高考数学《数列》分类汇编及解析
高考数学《数列》分类汇编及解析
一、选择题（共18题）
1．（北京卷）设4710310()22222()n f n n N +=+++++∈，则()f n 等于
（A ）2(81)7n - （B ）12(81)7n +- （C ）32(81)7n +- （D ）42
(81)7
n +-
解：依题意，()f n 为首项为2，公比为8的前n ＋4项求和，根据等比数列求和公式可得D
2．（北京卷）如果-1，a,b,c ,-9成等比数列，那么
（A ）b =3,ac =9 (B)b =-3,ac =9 (C)b =3,ac =-9 (D)b =-3,ac =-9 解：由等比数列的性质可得ac ＝（－1）×（－9）＝9，b ×b ＝9且b 与奇数项的符号相同，故b ＝－3，选B
3．（福建卷）在等差数列｛a n ｝中，已知a 1=2,a 2+a 3=13，则a 4+a 5+a 6等于 A.40 B.42 C.43 D.45
解：在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=∴ d =3，a 5=14，456a a a ++=3a 5=42，选B. 4．（广东卷）已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为
A.5
B.4
C. 3
D. 2
解：33025515
2051
1=???
?=+=+d d a d a ，故选C.
5．（湖北卷）若互不相等的实数,,a b c 成等差数列，,,c a b 成等比数列，且
310a b c ++=，则a =
A ．4
B ．2
C ．－2
D ．－4
解：由互不相等的实数,,a b c 成等差数列可设a ＝b －d ，c ＝b ＋d ，由3
10a b c ++=可b ＝2，所以a ＝2－d ，c ＝2＋d ，又,,c a b 成等比数列可得d ＝6，所以a ＝－4，
选D
6．（湖北卷）在等比数列｛a n ｝中，a 1＝1，a 10＝3，则23456789a a a a a a a a A. 81 B. 27527 C.
3 D. 243
解：因为数列｛a n ｝是等比数列，且a 1＝1，a 10＝3，所以23456789a a a a a a a a ＝ （a 2a 9）（a 3a 8）（a 4a 7）（a 5a 6）＝（a 1a 10）4＝34＝81，故选A
7．（江西卷）已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若1O a B ＝200OA a OC ＋，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过原点O ），则S 200＝（ ）
A ．100 B. 101 C.200 D.201 解：依题意，a 1＋a 200＝1，故选A
8．（江西卷）在各项均不为零的等差数列{}n a 中，若2
110(2)n n n a a a n +--+=≥，
则214n S n --=（ ）
Ａ．2-
Ｂ．0
Ｃ．1
Ｄ．2
解：设公差为d ，则a n ＋1＝a n ＋d ，a n －1＝a n －d ，由2110(2)n n n a a a n +--+=≥可得2a n －2n a ＝0，解得a n ＝2（零解舍去），故214n S n --=2×（2n －1）－4n ＝－2，
故选A
9．（辽宁卷） 在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于
(A)122n +- (B) 3n (C) 2n (D)31n - 【解析】因数列{}n a 为等比，则12n n a q -=，因数列{}1n a +也是等比数列， 则
22121122212
(1)(1)(1)22(12)01
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a q q q +++++++++=++?+=++?+=?+-=?=
即2n a =，所以2n S n =，故选择答案C 。
【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。
10．（全国卷I ）设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则111213a a a ++=
A ．120
B ．105
C ．90
D ．75 【解析】{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则25a =，13(5)(5)16a a d d =-+=，∴ d=3，1221035a a d =+=，111213a a a ++=105，选B.
11．（全国卷I ）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若735S =，则4a =
A ．8
B ．7
C ．6
D ．5 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若74735,S a == ∴ 4a =5，选D.
12．（全国II ）设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6
S 12＝
（A ）310 （B ）13 （C ）18 （D ）1
9 解析:由等差数列的求和公式可得
31161331,26153
S a d a d S a d +===+可得且0d ≠ 所以
6112161527312669010
S a d d S a d d +===+,故选A 【点评】本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般
13．（全国II ）已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ （A ）100 (B)210 (C)380 (D)400
解：d ＝42157
4422
a a --=
=-，1a ＝3，所以 10S ＝210，选B
14．(陕西卷)已知等差数列{a n }中,a 2+a 8=8,则该数列前9项和S 9等于( ) A.18 B.27 C.36 D.45
解：在等差数列{a n }中，a 2+a 8=8，∴ 198a a +=，则该数列前9项和S 9=199()
2
a a +=36，
选C
.15．（天津卷）已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、
1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于（ ）
A ．55
B ．70
C ．85
D ．100
解：数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，
其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于
1210b b b a a a ++
+=11119b b b a a a +++++，111(1)4b a a b =+-=，
∴ 11119b b b a a a +++++ =4561385+++
+=，选C.
16．（天津卷）设{}n a 是等差数列，1359a a a ++=，69a =，则这个数列的前6项和等于（ ） Ａ．12 Ｂ．24
Ｃ．36
Ｄ．48
解：{}n a 是等差数列，13533639,3,9.a a a a a a ++==== ∴ 12,1d a ==-，则这个数列的前6项和等于
166()
242
a a +=，选B.
17．(重庆卷)在等差数列｛a n ｝中，若a a+a b =12,S N 是数列｛a n ｝的前n 项和，则S N 的值为
（A ）48 (B)54 (C)60 (D)66 解：在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，则56a =，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S =1959()
92
a a a +==54，选B.
