2020年浙江省高考数学试卷及详细解答

2020年浙江省高考数学试卷及详细解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合P ={|14}<

A. {|12}x x <≤

B. {|23}x x <<

C. {|34}x x ≤<

D. {|14}<

Q == 故选：B

2. 已知a ∈R ，若a –1+(a –2)i (i 为虚数单位)是实数，则a =（ ） A. 1

B. –1

C. 2

D. –2

【解析】因为(1)(2)a a i -+-为实数，所以202a a -=∴=，，故选：C

3. 若实数x ，y 满足约束条件310

30

x y x y -+≤??+-≥?，则z =2x +y 的取值范围是（ ）

A. (,4]-∞

B. [4,)+∞

C. [5,)+∞

D. (,)-∞+∞

【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示， 目标函数即：11

22

y x z =-

+， 其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大，z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值， 联立直线方程：310

30

x y x y -+=??

+-=?，可得点A 的坐标为：()2,1A ，

据此可知目标函数的最小值为：min 2214z =+?=，且目标函数没有最大值. 故目标函数的取值范围是[)4,+∞. 故选：B .

4. 函数y =x cos x +sin x 在区间[–π，+π]的图象大致为（ ）

A.

B.

C. D.

【解析】因为()cos sin f x x x x =+，则()()cos sin f x x x x f x -=--=-， 即题中所给的函数为奇函数，函数图象关于坐标原点对称，

据此可知选项CD 错误；且x π=时，cos sin 0y ππππ=+=-<，据此可知选项B 错误，故选：A. 5.某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积（单位：cm 3）是（ ） A.

7

3

B.

143

C. 3

D. 6

【解析】由三视图可知，该几何体是上半部分是三棱锥，下半部分是三棱柱， 且三棱锥的一个侧面垂直于底面，且棱锥的高为1，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以几何体的体积为：

11117211212232233????

????+???=+= ? ?????

. 故选：A 6.已知空间中不过同一点的三条直线m ，n ，l ，则“m ，n ，l 在同一平面”是“m ，n ，l 两两相交”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【解析】【详解】依题意,,m n l 是空间不过同一点的三条直线， 当,,m n l 在同一平面时，可能////m n l ，故不能得出,,m n l 两两相交.

当,,m n l 两两相交时，设,,m n A m l B n l C ?=?=?=，根据公理2可知,m n 确定一个平面α，而

,B m C n αα∈?∈?，根据公理1可知，直线BC 即l α?，所以,,m n l 在同一平面.

综上所述，“,,m n l 在同一平面”是“,,m n l 两两相交”的必要不充分条件.故选：B 7. 已知等差数列{a n }的前n 项和S n ，公差d ≠0，1

1a d

≤．记b 1=S 2，b n+1=S n+2–S 2n ，n *∈N ，下列等式不可能成立的是（ ） A. 2a 4=a 2+a 6

B. 2b 4=b 2+b 6

C. 2

4

28a a a = D. 2

428b b b =

【解析】对于A ，因为数列{}n a 为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由4426+=+可得，

4262a a a =+，A 正确；对于B ，由题意可知，21212222n n n n n b S a a S ++++=+=-，1212b S a a ==+，

∴234b a a =+，478b a a =+，61112b a a =+，81516b a a =+． ∴()47822b a a =+，26341112b b a a a a +=+++．

根据等差数列的下标和性质，由31177,41288+=++=+可得

()26341112784=2=2b b a a a a a a b +=++++，B 正确；

对于C ，()()()()2

2

24281111137222a a a a d a d a d d a d d d a -=+-++=-=-，

当1a d =时，2

4

28a a a =，C 正确； 对于D ，()()22

2

22478111213452169b a a a d a a d d =+=+=++，

()()()()2228341516111125229468145b b a a a a a d a d a a d d =++=++=++，

()22428112416832b b b d a d d d a -=-=-．

当0d >时，1a d ≤，∴()113220d a d d a -=+->即2

4280b b b ->；

当0d <时，1a d ≥，∴()113220d a d d a -=+-<即24280b b b ->，所以2

4280b b b ->，D 不正确．

故选：D .

8. 已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|P A |–|PB |=2，且P 为函数y

=点，则|OP |=（ ）

A.

2

B.

5

C.

D.

【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，2

2

2

413b c a

=-=-=，即双曲线的右支方程为()2

2

103

y x x -=>，而点P

还在函数

y =

由()22

103y x x y ???->==??

，解得2x y ?=

????=??

