2017年高考模拟试卷(7)

2017年高考模拟试卷(7)

南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）

一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．

1． 已知集合A ={2，3，5}，B ={|13x x ≤≤}，则A B = ▲ ． 2． 若复数z 满足(1i)2i z -= (i 为虚数单位)，则z = ▲ ． 3． 如图是某班8位学生诗朗诵比赛成绩的茎叶图，那么这8位学生成绩

的平均分为 ▲ ．

4． 如右图所示的流程图的运行结果是 ▲ ．

5． 在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2214

y x a -=的一条准线的方程 为3x =，则实数a 的值是 ▲ ．

6． 将甲、乙两个不同的球随机放入编号为1，2，3的3个盒子中，每个

盒子的放球数量不限，则恰有两个盒子各有1个球的概率为 ▲

．

7． 已知一个正四棱锥的侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则该棱锥的体积为 ▲ ． 8． 已知奇函数()f x 在(,)-∞+∞上为单调减函数，则不等式(lg )(1)0f x f +>的解集为

▲ ． 9． 已知各项均为正数的数列{}n a 满足2n n a qa +=（1q ≠，*n ∈N ），若213a a =，且233445a a a a a a +++，

， 成等差数列，则q 的值为 ▲ ．

10．如图，在扇形AOB 中，4OA =，120AOB ∠=°，P 为弧AB 上的一点，OP 与AB 相交于点C ，

若8OP OA ?= ，则OC AP ?

的值为 ▲ ．

11．定义在区间()

π02

，

上的函数5cos 2y x =的图象与2sin y x =-的 图象的交点横坐标为0x ，则0tan x 的值为 ▲ ．

12．已知定义在R 上的函数2

480()(2)0x x x f x f x x ?-=?+

，≥，

，，则方程6()1log (1)f x x +=+的实数解的个数

为 ▲ ．

13．在平面直角坐标系xOy 中，已知动直线1y kx k =+-与曲线21

x y x +=-交于A B ，两点，平面上的

动点()P m n ，满足PA PB +

≤22m n +的最大值为 ▲ ． 14．若对于[)2x y ?∈-+∞?∈R ，

，，不等式e +e 2(1)x y x y ax a +-+-≤恒成立，则实数a 的取值范围 是 ▲ ．

5 6 8 0 1 2 2 6

8

9 （第3题）

（第4题）

（第10题）

二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知2cos b c a B +=． （1）求证：2A B =；

（2）若△ABC 的面积214S a =，求角A 的大小．

16．（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，PC ⊥底面ABCD ， E 为PB 上一点，G 为PO 中点.

（1）若PD // 平面ACE ，求证：E 为PB 的中点； （2）若AB

，求证：CG ⊥平面PBD .

17．（本小题满分14分）

如图是一“T ”型水渠的平面视图（俯视图），水渠的南北方向和东西方向轴截面均为矩形，南北向 渠宽为4 m

（从拐角处，即图中A B ，处开始）．假定渠内的水面始终保持水平位置（即无高度差）．

（1）在水平面内，过点A 的一条直线与水渠的内壁交于P Q ，两点，且与水渠的一边的夹角为θ

()

π02θ<<，将线段PQ 的长度l 表示为θ的函数； （2）若从南面漂来一根长为7 m 的笔直的竹竿（粗细不计），竹竿始终浮于水平面内，且不发生形变，

问：这根竹竿能否从拐角处一直漂向东西向的水渠（不会卡住）？请说明理由．

（第17题）

（第16题）

A

B

C

D

P

O

E

G

18．(本小题满分16分)

在平面直角坐标系 xOy 中，离心率为的椭圆C ：22

221x y a b

+=（a ＞b ＞0）的左顶点为A ，且A 到

右准线的距离为6，点P 、Q 是椭圆C 上的两个动点．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）如图，当P 、O 、Q 共线时，直线PA ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，求证：

AM AN ?

