人教版高中数学必修2第二章直线、平面平行的判定及其性质 同步教案2

直线、平面平行的判定及其性质辅导教案

学生姓名性别年级学科数学

授课教师上课时间年月日

第（）次课

共（）次课

课时：2课时教学课题人教版必修2第二章直线、平面平行的判定及其性质同步教案2

教学目标

知识目标：理解并掌握直线与平面平行的判定性质定理，理解并掌握平面与平面平行的判定性质

定理

能力目标：利用判定定理证明线面平行问题，平面与平面平行

情感态度价值观：进一步提高学生学习热情

教学重点

与难点

重点：利用判定定理解决有关线面、面面平行问题．

难点：线线平行、线面平行、面面平行之间的转化

教学过程

（一）直线与平面平行的判定

知识梳理

直线与平面平行的判定定理

例题精讲

【题型一、线面平行判定定理的理解】

【例1】判断下列命题是否正确：

(1)一条直线平行于一个平面，这条直线就平行于平面内的任何直线；

(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；

(3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行；

(4)与两条异面直线都平行的平面有无穷多个．

【方法技巧】理解线面平行的定义和判定定理→逐个判断是否正确

【题型二、线面平行判定定理的应用】

【例2】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.

【方法技巧】： 1.应用判定定理证明线面平行的步骤

上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．

2．线面平行判定定理应用的误区

(1)条件罗列不全，最易忘记的条件是a?α与b?α.

(2)不能利用题目条件顺利地找到两平行直线．

3．证明直线与平面平行的方法

(1)定义：证明直线与平面无公共点(不易操作)．

(2)排除法：证明直线与平面不相交，直线也不在平面内．

(3)判定定理法．

变式1：如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′A′CC′.

●误区警示

易错点：忽略线面平行的判定定理使用的前提条件

例：如果两条平行直线a，b中的a∥α，那么b∥α.这个命题正确吗？为什么？

[错解] 这个命题正确．

∵a∥α，

∴在平面α内一定存在一条直线c，使a∥c.

又∵a∥b，∴b∥c，

∴b∥α.

[错因分析] 错误的原因是利用线面平行的判定定理时，忽略了定理使用的前提条件必须是平面外的一条直线与平面内的一条直线平行．本题条件中的直线b与平面α有两种位置关系：b∥α和b?α.

[正解] 这个命题不正确．

若b?α，∵a∥α，

∴在平面α内必存在一条直线c，使a∥c.

又∵a∥b，∴b∥c，∴b∥α.

若b?α，则不满足题意．综上所述，b与α的位置关系是b∥α或b?α.

巩固训练

1．三棱台ABC－A1B1C1中，直线AB与平面A1B1C1的位置关系是( )

A．相交B．平行 C．在平面内 D．不确定

2．平面α与△ABC的两边AB，AC分别交于D，E，且AD∶DB＝AE∶EC，如图所示，则BC与α的位置关系是( ) A．平行 B．相交

C．异面 D．BC?α

3．若l∥α，m?α，则l与m的关系是( )

A．l∥m B．l与m异面

C．l与m相交 D．l与m无公共点

4．能保证直线a与平面α平行的条件是( )

A．a?α，b?α，a∥b B．b?α，a∥b

C．b?α，c∥α，a∥b，a∥c D．b?α，A∈a，B∈a，C∈b，D∈b，且AC＝BD

5．如下图，长方体ABCD－A′B′C′D′中，

(1)与直线CD平行的平面是________；

(2)与直线CC′平行的平面是________；

(3)与直线CB平行的平面是________．

6．如图，在四棱锥P－ABCD中，点F是棱PD的中点，点E为CD的中点，试判断直线EF与平面PAC的关系，并说明理由．

（二）平面与平面平行的判定

知识梳理

平面与平面平行的判定定理

例题精讲

【题型一、平面与平面平行判定定理的理解】

【例1】

下列命题正确的是()

①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；

④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．

A．①③B．②④C．②③④D．③④

【方法技巧】：对面面平行的判定定理的理解

(1)定理可简记为：线面平行，则面面平行．这里的“线面”是指一个平面内的两条相交直线和另一个平面．

(2)用该定理判定两个平面平行需同时满足5个条件： a?α，b?α，a∩b＝A，a∥β，b∥β.