，即OP == D. 9. 已知a ，b ∈R 且ab ≠0，若(x –a )(x –b )(x –2a –b )≥0在x ≥0上恒成立，则（ ）

A. a <0

B. a >0

C. b <0

D. b >0

【解析】【详解】因为0ab ≠，所以0a ≠且0b ≠，设()()()(2)f x x a x b x a b =----，则()

f x 的

零点

为123,,2x a x b x a b ===+，当0a >时，则23x x <，1>0x ，要使()0f x ≥，必有2a b a +=，且0b <， 即=-b a ，且0b <，所以0b <；当0a <时，则23x x >，10x <，要使()0f x ≥，必有0b <. 综上一定有0b <. 故选：C

【点晴】本题主要考查三次函数在给定区间上恒成立问题，考查学生分类讨论思想，是一道中档题. 10. 设集合S ，T ，S ?N *，T ?N *，S ，T 中至少有两个元素，且S ，T 满足： ①对于任意x ，y ∈S ，若x ≠y ，都有xy ∈T ②对于任意x ，y ∈T ，若x

x

∈S ； 下列命题正确的是（ ）

A. 若S 有4个元素，则S ∪T 有7个元素

B. 若S 有4个元素，则S ∪T 有6个元素

C. 若S 有3个元素，则S ∪T 有4个元素

D. 若S 有3个元素，则S ∪T 有5个元素 【答案】A

【解析】首先利用排除法：

若取{}1,2,4S =，则{}2,4,8T =，此时{}1,2,4,8S T =，包含4个元素，排除选项D ； 若取{}2,4,8S =，则{}8,16,32T =，此时{}2,4,8,16,32S

T =，包含5个元素，排除选项C ；

若取{}2,4,8,16S =，则{}8,16,32,64,128T =，此时{}2,4,8,16,32,64,128S T =，包含7个元素，排

除选项B ；

下面来说明选项A 的正确性：

设集合{}1234,,,S p p p p =，且1234p p p p <<<，*

1234,,,p p p p N ∈，

则1224p p p p <，且1224,p p p p T ∈，则

4

1

p S p ∈， 同理

42p S p ∈，43p S p ∈，32p S p ∈，31p S p ∈，21

p

S p ∈，

若11p =，则22p ≥，则

332p p p <，故322

p p p =即2

32p p =， 又444231p p p p p >

>>，故442232

p p p p p ==，所以3

42p p =，

故{

}

23

2221,,,S p p p =，此时522,p T p T ∈∈，故4

2p S ∈，矛盾，舍.

若12p ≥，则

32311p p p p p <<，故322111

,p p

p p p p ==即323121,p p p p ==， 又44441231p p p p p p p >

>>>，故441331

p p p p p ==，所以441p p =， 故{}

2

3

4

1111,,,S p p p p =，此时{

}

34567

11111,,,,p p p p p T ?. 若q T ∈， 则

31

q S p ∈，故131,1,2,3,4i q

p i p ==，故31,1,2,3,4i q p i +==， 即{

}

34

5

6

7

11111,,,,q p p p p p ∈，故{

}

34567

11111,,,,p p p p p T =， 此时{

}

2344567

11111111,,,,,,,S T p p p p p p p p ?=即S

T 中有7个元素.故A 正确. 故选：A .

非选择题部分（共110分）

二、填空题：本大题共7小题，共36分.多空题每小题6分，单空题每小题4分.

11. 已知数列{a n }满足(1)

=

2

n n n a +，则S 3=________． 【解析】 因为()

12

n n n a +=

，所以1231,3,6a a a ===． 即312313610S a a a =++=++=．故答案为：10.

12. 设()2345125345612 x a a x a x a x a x a x +=+++++，则a 5=________；a 1+a 2 + a 3=________．

【解析】5

(12)x +的通项为155(2)2r r r r r r T C x C x +==，令4r =，则444455280T C x x ==，故580a =；113355

135555222122a a a C C C ++=++=.

13. 已知tan 2θ=，则cos2θ=________；π

tan()4

θ-=______．

【解析】22222

2

2222

cos sin 1tan 123

cos 2cos sin cos sin 1tan 125

θθθθθθθθθ---=-====-+++， tan 1211

tan()41tan 123

πθθθ---===++.

14. 已知圆锥展开图的侧面积为2π，且为半圆，则底面半径为_______．

【解析】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则 21

222

r l r l ππππ??=??

???=?????，解得1,2r l ==.

故答案为：1

15. 设直线:(0)l y kx b k =+>，圆22

1:1C x y +=，22

2:(4)1C x y -+=，若直线l 与1C ，2C 都相切，则

k =_______；b =______．

【答案】

(1).

