第11章 机械波
第11章机械波
振动在空间的传播过程称为波动（wave motion），简称波。它是自然界中一种重要而常见的运动形式。波动通常按照传播的物理量来分类。机械振动在弹性介质中的传播过程，称为机械波(mechanical wave)。如绳子上的波和声波等。变化的电场和变化的磁场在空间的传播过程，称为电磁波。如无线电波和光波等。近代物理还指出，微观粒子也具有波动性，这种波称为实物波或德布罗意波。各类波虽然其本质不同，但都具有波动的共同特征。并遵从相似的规律。本章我们以最简单，最典型的一种机械波——简谐波(simple harmonic wave)为例，来介绍波的一般表达式及其特征。并在此基础上描述波的能量、波的传播规律--惠更斯原理、以及波的叠加原理和驻波等现象。
通过本章的学习，理解机械波形成和传播的条件；掌握平面简谐波的波函数及其物理意义；理解波的能量传播特征；理解波的叠加原理及干涉现象；理解行波和驻波的区别及半波损失的概念。
11. 1 波动的基本概念
11.1.1 机械波的产生和传播
室内的闹钟，以发条的振动产生声波，我们能听到嘀嗒嘀嗒的声音。但将闹钟置于玻璃罩内，并将罩内空气缓缓抽出，直至真空，嘀嗒之声也渐渐减弱，乃至消失。这说明机械波的产生要有两个条件：一是做机械振动的物体即波源(wave source)，二是能够传播机械振动的弹性介质(elastic medium)。
图11.1表示的是一根沿x轴放置的绳子中传播的机械波。我们可以认为绳子是由许多质点组成的，各质点间以弹性力相联系。绳子的左端O点即是波源，它在作简谐振动。当它离开平衡位置时，必与邻近质点间产生弹性力的作用，此弹性力既迫使它回到平衡位置，同时也使邻近质点离开平衡位置参与振动。这样在波源的带动下，就有波不断地从O点生成，并沿x轴向前传播，形成波动。
设t=0时，O点的相位是-π/2，O点在平衡位置，且向正方向运动；t=T/4时，O点的相位变为0，O点在正的最大位移处。此时O点的下一个考察点a，处在平衡位置，且向正方向运动，即相位为-π/2，这正是t=0时O点的相位。t=T/2时，O点的相位为π/2，O点在平衡位置，且向负方向运动。此时a点的相位为0，a点下一个考察点b的相位为-π/2……，以此类推，t=T时，从O点开始，沿传播的方向看过去，O、a、b、c、d各点的相位依次为3π/2、π、π/2、0、-π/2，是由近及远依次落后的。
由此可见，介质中各质点振动的周期与波源相同，波的传播实质是相位的传播，即振动状态的传播。在波的传播过程中，媒质中的各质点并不随波前进，而是在各自的平衡位置附近振动。所以波动是介质整体所表现出的运动状态。对于介质中的单个质点，只有振动而言。
质点的振动方向与波的传播方向垂直的波叫横波(transversal wave)，如绳子上的波就是横波；质点的振动方向与波的传播方向平行的波叫纵波(longitudinal wave)，如空气中的声波就是纵波。横波和纵波是两种最基本的波，除了质点振动方向与波传播方向之间的差异外，其他性质无根本区别，故对横波的讨论也适用于纵波，对纵波的讨论也适用于横波。各种复杂的波也常可分解为横波和纵波来研究。
11.1.2 波的几何描述
为了形象地描述波在空间的传播，引入波线和波面的概念。从波源沿波的各传播方向所画的带箭头的线，称为波线(wave line)，也叫波射线.它表示了波的传播路径和方向。波在传播过程中，任一时刻媒质中所有振动相位相同(即振动状态相同)的点连成的面，称为波面(wave surface)，也叫波阵面或同相面。显然波在传播过程中有许多个波面；而某一时刻，最前面的波面，就称为该时刻的波前（wave front ）。在各向同性的均匀介质中，波线与波面相垂直。
波面有不同的形状。一个点波源在各向同性的均匀介质中激发的波，其波面是一系列同心球面，这样的波称为球面波(spherical wave)。而波面为平面的波，称之为平面波(plane wave)。当球面波传播到足够远时，如果观察范围不大，波面近似为平面，可以认为是平面波。图11.2(a)和(b)分别表示出球面波的波面和平面波的波面。图中带箭头的直线表示波线。
在二维空间中，波面退化为线。平面波的波面退化为一系列的直线，球面波的波面退化为一系列的同心圆，如图11.3（a ）和(b)所示。
11.1.3 描述波的物理量
图11.3 二维空间中的平面波与球面波
（1）波长
波在传播过程中，沿同一波线上位相差为π2的两个相邻质点之间的距离为一个波长(wavelenght)，用λ表示。因此波长就是一个完整波的长度。对横波来说，它等于相邻两个波峰之间或相邻两个波谷之间的距离；对纵波来说，它等于相邻两个密部中心或相邻两个疏部中心之间的距离。
（2）周期与频率
一个完整的波通过波线上某点所需的时间，称为振动的周期，用T 表示。由振动产生的波动效应可知，波源完成一次全振动，其振动状态就传出一个波长的距离。因此波动的周期等于振动的周期，与介质无关。
波的频率表示在单位时间内通过波线上某点的完整波的数目。显然等于周期的倒数，用ν表示。 （3）波速
振动状态在单位时间内传播的距离称为波速(wave velocity)，用u 表示。 由这些物理量的定义可知
uT =λ （11.1）
νλλ==T u / （11.2）
上两式是波长、周期、与波速之间的基本关系，具有普遍意义，适用各类波。
理论与实验都证明，波速的大小取决于介质的性质，在不同的介质中，波速是不同的。而波的频率只决定于波源，与介质无关，因此同一频率的波在不同介质中传播时，其波长是不同的。 例11.1 频率为3000Hz 的机械波，以1560m/s 的速度在介质中传播，由A 点传到B 点。两点之间的距离为0.13m ，质点振动的振幅为1cm 。求： （1）B 点的振动落后于A 点的时间； （2）A 、B 两点之间相当于多少个波长； （3）振动速度的最大值是多少； 解 已知：3000
/1/1==νT
s ，u=1560 m·s -1。利用波长关系式得
52.0/==νλu m
(1)B 点的振动落后于A 点的时间为
T
s s u
x u
x x t A
B 4112000
110
56.113.03
=
=
?=
?=
-=
?
