金融数学概述

第13卷第4期呼伦贝尔学院学报No .4 Vol .132005年8月 Journal of Hulunbeir College Published in August .2005

收稿日期:2004-10-15

作者简介:孙富(1948-),男,吉林省永吉人,呼伦贝尔学院数学系教授,金融数学研究所所长。

金融数学概述

孙　富

(呼伦贝尔学院数学系　内蒙古　海拉尔区　021008)

摘　要:金融数学是一门新兴的边缘学科,其核心内容是在不确定环境下的证券组合理论

和资产定价理论。本文在简述金融数学的诞生、发展、基本概念、主要理论的基础上,就几个金融数学前沿问题的研究发展作简要介绍。

关键词:金融数学;证券组合;资产定价;期权定价中图分类号:O29 文献标识码:A 文章编号:1009-4601(2005)04-0065-02 一、金融数学的概念

金融数学是指运用数学理论和方法,研究金融运行规律的一门新兴边缘学科。其核心问题是在不。套利,最优和均衡是其中三个主要概念。现代证券组合理论,资本资产定价模型,套利定价、期权定价理论和资产结构理论在现代金融数学理论中占据重要地位。

让我们简单回顾一下金融数学的历史。早在1990年,法国数学家巴歇里,在他的博士论文“投机

的理论”中把股票描述为布朗运动。这也是第一次给B r own 运动以严格的数学描述。这一理论为未来金融数学的发展,特别是现在期权理论的建立奠定了基础。但这一工作很长时间并没有引起金融数学界的重视。金融数学这一学科名称直到20世纪80年代末才出现。它是马克维姿的证券组合理论(H.Kowitz 1990年诺贝尔经济学奖)和斯科尔斯———默

顿的期权定价理论(M.Scholes -R.Mert on .1997年获诺贝尔经济学奖),这两次华尔街革命的直接产物。国际称其为数理金融学。

二、金融数学中的数学理论和方法

金融数学作为一门边缘学科,应用大量的数学理论和方法研究,解决金融中一些重大理论问题,实际应用问题和一些金融创新的定价问题等,由于金融问题的复杂性,所用到的数学知识,除基础知识外,大量的运用现代数学理论和方法(有的运用现

有的数学方法也解决不了)。主要有随机分析,随

机控制,数学规划,微分对策,非线性分析,数理统计,泛函分析,鞅理论等,也有人在证券价格分析中引进了新型的非线性分析工具,如分形几何,混沌学,子波理论,模式识别等,在金融计算方法与仿真技术中也逐渐引入神经网络方法,人工智能方法,模拟退火法和遗传算法等。

三、金融数学的几个重要理论(一)现代证券组合理论

马克维姿的证券组合理论。即均值———方差分析方法。他把组合投资中的股票价格作为随机变量,以均植衡量收益,用方差表示风险。当收益一定,使组合风险最小的组合投资问题可以归结为求如下的二次规划的最优解。

m in σ2p =X T VX

St X T

I =1X T R ≥r L ≤X ≤P

其中X =(X 1X 2……X n )T

为所求的组合系数;R =(R 1R 2……R n )T

为收益的均值向量;

v 为收益的协方差矩阵,r 为投资者要求的最低

收益率;

I =(1,1……1)T ;L =(L 1L 2……L n )T

和P =(P 1P 2……P n )T 为买空卖空的限制

马克维姿证明了多个证券的投资组合比投资单个证券可以降低风险,这一直成为风险投资的指导

?

56?

原则。双基金定理和单基金定理给出了确定投资组合有效边缘的方法。

(二)资本资产定价模型由于马克维姿模型涉及到股票之间的协方差的计算。运算量太大(n 种证券组合要计算n (n -1)/2个协方差),在马克维姿理论的基础上,在一系列

假设条件基础下建立了资本资产定价模型(CAMP )。

E (R i )=R

F +βi (E (R m )-R F ).