18．(重庆卷)在等差数列{}n a 中，若0n a >且3764a a =，5a 的值为
（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8
解：a 3a 7＝a 52＝64，又0n a >，所以5a 的值为8，故选D
二、填空题（共7题） 19．（广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,
堆最
底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表
示第n 堆的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表示）. 解：=)3(f 10，6
)
2)(1()(++=n n n n f
20．（湖南卷） 若数列{}n a 满足：1.2,111===+n a a a n n ，2，3….则
=+++n a a a 21
.
解：数列{}n a 满足：111,2, 1n n a a a n +===，2，3…，该数列为公比为2的等比数
列，∴ =
+++n a a a 2121
2121
n n -=--.
21．（江苏卷）对正整数n ，设曲线)1(x x y n -=在x ＝2处的切线与y 轴交点的纵坐标为n a ，则数列}1
{
+n a n
的前n 项和的公式是 【思路点拨】本题考查应用导数求曲线切线的斜率，数列通项公式以及等比数列
的前n 项和的公式
【正确解答】1(1)n n y nx n x -'=-+，曲线y=x n (1-x)在x=2处的切线的斜率为k=n2n-1-(n+1)2n
切点为（2，-2n ）,所以切线方程为y+2n =k(x-2),令x=0得 a n =(n+1)2n ,令b n =
21
n n
a n =+
.
…
数列?
??
???+1n a n 的前n 项和为2+22+23+…+2n =2n+1-2
【解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。
22．（山东卷）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，4S ＝14，S 10－7S ＝30，则S 9＝ .
解：设等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，由题意得,142
)
14(441=-+
d a 30]2)
17(77[]2)110(1010[11=-+--+
d a d a ，联立解得a 1=2,d=1，所以S 9＝5412
)19(929=?-+?
23．（浙江卷）设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若5,10105-==S S ,则公差为 （用数字作答）。
【考点分析】本题考查等差数列的前n 项和，基础题。 解析：设首项为1a ，公差为d ，由题得 141491922
254510101051
111-=?--=-????-=+=+???
?-=+=+d d d d a d a d a d a 【名师点拔】数学问题解决的本质是，你已知什么？从已知出发又能得出什么？完成了这些，也许水到渠成了。本题非常基础，等差数列的前n 项和公式的运用自然而然的就得出结论。
24．(重庆卷)在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________.
解析：在数列{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，∴ 132(3)(1)n n a a n ++=+≥，即{3n a +}是以134a +=为首项，2为公比的等比数列，113422n n n a -++=?=，所以该数列的通项n a =123n +-.
25．(重庆卷)在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项
n a = 。
解：由12(1)n n a a n +=+≥可得数列{}n a 为公差为2的等差数列，又11a =，所以n a =2n －1
三、解答题（共29题）
26．（安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211
,1,1,2,2
n n a S n a n n n ==--=???
（Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式； （Ⅱ）设()()()1
/,n n n n n S f x x b f p p R n
+=
=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。 解：由()21n n S n a n n =--()2n ≥得：()21()1n n n S n S S n n -=---，即
()221(1)1n n n S n S n n ---=-，所以
1111
n n n n
S S n n -+-=-，对2n ≥成立。 由1111n n n n S S n n -+-=-，121
112
n n n n S S n n ----=--，…，2132121S S -=相加得：1121n n S S n n +-=-，又1112S a ==，所以2
1
n n S n =+，当1n =时，也成立。 （Ⅱ）由()11
1
n n n n S n f x x x n n ++==
+，得()/n n n b f p np ==。 而23123(1)n n n T p p p n p np -=++++-+，
234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+， 2
3
1
1
1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p
p np
np p
-++--=+++
++-=--
27．（安徽卷）在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件
242
,1,2,1
n n S n n S n +==+，
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记(0)n a n n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。
解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ,由
2421n n S n S n +=+得：1213a a
a +=，所以22a =，即211d a a =-=，又1
211122()
42212
n n n n n n a nd a n S a nd a n a a n S a a n ++?+++===
+++?＝2(1)
1
n n a n a +++，所以n a n =。
（Ⅱ）由n a n n b a p =，得n
n b n p
=。所以23123(1)n n n T p p p n p np -=+++
+-+，
当1p =时，1
2
n n T +=； 当1p ≠时，
234123(1)n n n pT p p p n p np +=++++-+， 2
3
1
1
1(1)(1)1n n n n n n p p P T p p p p
p np
np p
-++--=+++
++-=--
即11
,12(1),11n n
n n p T p p np p p ++?=??
=?-?-≠?-?。
28．（北京卷）在数列{}n a 中，若12,a a 是正整数，且12||,3,4,5,n n n a a a n --=-=，
则称{}n a 为“绝对差数列”.
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前十项）； （Ⅱ）若“绝对差数列”{}n a 中，20213,0a a ==，
数列{}n b 满足12n n n n b a a a ++=++，1,2,3,
n =，分别判断当n →∞时，n a 与n b 的极限是否存在，如果存在，求出
其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项.