即B 点比A 点落后4/1周期。 (2)
4
152
.013.0=
=
?λ
x
A 、
B 之距相当于四分之一波长
（3）188
3000210
2
=??==-πωυA m （m ·s -1
）
11. 2 平面简谐波 波动方程
在一般情况下，波动是很复杂的。但存在一种最简单、最基本的波，这就是波源在做简谐振动时，引起介质中的质点也做简谐振动而形成的波，这种波称为简谐波。若其波阵面为平面，则称为平面简谐波(plance simple harmonic wave)。
为了定量描述介质中大量质点参与的这种集体运动，需引入一个函数表示。如一列沿x 方向传播的波，要描述它，就应该能说明介质中任意位置x 处的质点在任意时刻t 的位移y 如何。显然y 应是t x 、的函数，即)(t x y y 、=，这个函数称为波函数(wave function)。我们以平面简谐波为例，讨论建立波函数的方法，并推出波动满足的一般方程式。
11.2.1 平面简谐波的波函数
如图11.4所示，在均匀各向同性介质中有一列平面简谐波沿x 轴的正向传播，波速为u 。取任意一条波线为x 轴，O 为x 轴的原点，设O 处(即x =0处)质点的振动方程为
式中，A 是振幅，ω是角频率。若在波传播过程中，不考虑能量损失，则振幅在传播过程中保持不变。
考察波线上任意一点B 的振动。在某一时刻，B 点将重复O 点的振动。设B 点的坐标为x ，故B 点振动的相位比O 点落后，落后的时间为u x t /=?，也就是说B 点在t 时刻的振动状态将是O 点在t t ?-时刻的振动状态，故B 点的振动振动方程为
?
?
????+???
??-=?ωu x t A y cos (11.3)
上式表示的是波线上任意点（坐标为x ）的振动方程，因此也就是沿x 轴方向传播的平面简谐波的波函数。
因为uT T ===λπνπω,2/2，（11.3）式又可写成 ])(2c o s [])(2c o s [])(
2c o s [?λ
π
?λ
νπ?λ
π+-=+-
=+-=ut x A x
t A x
T t A y (11.4)
如果波沿x 轴负向传播，B 点将超前于O 点振动，超前的时间是u x t /=?。因此，t 时刻B 点的振动状态就是t t ?+时刻O 点的振动状态，此时波函数为
])(c o s [?ω++
=u
x t A y （11.5）
显然波函数中含有x 和t 两个变量，如果x 确定（即只考察介质中x 处振动的质点），那么位移y 只是t 的周期函数，即)(t y y =，该方程是x 处质点的振动方程，由该方程绘出的曲线就是该质点的振动曲线。图11.5(a )中绘出的即是一列简谐波在x=0处质点的振动曲线；如果波动方程中的t 确定，那么位移y 只是x 的周期函数，即)(x y y =，该方程可给出t 时刻波线上各个质点的位移。由该方程绘出的曲线即是t （已知）时刻的波形（wave shape ）曲线。如图11.5(b )绘出的是t=0时，一列沿x 方向传播的简谐波的波形曲线。故此方程也叫波形方程（wave shape equation ）。
在一般情况下，波函数中的x 和t 都是变量。这时波函数具有最完整的含义，它包含了无数个时刻的波形方程。例如，在t 时刻，x 处质点的位移为y ，经过?t 时间后，位移y 出现在x x ?+处，由式(11.3)可得
))(cos())(cos(?ω?ω+?+-
?+=+-u
x x t t A u
x t A
由此得出
t u x ?=? 这说明波形以波速沿波线平移，振动状态也以波速沿波的传播方向传播。图11.6画出了t 时刻和t t ?+时刻的两条波形曲线。
可见，不同时刻的波形曲线记录的是不同时刻各质点的位移，就象该时刻波的照片。而波动是动态的，犹如这些照片的连续放映，表现为波形沿着波线以波速u 向前推进，每一个周期T 推进一个波长λ。因此我们又称这样的波为行波(travelling wave)。
11.2.2 波动方程
令式(11.3)中的0=?，波函数为
?
