2020高一数学必修一：必修一总复习(1对1讲义)

必修一复习一、知识结构

集合

集合表示法

集

合

的

运

算集

合

的

关

系

列举法描

述

法

图

示

法

包

含

相

等

子集与真子集

交

集

并

集

补

集

函数

函

数

及

其

表

示

函

数

基

本

性

质

单

调

性

与

最

值

函

数

的

概

念

函

数

的

奇

偶

性

函

数

的

表

示

法

映射

映

射

的

概

念

集合与函数概念

基本初等函数(Ⅰ)

幂函数

有理指数幂整数指数幂

无理指数幂

运算性质

定义

对数

指数

对数函数

指数函数

互为反函数

图像与性质

定义定义

图像与性质

函数的应用

函数模型及其应用

函数与方程

对数函数

指数函数

几类不同增长的函数模型

二分法

函数的零点

用已知函数模型解决问题

建立实际问题的函数模型

二、考点解析

考点一：集合的定义及其关系 考点分析：

1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;

2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；

例1.定义集合运算：．设

，则集合的所有元素之和为（ ）

A ．0；

B ．2；

C ．3；

D ．6

考点二、集合间的基本关系 ，（）

经典考题：

例2.第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ） A ． B. C. D. 考点三、集合间的基本运算 考点分析

{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈{}{}1,2,0,2A B ==A B *A B A ?φφB φ≠B B A ?C B ?C B A =I A C B =Y

①两个集合的交集:= ; ②两个集合的并集: =; ③设全集是U,集合,则

经典考题：

例3．集合,,且,求实数的值.

例4.设集合，

（1） 若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围若，

考点四、求函数的定义域 考点分析：

(1)函数的定义：

设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到

A B I {}x x A x B ∈∈且A B U {}x x A x B ∈∈或A U ?U C A ={}x x U x A ∈?且{|10}A x ax =-={}2|320B x x x =-+=A B B =U a {}0232=+-=x x x A {}

0)5()1(22

2=-+++=a x a x x B {}2=B A I a A B A =Y a {}2=B A I B A 、f A x B A

的一个函数，通常记为

(2)函数的定义域、值域

在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数

的值域。

(2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念

设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为 经典考题：

例5．有解析式的函数的定义域 函数的定义域为( ) A.;B.；C. ;D.

例6.求抽象函数的定义域 设，则的定义域为（ ） A . ；B . ；C . ；D . 考点五、求函数值域

考点分析：

1． 求值域的几种常用方法

（1）配方法 （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基

本函数的值域来求，如函数就是利用函数和

的值域来求。

（3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数B A x x f y ∈=),(A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y =B A 、f A B A B B A f →:=

)(x f )4323ln(1

22+--++-x x x x x

),2[)4,(+∞--∞Y )1,0()0,4(Y -]1,0()0,4[,Y -)1,0()0,4[,Y -()x x x f -+=22lg

??

?

??+??? ??x f x f 22()()4,00,4Y -()()4,11,4Y --()()2,11,2Y --()()4,22,4Y --)32(log 2

2

1++-=x x y u y 2

1log =322++-=x x u 2

2122+-+=

x x x y

的值域 由得，若，则得，所以

是函数值域中的一个值；若，则由得

，故所求值域是 （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域 （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域 当时，；当时，，若，则 若，则，从而得所求值域是 （6）利用函数的单调性求求值域

（7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 经典考题：

例7．函数的值域是

例8．若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）

A ．；

B ．；

C ．；

D ． 考点六：求函数的解析式

考点分析：

一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法

1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、求函数的解析式的一般常用方法：

（1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法；

2

2122+-+=

x x x y 012)1(22

=-++-y x y yx 0=y 21-=x 0=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2≥--+-=?y y y 02

13

32133≠+≤≤-y y 且]2133,2133[+-4

32+=

x x

y 0=x 0=y 0≠x x

x y 43+

=

0>x 44

24=?≥+

x

x x x 0

x x x x x x ]4

3

,43[-1

21

2+-=x x y 234y x x =--[0,]m 25

[4]4

--，m (]4,03[3]2，3[]2，43[2

+∞，）

（2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法； （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 经典考题：

