数字信号处理习题及答案
数字信号处理习题及答案
==============================绪论==============================
1. A/D 8bit 5V 00000000 0V 00000001 20mV 00000010 40mV 00011101 29mV
==================第一章 时域离散时间信号与系统==================
1.
①写出图示序列的表达式
答：3)1.5δ(n 2)2δ(n 1)δ(n 2δ(n)1)δ(n x(n)-+---+++= ②用δ(n) 表示y (n )={2,7,19,28,29,15}
2. ①求下列周期
)
5
4sin(
)8
sin(
)4()
51
cos()3()
54sin()2()
8sin(
)1(n n n n n πππ
π
-
②判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定其周期。 （1）
A是常数 8ππn 73Acos x(n)????
?
?-= （2）)8
1
(j e
)(π-=n n x
解： （1） 因为ω=73π, 所以3
14
π2=ω, 这是有理数， 因此是周期序列， 周期T =14。
（2） 因为ω=81, 所以ω
π
2=16π, 这是无理数， 因此是非周期序列。
③序列)Acos(nw x(n)0
?+=是周期序列的条件是是有理数2π/w 0
。
3.加法
乘法
序列{2，3，2，1}与序列{2，3，5，2，1}相加为__{4，6，7，3，1}__，相乘为___{4，9，10，2} 。 移位
翻转：①已知x(n)波形，画出x(-n)的波形图。
②
尺度变换：已知x(n)波形，画出x(2n)及x(n/2)波形图。
5. ①设某系统用差分方程y (n )=ay (n －1)+x (n )描述，输入
x (n )=δ(n )。若初始条件y(-1)=0，求输出序列y (n )。
得
x(n)
1)ax(n 0及差分方程y(n)1)解：由初始条件y(+-==-
)
()()(,时)2()1()2(,时2)1()0()1(时11)0()1()0(,时02
n u a n y a n y n n a δay y n a δay ，y n δay y n n n ====+===+===+-==
若初始条件改为y(-1)=1，求y(n) )()1()(方程，1)1(初始条件n x n ax n y y +-==-
)
()1()()1()(,时)1()2()1()2(,时2)1()1()0()1(,时11)0()1()0(,时02
n u a a n y a a n y n n a a δay y n a a δay y n a δay y n n n +=+==+=+==+=+==+=+-==
②设差分方程如下，求输出序列y(n)。
0n 0,y(n)δ(n),x(n) ， x(n)1)ay(n y(n)>==+-=
))
()(()1(解：1n δn y a n y -=--
,)())1()1(()2(,时1))0()0(()1(,时00))1()1(()0(,时1211
11<-=-=---=--=-=-=-==-==-----n a n y a δy a y n a δy a y n δy a y n n
③设LTI 系统由下面差分方程描述：
1)x(n 2
1
x(n)1)y(n 21y(n)-++-=。
设系统是因果的， 利用递推法求系统的单位脉冲响应。 解： 令x (n )=δ(n ), 则1)δ(n 2
1
δ(n)1)h(n 21h(n)-++-=
n=0时，11)δ(2
1
δ(0)1)h(21h(0)=-++-=
n=1时，121
21δ(0)21δ(1)h(0)21h(1)=+=++=
n=2时，2
1h(1)21h(2)==
n=3时，2
21h(2)2
1
h(3)???
? ??=
= 所以，δ(n)
1)u(n 21h(n)1
n +-?
??
?
??=-
6.离散时间系统。请用基本组件，以框图
的形式表示该系统。 解：
7.① ①判断下列系统是线性还是非线性系统。
解：（a ）系统为线性系统。
（b ）系统为线性系统。 （c ）系统是非线性的。
（d）系统没有通过线性性检验。
?系统没有通过线性性检验的原因并不是因为系统是非
线性的(实际上，系统的输入输出表达式是线性的)，
而是因为有个常数B。因此，输出不仅取决于输入还
取决于常数B。所以，当时B≠0，系统不是松驰的，
如果B=0，则系统是松驰的，也满足线性检验。
（e）系统是非线性的。
②证明是线性系统。
证：
②证明y(n)=nx(n)系统是移变系统。
证：
③①判断下述系统是因果的还是非因果的。
②下列哪一个单位抽样响应所表示的系统不是因果系统?( D )
A. δ(n)
B. h(n)=u(n)
C. h(n)=u(n)-u(n-1)
D. h(n)=u(n)-u(n+1)
④
⑤以下序列是LTI系统的单位序列响应h(n)，判断系统的因果性和稳定性。
（1）δ(n n-
4)(2)
+
-
u(
1)
n
0.3
答案（1）非因果、稳定（2）非因果、不稳定。
⑥判断题：一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列响应h(n)是因果序列。（错）
8.①考虑下面特殊的有限时宽序列。把序列分解成冲激序列加权和的形式。
解：
②将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和来表
示 。
∑-=-=
-+-+-+++-=3
1
k k)
x(k)δ(n 3)x(3)δ(n 2)x(2)δ(n 1)x(1)δ(n x(0)δ(n)1)1)δ(n x(x(n)
③若??