解：（Ⅰ）12345673,1,2,1,1,0,1a a a a a a a =======,89101,0, 1.a a a ===（答案不惟一）
（Ⅱ）因为在绝对差数列{}n a 中203a =,210a =.所以自第 20 项开始，该数列是203a =,210a =,2222242526273,3,0,3,3,,a a a a a a o ======??.?即自第 20 项开始。每三个相邻的项周期地取值 3，0，3. 所以当n →∞时，n a 的极限不存在. 当20n ≥时, 126n n n n b a a a ++=++=,所以lim 6n n b →∞
=
（Ⅲ）证明：根据定义，数列{}n a 必在有限项后出现零项.证明如下 假设{}n a 中没有零项，由于12n n n a a a --=-,所以对于任意的n ，都有1n a ≥,从而 当12n n a a -->时, 1211(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥; 当 12n n a a --<时, 2121(3)n n n n a a a a n ---=-≤-≥
即n a 的值要么比1n a -至少小1，要么比2n a -至少小1.
令21212221
2(),
(),n n n n n n n a a a C a a a --->?=?
则101(2,3,4,).A n C C n -<≤-=???
由于1C 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 10C <，这与
0n C >(1,2,3,,n =???) 矛盾. 从而{}n a 必有零项.
若第一次出现的零项为第n 项，记1(0)n a A A -=≠，则自第n 项开始，每三个相邻的项周期地取值 0，A , A , 即
331320,,0,1,2,3,,,
n k n k n k a a A k a
A +++++=??
==?????=? 所以绝对差数列{}n a 中有无穷多个为零的项.
29．（北京卷）设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (Ⅰ)若a 11=0,S 14=98,求数列｛a n ｝的通项公式；
(Ⅱ)若a 1≥6，a 11＞0，S 14≤77，求所有可能的数列｛a n ｝的通项公式. 解：（Ⅰ）由S 14=98得2a 1+13d =14, 又a 11=a 1+10d =0,故解得d =－2,a 1=20.
因此，{a n }的通项公式是a n =22－2n ,n =1,2,3…
（Ⅱ）由???
??≥?≤6,0,7711114a a S 得
?????≥?+≤+6,010,11132111a d a d a 即??
?
??-≤-?--≤+12
2,0202,11132111a d a d a
由①+②得－7d ＜11。即d ＞－
711
。 由①+③得13d ≤－1，即d ≤－13
1
于是－711＜d ≤－13
1
又d ∈Z ,故d =－1
将④代入①②得10＜a 1≤12. 又a 1∈Z ,故a 1=11或a 1=12.
所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是a n =12-n 和a n =13-n ,n =1,2,3,…
30。（福建卷）已知数列｛a n ｝满足a 1=1,a 1+n =2a n +1(n ∈N *) （Ⅰ）求数列｛a n ｝的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b n }满足4k1-14k2-1…4k-1=(a n +1)km (n ∈N *),证明:{b n }是等差数列; （Ⅲ）证明:
2
31213221n
a a a a a a n n n ＜＜++?++-(n ∈N *). 解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考
查综合解题能力。满分14分。 （I ）解：*121(),n n a a n N +=+∈
112(1),n n a a +∴+=+
{}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。 12.n n a ∴+=
即 2*21().n a n N =-∈
（II ）证法一：1211144...4(1).n n b b b b n a ---=+
12(...)42.n n b b b n nb +++-∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=
21(1)20.n n nb n b ++-++=
③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=
*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈
{}n b ∴是等差数列。 证法二：同证法一，得 1(1)20n n n b nb +--+= 令1,n =得1 2.b =
设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立。
（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么
122[2(1)]2[(1)1].1111k k k k b b k d k d k k k k +=
-=+--=++----- 这就是说，当1n k =+时，等式也成立。 根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*n N ∈都成立。
{}1,n n n b b d b +-=∴是等差数列。
（III
）证明：
1121211
,1,2,...,,1212
2(2)2
k k k k k k a k n a ++--==<=-- 12231 (2)
n n a a a n
a a a +∴
+++<
111211111111
.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232
k k k k k k
k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-
1222311111111
...(...)(1),2322223223
n n n n a a a n n n a a a +∴
+++≥-+++=-->- *122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +∴-<+++<∈
31．（福建卷）已知数列{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈ （I ）证明：数列{}1n n a a +-是等比数列；
（II ）求数列{}n a 的通项公式；
（II ）若数列{}n b 满足12111*44...4(1)(),n n b b b b n a n N ---=+∈证明{}n b 是等差数列。
解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。满分14分。 （I ）证明：2132,n n n a a a ++=-
21112*21
12(),1,3,2().
n n n n n n n n
a a a a a a a a n N a a ++++++∴-=-==-∴
=∈-
{}1n n a a +∴-是以21a a -2=为首项，2为公比的等比数列。 （II ）解：由（I ）得*12(),n n n a a n N +-=∈
112211()()...()n n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+
12*
22...2121().
n n n
n N --=++++=-∈
（III ）证明：1211144...4(1),n n b b b b n a ---=+
12(...)42,n n b b b nb +++∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ① 12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20.n n n b nb +--+= ③ 21(1)20.n n nb n b ++-++= ④ ④－③，得2120,n n n nb nb nb ++-+= 即2120,n n n b b b ++-+=
*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈
{}n b ∴是等差数列。
32．（广东卷）已知公比为(01)q q <<的无穷等比数列{}n a 各项的和为9，无穷等
比数列{}2n a 各项的和为
81
5
. (I)求数列{}n a 的首项1a 和公比q ；
(II)对给定的(1,2,3,,)k k n =，设()k T 是首项为k a ，公差为21k a -的等差数列，求(2)T 的前10项之和；
(III)设i b 为数列()k T 的第i 项，12n n S b b b =+++，求n S ，并求正整数(1)m m >，使
得lim
n
m
n S n →∞存在且不等于零. （注：无穷等比数列各项的和即当n →∞时该无穷等比数列前n 项和的极限）
解: (Ⅰ)依题意可知,???