1．已知二次函数满足，求 方法一：换元法 令

，则，从而

所以 方法二：配凑法

因为 所以 方法三：待定系数法

因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以

2.已知函数满足，求

因为①

以代得② 由①②联立消去得

考点七：函数的单调性

考点分析：

1.函数的单调性定义：

设函数的定义域为，区间

如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，

)]([x g f )(x f )(x f 564)12(2+-=+x x x f )(x f )

(12R t t x ∈=+2

1-=

t x )(9552

1

6)21(

4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-?--=)(95)(2R x x x x f ∈+-=9)12(5)12(410)12(564)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f )(95)(2R x x x x f ∈+-=)(x f c bx ax x f ++=2)(564)12(2+-=+x x x f 951=-==c b a 、、)(95)(2R x x x x f ∈+-=)(x f x x

f x f 3)1

(2)(=+)(x f ΛΛx x f x f 3)1

(2)(=+x 1x ΛΛx x f x f 1

3)(2)1(?=+)1(x f )0(2

)(≠-=x x x

x f )(x f y =A A I ?I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f <

那么就说在区间上是单调增函数，称为的单调增区间

如果对于区间内的任意两个值，，当时，都有，那么就说在区间上是单调减函数，称为的单调减区间 经典考题：

例9.函数y ＝2x 2－(a －1)x ＋3在(－∞，1]内递减，在(1，＋∞)内递增，则a 的值是 ( )

A.1

B.3

C.5

D.－1 例10．函数的单调递减区间是（ ） A ．; B ．; C ．; D ． 例11. 研究抽象函数的单调性

定义在R 上的函数，，当x ＞0时，，且对任意的a 、b ∈R ，

有f （a +b ）=f （a ）·f （b ）. （1）求证：f （0）=1；

（2）求证：对任意的x ∈R ，恒有f （x ）＞0； （3）求证：f （x ）是R 上的增函数； （4）若f （x ）·f （2x －x 2）＞1，求x 的取值范围.

考点八：函数的奇偶性 考点分析：

函数的奇偶性的定义：

①对于函数的定义域内任意一个，都有〔或

〕，则称为奇函数. 奇函数的图象关于原点对称。

②对于函数的定义域内任意一个，都有〔或

〕，则称为偶函数. 偶函数的图象关于轴对称。

③通常采用图像或定义判断函数的奇偶性. 具有奇偶性的函数，其定义域原点关于对称（也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称） 经典考题：

)(x f y =I I )(x f y =I 1x 2x 21x x <)()(21x f x f >)(x f y =I I )(x f y =()()22log 4f x x x =-(0,4)(0,2)(2,4)(2,)+∞)(x f y =0)0(≠f 1)(>x f )(x f x )()(x f x f -=-0)()(=+-x f x f )(x f )(x f x )()(x f x f =-0)()(=--x f x f )(x f y

例12.判断下列函数的奇偶性：

(1)f (x )＝lg (12+x -x ); (2)f (x )＝2-x +x -2 (3) f （x ）=??

?>+<-).

0()

1(),0()1(x x x x x x

例13.设奇函数f (x )的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)且在(0，+∞)上单调递增，f (1)＝0，

解不等式：f ［x (x -2

1

)］＜0

例14.函数f （x ）的定义域为D ={x |x ≠0}，且满足对于任意x 1、x 2∈D ，有f （x 1·x 2）=f （x 1）+f （x 2）. （1）求f （1）的值；

（2）判断f （x ）的奇偶性并证明；

（3）如果f （4）=1，f （3x +1）+f （2x －6）≤3，且f （x ）在（0，+∞）上是增函数，求x 的取值范围.

考点九、指数幂的运算 考点分析：

（1）分数指数幂的意义:a n

m =n m

a ，a n

m -=n

m a

1

=n m

a 1

（a ＞0，m 、n 都是正整数，

n ＞1）.