3

(2). 3

- 【解析】由题意，12,C C

1=

1=，

所以||4b k b =+，所以0k =（舍）或者2b k =-

，解得33

k b =

=-

. 16. 一个盒子里有1个红1个绿2个黄四个相同的球，每次拿一个，不放回，拿出红球即停，设拿出黄球的个数为ξ，则(0)P ξ==_______；()E ξ=______．

【解析】先确定0ξ=对应事件，再求对应概率得结果；第二空，先确定随机变量，再求对应概率，最后根据数学期望公式求结果.

因为0ξ=对应事件为第一次拿红球或第一次拿绿球，第二次拿红球， 所以1111

(0)4433

P ξ==

+?=， 随机变量0,1,2ξ=，

212111211(1)434324323P ξ==?+??+??=，111

(2)1333

P ξ==--=，

所以111

()0121333

E ξ=?+?+?=.

17. 设1e ，2e 为单位向量，满足21|22|-≤e e ，12a e e =+，123b e e =+，设a ，b 的夹角为θ，则2cos θ的最小值为_______．

【解析】12|2|2e e -≤，124412e e ∴-?+≤， 123

4

e e ∴?≥

， 2

22

12122

2

121212

(44)4(1)()cos (22)(106)

53e e e e a b e e e e e e a b

θ+?+??∴=

=

=

+?+?+??

12

424228(1)(1)3332953534

e e =-≥-=

+?+?

.

三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

18.（满分14分）在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2sin 3b A a =． （I ）求角B ；

（II ）求cos A +cos B +cos C 的取值范围．

【解析】（I ）由2sin 3b A a =结合正弦定理可得：3

2sin sin 3,sin 2

B A A B =∴= △AB

C 为锐角三角形，故3

B π

=.

（II ）结合(1)的结论有：

12cos cos cos cos cos 23A B C A A π??++=+

+- ???

131cos cos 222A A A =-++311cos 222

A A =++1

sin 62A π??=++ ???. 由203202

A A πππ?

<-

??可得：62A ππ<<，2363A πππ<+<，

则3sin 3A π???+∈? ?????，1313sin 232A π?+?

?++∈? ????

?. 即cos cos cos A B C ++的取值范围是313,22??

? ??

.

19.（满分15分）如图，三棱台DEF —ABC 中，面ADFC ⊥面ABC ，∠ACB =∠ACD =45°，DC =2BC ． （I ）证明：EF ⊥DB ；

（II ）求DF 与面DBC 所成角的正弦值．

【解析】（Ⅰ）作DH AC ⊥交AC 于H ，连接BH ． ∵平面ADFC ⊥平面ABC ，而平面ADFC

平面ABC AC =，

DH ?平面ADFC ，

∴DH ⊥平面ABC ，而BC ?平面ABC ，即有DH BC ⊥． ∵45ACB ACD ∠=∠=?，∴222CD CH BC CH BC ==?=．

在

CBH 中，22222cos 45BH CH BC CH BC BC =+-??=，即有222BH BC CH +=，∴BH BC ⊥．

由棱台的定义可知，//EF BC ，所以DH EF ⊥，BH EF ⊥，而BH DH H =，

∴EF ⊥平面BHD ，而BD ?平面BHD ，∴EF DB ⊥．

（Ⅱ）因为//DF CH ，所以DF 与平面DBC 所成角即为与CH 平面DBC 所成角． 作HG BD ⊥于G ，连接CG ，由（1）可知，BC ⊥平面BHD ， 因为所以平面BCD ⊥平面BHD ，而平面BCD

平面BHD BD =，

HG ?平面BHD ，∴HG ⊥平面BCD ．

即CH 在平面DBC 内的射影为CG ，HCG ∠即为所求角． 在Rt HGC △中，设BC a =，则2CH a =

，

22

33

BH DH a HG BD a ?=

==，

∴3sin 3

HG HCG CH ∠=

==

．故DF 与平面DBC 3

20.（满分15分）已知数列{a n }，{b n }，{c n }中，111112

1,,()n

n n n n n n b a b c c a a c c n b +++====-=

?∈*N ． （Ⅰ）若数列{b n }为等比数列，且公比0q >，且1236b b b +=，求q 与a n 的通项公式； （Ⅱ）若数列{b n }为等差数列，且公差0d >，证明：1211n c c c d

++

+<+

． 【解析】（I ）依题意21231,,b b q b q ===，而1236b b b +=，即2

16q q +=，由于0q >，

所以解得12q =

，所以112

n n b -=. 所以2

112

n n b ++=，故111

12412n n n n n c c c -++=?=?，所以数列{}n c 是首项为1，公比为4的等比数列，所以14n n c -=. 所以114n n n n a a c -+==-（*

2,n n N ≥∈）.