?≤≤=其他
402)(n n x n
用单位序列及其移位加权和表示
x(n)= )4(16)3(8)2(4)1(2)(-+-+-+-+n n n n n δδδδδ。
9. ① 一个LTI 系统的单位冲激响应和输入信号分别为
求系统对输入的响应。
②
一
个
松
弛
线
性
时
不
变
系
统
。求系统对于x(n)的响应
y(n)。
解：用式中的卷积公式来求解
③一个线性时不变系统的冲激响应为。请确定该系统的单位阶跃响应。
解：
④设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入x(n)分别有以下几种情况，分别求输出y(n)。
（1）h(n)=R4(n) , x(n)=R5(n)（2）h(n)=2R4(n) , x(n)=δ(n)－δ(n－2)
解：（1）{1，2，3，4，4，3，2，1}
（2）{2，2，0，0，-2，-2}
⑤设系统的单位脉冲响应h(n)=u(n),，求对于任意输入序列x(n)的输出y(n)，并检验系统的因果性和稳定性
10.①考虑一个LTI，该系统的冲激响应为，确定a 的取值范围，使得系统稳定。
解：首先，系统是因果的
因此，系统稳定的条件是|a|<1。否则，系统是不稳定。
实际上，h(n)必须随n 趋于无穷呈指数衰减到0，系统才是稳定的。
②考虑冲激响应为的线性时不变系统，若该系统稳定，则a和b的取值范围为多少?
解：显然系统是非因果的，
所以，系统稳定的条件是 |a|<1 且 |b|>1 。
11. 将图示周期矩形脉冲信号展成指数形式傅立叶级数
解：直接代入公式有
12. 数字信号是指___时间幅度都离散的 _______的信号。 判断：数字信号处理的主要对象是数字信号，且是采用数值运算的方法达到处理目的的。( 对 ) 判断：单位阶跃序列与矩形序列的关系是u(n)
N)u(n (n)R N
--=
。
（ 错 ）
判断：因果系统一定是稳定系统。( 错 )
判断：如果系统对输入信号的运算关系在整个运算过程中不随时间变化，则这种系统称为时不变系统。 （对） 判断：所谓稳定系统是指有界输入、有界输出的系统。（ 对 ）
判断：差分方程本身能确定该系统的因果和稳定性。(错。差分方程本身不能确定该系统的因果和稳定性，还需要用初始条件进行限制。)
判断：若连续信号属带限信号，最高截止频率为Ωc，如果采样角频率Ωs<2Ωc，那么让采样信号通过一个增益为T 、 截止频率为Ωs/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号。( 错 。角频率Ωs ≥2Ωc )
设系统的单位抽样响应为h(n)，则系统因果的充要条件为（ 当n<0时，h(n)=0 ）
=======================第二章 z 变换与DTFT =======================
1. ①设x (n )=R N (n )，求x (n )的傅里叶变换。
)2/sin()2/sin(e
)
e e (e )e e (e e 1e 1e e )()e (解：
2/)1(j 2/j 2/j 2/j 2/j 2/j 2/j j j 1
j j j ωωωωωωωωωωωωωω
N n R X N N N N N n
N n
n
n
N --------∞
-∞
=-=--=--=--==
=
∑∑
当N =4时，其幅度与相位随频率ω的变化曲线如图所示：
②序列2)δ(n x(n)-=的傅里叶变换为 ω
2j e
-。
③设系统的单位脉冲响应h (n )=a n
u (n ), 0 x (n )=δ(n )+2δ(n －2)。 完成下面各题： (1) 求出系统输出序列y (n )； (2) 分别求出x (n )、 h (n )和y (n )的傅里叶变换。 2)u(n 2a u(n)a 2)]δ(n [δ(n)u(n)a x(n)h(n)解：（1）y(n)2 n n n -+=-+*=*=- （2）j2ω n jωn jω 2e 12)]e 2δ(n [δ(n))X(e -∞ -∞ =-+=-+= ∑ jω n jωn n n jωn n jω ae 11 e a u(n)e a )H(e -∞ =-∞ -∞ =--= = = ∑∑ jω j2ω jω jω jω ae 12e 1)X(e )H(e )Y(e ---+= ?= ④n) )的傅里叶反变换x(。求X(e π |ω|ω0, ω|ω|1,)1、已知X(e jw 00 jω ?? ?≤<<= πn n sinωdωe 2π1解：x(n)0ωωjωn 00= = ?- 2. sin(πk/8)sin(πk/2)e ) e (e e )e (e e e 1e 1(n)e x (k)X 解： k 8 3π j k 8π j k 8 πj k 8 πj k 2 πj k 2πj k 2πj k 4 πj jkπ 70 n kn 8 2π j ~ ~ -------=-=--= --= = ∑ 3. ① ② 4. ①x (n )=u (n ), 求其Z 变换。 