=+ηξηξE E E

(3)U , V 的分布律如下：

,656121p

U

,3

13221p V 5. 假设总体X 服从正态分布N (μ, 4), 由来自总体X 的简单随机样本得样本均值为,X 试求满足

95.0}1.0|{|≥≤-μX P 的最小的样本容量n :

解：由于总体X ~ N (μ, 4)，所以),4,(~n

N X μ

}2

1.0|2

{|

}1.0|{|n

n

X P X P ≤

-=≤-μμ

1)20

(

2-Φ=n

要使,95.0}1.0|{|≥≤-μX P 即使,95.01)20

(

2≥-Φn

即,975.0)20

(

≥Φn

查表得,975.0)96.1(=Φ 由分布函数的单调增性知，只需

,96.120

≥n

由此得,64.1536)96.120(2

=?≥n 故样本容量n 至少取1537.

6. 设总体X 的密度函数为，

其它??

???<<-=,00),(2

);(2a

x x a a a x f 求参数a 的矩估计量，并判断此估计量是否是参数a 的无偏估计量. 解：总体一阶矩为：

3

)(2)(2

);(0

2

2a dx x a x a dx x a a

x dx a x xf EX a

a

=

-=

-?

==?

??+∞

∞

-

令,3

1a

A =

得参数a 的矩估计量为 X A a

33?1==

由于,3

33)3(?a a

X E X E a

E =?=== 所以估计量a

?是参数a 的无偏估计量.

7.设某次考试的学生成绩服从正态分布，其标准差为15，从中随机的抽取36位考生的成绩，算得平均成绩为66.5. 问在显著性水平α=0.05下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？ 解：按题意需检验

H 0 ：70=μ H 1 ：70≠μ

此为双边检验，由于方差σ2已知，应选用z 检验，在显著水平为α = 0.05下，H 0 的拒绝域为

??

????????≥-=20

ασμz n x z ={

}||025.0z z ≥=}{96.1||≥z 现有n =36，5.66=x ，σ=15，

700

=μ

计算得到

4.10

=-=

n

x z σμ

<1.96

可知，z 未落入拒绝域中，故在0.05的显著水平下应接受H 0 ，可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分。