?? ?
?
-=u x t A y ωcos
将上式分别对时间t 和位置x 求二阶导数，得
)
(cos )
(cos 2
22
22
22
u
x t u
A
x
y u x t A t
y -
-=??-
-=??ωω
ωω
比较两式，得
2
2
2
22
1t
y u
x
y ??=
?? (11.6)
上式是一维平面简谐波满足的波的动力学方程，也称波动方程（wave motion equation ）。可以证明该方程虽由平面简谐波得出，但它却是各种一维平面波都满足的微分方程，故称一维平面波的波动方程。
推广到一般情况，在无吸收的、各向同性的均匀介质三维空间中传播的一切波动过程，均满足下列方程
2
2
2
2
2
2
2
22
1t
u
z
y
x
??=
??+
??+
??ψψψψ （11.7）
上式是一般形式的波动方程，它是物理学中的重要方程之一。波动方程意义在于任何物质的运动，只要它的运动规律满足式（11.7），就表明它是以u 为传播速度的波动过程。式中ψ不仅局限于位移，它可代表任何物理量。例如在电磁波中，它就代表电场强度或磁场强度。
考察一个点波源发出的波，在均匀各向同性介质中传播。这时将式（11.7）化成球坐标表示，考虑到各径向方向上的波的传播性质完全相同，有
2
2
2
22
)(1)(t
r u
r
r ??=
??ψψ （11.8）
式中，r 代表沿任一径向上某质元到波源或球心的距离。与式（11.7）比较，可得到与式（11.3）相对应的波函数
??
?
??+-=
?ωψ)(cos u r t r A
（11.9）
上式表明，在相同时刻，r 相同点振动状态相同，即波面是以波源为中心的球面，我们称为球面波。显然，在不考虑能量损耗的情况下，球面波的振幅随距离r 的增加而减小。
例11.2 如图11.7所示，一平面简谐波在t=0时刻的波形曲线，已知3105?=u m·s -1, 3
105.12?=ν
Hz,1.0=A m 。求：
（1）此波的波函数表达式；
（2）距O 点0.1m 和0.3m 处质点的振动方程； （3）二者与O 点的相位差及其之间的相位差。 解 利用已知条件得出
4.0/==νλu m,
5
10
8/1-?==νT s,
3
10252?==ππνωs -1
由图可知, O 点在t=0时，有 00=y ， 0
0<υ
故可判断O 点的初位相为2/π?=。O 点的振动方程为
)2/cos(πω+=t A y o
（1）波函数的表达式为
?
??
?
?
?+??
? ??
?-?=???
???+??? ?
?-=21051025cos
1.02cos 3
3πππωx t u x t A y (SI)
（2）将1.01=x m 和3.02=x m 代入上式，得此两点的振动方程分别为
?
??
??
?+??? ??
?-
?=21051.01025cos 1.03
31.0ππt y (SI) ?
????
?+??
? ??
?-
?=21053.01025cos 1.03
33
.0ππt y (SI)
（3）1.01=x m 和3.02=x m 处的质点与O 点的位相差分别为
22102521051.010253
3
31πππππ?-=??????+?-?????
?+??
? ??
?-
?=?t t 232102521053.010253
3
32πππππ?-=??????+?-?????
?+??
? ??
?-
?=?t t
12x x 、之间的位相差为
πππ
?-=??