??==????
????=-=-32358119
112121
q a q a q a
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,1
323-?
??
???=n n a ,所以数列)2(T 的的首项为221==a t ,公差
3122=-=a d ,
15539102
1
21010=???+
?=S ,即数列)2(T 的前10项之和为155. (Ⅲ) i b =()()121--+i i a i a =()()112---i a i i =()()1321231
--?
?
?
??--i i i ，
()()2132271845--??? ??+-=n n n S n
n ，m n n n S ∞→lim =∞→n lim ()m n
m m n n n n n n 2132271845--??
? ??+- 当m=2时，m n n n S ∞→lim =－2
1
，当m>2时，m n n n S ∞→lim =0，所以m=2
33．（湖北卷）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为
'()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）、设1
1
n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，
求使得20n m T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ；
点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基
本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。
解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a ≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得
a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[]
)1(2)132---n n （＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *∈）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知1
3
+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)161561(21+--n n ，
故T n ＝∑=n
i i b 1
＝
2
1
??
????
+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20
m
，
即m ≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.
34．（湖北卷）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n n S n N *∈均在函数y ＝3x －2的图像上。
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设1
3
+=
n n n a a b ，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20n m T <对所有n N *
∈都成立的最小正整数m 。
本小题主要是考查等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力。
解：（I ）依题意得，32,n n n
S =-即232n n n S =-。
当n ≥2时，a ()2
21(32)312(1)65n n n n n n n n a s s -??=-=-----=-??
;
当n=1时，113a s =-×21-2×1-1-6×1-5 所以5()6n n n N a =-∈。 （II ）由（I ）得[]131111(65)6(1)526561n n n b a a n n n n +??
=
==- ?-+--+??
， 故11
11111
11...277136561n
n b n n T =????????-=
-+-++- ? ? ???-+????????
∑=111261n ??- ?+??。 因此，使得111261n ??
- ?
+??﹤()20
m n N ∈成立的m 必须满足
12≤20
m ，即m ≥10,故满足要求的最小整数m 为10。
35．（湖南卷）在m （m ≥2）个不同数的排列P 1P 2…P n 中，若1≤i ＜j ≤m 时P i ＞P j （即前面某数大于后面某数），则称P i 与P j 构成一个逆序. 一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数. 记排列321)1()1( -+n n n 的逆序数为a n ，如排列21的逆序数11=a ，排列321的逆序数63=a . （Ⅰ）求a 4、a 5，并写出a n 的表达式； （Ⅱ）令n
n n n n a a
a a
b 11+++=
，证明32221+<++ 2 ) 1(12)1(+=+++-+=n n n n a n . （Ⅱ）因为 ,2,1,22 222211==+?+>+++=+= ++n n n n n n n n n a a a a b n n n n n ， 所以n b b b n 221>+++ . 又因为 ,2,1,2 2 2222=+-+=+++= n n n n n n n b n ， 所以)]2 11()4121()3111[(2221+-++-+-+=+++n n n b b b n =322 21232+<+-+-+n n n n . 综上， ,2,1,32221=+<++ 36．（江苏卷）设数列}{n a 、}{n b 、}{n c 满足：2+-=n n n a a b ，2132++++=n n n n a a a c （n =1,2,3,…），证明}{n a 为等差数列的充分必要条件是}{n c 为等差数列且1+≤n n b b （n =1,2,3,…） 本小题主要考查等差数列、充要条件等基础知识，考查综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力。 证明：必要性，设是{a n }公差为d 1的等差数列，则 b n+1–b n =(a n+1–a n+3) – (a n –a n+2)= (a n+1–a n ) – (a n+3–a n+2)= d 1– d 1=0 所以b n ≤b n+1 ( n=1,2,3,…)成立。 又c n+1–c n =(a n+1–a n )+2 (a n+2–a n+1)+3 (a n+3–a n+2)= d 1+2 d 1 +3d 1 =6d 1(常数) ( n=1,2,3,…) 所以数列{c n }为等差数列。 充分性： 设数列{c n }是公差为d 2的等差数列，且b n ≤b n+1 ( n=1,2,3,…) ∵c n =a n +2a n+1+3a n+2 ① ∴c n+2=a n+2+2a n+3+3a n+4 ② ①-②得c n –c n+2=（a n –a n+2）+2 (a n+1–a n+3)+3 (a n+2–a n+4)=b n +2b n+1+3b n+2 ∵c n –c n+2=( c n –c n+1)+( c n+1–c n+2)= –2 d 2 ∴b n +2b n+1+3b n+2=–2 d 2 ③ 从而有b n+1+2b n+2+3b n+3=–2 d 2 ④ ④-③得（b n+1–b n ）+2 (b n+2–b n+1)+3 (b n+3–b n+2)=0 ⑤ ∵b n+1–b n ≥0, b n+2–b n+1≥0 , b n+3–b n+2≥0, ∴由⑤得b n+1–b n =0 ( n=1,2,3,…)， 由此不妨设b n =d 3 ( n=1,2,3,…)则a n –a n+2= d 3(常数). 由此c n =a n +2a n+1+3a n+2= c n =4a n +2a n+1–3d 3 从而c n+1=4a n+1+2a n+2–5d 3 ， 两式相减得c n+1–c n=2( a n+1–a n ) –2d 3 因此1132311 ()22 n n c c a a c c d d d ++-=-+=+(常数) ( n=1,2,3,…) 所以数列{a n }公差等差数列。 【解后反思】理解公差d 的涵义，能把文字叙述转化为符号关系式.