为定值；

（3）设直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，当k 1?k 2=﹣1时，证明直线PQ 经过定点R ．

19．（本小题满分16分）

已知函数3()2ln f x ax x x =--，a ∈R ．

（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线方程为y b =，求a b +的值； （2）在（1）的条件下，求函数()f x 零点的个数；

（3）若不等式()2()1f x x a ++≥对任意(01]x ∈，

都成立，求a 的取值范围．

20．（本小题满分16分）

已知数列{}n a ，{}n b 满足：对于任意正整数n ，当n ≥2时，22

121n n n a b a n -+=+．

（1）若(1)n n b =-，求2222

13511a a a a ++++ 的值；

（2）若1n b =-，12a =，且数列{}n a 的各项均为正数．

① 求数列{}n a 的通项公式；

② 是否存在*k ∈N ，且2k ≥{}n a 中的项？ 若存在，求出所有满足条件的k 的值；若不存在，请说明理由.

( 第22题 )

A

B

C

D F

E

（第21-A 题）

第II 卷（附加题，共40分）

21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．

. A.（选修4-1；几何证明选讲） 如图，四边形ABCD 是圆的内接四边形，BC BD =，BA 的延长线交CD 的延长线于点E ．求证：AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．

B ．（选修4-2：矩阵与变换）

已知矩阵21a b ??

=????

M ，其中a b ，均为实数，若点(31)A -，在矩阵M 的变换作用下得到点(35)B ，， 求矩阵M 的特征值．

C ．（选修4-4：坐标系与参数方程）

在平面直角坐标系xOy 中，若直线321x t y t =-??=-?

，（t 为参数）与圆55cos 35sin x y ??=+??=-+?， （?为参数）相交

于A B ，两点，求AB 的长度． D ．（选修4-5：不等式选讲）

已知关于x 的不等式20x ax b -

+<的解集为(12)，

，其中a b ∈，R ，求函数()((f x a b =--

【选做题】第22题、23题，每题10分，共计20分.

22．如图，正方形ADEF 与梯形ABCD 所在平面互相垂直，已知//AB CD ，AD CD ⊥，12

AB AD CD ==．

（1）求直线EC 与平面BDF 所成角的正弦值；

（2）线段EC 上是否存在点P ，使得二面角F BD P --的

余弦值为13

？若存在，求出EP EC 的值；若不存在，说明理由．

23．已知函数2()ln(1)2

x f x x x =+-+．

（1）解关于x 的不等式()0f x >；

（2）请用数学归纳法证明：当3n n ∈N ，≥时， 23

1ln n

i n =<∑．

2017年高考模拟试卷(7)参考答案

一、填空题

1．{2，3} 2．1i

-+3．90 4．24

5．12 .由双曲线

2

2

1

4

y

x

a

-=的一条准线的方程为3

x=3

=，所以12

a=．

6．2

3

.所有的基本事件的总数为339

?=，“恰有两个盒子各有1个球”的对立事件

是“甲、乙两个不同的球在同一个盒子”，有3种可能，所以“恰有两个盒子各有1个球”的概率为32

1

93

-=．7．.．

8．()1010，.由条件，不等式(lg)(1)0

f x f

+>即为(lg)(1)

f x f

>-，所以lg1

x<-，

解得1

10

x

<<．

9．3 .由条件，

234534

()()2()

a a a a a a

+++=+，所以

2312

(1)()2()

q a a q a a

++=+，

所以

11

(1)(3)8

q q a qa

++=，因为

1

a>，1

q≠，所以3

q=．

10．4 .由16cos8

OP OA AOP

?=∠=

，得1

cos

2

AOP

∠=，所以60

AOP

∠= ，

所以42cos604

OC AP OC OB

?=?=??=

．

11．3

4

.令5cos22sin

x x

=-，即2

5(12sin)2sin

x x

-=-，所以2

10sin sin30

x x

--=，

因为()π0x∈，，所以3

sin

5

x=，即

3

sin

5

x=，从而

12．7.如图所示，函数()1

y f x

=+与

6

log(1)

y x

=+

的图象有7个不同的交点，所以原方程有7

13．18.直线1

y kx k

=+-过定点(1,1)