（2）有理数指数幂的性质：

),,0,0()(;)(;Q s R r b a b a ab a a a a a r

r r rs s r s r s r ∈∈>>===?+

计算：

100.256

3

71.5()86-?-+[解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。

考点十、指数函数的图象及性质的应用 考点分析：

①_x0001_ 数函数的定义：一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. ②指数函数的图像

a > ）

1

(0

③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称. ④指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1.

当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.

画指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x 轴 是其渐近线 经典考题：

例15.不论a 为何正实数,函数1

2x y a +=-的图象一定通过一定点,则该定点的坐

标是_________

例16．不等式16

2

2

<-+x x

的解集是___________

例17.已知9x －10·3x +9≤0，求函数y =（41）x －1－4（2

1）x +2的最大值和最小值.

考点十一、对数运算 考点分析：

（1）若N a b =，则称b 是以a 为底的对数，记作log a b N =， a 叫做对数的底数，N 叫做真数．

（2）两种特殊对数：1log ,01log ==a a a （0>a 且1≠a ） （3）两种特殊记法：， N 10log =N lg ， N e log =N ln ． （4）将N b a log =代回N a b =得到一个常用公式N a N log a =． （5）对数的运算性质（0,0,1,0>>≠>N M a a ） ①N M MN a a a log log )(log += ②N M N

M

a a a log log log -= ③)(log log R n M n M a n a ∈= （6）对数换底公式： 换底公式：),0,1,0(log log log ≠>≠>=

c c a a a

N

N c c a

推论：（1）a b b a log 1log =

（2）b n

m

b a m a n log log = 经典考题：

例18．5411

log log 45

?的结果是

例19．计算：42

1938432log )2log 2)(log 3log 3(log -++=

考点十二、对数函数图像与性质 考点分析：

（1） 形如()10log ≠>=a a x y a 且叫做对数函数， （2）．对数函数的图象和性质

象

性

质

（1）定义域：(0,)

+∞；（2）值域： R.

（3）当0

,

1=

=y

x时，即过定点(1,0).

单调性：增函数单调性：减函数

经典考题：

例20．已知，则的大小关系是（）A． B． C． D．

例21.若，则（）

A．<<；B．<<；C．<<；D．<<

例22.若函数的定义域为M。当时，求

的最值

及相应的x的值。

例23．若函数是定义域为R的增函数，则函数

的图象大致是（）

考点十三、幂函数

(1,0)

考点分析：

一、幂函数的概念：一般地，形如（R ）的函数称为幂函数，其中是

自变量，是常数

二、幂函数的图像及性质

幂函数y x α

=（x ∈R ，α是常数）的图像在第一象限的分布规律是：2 （1）所有幂函数y x α

=（x ∈R ，α是常数）的图像都过点)1,1(； （2）当0α>时函数y x α

=的图像都过原点)0,0(；

（3）当1α>时，y x α

=的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如1c ） （4）当01α<<时，y x α

=的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如3c ）

（5）当0α<时，y x α

=的的图像不过原点)0,0(，且在第一象限是“下滑”曲线

（如4c ） 经典考题： 例24．求函数)(1

2N m x y m m ∈=++的定义域、值域，并判断其单调性

例25．若2

12

1)23()1(---<+a a ，则a 的取值范围是 考点十四、函数方程与根 考点分析：

一、函数的零点：方程0)(=x f 的实数根又叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 方程()0f x =有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点；

②如果函数()y f x =在区间(,)a b 上的图像是连续不断的，且有()()0f a f b ?<，则函数()y f x =在区间(,)a b 上有零点。

二、二分法：如果函数()y f x =在区间],[n m 上的图像是连续不断的一条曲线，且0)()(

间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 经典考题：

例26.求函数

222

3+--=x x x y 的零点.

例27. 求函数f(x)=lnx ＋2x －6的零点个数.

例28．设函数3y x =与22x

y -=的图象的交点为00()

x y ，，则0x 所在的区间是

（ ）

A ．(01)，

；B ．(12)，；C ．(23)，；D ．(34)，

课后作业： 一、选择题：

（1）函数2()log f x x =-与()2x g x -=在同一直角坐标系下的图象大致是下图中的

（ ）

（A ） （B ） （C ）

（D ）

（2）已知函数1()(4)212

≤，，，，x a x f x a

x x ?>?