利用递推关系是解决数列的重要方法,要求考生熟练掌握等差数列的定义、通项公式及其由来. 天津市近五年高考数学试题分类汇总 [2011 ?天津卷]i是虚数单位，复数1 3i 1 i = C. 1 2i A. 2 i B. 2 i 【答案】A. 1 3i 【解析】'3i(1 3i)(1 i) 42i2 i. 1 i(1 i)(1 i)2 【2010】(1) i是虚数单位，复数 1 3i( 1 2i (A)1 + i(B)5+ 5i (C)-5-5i(D)-1 —i 5i 【2009,1】i是虚数单位，5=( ) 2 i (A) 1+2i(B) -1-2i(C) 1-2i 选择题1:—复数 【考点定位】本小题考查复数的运算，基础 题。) D. 1 2i (D) -1+2i 解析：旦5^ 2 i 5 1 2i，故选择D o 【2008 】 1. ?3 i是虚数单位i i 1() i是虚数单位，i1 (A) 1 (B) 1(C) i(D) i A 【2007】 2i3 1.i是虚数单位，——() 1 i A.1i B.1 i C.1 【答 案】 C 【分 析】2i32i3(1 i)2i(1 i)i 1，故选C 1i (1 i)(1 i)2 D. 1 i 2 (1)i 3 1,i 4 i,i1 复数运算技巧： 4n i 1,i 4n 1 4n 2 i,i 4n 3 hi n n 1n 2n 3 ■ i■ i■ i■ i0 复数概念、复数运算、共轭复数、复数几何意义。 (2)(1 i)2 2i i i A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 .1 i i,r _ i ⑷设 -1+凋 3 2 1, — 2 3 , 0 2 , 选择题 2: 充要条件与命题 [2011 ? 天津卷］设x,y R,则 2 2 “x 2 且 y 2 ”是“ x y 4 的 充分而不必要条件 A . B .必要而不充分条件 C . 充分必要条件 D .即不充分也不必要条件 【答案 】A 【解 析 】当x 2且y 2时， 「疋有x y 4 ；反过来当 【2010】(3)命题“若f(x)是奇函数，则f(-x)是奇函数”的否命题是 (A) 若f(x)是偶函数，则f(-x)是偶函数 (B) 若f(x)不是奇函数，则f(-x)不是奇函数 (C) 若f(-x)是奇函数，贝U f(x)是奇函数 (D) 若f(-x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数 B 【2009】(3)命题“存在x 0 R , 2x0 0”的否定是 (A )不存在 x 0 R, 2x0 >0 (B )存在 X 。R, 2x0 0 (C )对任意的x R, 2x 0 (D )对任意的x R, 2x >0 【考点定位】本小考查四种命题的改写，基础题。 解析：由题否定即“不存在 x 0 R ，使2x0 0”，故选择D o 【2007 】3." —"是"ta n 2cos — "的 3 2 x 2 y 2 4，不一定有x 2且y 2，例如x 4, y 0也可以，故选A 【2008】(4)设 a,b 是两条直线, 是两个平面，则a b 的一个充分条件是 C (A) a , b 〃 ， (C) a ,b , // (B) a ,b , // (D) a ,b 〃 , 2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距 离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （ 4 1 ，－1） B. （4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和 22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a 的点到右焦点 的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈ A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121 2015年高考数学试题分类汇编及答案解析（22个专题） 目录 专题一集合..................................................................................................................................................... 专题二函数..................................................................................................................................................... 专题三三角函数............................................................................................................................................ 专题四解三角形............................................................................................................................................ 专题五平面向量............................................................................................................................................ 专题六数列..................................................................................................................................................... 专题七不等式................................................................................................................................................. 专题八复数..................................................................................................................................................... 专题九导数及其应用................................................................................................................................... 专题十算法初步............................................................................................................................................ 专题十一常用逻辑用语 .............................................................................................................................. 专题十二推理与证明................................................................................................................................... 专题十三概率统计 ....................................................................................................................................... 