(3.2)

其中:R F 无风险资产的收益率,R m 为市场资产组合的收益率;

β=cov (R i ,R m )/var (R m )为风险系数;

CAMP 模型的理论精华是一种证券的预期收

益,可以用这种资产风险测度β来测量,既建立了期望收益率与β之间的线性关系。这一关系给出了极富有创造力的两个命题。

第一,为潜在的投资提供了一种估计其收益率的方法。

第二,也为我们不在市场上交易的资产同样作出合理的定价。比如估计一级市场股票发行价。

(三)期权定价理论(B —S 模型)。

期权是在规定条款下购买或出售一项资产的权利。期权可以分为看涨期权和看迭期权。看涨期权的持有者有权在某一确定的时间以某一确定的价格购买标的资产。期权也可以分为美式期权和欧式期权,美式期权可以在有限期内任何时候执行,而欧式期权只能在到期日执行。

布莱克和斯科尔斯假设股票的价格服从对数正态分布,无套利机会,没有交易费用等一系列理想假设下推导出了股票不付红利欧式期权,在时刻t 的价格C (s .t ),所必须满足的微分方程。

(布莱克———斯科尔斯微分方程)9c 9t +r ?s 9c 9s

+12σ2s 292

c 9s

2=r .c (3.3)

其中:r 为无风险利率;σ2

为股票价格的波动

率;

s 为标的股票的价格;c 为欧式看涨期权价格。

在终端条件C (S (T ).T )=max (S (T )-x ,o )下,他们成功地求出上述偏微分方程的解,得到著名的“布莱克—斯科尔斯公式(B —S 公式)。

c (s .t )=S N (α1)-x e

-r (T -t )

N (α2).

(3.4)

其中,x 是期权执行的价格,N (.)为累积的标准正态分布函数,α1=

ln (s/x )+(r +σ2

/2)(T -t )

σ

T -t

α2=α1?σT -t

在B —S 公式中,股票当前价格S,期限长度T —t ,无风险利率r 与股票价格的标准差都与偏好无关,因此称它为风险中性定价公式。风险中性定价已发展成一套非常有效的定价方法。

B —S 公式激发了以无套利为原则的现代金融理论的建立。它的发展引发了大量的研究,导致了金融实践的革命。

四、金融数学的问题与展望

金融数学目前正处于进一步发展和完善当中,研究的问题还很多,如美式期权问题、利率的期限结构问题、市场的波动与突发事件问题以及市场的不健全性和信息不对称问题都是当前金融数学面临的重要研究课题。

(一)美式期权问题

B —S 公式解决的是欧式期权定价问题,而市场

上交易的期权大部分是美式期权。美式期权可以在

到期前的任何时刻执行。所以它的定价要比欧式期权定价困难得多。美式期权牵涉到期权最佳执行时间问题,这是十分复杂的问题,至今没有得到很好的解决。如果应用偏微分方程的方法来讨论美式期权的定价,对应的偏微分方程的问题将变成为“无边界”问题,在数学上较难处理。一般情况下,美式期权没有精确的解析定价公式,只能用数值算法和解析近似解,如蒙特卡罗模拟法、数图法、有限差方分等。

(二)市场价格波动性问题

金融市场的波动现象,一般可以归结为随机变量,常假设股票价格的波动服从某一随机过程,象几何布朗运动。但是金融市场多数情况下并不满足稳定的假设,时常出现异常的波动,在B —S 模型中,假设股票价格的波动率为常数,也不符合实际情况。可以应用随机最优控制和随机微分方程,自回归条件异方差模型等方法研究这方面问题。

(三)突发事件问题突发事件在金融领域中具有不容忽视的影响,像1997年的东南亚金融危机,给一些国家造成巨大损失。突发事件是小概率事件。一般的随机分析不能解释重大的金融震动。现在研究应用混沌学与分形理论来解释股票价格如何暴涨暴跌。金融突发事件的预警由于涉及多因素,定量化与报警灵敏度等往往比较困难,这也是金融数学研究的重要领域。

五、结束语

金融数学兴起是金融经济学的一场革命。它给金融经济带来巨大的活力,促进金(下转第36页)

得众叛亲离,到处是哀怨和愤怒,商朝的统治到了分崩离析的地步。当周武王大兵压境形势十分紧急时,纣王还在荒淫不止。帝王成就王业后,面对世间人不可多得的种种诱惑,很难克制自己的欲望,保持头脑的清醒。贤明的王,他们没有因为成功而迷乱心性,也没有为了声色宝马而忘记治理国家的重任。懂得用人,善用贤人,善听规劝这一点是非常关键的。西方有句名言:上帝想让谁灭亡,就先让他疯狂。纣王疯狂了,他把自己凌驾到了神一样的高度任意妄为,这样纣王就和他的国家一起毁灭了。