解： 当|z |>1时 X (z )存在，因此收敛域为|z |>1 ②x (n )=R N (n )的Z 变换及其收敛域。（有限长序列） 解： 收敛域为： 0<|z |≤∞ ③求序列)()(n u a n x n 的Z 变换及收敛域。（右边序列之因果序列） 解： n 1211n n 1n n n )(az )(az az 1) (az u(n)z a X(z)---∞ =--∞ -∞ =++++== = ∑∑ 这是无穷等比级数,公比是1 -=az q ， 在 什 么 情 况 下收敛 ？ | |||即,1||1a z az ><- a z ,a z z az 11所以：X(z)1 >-=-= - 本例，极点为z=a 。 ④求序列 1)n u(b x(n)n ---=z 变换及收敛域（左边序列之反因果 序列） 解：n n 1 n 1 n 1n n n n z)(b z b 1)z n u(b X(z)∑∑∑∞ -∞=--∞ =∞ =----=-= ---= b z ,b z z z b 1z b X(z)1 1<-=--=-- 本例，极点为：z=b ⑤求序列 ?? ?<-≥=0 n b 0n a x(n)n n z 变换及收敛域 解： |b ||z ||a |,b) a)(z (z b)a z(2z a z z b z z z a z b X(z)0 n n n 1 n n n <<----=-+ -= +-= ∑∑∞ =---∞ =- 本例，极点为：z=a,z=b ⑥ u(n)a y(n)n =的Z 变换为 1/(1-az -1 ) ____ ，收敛域为___ ∣z ∣>∣a ___。 1) n u(a y(n)n ---=的Z 变换为 1/(1-az -1) ____ ，收敛域为___ ∣z ∣<∣a ___。 5.①已知X (z )=(1－az －1)－1，|z |>a , 求其逆Z 变换x (n )。（留 数法） 解： n ≥0时，F (z )在c 内只有1个极点：z 1=a ； n <0时，F (z )在c 内有2个极点：z 1=a , z 2=0（高阶）； ②PPT 例11（留数法） ③PPT 例12（部分分式展开法） ④（考原题！！！！！！！！！！）已知4 z ,) 4 1 z)(z (4z X(z)2 >--=， 求z 反变换。 解: 是因果序列。 )(是右边序列，故)(且处， 的收敛域包含)(，即1)(lim n x n x z X z X z ∞-= ∞ → 所以当n<0时，x(n)=0。只需考虑n≥0时的情况。 = ?=-1 )()(n z z X z F ) 4 1z)(z (4z 1 n --+ 如图所示，取收敛域的一个围线c ，可知 当n≥0时, C 内有两个一阶极点 4 ,4/1==z z ， 所 以 [] 0,4415 1)]41 )(4/([Res )]41 )(4/([Res )(24 1 141≥-= --+- -=+-=+=+n z z z z z z n x n n z n z n [] ?????<≥-=+-00 0,44151)(故 2n n n x n n ⑤已知4z 4 1 , ) 4 1z)(z (4z X(z)2 <<--= ，求z 反变换。 = ?=-1 )()(解：n z z X z F )4 1)(4(1 - -+z z z n 如图所示，取收敛域的一个围线c ， 分两种情况讨论： （1）n≥－1时，C 内只有一个一阶极点z=1/4 1,4 15 1 4/14)4/1()]41 )(4/()41([)]41 )(4/([Res )(14 114 11-≥?=-=--- =- -=-+=+=+n z z z z z z z n x n n z n z n )1(415 1 )(或记作：+?= -n u n x n （2）当n<-1时， C 内有极点：z=1/4(一阶), z=0（高阶）； 而在C 外仅有 z=4(一阶)这个极点，且F (z)的分母多项式比分子多项式的最高次数高2阶以上， 1 n ,415 1 1/444)]41z)(z /(4Res[z x(n)2n 1n 4z 1 n - )2(415 1 )(或记作：2--?= +n u n x n ?????? ?-≤-≥=+-2 ,415 11,415 1)(因此2n n n x n n ) 2(15 4)1(154)(或记作：2 --++=+-n u n u n x n n 6.①已知 ，分析其因果性和稳定性。 解 H (z )的极点为z =a , z =a －1 。 （1） 收敛域为a －1<|z |≤∞: 对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。 （2） 收敛域为0≤|z |