专题十四空间向量、空间几何体、立体几何...................................................................................... 专题十五点、线、面的位置关系 ............................................................................................................ 专题十六平面几何初步 .............................................................................................................................. 专题十七圆锥曲线与方程.......................................................................................................................... 专题十八计数原理 ..................................................................................................................................... 专题十九几何证明选讲 ............................................................................................................................ 专题二十不等式选讲................................................................................................................................. 专题一 集合与常用逻辑用语 第一讲 集合 2018------2020年 1.（2020?北京卷）已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.（2020?全国1卷）设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a =（ ） A. –4 B. –2 C. 2 D. 4 3.（2020?全国2卷）已知集合U ={?2，?1，0，1，2，3}，A ={?1，0，1}，B ={1，2}，则()U A B ?=（ ） A. {?2，3} B. {?2，2，3} C. {?2，?1，0，3} D. {?2，?1，0，2，3} 4.（2020?全国3卷）已知集合{(,)|,,}A x y x y y x =∈≥*N ，{(,)|8}B x y x y =+=，则A B 中元素的个数为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 5.（2020?江苏卷）已知集合{1,0,1,2},{0,2,3}A B =-=，则A B =_____. 6.（2020?新全国1山东）设集合A ={x |1≤x ≤3}，B ={x |2 1. 高考数学数列题型专题汇总 1 一、选择题 2 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 3 条件中，使得()*∈ 2. 4、如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且 19 1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N ， 20 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N ，（P Q P Q ≠表示点与不重合）. 21 若1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则 22 23 A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 24 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 25 【答案】A 26 27 28 29 30 二、填空题 31 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 32 6=S _______.. 33 【答案】6 34 35 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 36 2019---2020年真题分类汇编 一、 集合(2019) 1，（全国1理1）已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N = A ．}{43x x -<< B ．}42{x x -<<- C ．}{22x x -<< D ．}{23x x << 2，（全国1文2）已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则U B A = A ．{}1,6 B ．{}1,7 C ．{}6,7 D ．{}1,6,7 3，（全国2理1）设集合A ={x |x 2–5x +6>0}，B ={x |x –1<0}，则A ∩B = A ．(–∞，1) B ．(–2，1) C ．(–3，–1) D ．(3，+∞) 4，（全国2文1）已知集合={|1}A x x >-，{|2}B x x =<，则A ∩B = A ．(-1，+∞) B ．(-∞，2) C ．(-1，2) D ．? 5，（全国3文、理1）已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}1,1- D ．{}0,1,2 6，（北京文，1）已知集合A ={x |–1 参考公式： 如果事件A 、B 互斥， 那么 球的表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π= 如果事件A 、B 相互独立， 那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B =g g 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ， 那么 33 4 V R π= n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径 ()(1)(0,1,2,)k k n k n n P k C p p k n -=-=… 普通高等学校招生全国统一考试 一、选择题 1、 复数 131i i -++= A 2+I B 2-I C 1+2i D 1- 2i 2、已知集合A ＝{1.3. m }， B ＝{1， m} ,A U B ＝A, 则m= A 0或3 B 0或3 C 1或3 D 1或3 3 椭圆的中心在原点， 焦距为 4 一条准线为x=-4 ， 则该椭圆的方程为 A 216x +212y =1 B 212x +28y =1 C 28x +24y =1 D 212x +24 y =1 4 已知正四棱柱ABCD- A 1B 1C 1D 1中 ， AB=2， CC 1=22 E 为CC 1的中点， 则直线AC 1与平面BED 的距离为 A 2 B 3 C 2 D 1 （5）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ， a 5=5， S 5=15， 则数列的前100项和为 (A) 100101 (B) 99101 (C) 99100 (D) 101 100 （6）△ABC 中， AB 边的高为CD ， 若 a·b=0， |a|=1， |b|=2， 则 (A) （B ） (C) (D) 历届高考数学压轴题汇总及答案 一、2019年高考数学上海卷：（本题满分18分） 已知等差数列{}n a 的公差(0,]d π∈，数列{}n b 满足()sin n n b a =，集合 {}*|,n S x x b n N ==∈． （1）若120,3 a d π ==，求集合S ； （2）若12 a π = ，求d 使得集合S 恰好有两个元素； （3）若集合S 恰好有三个元素：n T n b b +=，T 是不超过7的正整数，求T 的所有可能的 值． 