测试技术基础习题答案_江征风

测试技术基础部分题目答案

第二章

2-21．求正弦信号)2sin(

)(t T

A t x π

=的单边、

双边频谱、实频图、虚频图，如该信号延时4/T 后，其各频谱如何变化？

解： (1)由于22()sin()cos()2

x t A t A t T T πππ==-，符合三角函数展开形式，则 在

2T

π

处：1n A =，所以，单边频谱图为图1的（a ）。 对)2sin()(t T A t x π

=进行复指数展开：由于222()sin(

)()2

j t j t

T T jA x t A t e e T ππ

π-==- 所以，在2T

π

-处：2n jA C =，0nR C =，2nI A C =，||2n A C =，2n πθ=

在2T π处：2n jA C =-，0nR C =，2nI A C =-，||2n A C =，2

n πθ=- 所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图1的(b)、(c)、(d)、(e)。

T

T

-

(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图 (e) 双边相频图

图1 正弦信号x (t)的频谱 （2）当延迟4/T 后，()x t 变为2()sin ()4T x t A t T

π

??=-?

???，由于

222()sin ()cos ()cos 442T T x t A t A t A t T T T πππππ??????

=-=--=- ???????????

，符合三角函数

展开形式，则

在

2T

π

处：1n A =，所以，单边频谱图为图2的（a ）。 对222()sin ()sin()cos()42T T x t A t A t A t T

T T π

ππ??=-=-=-?

???进行复指数展开， 由于222()cos()()2

j t j t

T T

A x t A t e e T ππ

π--=-=+ 所以，在2T

π

-处：2n A C =-，2nR A C =-，0nI C =，||2n A C =，n θπ=

在2

T

π

处：

2

n

A

C=-，

2

nR

A

C=-，0

nI

C=，||

2

n

A

C=，

n

θπ

=

所以，实频图、虚频图、双边幅频图、双边相频图分别如图2的(b)、(c)、(d)、(e)。

T

T

-

(a)单边幅频图 (b) 实频图 (c) 虚频图 (d) )双边幅频图

(e) 双边相频图

图2正弦信号x(t)延迟后的频谱

2-22．已知方波的傅立叶级数展开式为

?

?

?

?

?

-

+

-

=

t

t

t

A

t

f

05

cos

5

1

3

cos

3

1

cos

4

)(ω

ω

ω

π

求该方波的均值、频率成分、各频率的幅值，并画出单边幅频谱图。

解：均值

a=0；该方波各谐波的频率分别为

ω、

3ω、

5ω…；对应的幅值分别为

π

4A

、π3

4

A

、

π5

4

A

…，即,...

5,3,1

,

)1

(

4

2

1

=

-

-

n

n

A n

π

，该方波的单边幅频谱图如图3所示。

00000

图3 方波的单边幅频谱

2-23 试求图2.55所示信号的频谱函数(提示：可将()

f t看成矩形窗函数与(2)

δ-

t、(2)

δ+

t

脉冲函数的卷积)。

图2.55 习题2-23

解：f(t)可以看作位于原点、宽度为2的如下式的窗函数与δ(t-2)、δ(t+2)的卷积：

??

?

?

?

>

≤

=

1

1

1

)(

t

t

t

w

即，)]

2

(

)2

(

[*

)

(

)

(-

+

+

=t

t

t

w

t

fδ

δ

而)2(sin 2)()(f C jf W t w π=?，根据时移特性：22)2(??+f j e t πδ；22)2(?-?-f j e t πδ 则)(t f 的频谱函数为：

)

()2(sin 2)()2(sin 2)]2(()2(([)()]2()2([*)()(442222f j f j f j f j e e f C e e f C t F t F jf W t t t w t f ππππππδδδδ-?-?+?=+?=-++??-++=

2-24．一时间函数)(t f 及其频谱函数图如图2.56所示，已知函数t t f t x 0cos )()(ω=

设m ωω>0[m ω为)(t f 中最高频率分量的角频率]，试出)(t x 和)(t x 的双边幅频谱)(ωj X 的示意图形，当m ωω<0时，)(ωj X 的图形会出现什么样的情况？