M恰为曲线y=

所以M为AB的中点，由PA PB

+

≤PM

所以动点()

P m n

，满足22

(1)(1)8

m n

-+-≤，

所以22

m n

+的最大值为18．

14．2

a≤.由e+e2(1)

x y x y

ax a

+-+-

≤，得(2)

a x+

当2

x=-时，不等式为22

0e+e2

y y

-+--+

≤恒成立，a∈R；

当2

x>-时，不等式为1e(e+e)2

2

x y y

a

x

-

??

+

??

+

≤，

设1

()e(e+e)2

2

x y y

f x

x

-

??

=+

??

+

，()

2

x∈-+∞

，，则

2(e1)

()

2

x

f x

x

+

+

≥，当且仅当0

y=时取“=”，

再设

2(e1)

()

x

g x

+

=，则

22

2[e(2)(e1)]2[e(1)1]

()

(2)(2)

x x x

x x

g x

x x

+-++-

'==

++

，

设()e (1)1x t x x =+-，由于()e (1)e e (2)0x x x t x x x '=++=+>，所以()t x 在()2-+∞，上单调增，

因为(0)0t =，所以当(20)x ∈-，

时，()0t x <，即()0g x '<；当(0)x ∈+∞，时，()0t x >，即()0g x '>， 所以()g x 在(20)x ∈-，

上为减函数，在(0)x ∈+∞，上为增函数， 所以()g x 在0x =时取得最小值，且最小值为2．

综上，当0x =且0y =时，()f x 取最小值为2，所以2a ≤．

二、解答题 15．（1）由正弦定理得sin sin 2sin cos B C A B +=，

则2sin cos sin sin()sin sin cos cos sin A B B A B B A B A B =++=++， 所以sin sin cos cos sin sin()B A B A B A B =-=-． 因为0πA B <<，，所以ππA B -<-<，

所以B A B =-或π()B A B =--，即2A B =或πA =（舍）， 所以2A B =．

（2）由214S a =，得21sin 124ab C a =，所以1sin sin sin 2

B C A =，

由（1）知，1sin sin sin 2sin cos 2

B C B B B ==，

因为sin 0B ≠，所以sin cos C B =．

因为sin 0C >，所以cos 0B >，即B 为锐角，

若C 为锐角，则πsin sin()2C B =-，即π2C B =-，可知π2

A =；

若C 为钝角，则πsin sin()2C B =+，即π2C B =+，可知π4

A =．

综上，π4A =或π2

A =．

16. （1）连接OE ，由四边形ABCD 是正方形知，O 为BD 中点， 因为PD // 平面ACE ，PD ?面PBD ，面PBD 面ACE OE =， 所以//PD OE .

因为O 为BD 中点，所以E 为PB 的中点.

（2）在四棱锥P －ABCD 中，AB

， 因为四边形ABCD

是正方形，所以OC AB =，

所以PC OC =.

因为G 为PO 中点，所以CG PO ⊥. 又因为PC ⊥底面ABCD ，BD ?底面ABCD ， 所以PC ⊥BD .

而四边形ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥， 因为,AC CG ?平面PAC ，AC CG C = ， 所以BD ⊥平面PAC ，

因为CG ?平面PAC ，所以BD CG ⊥. 因为,PO BD ?平面PBD ，PO BD O = ，

A

B

C

D

P

O

E

G

所以CG ⊥平面PBD .