二、2019年高考数学浙江卷：(本小题满分15分) 已知实数0a ≠,设函数()=ln 0.f x a x x +> (Ⅰ)当34 a =-时,求函数()f x 的单调区间； (Ⅱ)对任意21[ ,)e x ∈+∞均有()2f x a ≤ 求a 的取值范围. 注： 2.71828e =为自然对数的底数. 设2 *012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=+++ +∈N .已知2 3242a a a =. （1）求n 的值； （2）设(1n a =+*,a b ∈N ，求223a b -的值. 四、2018年高考数学上海卷：(本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分) 给定无穷数列{}n a ，若无穷数列{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有1n n b a -≤，则称{}n b 与{}n a “接近”。 (1)设{}n a 是首项为1，公比为1 2 的等比数列，11n n b a +=+，*n N ∈，判断数列{}n b 是否与{}n a 接近，并说明理由； (2)设数列{}n a 的前四项为：12341,248a a a a ====,,，{}n b 是一个与{}n a 接近的数列，记集合1,2,|,4{3,}i M x x b i ===，求M 中元素的个数m ； (3)已知{}n a 是公差为d 的等差数列，若存在数列{}n b 满足：{}n b 与{}n a 接近，且在 2132201200,,,b b b b b b ﹣﹣﹣中至少有100个为正数，求d 的取值范围． 题08 数列 1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =- B ． 310n a n =- C ．2 28n S n n =- D ．2 122 n S n n = - 【答案】A 【解析】由题知，415 144302 45d S a a a d ? =+??=???=+=?，解得132a d =-??=?，∴25n a n =-，2 4n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断． 2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8 C ．4 D ．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则23111142 111 15 34a a q a q a q a q a q a ?+++=?=+?， 解得11,2 a q =??=?，2 314a a q ∴==，故选C ． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2 +b ，n *∈N ，则 A ． 当101 ,102 b a = > B ． 当101 ,104 b a = > C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =-> 【答案】A 【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n * =∈N . 函数的综合及其应用 一、选择题 1．（2017天津）已知函数23,1, ()2 , 1.x x x f x x x x ?-+? =?+>? ? ≤设a ∈R ，若关于x 的不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立，则a 的取值范围是 A ．47[,2]16 - B ．4739 [,]1616- C ．[- D ．39 []16 - A 【解析】解法一 根据题意，作出()f x 的大致图象，如图所示 当1x ≤时，若要()| |2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需2 3()2 x x x a -+-+≥，即2302x x a -++≥，故对于方程2302x x a -++=，21 ()4(3)02a ?=--+≤，解得 4716a -≥；当1x >时，若要()||2x f x a +≥恒成立，结合图象，只需22 x x a x ++≥， 即22x a x +≥，又222x x +≥，当且仅当2 2x x =，即2x =时等号成立，所以2a ≤，综上，a 的取值范围是47 [,2]16 - ．选A ． 解法二 由题意()f x 的最小值为114，此时12 x =．不等式()||2x f x a +≥在R 上恒成立 等价于11 | |24 x a +≤在R 上恒成立． 当a =-1 2 x = ，11|| |28x -=>，不符合，排除C 、D ； 当3916a = 时，令12x =，394311 ||||216168 x +=>，不符合，排除B ．选A ． 二、填空题 x 1．（2017山东）若函数e ()x f x (e=2．71828L ，是自然对数的底数)在()f x 的定义域上单 调递增，则称函数()f x 具有M 性质，下列函数中具有M 性质的是 ． ①()2 x f x -= ②2 ()f x x = ③()3 x f x -= ④()cos f x x = ①④【解析】①()2()2 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递增，故()2x f x -=具有M 性质； ②()3()3 x x x x e e f x e -=?=在R 上单调递减，故()3x f x -=不具有M 性质； ③3 ()x x e f x e x =?，令3 ()x g x e x =?，则3 2 2()3(2)x x x g x e x e x x e x '=?+?=+， ∴当2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<， ∴3()x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调递减，在()2,-+∞上单调递增， 故()3 f x x =不具有M 性质； ④2 ()(2)x x e f x e x =+，令()() 22x g x e x =+， 则22 ()(2)2[(1)1]0x x x g x e x e x e x '=++?=++>， ∴2()(2)x x e f x e x =+在R 上单调递增，故2()2f x x =+具有M 性质． 2．（2017江苏）设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[0,1)上，2,(),x x D f x x x D ?∈=? ??其中集合1 {|,}n D x x n n -==∈*N ，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是 ． 8【解析】由于，则需考虑的情况， 在此范围内，且时，设，且互质， 若，则由，可设，且,m n 互质， 因此，则，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾， 因此， ()[0,1)f x ∈110x ≤ 精品文档 2018 年高考数学真题分类汇编 学大教育宝鸡清姜校区高数组2018 年7 月 1.（2018 全国卷 1 理科）设Z = 1- i + 2i 则 Z 1+ i 复数 = （ ） A.0 B. 1 C.1 D. 2 2（2018 全国卷 2 理科） 1 + 2i = ( ) 1 - 2i A. - 4 - 3 i B. - 4 + 3 i C. - 3 - 4 i D. - 3 + 4 i 5 5 5 5 5 5 5 5 3（2018 全国卷 3 理科） (1 + i )(2 - i ) = （ ） A. -3 - i B. -3 + i C. 3 - i D. 3 + i 4（2018 北京卷理科）在复平面内，复数 1 1 - i 的共轭复数对应的点位于（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5（2018 天津卷理科） i 是虚数单位，复数 6 + 7i = . 1+ 2i 6（2018 江苏卷）若复数 z 满足i ? z = 1 + 2i ，其中 i 是虚数单位，则 z 的实部为 ． 7（2018 上海卷）已知复数 z 满足（1+ i )z = 1- 7i （i 是虚数单位），则∣z ∣= ． 2 集合 1.（2018 全国卷1 理科）已知集合A ={x | x2 -x - 2 > 0 }则C R A =（） A. {x | -1 2012高考真题分类汇编：数列 一、选择题 1.