(a) )(t f 的时域波形 (b) )(t f 的频谱

图2.56 )(t f 的时域波形及其频谱

解：令t t x 01cos )(ω=，则)()()(1t x t f t x =，即为)(t f 和t 0cos ω的乘积，所以其图形如图4(a)所示。

若)()(11ωj X t x ?，)()(ωj F t f ?，则)(*)()()()()(11ωωωj F j X j X t x t f t x =?=

由于)]()([2

1

)(001ωωδωωδω++-=j X ，其双边幅频图如图4(b)所示。

根据)(*)()()(2121ωωj X j X t x t x ?，则

)(*)]()([2

1

)(*)()(001ωωωδωωδωωωj F j F j X j X ++-==

根据)()(*)(ωωδωj x j j x =，)()(*)(00ωωωωδω-=-x x 和)()(*)(00ωωωωδω+=+x x 则

)]()([21

)(*)]()([21)(*)()(00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-==F F j F j F j X j X

|]

)(||)([|2

1

)(*|])(||)([|21)(*|)(||)(|00001ωωωωωωωδωωδωωω++-=++-==F F j F j F j X j X )(210ωω-F 表示把)(21ωF 的图形搬移到0ω处，图形的最大幅值为)(21

ωF ； )(210ωω+F 表示把)(21ωF 的图形搬移到0ω-处，图形的最大幅值为)(21

ωF ； |)(|210ωω-F 表示把|)(|21ωF 的图形搬移到0ω处，图形的最大幅值为|)(|21

ωF ； |)(|210ωω+F 表示把|)(|21ωF 的图形搬移到0ω-处，图形的最大幅值为|)(|2

1

ωF ； 由于)(1t x 的频谱图用双边幅频图表示，所以)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(c)所示，当

m ωω<0时，)(t x 的双边幅频图|)(|ωj X 如图4(d)所示。

t

)

(t x

(a) )(t x 的时域波形 (b) t t x 01cos )(ω=的频谱

m

00

m

00

(c) )(t x 的频谱 (d) m ωω<0时，)(t x 的频谱

图4 习题2-23的示意图

2-25．图2.57所示周期三角波的数学表达式为

402()402

A T A t t T x t A T A t t T ?+-≤≤?

?=??-≤≤??

求出傅立叶级数的三角函数展开式并画出单边频谱图。

图2.57 周期性三角波

解：周期三角波的傅立叶级数展开式为：

)5cos 5

1

3cos 31(cos 8)(020202 +++=t t t A t x ωωωπ

其单边频谱图如图5

所示。

000

00

(a) 幅频图 (b) 相频图

图5 周期性三角波的频谱

补充：画出0cos t ω、0sin t ω复指数展开的实、虚频谱，双边幅频谱、双边相频谱，并验

证是否满足信号的时移定理。

解：()

0001cos 2j t

j t t e e ωωω-=

+ 在0ω-处：12n C =，12nR C =，0nI C =，1

||2n C =，0n θ=

在0ω处：12n C =，12nR C =，0nI C =，1

||2

n C =，0n θ=

(a) 实频图 (b) 虚频图 (c)双边幅频图 (d) 双边相

频图

图6

()

000sin 2j t

j t j t e e ωωω-=

- 在0ω-处：2n j C =，0nR C =，12nI C =，1|

|2n C =，2n π

θ=

在0

ω处：2n j C =-，0nR C =，12nI C =-，1||2n

C =，2

n π

θ=-

(a) 实频图 (b) 虚频图 (c) )双边幅频图 (d) 双边

相频图

图7

0000sin cos()cos ()22t t t π

πωωωω??

=-=-???

?，则002t πω= 在0ω-处：相移：0000()()

22t ππωωω--=--= 在0ω处：相移：000

022

t ππωωω-=-=- 有图6和7比较可知，0sin t ω比0cos t ω在0ω-、0ω处的相移为2

π

和2π-，因此满

足信号的时移定理。

第三章

3-19 若压电式力传感器灵敏度为90 pC/MPa ，电荷放大器的灵敏度为0.05V/pC ，若压力变化25MPa ，为使记录笔在记录纸上的位移不大于50mm ，则笔式记录仪的灵敏度应选多大？

解：压电式力传感器、电荷放大器和笔式记录仪的灵敏度分别为S1、S2和S3，它们串联后的总灵敏度为：123y

S S S S x

?=??=?，其中S1=90 pC/MPa ，S2＝0.05V/pC ，?x=25MPa ，?y=50mm ，则3125040.44442590/0.05/9y mm mm mm

S x S S MPa pC MPa V pC V V

?=

===?????