? ??---
=?223
11. 3 波的能量 能流密度
11.3.1 波的能量
波在传播过程中，弹性介质中的各质元都在各自平衡位置附近振动，因此具有动能。同时弹性介质还要产生形变，因而又具有势能。所以当波源的振动由近及远地传播出去时，振动的能量也就得以由近及远地传播，这是行波的重要特征。
设一平面简谐波在密度为ρ的均匀介质中沿x 轴正向传播，其波函数为
考察介质中一体积为dV 的小质元。其质量为dV dm ρ=，该质元中心平衡位置坐标为（x ，0）， 则t 时刻的振动速度为
)(sin u x t A t
y -
-=??=
ωωυ
其动能为
)(sin
)(2
1)(2
12
2
22
u
x t A dV dm dE
k
-
=
=
ωω
ρυ
可见，当质元经过其平衡位置时，其速度最大，动能也最大；而当它达到最大位移处时，速度为零，动能也为零。
对于质元的弹性势能的分析要复杂一些。但因弹性势能与介质的弹性形变有关，故可以用图11.8来说明绳子的形变引起质元弹性势能变化的情况。图中A 处的质元位于最大位移处，此时没有形变，势能为零（注意此时动能也为零）；而B 处的质元位于平衡位置，形变却最大，势能也就最大（此时动能也最大）。这说明，振动质元在平衡位置处，其动能与势能相等，且
为最大值；而在振动的最大位移处，又同时变为零。实际上理论也可以证明，在波的传播过程中无论质元处于什么振动位置，它的动能和势能都相等，即
)(sin
)(2
12
2
2u
x t A dV dE
dE
k
P
-
=
=ωω
ρ (11.10)
质元的机械能
)(sin
2
2
2u
x t dVA dE
dE
dE P
K
-
=+=ωω
ρ (11.11)
上述讨论表明，波的能量表现出特殊的规律，即每一质元的动能和弹性势能均同相地随时间变化，且在任一时刻的值都相同。质元的机械能不守恒，而是随时间在零和最大值之间周期性地变化。这说明介质中的质元在不断地接受和放出能量，各质元之间进行着能量交换，使能量得以传播。这是波动不同于孤立振动系统的一个重要特征。
介质单位体积内的波动能量，称为波的能量密度(energy density)，用w 表示，有
)
(s i n 2
2
2
u
x t A dV
dE w -
==
ωω
ρ (11.12)
可见能量密度也是随时间周期性变化的，把一个周期内能量密度的平均值叫平均能量密度(average energy density)，用w 表示，则有
2
22
2
22
1)(sin
1ω
ρωω
ρA dt u
x t A T
w T
=
-
=
?
(11.13)
此式表明，平均能量密度和介质的密度、振幅的平方以及频率的平方成正比。这一结论虽由平面简谐波导出，但对各种弹性波均适用。
11.3.2 波的能流 能流密度
对于行波，能量是伴随着波在介质中行进而传播的，象水的流动一样。为了定量的描述能量的传播特性，引入能流(energy flux)与能流密度(energy flux density)的概念。
在单位时间内，通过介质中某面积的能量称为通过该面积的能流，表示为
dt
dE P =
(11.14)
在介质中取垂直于波线的面积S ，如图11.9所示，则在单位时间内通过S 面积的能量，等于介质uS 体积内的能量，也就是通过S 的能流。故
)(sin
2
2
2
u
x t uS A wuS P -
==ωωρ （11.15）
可见，能流是随时间作周期性变化的。考虑在一个周期内取平均值，得到通过S 面的平均能流
uS A uS w P 2
22
1ωρ=
=
(11.16)
图11.8 绳子的形变
而单位时间内通过垂直于波线的单位面积的平均能流，称为能流密度，表示为
u w u A S P I ===
2
22
1ωρ
(11.17)
该式表明，能流密度与波的角频率的平方及振幅的平方成正比，同时正比于波的传播速度。
能流密度越大，单位时间内通过单位面积的能量就越多，波就越强，故能流密度也叫波强(wave intensity)，其单位为瓦·米 -2（W·m -2）。
考虑到波的能量传播具有方向性，所以能流密度一般定义为矢量，记作I
。能流密度方向就是能
量的传播方向，也就是波速u
的方向，于是有波的能流密度的矢量表达式
u A u w I 222
1
ωρ=?= (11.18)
下面根据此式讨论在无能量损耗介质中传播的平面波及球面波的振幅变化情况。 （1）平面波
在均匀介质中传播一平面简谐波，如图11-10(a )所示。在垂直于波的传播方向取两个面积（设为S ）相等的波阵面（此波阵面为平面）。两波阵面处的平面波的振幅为分别A 1和A 2，能流密度分别为I 1和 I 2。由定义知，过此二面的平均能量分别为
uS A S I E 2
211121ωρ=
=
uS
A S I E 2
2
2222
1ωρ=
=
若波在介质中传播无能量损耗（介质不吸收波能量的），即21E E =，则有21A A =。这说明在传播无能量损耗介质中传播的平面波，其振幅保持不变。
（2）球面波
在均匀介质中有一点源振动，该振动在各方向的传播速度相同，形成球面波，如图11-10(b)所示。若距波源为r 1和r 2处的波阵面的能流密度分别为I 1和 I 2 ，单位时间内穿过这两个球面的能量分别为12
114I r E π=与22
224I r E π=。设两球面处波的振幅为分别A 1和A 2，考虑（11.16）式，若波无能量损失(介质不吸收波的能量)，即21E E =，则有
1
22
1r r A A =
上式说明球面波的振幅和半径成反比。
设半径为单位长度的球面上的振幅为a ，半径为r 的球面上的振幅为A ，由上式得
r
a A 1=
已知振动的位相随r 的增加而落后，若中心处的振动在t 时刻的位相为)(?ω+t ，则球面波的表达
图11.10无能量损耗介质中传播的波的振幅变化讨论图
r 1
r 2
式为
??
?
???+-=
?