所以12

142144

.3

n n n a a --+=+++???+=

（II ）依题意设()111n b n d dn d =+-=+-，由于12

n n

n n c b c b ++=， 所以

111

n n n n c b

c b --+=()

*2,n n N ≥∈， 故1

32112

21n n n n n c c c c c c c c c c ---=

???

??12321

11143

n n n n n n b b b b b c b b b b b ---+-=?????

121111111111n n n n n n b b d b b d b b d b b +++????+??==-=+- ? ? ???????

. 所以121223*********n n n c c c d b b b b b b +????

??????++

+=+-+-+

+-?? ? ? ? ???????????11111n d b +????=+- ? ?

????

. 由于10,1d b >=，所以10n b +>，所以1111111n d b d +?

???+-<+ ?

?????

. 即121

1n c c c d

++?+<+

，*n N ∈. 21.（满分15分）如图，已知椭圆221:12

x C y +=，抛物线2

2:2(0)C y px p =>，点A 是椭圆1C 与抛物线

2C 的交点，过点A 的直线l 交椭圆1C 于点B ，交抛物线2C 于M （B ，M 不同于A ）．

（Ⅰ）若1

16

=

p ，求抛物线2C 的焦点坐标； （Ⅱ）若存在不过原点的直线l 使M 为线段AB 的中点，求p 的最大值． 【解析】（Ⅰ）当116=

p 时，2C 的方程为2

18

y x =，故抛物线2C 的焦点坐标为1(,0)32；

（Ⅱ）设()()()112200,,,,,,

:A x y B x y M x y I x y m λ=+，

由()2222222

2220x y y my m x y m

λλλ?+=?+++-=?

=+?， 12000

222

22,,222m m m

y y y x y m λλλλλλ--∴+=

==+=+++， 由M 在抛物线上，所以

()

22

22

22244222m pm m

p λλλλ

λ=?=+++， 又22222()220y px

y p y m y p y pm x y m

λλλ?=?=+?--=?

=+?， 012y y p λ∴+=，2101022x x y m y m p m λλλ∴+=+++=+，

212

2222m

x p m λλ

∴=+-

+. 由2

222142,?22x y x px y px ?+=??+=??=?

即2

420x px +-=

2214168

242p p x p p -++?==-+

2

2

2

22

1822228162p p p m p p p λλλλλ+?-=+?=++≥+，

18p ≥，2

1160p ≤

，40

p ≤

所以，p 的最大值为

40，此时A . 法2：设直线:(0,0)l x my t m t =+≠≠，()00,A x y .

将直线l 的方程代入椭圆221:12

x C y +=得：()222

2220m y mty t +++-=，

所以点M 的纵坐标为22

M mt

y m =-

+.

将直线l 的方程代入抛物线22:2C y px =得：2

220y pmy pt --=，

所以02M y y pt =-，解得(

)20

22

p m y m

+=，因此(

)

2

2

2

22

p m x

m

+=

，

由2

20012x y +=解得2

2

212242160m m p m m ????=+++ ? ????

?，

所以当m t ==

时，p .

22.（满分15分）已知12a <≤，函数()e x

f x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．

（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，

上有唯一零点； （Ⅱ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，

上的零点，证明：

0x ≤≤； （ⅱ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--． 【解析】 （I ）

()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，

2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，

所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点； （II ）（i ）

000()0,0x

f x e x a =∴--=，

002000012(1)x x

x e x x e x ≤?--≤≤--，

令2

2

()1(02),()1(02),2

x

x

x g x e x x x h x e x x =---<<=---<<

一方面：1()1(),x

h x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，

()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，

2

210,2(1)2

x

x x e x e x x ∴--->-->，

另一方面：1211a a <≤∴-≤，

所以当01x ≥0x ≤成立，

因此只需证明当01x <<时2

()10x

g x e x x =---≤， 因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=?=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},

(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，

()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，

综上，0

02000012(1),x x

e

x x e x x ∴--≤≤--≤≤（ii ）0000000()()()[(1)(2)]x

a a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，

00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，

0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)a

e e a a >≥-，

0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，

只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明2

2

4(2)(1)(1)a

e e a -≥--， 令2

2

()4(2)(1)(1),(12)a

s a e e a a =----<≤， 则2

2

()8(2)(1)8(2)(1)0a

a

s a e e e e e e '=---≥--->，

2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，

因此()0

x 0e

(e 1)(1)x f a a ≥--.