=?-+??在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）

（A ）(1)，+∞ （B ）(18)， （C ）(48)， （D ）[48)，

（3）已知32log 0.6log 0.5lg0.71

1010()10

，，，a b c ===则（ ）

（A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c b a >> （D ）c a b >>

（4）已知函数22438()2[2221)2

()418()2[212)2

，，，，，，k x x k k f x k x x k k -?--+∈--??=?-?--∈-??（其中k ∈Z ）的定义

域为R ，则函数1

1y x

=-与()f x 的图象在区间[24]，-上所有交点的横坐标之

和为（ ） （A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8

（5）已知函数11()()()[()1]ln 21x y f x y g x g x f x x

-===-+?+及，且为奇函数.则下

列说法正确的是（ ）

（A ）为定义域上的奇函数)2

1

(-x f （B ）为定义域上的偶函数)(x f

（C ）()f x 的图像关于112（，）中心对称 （D ）()f x 的图像关于直线1

2

x =-

对称

（6）函数()f x 的定义域为D ，若满足：①()f x 在D 内是单调函数；②存在

[]a b D ?，

，()a b <使得()f x 在[]a b ，上的值域也是[]a b ，，则称()y f x =为闭函数.

若()f x k =+k 的取值范围是

（A ）()-+∞1，4 （B ）1[)2-+∞， （C ）11

[)24

--， （D ）

1

(0]4-，

（7）定义在R 上的函数()f x 满足2log (1)0()(1)(2)0.x x f x f x f x x -?=?

--->?

，，

，≤则(2009)f 的值为

（ ）

（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2

(8)定义在R 上的函数)(x f 满足：①0)0(=f ，②1)1()(=-+x f x f ，③

)(21)3(x f x f =，

且当1021≤<≤x x 时，)()(21x f x f ≤，则)8

1

()31(f f +等于（ ） A ．1 B ．43 C ．32 D ．2

1

(9)若函数???<++-≥--=2

,3)1(2,

2,2)5()(2x a x a x x x a x f 对任意∈21,x x R )(21x x ≠，都有

0)

()(2

121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为（ ）

A ．]1,(-∞

B ．)5,1(

C ．)5,1[

D ．]4,1[

二、填空题：

（1）函数)(x f 在R 上为奇函数，

且()10f x x =>，，则当0

=)(x f .

（2）已知8)(32005--+=x

b

ax x x f ，10)2(=-f ，则)2(f = .

（3）若1

()2

ax f x x +=+在区间(2+-∞，）上是增函数，则a 的取值范围是 .

（4）已知()1()2()6x f x x g x h x x =+==-+，，，设函数

()min{()()()}F x f x g x h x =，，，则()F x 的最大值为 . （5）已知()f x 是定义在区间[]，c c -上的奇函数，其图象如下图所示，令

()()g x af x b =+，则下列关于函数()g x （将正确选项的序号都填上）

①若0a <，0b =，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若1a =，02b <<，则方程()0g x =有大于2的实数根； ③若00，a b ≠≠，则函数(||)g x -的图象关于y 轴对称； ④若1a >，2b =时，则函数()g x 的图象与x 轴有2个交点.

（6）若函数()f x =

(1)a ≠在区间(01]，

上是减函数，则实数a 的取值范围

是 .

三、解答题：

（1）二次函数()f x 满足(1)()2f x f x x +-=，且(0)1f =.

（Ⅰ）求出()f x 的解析式； （Ⅱ）若(1]，x ∈-∞时，5(5)2(1)25x x x f m ??+>-恒成立，实数m 的取值范围.

（2）设()f x 是定义在R 上的函数，对任意实数m ，n ，都有 ()()()f m f n f m n ?=+，

且

当0x <时，()1f x >． （Ⅰ）证明：(0)1f =；

（Ⅱ）证明：当0x >时，0()1f x <<；

（Ⅲ）若()f x 是R 上的减函数，解关于x 的不等式2(31)(361)1(≥f x ax f x a a ?-+-++∈R).