ω)(cos u r t r a
y
11. 4 惠更斯原理
11.4.1 惠更斯原理
我们有这样的经验，观察水面上的波时，在波的前方设置一个障碍物，障碍物上留有一个小孔。可以看到小孔的后面也出现了圆形的波。这圆形的波就好像是以小孔为波源产生的一样。
英国物理学家惠更斯(C. Huygens)总结了上述现象，提出了波的传播规律：在波的传播过程中，波阵面(波前)上的每一点都可以看作是发射子波(wavelet)的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹即是新的波阵面，这就是惠更斯原理(Huygens’principle)。
惠更斯原理适用于任何波动过程，无论是机械波还是电磁波。根据这一原理所提供的方法，只要知道某一时刻的波阵面，就可用几何作图法来确定下一时刻的波阵面。图11.11是用惠更斯原理描绘的球面波和平面波在各向同性的均匀介质中的传播过程，其中，S 1为某一时刻t 的波阵面，S 1上的每一点发出的球面子波， 经Δt 时间后形成半径为uΔt 的球面，在波的前进方向上，这些子波的包迹S 2即是t+Δt 时刻的新波阵面。
11.4.2 波的衍射
波向前传播的过程中遇到障碍物时，其传播方向发生改变，绕过障碍物的边缘继续传播的现象，
称为波的衍射(diffraction)现象。
衍射是波的重要特性，在光学和声学中都很常见。人们能隔着障碍物听到他人的说话，正是声波衍射的结果。
用惠更斯原理很容易解释衍射现象。图11.12为一平面波通过一缝时的衍射情况，缝上的每一点都是一个新的子波源，作出这些子波的包迹面，就得到波通过缝后的新波阵面。此时的波阵面中间是平的，两侧是弯曲的，就是说中间部分波的传播方向同缝前波的传播方向一致，而两侧的波的传播方向（波线）偏离了原来的方向，绕过物体的边缘传播，即发生了衍射。
应该说明，惠更斯原理只解决了波的传播方向问题，而不能解决波衍射时波强的不均匀分布现象。后来菲涅尔(A.J.Fresnel)对惠更斯原理作了重要的补充，形成惠更斯――菲涅尔原理，这将在光学中加以阐述。
实验观察表明，衍射现象与障碍物的尺寸有关。在障碍物尺寸与波长相近时，衍射现象比较明显；如果障碍物的尺寸远大于波长时，经过障碍物后的波面几乎没有变形，衍射现象基本消失。
11. 5 波的叠加原理 波的干涉
11.5.1 波的叠加原理
如果有几列波同时在介质中传播，那么每一列波都将各自保持自己原有的频率、波长、振幅而独立的传播，彼此互不影响。而相遇点处的质点的振动却为各列波单独在该点引起振动的合成，这一规律称为波的叠加原理。波的叠加原理实际上是运动叠加原理在波动中的表现。设两列波在空间某点相遇，若这两列波分别在该点引起的振动的位移分别为21y y 、，则该点合振动的位移为
2
1y y y +=
生活中许多现象都反映了波的这种性质。如管弦乐队演奏时，人们既可以听到整个乐队合奏出的和谐美妙的音乐，又可以分辨出不同乐器的声音；在嘈杂的场合也可以分辨出自己熟悉人的声音等。
11.5.2 波的干涉
一般来说，任意的几列简谐波在空间相遇时，叠加的情形是很复杂的，它们可以合成多种形式的波动。我们只讨论波的叠加中最简单而又最重要的情形：两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的简谐波的叠加。这种波的叠加会使空间某些点处的振动始终加强，某些点处的振动始终减弱，即波强呈现出规律性的分布。这种现象称为波的干涉（interference of wave ）。能产生干涉现象的波称为相干波(interference wave)，相应的波源称为相干波源。同频率、同振动方向、恒相差称为相干条件(interference condition)。
如图11.15所示，两个相干波源S 1、S 2，他们的振动方程分别为
式中，ω是振动的圆频率，21S S A A 和是两波源的振幅，21??和是两波源的初相。它们发出的两列相干波在空间P 点(称为干涉点)相遇，由波函数可写出两列波在P 点引起的分振动分别为
)
2cos(11
11?λ
πω+-
=r t A y )2c o s (22
22?λ
πω+-
=r t A y
式中1A 和2A 为两列波在干涉点引起振动的振幅。若不考虑波的吸
收，对于平面波，波的振幅等于波源的振幅。1r 和2r 为两个波源到干涉点的波程，λ为两列相干波的波长。
由上两式可知，这是两个同方向、同频率的简谐振动，则干涉点的合振动也是简谐振动，即
合振动的振幅
?