17. （1）由题意，PA =

，4cos QA θ=，

所以l PA QA =+，即4cos l θ

=+（π02θ<<）．

（2）设4()cos f θθ

=

+，π(0,)2θ∈．

由24sin ()cos f θθθ

'==

令()0f θ'=，得0tan θ=

且当0(0,)θθ∈，()0f θ'<；当0π(,)θθ∈，()0f θ'>，

所以，()f θ在0(0,)θ上单调递减；在0π(,)2θ上单调递增，

所以，当0θθ=时，()f θ取得极小值，即为最小值．

当

0tan θ=0sin θ0cos θ=

，

所以()f θ的最小值为，

即这根竹竿能通过拐角处的长度的最大值为m ．

因为7>，所以这根竹竿能从拐角处一直漂向东西向的水渠．

18.（1） 由题意，且

，

解得a=2，c=1．

∴b=

．

∴椭圆的标准方程为．

（2）证明：设P （x 0，y 0），则Q （﹣x 0，﹣y 0），又A （﹣2，0），

∴直线AP 的方程为y=

（x +2），得M （0，

），

∴=（2，）．

同理可得N （0，），=（2，），

∴?=4+．

又点P 在椭圆C 上，故，即，

∴?=4+=1（定值）；

（3）证明：设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），将直线AP 的方程y=k 1（x +2）与椭圆方程联立得：，

即（3+4k 12）x 2+16k 12x +16k 12﹣12=0．

∴﹣2+x 1=

，x 1=

，y 1=

，

∴P （，）．

∵k 1?k 2=﹣1，

∴Q （

，

）．

当时，点P 和点Q 的横坐标相同，直线PQ 的方程为x=﹣，

由此可见，如果直线PQ 经过定点R ，则点R 的横坐标一定为﹣．

当时，，

直线PQ 的方程为y ﹣=（x ﹣），

令x=﹣得： =0．

∴直线PQ 过定点R （﹣，0）． 19． （1）21()32f x ax x

'=--，

由题意，(1)0f '=，(1)f b =，解得，1a =，1b =-，

所以0a b +=．

（2）由（1）知，3()2ln f x x x x =--，

2

3

2

(1)(331)1321()32x x x x x f x x x x x

-++--'=--==， 令()0f x '=，得1x =，

且当01x <<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>， 所以函数()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增．

因为(1)10f =-<，3112()10e e e f =-

+>，3(e)e 2e 10f =-->，函数()f x 在区间[1,1e

]和[1,e]上的图象是一条不间断的曲线，由零点存在性定理，所以函数()f x 有两个零点． （3）设()()2()g x f x x a =++，即3()2ln g x ax a x =+-，(01]x ∈，

． 3

2131()3ax g x ax x x

-'=-=，

当0a ≤时，()0g x '<，所以函数()g x 在(01]，

单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =≤，不合题意；

当0a >时，()g x '=，

令()0g x '=，得x =．

1，即103a <≤时，函数()g x 在(01]，

单调递减， 所以()g x 最小值为(1)30g a =>，只需31a ≥，即13a ≥，

所以13

a =符合；

1，即13a >时，函数()g x 在上单调减，在上单调增，

所以()g x 的最小值为112ln3133g a a =++>，

所以1a >符合．

综上，a 的取值范围是13

a ≥．

20． （1）由条件，222

13a a +=，22327a a -=，226513a a +=，227615a a -=， 2210921a a +=，22

111023a a -=，

所以2222

13511

82a a a a ++++= .

（2）①由22

121(2)n n a a n n

--=+≥， 22215a a -=，22327a a -=，22439a a -=，…，221

21n n a a n --=+. 将上面的式子相加，得221(215)(1)

2

n n n a a ++--=

，

所以2

2(215)(1)

4(1)(2)2

n n n a n n ++-=

+=+≥.

因为{a n }的各项均为正数，故1n a n =+(2)n ≥. 因为12a =也适合上式，所以1n a n =+（*n ∈N ）.

② 假设存在满足条件的k ,m a =，

1m +， 平方得22(21)19(1)k k m -+=+，（*）

所以222(21)2(21)(1)19(2)k k k m k -<-=+-<，

所以22

22

(1)(21)19

(1)(2)19

m k m k ?+-->??+-

1(12)(12)192m k m k m k m k ++->??+++-

（）（）

由（1）得，221m k +-≥，即120m k +-≥， 若120m k +-=，代入（*）式，求得19

182

m k ==，不合，舍去； 若120m k +->，结合（2）得1219m k ++≤， 所以21192k m k <+-≤，即19

4

k <

，又k ∈*N 且2k ≥， 所以k 的可能取值为2，3，4， 代入（*）式逐一计算，可求得3k =.