在专制主义的商王朝,王权尽管受到神权和法律的制约,但王权总是高过民权的。比如,商刑中“弃灰于道”(《中国政治制度史》102)行为都要受到断手的惩罚,谁还敢犯上作乱,只能安分守己,苟且偷生。“家天下”时期民众对权利的要求不是很高,只有在饿殍遍野、人相食时民众才不得已揭竿而起展开争取生存权利的斗争。而一旦改朝换代,中国古代的历史又如“土、木、金、火、水”(《中国古代史》)的顺序上演相似的戏剧,似乎中国古代的历史真的在五德相生相克的逻辑运转中演进,改朝换代,循环往复、百世不已。商王朝持久的统治的原因是有几位德才突出的王懂得得民心者得天下的道理,任用贤人,实行“德治”的结果。所以,只要王权能稍稍收敛,给民众以喘息的机会,王朝的统治就能维持下去。只是商纣王和他之前的几位王连这一点都做不到,所以,商王朝被断送了。

商王朝的政治体制中没有权利的制约机制,却能以德立国,当丧失德政的时候王权就丧失了。可见,以德治国是兴邦安民的保证。现今的政治体制改革提倡以德治国其意义深远。自然科学发展的今天,神权不再为人们所惧怕,专制主义被扔进了历史的垃圾箱,独裁统治成了过街老鼠。“王权”与“民权”都被限制在法律的范围内行使。不论是当权者还是普通人,人人都有平等的权利,人人都可以通过竞争的手段去实现自己的愿望。然而每一个人的欲望的膨胀都可能导致违法事件,伴随权利的滥用导致贪污腐败的现象使整个社会陷入混乱状态。“一切行使权力的人都会乱用权力,这是一条万古不易的经验。”(孟德斯鸠《论法的精神》)如今,假冒伪劣产品充斥市场,只要有经济利益的地方就有人能通过各种手段去获取。上从政府官员,下到黎民百姓都被欲望污染着,变成了“彻底的唯物主义者”,道德似乎排不上用场。社会风气不良,这些都不是一个国家兴旺发达的征象。人的行为既然被限制在法律允许的范围内,就要约束政府官员的权利,又要约束民众的权利,在保障正当的权利的前提下,约束因为人的欲望的膨胀而跨越权利的行为,那么,执法严明是保证。严格执法是约束权利的滥用的有效手段,是保证权利制约机制正常运行的关键。在民主平等的时代,只有两样东西能约束权利,一是法律;二是信念。信念是比法律更重要的行为规范。信念的力量能促成社会良好的风气和习俗的形成,减少和预防犯罪。政治体制改革要以史为鉴,在健全权利的制约机制的同时更要注重人的道德修养,通过改革用人机制,实现优胜劣汰,使政府官员能上能下,培养一大批能以国家利益为重,善于体察民情、关心民众,为民服务的德才兼备的人,上行下效,带动整个社会风气的好转,是治国的根本保证。修身、齐家、治国是并行不悖的传统道德,应该成为文明时代的人的最基本的修养。只有这样才能扭转社会风气,建设起民主文明的国家。

参考资料:

〔1〕上白钢1中国政治制度史〔M〕12002年出版1天津人民出版社,P87-1061

〔2〕孟世凯1夏商史话〔M〕1中国青年出版社11986年出版1新华书店北京发行所发行,P109-2421

〔3〕黎虎1夏商周史话〔M〕11984年1新华书店北京发行所发行1北京出版社出版,P108-1441

(上接第66页)融理论、金融实践管理和金融创新。金融数学是金融领域的高技术,抗御金融风险能发挥重要的作用。我国对金融数学也十分重视,把“金融数学,金融工程,金融管理”列为国家自然科学基金重大项目。各高校也纷纷成立金融数学专业和金融数学研究所。我们相信随着时间的推移,金融数学会得到更深入的发展和更广泛的应用。

参考文献:

〔1〕雍炯敏1数学金融学中的若干问题〔J〕.数学的实践与认识,1999,(4)1

〔2〕夏云森1金融数学模型〔J〕.中国管理科学,1998,(3)1〔3〕王小群1金融数学介绍〔J〕.系统工程,1999,(11)1〔4〕李仲飞1金融数学介绍〔J〕.自然辩证法通讯, 1999,(2)1

〔5〕张支兰1金融数学的研究与发展〔J〕.河北省科学院学报,2002,(2)1

〔6〕翟绍生1金融数学介绍〔J〕.商业研究,2004,(1)1〔7〕高洁1金融数学的发展及其在证券投资组合中的应用〔J〕.江南大学学报,2003,(10)1

〔8〕孔爱国1现代投资学〔J〕.上海人民出版社,2003,(5)1