?++=
cos 2212
22
1A A A A A (11.20)
其中
)(21212r r --
-=?λ
π
??? （11.21）
是两列相干波在干涉点引起的振动的相位差。合振动的初相?满足
（11.22）
由式（11.21）和式（11.20）可知，两列相干波在空间任一定点的相位差??是一个恒量，因而该点的合振幅A 也是恒量。而对于不同的干涉点，它们到波源的波程差12r r -=δ一般并不相同，因而两列波的相位差??不同，振动的合振幅也不同。因此在两波的相遇区域就形成了波强的不均匀分布，发生了干涉。
若干涉点的相位差满足
πλ
π
???k r r 2)(21212=--
-=? 2,1,0±±=k … (11.23a )
该点的合振幅最大21A A A +=，称为干涉加强；
若干涉点的相位差满足
πλ
π
???)12()(21212+=--
-=?k r r 2,1,0±±=k … (11.23b)
该点的合振幅最小21A A A -=，称为干涉减弱。
在实际问题中，两个相干波源常常是由同一个振源驱动的，这时两个波源的初相相同)(21??=。于是干涉的极值条件可用波程差表示，即
λδk r r =-=12 2,1,0±±=k … 干涉加强 (11.24a )
2
)
12(12λ
δ+=-=k r r 2,1,0±±=k … 干涉减弱 (11.24b)
上式说明，若两相干波源为同相源时，在相遇的空间，波程差等于波长的整数倍的各点，干涉加强，振幅最大；波程差等于半波长的奇数倍的各点，干涉减弱，振幅最小。
干涉现象只有在波的合成时才能产生，所以干涉是波动所独具的一个重要特征。
例11.3 如图11.16所示，两列平面简谐波为相干波，在两种不同媒质中传播，在两媒质分界面上的P 点相遇，波的频率100=νHz,振幅3
2110
0.1-?==A A m ，1S 的相位比2S 的相位领先2/π，波在媒质1
中的波速4001=u m·s -1，在媒质2中的波速5002=u m·s -1，0.41=r
m ，75
.32
=r m ，求P 点的合振幅。
解 两波在P 点的相位差为
)(
22
)22(
1
12
211
22
12
=-
--
=-
--=?u r u r r r πνπ
λπ
λπ
??
?
故两相干波在P 点干涉加强，其合振幅为
3
2110
0.2-?=+=A A A m
11. 6 驻波
两列振幅相同的相干波在同一种介质中沿同一直线相向传播时，合成的波是一种波形不向前传播的波，称为驻波（standing wave ）。它是干涉现象的一种特殊情况。
如图11.17所示的装置，A 是一电动音
叉，音叉末端系一水平的细绳AB ，B 处有一尖劈，可左右移动调节AB 间的距离。细绳
绕过滑轮P 后，末端悬一重物m ，使绳上产生张力。音叉振动时，细绳随之振动，在绳中产生一从左向右传播的入射波，此波在B 点反射，从而在绳中又有一列从右向左传播的反射波，这两列波是相干波，在绳中相互叠加产生干涉。调节尖劈的位置使振动稳定，结果形成图上所示的波动状态——驻波。用手触摸驻波，感觉到弦线在振动，注意图中有些点始终静止不动(振幅为零)，该处被称为波节(wave node)。而有些点振幅始终最大，该处被称为波腹(wave loop)。
11.6.1 驻波的形成
图11.18表示了驻波形成的物理过程。其中虚线表示向右传播的波，细实线表示向左传播的波，粗实线表示合成的波。图中各行依次表示t =0，T /8，T /4，3T /8，T /2各时刻的波形。从图中可以看出，不论什么时刻，合成波的波节的位置(N 处)处的质元总是不动的，整个波被波节分为许多段，每一段的长度为半个波长。每一段上的各质点，都以相同的相位振动，但振幅不同，中央的点，即波腹（L 处）的振幅最大。相邻两段上各点的振动相位相反。每一时刻，驻波都有一定的波形，但此波形既不向左移，也不向右移。即没有振动状态和相位的传播，因此也就谈不上能量的传播，而只存在着波腹附近的动能与波节附近的势能之间的相互转换。这与前面所讨论的行波是完全不同的，所以称之为驻波。
11.6.2 驻波的方程
设有两列同振幅、相向传播的相干波在x 轴上传播。为了方便，在它们的波形曲线正好重合的时候，取位移极大的某一点作坐标原点，并开始计时。于是，两列波的初相均为零，它们的波动方程分别
)
(2cos 1λ
πx
T t A y -= )
(
2cos 2λ
πx
T t A y +
=
根据波的叠加原理，合成的波为
(11.25)
上式为驻波方程（standing wave equation ）。它蕴藏着驻波的所有特点：媒质中各点都在作同频率的简谐振动，每一点的振幅均与位置有关。因此严格地说驻波实质上是一种振动，波形只在原地起伏变化，振动的相位（状态）没有传播出去，所以也就没有能量传播。
由驻波方程可得出波节和波腹的位置。由式(11.25)可知：波节点满足
2cos 2=λ
π
x
A
得出
2
)
12(2πλ
π
+±=k x
2,1,0=k ···
波节的坐标是
4