3-20 图3.24为一测试系统的框图，试求该系统的总灵敏度。

图4.24 习题3-20图

解：第一个框图为一阶系统，由于66/2315215/217.51s s s ==+++，而3

17.51

K s s τ=

++，所以其灵敏度为3;

第二个框图的灵敏度为7.3;

第三个框图为二阶系统，由于22n n

2222

n n n n

3.322K s s s s ωωξωωξωω=++++，所以其灵敏度为3.3； 系统为三个环节的串联，故系统的总灵敏度为3×7.3×3.3=72.27。

3-21 由传递函数为1 1.5

() 3.50.5

=+H s s 和2

n 222

n n 100() 1.4H s s s ωωω=++的两个环节，串联组成一个测试系统，问此系统的总灵敏度是多少？

解：显然，)(1s H 和)(2s H 和一阶、二阶系统传递函数的形式接近，分别写成一阶和二阶形式的形式，则

1

73

5.05.35.11)(1+=

+=+=s s s K s H τ K=3 2

22

22222227.021004.11002)(n n n n n n n n n s s s s s s K s H ωωωωωωωξωω+?+=++=++= K=100

而系统是两个环节的串联，因此，总的灵敏度为3*100=300.

3-22 用时间常数为2s 的一阶装置测周期为2s 、4s 的正弦信号，试求周期为4s 装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s 装置的几倍？

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，正弦信号周期为2s 时，

1()0.1572A ω=

=

=

=

1122()arctan()arctan(2)80.972

o T ππ

?ωτ

=-=-?=- 正弦信号周期为4s 时，

2()0.3033A ω=

=

=

=

2222()arctan()arctan(2)72.324

o T ππ

?ωτ

=-=-?=- 由于

21()

2()

A A ωω=，22()72.320.8936()80.97?ω?ω-==-，则周期为4s 装置产生的幅值误差和相位滞后量分别是2s 装置的2和0.8936倍。

3-23用时间常数为2s 的一阶装置测量烤箱内的温度，箱内的温度近似地按周期为160s 作正弦规律变化，且温度在500～1000℃范围内变化，试求该装置所指示的最大值和最小值各是多少？

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=2，输入信号的周期为160s ，最大幅值1000，最小幅值500

，

则

该

装

置

所

指

示

的

最

大

值

为

：

11000()996.93A ω?=

=

== 该

装

置

所

指

示

的

最

小

值

为

：

1500()498.465A ω?=

=

==

3-24 设用时间常数为0.2s 的一阶装置测量正弦信号：x (t )=sin4t +0.4sin40t (K =1)，试求其输出信号。

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.2，输入信号x (t)为正弦信号x 1(t)=sin4t 和x 2(t)=0.4sin40t 的叠加。

对x 1(t)：角频率ω1=4，幅值A 1=1，初相位φ1=0；则

78.0)

42.0(11

)(11)(2

211=?+=+=τωωA

o 66.38)42.0arctan()arctan()(11-=?-=-=τωω?

其输出信号的幅值为： A(ω1)*A 1=0.78*1=0.78

相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-38.66o 其输出信号为：y 1(t)=0.78sin(4t-38.66o) 对x 2(t)：角频率ω2=40，幅值A 2=0.4；则

124.0)402.0(11)(11)(2

2

22=?+=

+=

τωωA

o 875.82)402.0arctan()arctan()(22-=?-=-=τωω?

其输出信号的幅值为：A(ω2)*A 2=0.124*0.4=0.05

相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-82.875o 其输出信号为：y 2(t)=0.496sin(4t-82.875o)

所以，x (t)为输入信号时，输出信号为：

y (t)= y 1(t)+ y 2(t)= 0.78sin(4t-38.66o)+0.05sin(4t-82.875o)

3-25 用一阶系统对100Hz 正弦信号进行测量，如果要求振幅误差在5%以内，则时间常数应取多少？如用具有该时间常数的同一系统作50Hz 正弦信号的测试，问此时的振幅误差和相位差是多少？

1．解：(1) 因为1()A δω=-，故当||5%0.05δ=≤时，即要求1()0.05A ω-≤，所

以10.05。化简得221

()10.1080.95ωτ-=≤，则

411

5.2310s 22100s

f τ-=?ππ?（2分） (2) 当作50Hz 信号测试时，有（4分）

11110.9868 1.32%

δ=-==-==

4arctan()arctan(2)arctan(250 5.2310)91950f ?ωττ-'''=-=-π=-π???=-o

3-26

已知某线性装置()ω=

A ，()arctan0.1?ωω=-，现测得该系统稳态输出

y (t )=10sin(30t -45°)，试求系统的输入信号x (t )。

解：根据频率保持特性：输入信号的频率ω=30，则该装置的幅频特性和相频特性分别为：

3162.03001.011

)(2

=?+=ωA o 565.71)301.0arctan()(-=?-=ω?