第II 卷（附加题，共40分）

21.A . 因为ABCD 是圆的内接四边形，

所以DAE BCD ∠=∠，FAE BAC BDC ∠=∠=∠． 因为BC BD =，所以BCD BDC ∠=∠， 所以DAE FAE ∠=∠，

所以AE 是四边形ABCD 的外角DAF ∠的平分线．

B ． 由题意，233115a b ????

??=??????-??????，即63315a b -=??-=?，，， 解得，32a b =??=?

，，所以2321??=????M ． 设2

3

()(2)(1)6021

f λλλλλ--=

=---=--， 解得1λ=-或4λ=，

所以矩阵M 的特征值为1-和4．

C ． 由321x t y t =-??=-?

，

消参数t ，得210x y --=．

由55cos 35sin x y ??=+??=-+?，

消参数?，得22(5)(3)25x y -++=．

所以圆心(53)-，

到直线210x y --=

的距离d ==

所以2AB ==

D ． 因为不等式20x ax b -+<的解集为(12)，

， 所以可得，3a =，2b =．

又函数()((f x a b =--

由柯西不等式可得，22222(21]5++=，

当且仅当16[34]x =∈，

时取等号． 所以，当165

x =时, 函数()f x

．

22． 因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面

CD ?平面ABCD ，CD AD ⊥， 所以CD ⊥平面ADEF ，

因为DE ?平面ADEF ，所以CD DE ⊥． （1）建立如图所示的空间直角坐标系． 设1AD =，则(000)D ，

，，(110)B ，，， (020)C ，，，(001)E ，，，(101)F ，，，

所以(021)EC =- ，，，(101)DF = ，，，(110)DB = ，，． 设平面BDF 的法向量()x y z =，，n ，

则00

DF DB ??=???=??

n n ，即00x z x y +=??+=?， 令1x =，则1y z ==-，所以(111)=--，

，n ， 设直线EC 与平面BDF 所成角为θ，

则sin EC EC θ?==?

n n

， 即直线EC 与平面BDF

． （2）假设线段EC 上是否存在点P 满足题意，设(01)EP EC λλ=

≤≤，

则(021)P λλ=-，，，所以(021)DP λλ=-

，，． 设平面BDP 的法向量()x y z ''''=，，n ，

则00

DP DB ?'?=??'?=??

n n ，即2(1)00y z x y λλ''+-=??

''+=?， 令1x '=，则1y '=-，21z λλ'=-，所以2(11)1λλ

'=--，

，n ． 设二面角F BD P --的平面角为α， 则21111cos 3λλα+-'?-==='

?n n n n ，

解得1λ=或5λ=．

经检验，符合条件的13

λ=，

即当13EP EC =时，二面角F BD P --的余弦值为13

．

23． （1）由2

22

14()01(2)(1)(2)x f x x x x x '=-=++++≥， 知函数()f x 在定义域(1,)-+∞上为增函数，由于(0)0f =， 所以不等式()0f x >的解集为(0,)+∞．

（2）① 当3n =，不等式左边1111571ln3345660=+++=<<，所以不等式成立；

② 假设当(3)n k k =≥时，不等式成立，即231ln k

i k i

=<∑；

则当1n k =+时，

左边2(1)

23

3111111ln 21222122k k

i i k i i

k k k k +===

=++<++++++∑

∑． 下面证明11ln ln(1)2122k k k k +

++++≤，只需证111ln 2122k k k k

++++≤（*）． 由（1）知，0x >时，()0f x >，即2ln(1)2

x x x +>+，所以2

12ln(1)12k +>=+，

由于

112212221

k k k +<+++，所以（*）不等式成立， 当1n k =+时，原不等式仍然成立．

由①②知，原不等式对任意3n n ∈N ，≥都成立．