【题型二、两个平面平行的判定的应用】

【例2】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.

【方法技巧】平面与平面平行的判定方法：

(1)定义法：两个平面没有公共点；

(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；

(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；

(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.

【变式1】如图，已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA ＝BN∶ND＝PQ∶QD，求证：平面MNQ∥平面PBC.

【题型三、平行的综合问题】

【例3】已知底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD，点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥面AEC？证明你的结论，并说出点F的位置．

【方法技巧】探索性问题，一般采用执果索因的方法，假设求解的结果存在，从这个结果出发，寻找使这个结论成立的充分条件，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果要求的条件(出现矛盾)，则不存在．

巩固训练

1．六棱柱的表面中，互相平行的面最多有( )

A．2对B．3对 C．4对D．5

2．若两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，则这两个平面的公共点个数( )

A．有限个 B．无限个 C．没有 D．没有或无限个

3．已知一条直线与两个平行平面中的一个相交，则它必与另一个平面( )

A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或在平面内

4．若a，b，c，d是直线，α，β是平面，且a、b?α，c、d?β，且a∥c，b∥d，则平面α与平面β( ) A．平行B．相交 C．异面 D．不能确定

5．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：

①平面EFGH∥平面ABCD；

②平面PAD∥BC；

③平面PCD∥AB；

④平面PAD∥平面PAB.

其中正确的有________．(填序号)

6．如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，证明：平面A1BD∥平面CD1B1.

（三）直线与平面平行的性质

知识梳理

直线与平面平行的性质定理

例题精讲

【题型一、对线面平行性质定理的理解】

【例1】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

【方法技巧】利用线面平行性质定理解题的步骤：

【题型二、直线与平行性质定理的应用】

【例2】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC 的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．

【方法技巧】本题是对所学知识的一个初步综合，利用线面平行的判定定理和性质定理，完成了平面问题和空间问题的相互转化．

【题型三、对线面平行性质定理的理解】

【例3】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

【方法技巧】利用线面平行性质定理解题的步骤：

【题型四、线面平行的性质定理与判定定理的综合应用】

【例4】已知如右图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，M是PC的中点，在DM 上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.

【方法技巧】线面平行的性质定理与判定定理的应用方法：

(1)线线平行与线面平行的相互转化

(2)要证线线平行，需证线面平行，而线面平行又要由线线平行来证，故线线平行与线面平行的相互转化，即线面平行的判定定理与性质定理的灵活应用是解决这类问题的关键．

巩固训练

1．如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则( )

A．EF与BC相交

B．EF∥BC

C．EF与BC异面

D．以上均有可能

2．若AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则过它们中点的平面和直线AC的位置关系是( )

A．平行B．相交 C．AC在此平面内 D．平行或相交

3．已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是( )

A．c与a，b都是异面 B．c与a，b都相交

C．c至少与a，b中的一条相交 D．c与a，b都平行

4．对于直线m、n和平面α，下面叙述正确的是( )

A．如果m?α，n?α，m、n是异面直线，那么n∥α

B．如果m?α，n与α相交，那么m、n是异面直线

C．如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

D．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n

5．已知异面直线l，m，且l∥平面α，m?平面α，l?平面β，α∩β＝n，则直线m，n的位置关系是________．6．如图所示，四边形ABCD是矩形，P?平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于E，交DP于F.

求证：四边形BCFE是梯形．

（四）平面与平面平行的性质

知识梳理

平面与平面平行的性质定理

空间中各种平行关系相互转化关系的示意图

例题精讲

【题型一、对面面平行性质的理解】

【例1】(1)平面α∥平面β，直线a?α，直线b?β，下面四种情形：

①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交，其中可能出现的情形有()

A．1种B．2种C．3种D．4种

(2)给出四种说法：

①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ； ②若平面α∥平面β，直线a 与α相交，则a 与β相交； ③若平面α∥平面β，P ∈α，PQ ∥β，则PQ ?α； ④若直线a ∥平面β，直线b ∥平面α，且α∥β，则a ∥b . 其中正确说法的序号是________．

【方法技巧】常用的面面平行的其他几个性质

(1)两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面． (2)夹在两个平行平面之间的平行线段长度相等． (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．