【2012高考真题重庆理1】在等差数列}{n a 中，12=a ，54=a 则}{n a 的前5项和5S = A.7 B.15 C.20 D.25 【答案】B 【解析】因为12=a ，54=a ，所以64251=+=+a a a a ，所以数列的前5项和1562 52)(52)(542515=?=+=+=a a a a S ,选B. 2.【2012高考真题浙江理7】设n S 是公差为d （d ≠0）的无穷等差数列﹛a n ﹜的前n 项和，则下列命题错误的是 A.若d ＜0，则数列﹛S n ﹜有最大项 B.若数列﹛S n ﹜有最大项，则d ＜0 C.若数列﹛S n ﹜是递增数列，则对任意*N n ∈，均有0>n S D. 若对任意*N n ∈，均有0>n S ，则数列﹛S n ﹜是递增数列 【答案】C 【解析】选项C 显然是错的，举出反例：—1，0，1，2，3，…．满足数列{S n }是递增数列，但是S n ＞0不成立．故选C 。 3.【2012高考真题新课标理5】已知{} n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（ ） ()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7 【答案】D 【解析】因为}{n a 为等比数列，所以87465-==a a a a ，又274=+a a ，所以2474-==a a ，或4274=-=a a ，.若2474-==a a ，，解得18101=-=a a ，，7101-=+a a ；若4274=-=a a ，，解得18110=-=a a ，，仍有7101-=+a a ，综上选 D. 4.【2012高考真题上海理18】设25 sin 1πn n a n =，n n a a a S +++= 21，在 集合 【知识清单】 1.性质：确定性、互易性、无序性. 2.元素和集合的关系：属于“∈”、不属于“?”. 3.集合和集合的关系：子集（包含于“?”）、真子集（真包含于“≠ ?”）. 4.集合子集个数=n 2；真子集个数=12-n . 5.交集：{}B x A x x B A ∈∈=且| 并集：{}B x A x x B A ∈∈=或| 补集：{}A x U x x A C U ?∈=且| 6.空集是任何非空集合的真子集；是任何集合的子集. 题型一、集合概念 解决此类型题要注意以下两点： ①要时刻不忘运用集合的性质，用的最多的就是互易性； ②元素与集合的对应，如数对应数集，点对应点集. 【No.1 定义&性质】 1.下列命题中正确的个数是（ ） ①方程022=++-y x 的解集为{}2,2- ②集合{} R x x y y ∈-=,1|2 与{}R x x y y ∈-=,1|的公共元素所组成的集合是{}1,0 ③集合{}01|<-x x 与集合{}R a a x x ∈>,|没有公共元素 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：①中的式子是方程但不是一个函数，所以我们要求的解集不是x 的值所构 成的集合，而是x 和y 的值的集合，也就是一个点. 答案：A 详解：在①中方程022=++-y x 等价于? ??=+=-020 2y x ，即???-==22y x 。因此解集应为 (){}2,2-，错误； 在②中，由于集合{} R x x y y ∈-=,1|2的元素是y ，所以当R x ∈时，112-≥-=x y .同理， {}R x x y y ∈-=,1|中R y ∈，错误； 在③中，集合{}01|<-x x 即1 2014年1卷 1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ?= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2014年2卷 1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ?=( ) A. ｛1｝ B. ｛2｝ C. ｛0，1｝ D. ｛1，2｝ 2015年2卷 (1) 已知集合A =｛-2，-1，0，2｝，B =｛x |（x -1）（x +2）＜0｝，则A ∩B = （A ）｛-1，0｝ （B ）｛0，1｝ （C ）｛-1，0，1｝ （D ）｛0，1，2｝ 2016年1卷 （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =（ ） （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3 (,3)2 2016-2 （2）已知集合{1,}A =2,3，{|(1)(2)0,}B x x x x =+-<∈Z ，则A B =（ ） （A ）{1}（B ）{12}，（C ）{0123}，，，（D ）{10123}-，，，， 2016-3 （1）设集合{}{}(x 2)(x 3)0,T 0S x x x =--≥=> ，则S I T =（ ） (A) [2，3] (B)（-∞ ，2]U [3,+∞） (C) [3,+∞） (D)（0，2]U [3,+∞） 2017-1 1．已知集合A ={x |x <1}，B ={x |31x <}，则 A ．{|0}A B x x =< B ．A B =R C ．{|1}A B x x => D ．A B =? 2017-2 2.设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（ ） A ．{}1,3- B ．{}1,0 C ．{}1,3 D ．{}1,5 2017-3 1．已知集合A ={}22(,)1x y x y +=│ ，B ={}(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2018-1 2．已知集合{}220A x x x =-->，则A =R e A ．{}12x x -<< B ．{}12x x -≤≤ C ．}{}{|1|2x x x x <-> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥ 专题14 与数列相关的综合问题 考纲解读明方向 分析解读 1.会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和.2.能综合利用等差、等比数列的基本知识解决相关综合问题.3.数列递推关系、非等差、等比数列的求和是高考热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和.分值约为12分,难度中等. 2018年高考全景展示 1．【2018年浙江卷】已知成等比数列，且 ．若 ， 则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】分析:先证不等式，再确定公比的取值范围，进而作出判断. 详解：令则 ，令 得，所以当时， ，当 时， ，因此 ， 若公比 ，则 ，不合题意；若公比 ，则 但，即 ，不合题意；因此， ，选B. 点睛：构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如 2．【2018年浙江卷】已知集合，．将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，则使得成立的n的最小值为________． 【答案】27 【解析】分析：先根据等差数列以及等比数列的求和公式确定满足条件的项数的取值范围，再列不等式求满足条件的项数的最小值. 点睛：本题采用分组转化法求和，将原数列转化为一个等差数列与一个等比数列的和.分组转化法求和的常见类型主要有分段型（如），符号型（如），周期型（如）. 3．【2018年理数天津卷】设是等比数列，公比大于0，其前n项和为，是等差数列.已知，，，. （I）求和的通项公式； （II）设数列的前n项和为， （i）求； （ii）证明. 【答案】(Ⅰ)，；(Ⅱ)（i）.（ii）证明见解析. 【解析】分析：（I）由题意得到关于q的方程，解方程可得，则.结合等差数列通项公式可得（II）（i）由（I），有，则. （ii）因为，裂项求和可得. 详解：（I）设等比数列的公比为q.由可得.因为，可得，故.设等差数列的公差为d，由，可得由，可得 从而故所以数列的通项公式为，数列的通项公式为 （II）（i）由（I），有，故 . （ii）因为， 所以. 点睛：本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.天津市近五年高考数学真题分类汇总
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