)
12(λ
+±=k x (11.26)
而相邻两波节之间的距离是
2
1λ
=
-=?=k k x x x (11.27)
同理，波腹点满足
A
x
A 22cos 2=λ
π
得出
πλ
πk x
±=2 2,1,0=k ·
·· 波腹的坐标是
2
λ
k
x ±= （11.28）
相邻两波腹间的距离与相邻两波节间的距离相同，是
2
λ
=
?x （11.29）
11.6.3 半波损失
实际上用两个独立的波源，激发出两列同振幅、传播方向相反的相干波进行叠加，合成驻波是很难做到的，因此通常都是利用入射波与反射波的叠加来形成驻波。在图11.17所示的弦线上的驻波实验中，反射点B 是固定不动的，为驻波的波节。从振动的合成考虑，这意味着入射波与反射波的相位在此正好相反，或者说入射波在反射时有π的相位突变。由于相距半波长的两点相位差为π，所以这种入射波在反射时发生π的相位突变的现象称为半波损失（half-wave loss ）。如果反射端为自由端，则没有相位突变，入射波与反射波在此的相位是相同的，不存在半波损失，此时驻波在此端将形成波腹。
一般情况下，入射波在两种介质的分界处将发生反射与折射。反射时是否发生半波损失，与波的种类、两种介质的性质以及入射角的大小都有关。但当波垂直入射时，半波损失则由介质的密度和波速的乘积ρυ决定。相对来讲，ρυ较大的介质称为波密介质，ρυ较小的称为波疏介质。当波从波疏介质垂直入射到波密介质界面上反射时，有半波损失，形成的驻波在界面处是波节。反之，当波从波密介质垂直入射到波疏介质界面上反射时，无半波损失，界面处是驻波的波腹。 例11.4 两列波在一根很长的细绳上传播,它们波函数表达式为
)4(cos 06.01t x y -=π(SI) )4(cos 06.02t x y +=π(SI)
求:（1）各波的频率、波长、波速和波的传播方向;（2）证明这细绳是作驻波式振动，并求波腹和波节的位置;（3）波腹处的振幅多大？在25.1=x m 处，振幅多大?
解 (1) 将两方程化成标准形式
?
?? ??
-=-=222cos 06.0)4(cos 06.01x t t x y ππ ?
?? ?
?
+=+=222cos 06.0)4(cos 06.02x t t x y ππ
...
3,2,1=n 可知
06.0=A m, 2=νHz, 2=λm 4==λνu m ·s -1
1y 沿着x 轴正向传播，2y 沿着x 轴反向传播。
(2)合运动方程为
21y y y +=
= )4(cos 06.0t x -π+)4(cos 06.0t x +π = t x ππ
4cos 2
2cos 06.02??
由此方程可知，细绳在作驻波式振动。由此可得出波腹、波节的位置是：0=x 处为波腹位置，且每隔2/λ就出现一个波腹，即=x 1m ，2m ，3m ，….处均为波腹；相应地，=x 0.5m ，1.5 m ，2.5m …..处均为波节。
(3)波腹处振幅是
06.02?=A m=0.12m
25.1=x m 处,振幅为
2
25.12cos 12.02
2cos 12.025.1π
π
===x A X =0.08m
11.6.4 弦线上的驻波
在前面弦振动实验中，弦线的两端拉紧固定，拨动弦线时，波经两端反射，形成两列反向传播的波，叠加后就能形成驻波。由于两固定端处必为波节，因而要形成稳定的驻波，弦长L 必须是半波长的整数倍，即
从上式可以看出，如果弦长是固定的，波长就不能是任意的，只能等于
(11.30)
由于波速
，因而波的频率也不能是任意的，只能取如下固定值
（11.31）
这表明：只有波长(或频率)满足上述条件的那些波才能在弦上形成驻波。我们把n =1对应的频率称为基频，其他频率依次称为二次谐频、三次谐频…… (对声驻波则称为基音和泛音)。各种允许频率所对应的驻波模式(即简谐振动方式)称为简正模式（normal mode ），相应的频率为简正频率(normal frequency)。
简正频率由驻波系统的结构决定，故又称系统的固有频率（与谐振子不同，一个驻波系统有多个固有频率）。系统究竟按哪种频率振动，取决于初始条件。当外扰动源以某一频率激起系统振动时，如果该扰动频率和系统的某一固有频率相同（或相近）,就会激起强驻波。这种现象也称为共振。
许多乐器的发声都服从驻波原理。弦乐器的弦振动时发出各种频率的声音，管乐器中的管内空气柱、锣面、鼓面等也都是驻波系统，他们振动时同样产生各种相应的简正模式及共振现象。如钢琴的音板是一块具有许多固有频率的木板，当有一根振动着的弦碰上它时就会共振。类似地，共振也可发生在小提琴的空腔里，它里面的空气对某些频率可以发生大的振动。
第三章《机械波》达标检测—人教版高二物理选择性必修一