则输入信号的幅值和相位分别为：

A=10/ A(ω)=10/0.3162=31.6256 φ1=φ2-φ(ω)=-45o+71.565o=26.5651o

则输入信号为：x (t)=31.6256sin(30t+26.5651o)

3-27 将温度计从20℃的空气中突然插入100℃的水中，若温度计的时间常数τ=2.5s ，则2s 后的温度计指示值是多少？

3-28 某测量装置的频率响应函数为1

()10.05H j j ωω

=

+，试问：1)该系统是什么系统? 2)

若输入周期信号()2cos100.8cos(10030)x t t t =+-，试求其稳态响应y (t)。

答: 1)一阶系统， 2) 一阶系统

:()A ω=

()arctan()?ωωτ=- 当ω=10

时，()(10)0.8944A A ω==

=

=

()(10)arctan()arctan(10*0.05)26.57o ?ω?ωτ==-=-=-

当ω=100

时，()(100)0.1961A A ω==

=

=

()(100)arctan()arctan(100*0.05)78.69o ?ω?ωτ==-=-=-

所以，

00

()2(10)cos(10(10))0.8(100)cos(1030(100))1.78cos(1026.56)0.156cos(10108.69)

y t A t A t t t ??=-+--=-+-

3-29 用时间常数为0.5的一阶装置进行测量，若被测参数按正弦规律变化，若要求装置指示值的幅值误差小于2%，问被测参数变化的最高频率是多少？如果被测参数的周期是2s 和5s ，问幅值误差是多少？

解：由题意可知：τ=0.5s, δ=|1-A(2πf)|×100％=(1-A(2πf))×100％<2% 则

02.0)25.0(11

12

被测参数的周期是5s 时，f=1/5=0.2Hz, δ=(1-A(2πf))×100％=(1-A(2×π×0.2))×100％=15.3%

3-30 已知某测试系统传递函数()1

10.5=+H s s

，当输入信号分别为1sin x t =π，2sin 4x t =π时，

试分别求系统稳态输出，并比较它们幅值变化和相位变化。

解：由题知，一阶装置的时间常数τ=0.5，当输入信号x (t)为正弦信号x 1(t)=sin πt 时，信号的角频率ω1=π，幅值A 1=1，初相位φ1=0；则

1()0.537A ω=

=

=

11()arctan()arctan(0.5)57.52o ?ωτωπ=-=-?=-

其输出信号的幅值为： A(ω1)*A 1=0.537*1=0.537

相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-57.52o；其输出信号为：y 1(t)=0.537sin(πt-57.52o)

当输入信号为x 2(t)= sin4πt 时，其角频率ω2=4π，幅值A 2=1，初相位φ1=0；则

2()0.1572A ω=

=

=

22()arctan()arctan(0.54)80.96o ?ωτωπ=-=-??=-

其输出信号的幅值为：A(ω2)*A 2=0.1572*1=0.1572

相位为：φ2－φ1=φ(ω1) →φ2=φ(ω1)+ φ1=-80.96o 其输出信号为：y 2(t)=0.1572sin(4πt-80.96o)

可以看出，对于信号1sin x t =π，其幅值由1变为0.537,相位由0 o变为-57.52o；对于信号2sin 4x t =π，其幅值由1变为0.1572,相位由0 o变为-80.96o；信号2sin 4x t =π的幅值和相位变化大于信号1sin x t =π的幅值和相位的变化。

3-31 对一个二阶系统输入单位阶跃信号后，测得响应中产生的第一个过冲量M 的数值为1.5，同时测得其周期为6.28s 。设已知装置的静态增益为3，试求该装置的传递函数和装置在无阻尼固有频率处的频率响应。

答: 由于静态增益为3，则max /3 1.5/30.5M M === 则

0.2155ξ=

=

从而， 1.02n ω=

=

=

=

于是，2

22

1.02()20.215 1.02 1.02H s s s =+??+

当n ωω=

时，11

() 2.32220.2155

n A ωξ=

=

=

==?

n 2

n 22()arctan arctan 1121n ωξωξπ?ωωω?? ?

??=-=-=--??

- ???

3-32一种力传感器可作为二阶系统处理。已知传感器的固有频率为800 Hz ，阻尼比为0.14，

问使用该传感器作频率为500Hz 和1000Hz 正弦变化的外力测试时，其振幅和相位角各为多少? 答: f=500Hz 时，

()(500) 1.5625A f A ==

=

=

o 22

50022800()(500)arctan arctan -16.023********n n f f f f f ξξ?????? ? ?????==-=-=????