(5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行．

【题型二、用平面与平面平行的性质定理证明线线平行】

【例2】(1)如图，已知平面α∥β，P ?α且P ?β，过点P 的直线m 与α，β分别交于A ，C ，过点P 的直线n 与α，β分别交于B ，D ，且PA ＝6，AC ＝9，PD ＝8，则BD 的长为________．

(2)已知：如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D ，D 1分别为AC ，A 1C 1上的点．若平面BC 1D ∥平面AB 1D 1，求

DC

AD

的值．

【方法技巧】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

【题型三、线线平行、线面平行和面面平行的综合应用】

【例1】如下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F、P、Q分别是BC、C1D1、AD1、BD的中点．

(1)求证：PQ∥平面DCC1D1.

(2)求证：EF∥平面BB1D1D.

【方法技巧】

(1)证明线面平行的方法主要有三种：

①应用线面平行的定义；

②应用线面平行的判定定理；

③应用面面平行的性质，即“两个平面平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面．”

(2)应用平面与平面平行的性质证题的关键是找到过直线和已知平面平行的平面并给予证明，这时注意线线平行，线面平行和面面平行之间的相互转化．本题法一使用线面平行的判定定理；法二利用面面平行的性质．

巩固训练

1．若α∥β，a?α，b?β，下列几种说法中正确的是( )

①a∥b；②a与β内无数条直线平行；③a与β内的任何一条直线都不垂直；④a∥β.

A．①②B．②④ C．②③ D．①③④

2．已知长方体ABCD－A′B′C′D′中，平面α∩平面AC＝EF，平面α∩平面A′C′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )

A．平行B．相交 C．异面D．不确定

3．如果平面α平行于平面β，那么( )

A．平面α内任意直线都平行于平面β B．平面α内仅有两条相交直线平行于平面βC．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线 D．平面α内的直线与平面β内的直线不能垂直

4．已知平面α∥平面β，P?α，P?β，过点P的两直线分别交α、β于A、B和C、D四点，A、C∈α，B、D∈β，且PA＝6，AB＝2，BD＝12，则AC之长为( )

A．10或18 B．9 C．18或9 D．6

5．如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.

求证：EF∥平面BB′C′C.

课后作业

【基础巩固】

1．圆台的底面内的任意一条直径与另一个底面的位置关系是()

A．平行B．相交

C．在平面内D．不确定

2．下列命题：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与这个平面平行；

②过直线外一点，可以作无数个平面与这条直线平行；

③如果一条直线与平面平行，则它与平面内的任何直线平行．

其中正确命题的个数为()

A．0个B．1个

C．2个D．3个

3．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列正确的是()

A．平面ABCD∥平面ABB′A′

B．平面ABCD∥平面ADD′A′

C．平面ABCD∥平面CDD′C′

D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′

4．正方体ABCD－A1B1C1D1中，截面BA1C1与直线AC的位置关系是()

A．AC∥截面BA1C1B．AC与截面BA1C1相交

C．AC在截面BA1C1内D．以上答案都错误

5．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，S，E，G分别是B1D1，BC，SC的中点．求证：直线EG∥平面BDD1B1.

6．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、H 分别是棱A 1B 1、D 1C 1上的点，且EH ∥A 1D 1，过EH 的平面与棱BB 1，CC 1相交，交点分别为F 、G .求证：FG ∥平面ADD 1A 1.

【能力提升】

1．平面α∥平面β，△ABC ，△A ′B ′C ′分别在α、β内，线段AA ′，BB ′，CC ′共点于O ，O 在α、β之间．若AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝60°，OA OA ′＝32，则△A ′B ′C ′的面积为( )

A ．

3

9

B ．

33

C ．239

D ．233

2．如图，已知P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别是AB 、PC 的中点．

(1)求证：MN ∥平面PAD ；

(2)若MN ＝BC ＝4，PA ＝43，求异面直线PA 与MN 所成的角的大小．

3. 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点E，F分别是棱CC1，BB1上的点，点M是线段AC上的动点，

EC＝2FB＝2，若MB∥平面AEF，试判断点M在何位置．

4．如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为矩形，E，F，H分别为AB，CD，PD的中点．求证：平面AFH∥平面PCE.