-- ?

?????

f=1000Hz 时，

()(1000) 1.4599A f A ==

=

22

100022800()(1000)arctan arctan 31.8908100011800n n f f f f f ξξ?????? ? ?????==-=-=????

-- ? ?????

第五章

5-21 已知直流电桥R l =9725Ω，R 2=8820Ω，R 3=8550Ω，R 4=9875Ω，若激励电压U i =24V ，

试求输出电压U o ，若R 4可调，试求电桥平衡时的R 4值。

答： 1324

o i 12340.2774()()R R R R U U R R R R -==-++(V)

R 4=R1*R3/R2=9427.3Ω。

5-22选用电阻值R =100Ω，灵敏度S =2.5的电阻应变片与阻值R =100Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为10V ，当应变片应变为1000με时，若要使输出电压大于10mV ，则可采用何种接桥方式？计算输出电压值(设输出阻抗为无穷大)，并画出接线图。 解： 63// 2.5100010 2.510dR R R R S

ε--=?==??=?

而，33o i 0

2.510 2.5101025()i R

U K

U K U K K mV R --?==???=???=?，

要使U o 大于10mV ，则要求K>0.4。当为半桥单臂时，K=1/4=0.25；当为半桥双臂时，K=1/2=0.5；当为全桥时，K=1。因此应采用半桥双臂或全桥的接桥方式。

半桥双臂接法时，33o i 0

2.5100.5 2.5101012.5()i R

U K U K U mV R --?==???=???= 全桥法时，33o i 0

2.5101 2.5101025()i R

U K

U K U mV R --?==???=???= 图略。

5-23以阻值100Ω，灵敏度S =2的电阻应变片与阻值100Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为4V ，并假定负载电阻无穷大，当应变片上的应变分别为1με和1000με时，半桥单臂、半桥双臂及全桥的输出电压，并比较三种情况下的灵敏度。 解：1）应变为1με时，66//2110210dR R R R S

ε--=?==??=?

半桥单臂时，输出电压：661i o i 04

2102100.002()444R U U U mV R --?≈=??=??= 半桥双臂时，输出电压：66i o 04

2102100.004()222

U R U U mV R --?==??=??= 全桥时，输出电压：66o 0

21021040.008()i i R

U U U mV R --?=

=??=??= 2）应变为1000με时，

63//2100010210dR R R R S ε--=?==??=?

半桥单臂时，输出电压：331i o i 04

2102102()444R U U U mV R --?≈=??=??= 半桥双臂时，输出电压：33i o 04

2102104()222

U R U U mV R --?==??=??= 全桥时，输出电压：33o 0

21021048()i i R

U U U mV R --?=

=??=??= 半桥单臂、半桥双臂和全桥时，电桥的灵敏度分别为Ui/4,Ui/2和Ui ，仅与输入电压有关。

5-24 设一滤波器的传递函数H (s )=

1

0.00361

s ＋，(1)试求上、下截止频率；(2)画出其幅

频特性示意图。

解：滤波器传递函数符合低通滤波器的传递函数形式，因此，该滤波器为一低通滤波器。其

中，τ=0.0036。其下截止频率f c1=0Hz ，上截止频率为：

21144.209722c f τ=

==ππ0.0036g Hz 。 图略。

5-25如图5.38所示的周期性方波信号，让它通过一理想带通滤波器，该滤波器的增益为

0dB ，带宽B =30Hz ，中心频率f 0＝20Hz ，试求滤波器输出波形的幅频谱及均值x μ。

解: 0

20lg

0dB x

A A =，则0x A A =，即滤波器的增益为1。 方波的周期为：/21/24T =，所以1/12T =，0224T

π

ωπ== 周期性方波信号的三角函数展开为：000411

()(sin sin 3sin 5)35

A y t t t t ωωωπ=+++

带宽B=30Hz ，中心频率f 0＝20Hz ，则 12

0202

c c f f f +=

=，2130c c B f f =-=

解上述两式，则fc2=35Hz ，fc1=5Hz 。而0ω对于的频率为1

12f T

=

=Hz ，30ω对于的频率为：36f =Hz 。因此，滤波器仅能使得y(t)的基波输出，而高于基波的谐波被全部衰减掉。故滤波器的输出为：

4()sin 24A

y t t ππ

=

因此，输出波形的均值即为0