新人教版选择性必修一第三章机械波 本章达标检测 (满分:100分;时间:60分钟) 一、选择题(本题共8小题,每小题6分,共48分。在每小题给出的选项中,第1~2小题只有一个选项符合题目要求,第3~8小题有多个选项符合题目要求。全部选对的得6分,选不全的得4分,选错或不答的得0分) 1.下列关于波的说法中不正确的是( ) A.机械波中各质点振动的频率与波源的振动频率相同 B.在机械波传播的过程中,机械能一定守恒 C.有机械波一定有振动,有振动不一定有机械波 D.空气中的声波是纵波 2.如图所示,一列横波沿x轴传播,t0时刻波的图像如图中实线所示。经Δt=0.2 s,波的图像如图中虚线所示。已知其波长为2 m,则下列说法中正确的是( ) A.若波向右传播,则波的周期可能大于2 s B.若波向左传播,则波的周期可能大于2 s C.若波向左传播,则波的传播速度可能小于9 m/s D.若波速是19 m/s,则波向左传播 3.如图所示,某均匀介质中各质点的平衡位置在x轴上,当t=0时,x=0处的波源S开始振动,t=0.5 s 时,刚好形成如图所示波形,则( ) A.波源的起振方向向下 B.该波的波长为4 m C.该波的波速为6 m/s D.t=1.5 s时,x=4 m处的质点速度最大 4.如图所示,两列简谐横波的振幅都是20 cm,在同一介质中传播,实线波沿x轴正方向传播,虚线波沿x轴负方向传播,某时刻两列波在图示区域相遇,则( ) A.实线波与虚线波的周期之比为1∶2 B.实线波与虚线波的频率之比为1∶2 C.实线波与虚线波的波速之比为1∶1
D.两列波在相遇区域会发生干涉现象 E.实线波与虚线波的波长之比为1∶2 5.一简谐横波沿x轴传播,某时刻的波形如图所示,已知此时质点F的运动方向向下,则( ) A.此波沿x轴负方向传播 B.质点D此时向下运动 C.质点B将比质点C先回到平衡位置 D.质点E的振幅为零 6.体育课上李辉同学一脚把足球踢到了足球场下面的池塘中间。王奇提出用石头激起水波让水浪把足球推到池边,他抛出一石块到水池中激起了一列水波,结果足球并没有被推到池边。大家一筹莫展,恰好物理老师来了,大家进行了关于波的讨论。物理老师把两片小树叶放在水面上,大家观察发现两片小树叶上下振动,两树叶在1 min内都上下振动了36次,当一片树叶在波峰时恰好另一片树叶在 波谷,两树叶之间有2个波峰,他们测出两树叶间水平距离是4 m。则下列说法正确的是( ) A.该列水波的频率是36 Hz B.该列水波的波长是1.6 m C.该列水波的波速是0.96 m/s D.两片树叶的位移始终等大反向 E.足球不能到岸边的原因是水波的振幅太小 7.如图所示,一水平长绳上系着一个弹簧和小球组成的振动系统,小球振动的固有频率为2 Hz。现在长绳两端分别有一振源P、Q同时开始以相同振幅A上下振动一段时间,某时刻两个振源在绳上形成的波形如图所示,两列波先后间隔一段时间经过弹簧振子所在位置,观察到小球先后出现了两次振动,小球第一次振动时起振方向向上,且振动并不显著,而小球第二次发生了显著振动,则以下说法正确 的是( ) A.由振源P产生的波先到达弹簧振子处 B.由振源Q产生的波先到达弹簧振子处 C.两列波可能会发生干涉现象 D.由振源Q产生的波的波速接近4 m/s 8.一列简谐横波在某时刻的波形如图中实线所示,经0.2 s后波形如图中虚线所示,则( )
大学物理机械波习题及答案解析
一、选择题： 1．3147：一平面简谐波沿Ox 正方向传播，波动表达式为 (SI)，该波在t = 0.5 s 时刻的波形图是 ［ B ］ 2．3407：横波以波速u 沿x 轴负方向传播。t 时刻波形曲线如图。则该时刻 (A) A 点振动速度大于零 (B) B 点静止不动 (C) C 点向下运动 (D) D 点振动速度小于零 ［ ］ 3．3411：若一平面简谐波的表达式为 ，式中A 、B 、C 为正值常量，则： (A) 波速为C (B) 周期为1/B (C) 波长为 2π /C (D) 角频率为2π /B ［ ］ 4．3413：下列函数f (x 。 t )可表示弹性介质中的一维波动，式中A 、a 和b 是正的常量。其中哪个函数表示沿x 轴负向传播的行波？ (A) (B) (C) (D) ［ ］ 5．3479：在简谐波传播过程中，沿传播方向相距为（λ 为波长）的两点的振 动速度必定 ] 2)42(2cos[10.0π +-π=x t y ) cos(Cx Bt A y -=)cos(),(bt ax A t x f +=)cos(),(bt ax A t x f -=bt ax A t x f cos cos ),(?=bt ax A t x f sin sin ),(?=λ 21 x u A y B C D O x (m) O 2 0.1 0 y (m) ( A ) x (m) O 2 0.1 0 y (m) ( B ) x (m) O 2 - 0.1 0 y (m) ( C ) x (m) O 2 y (m) ( D ) - 0.1 0
(A) 大小相同，而方向相反 (B) 大小和方向均相同 (C) 大小不同，方向相同 (D) 大小不同，而方向相反 ［ ］ 6．3483：一简谐横波沿Ox 轴传播。若Ox 轴上P 1和P 2两点相距λ /8（其中λ 为该波的波长），则在波的传播过程中，这两点振动速度的 (A) 方向总是相同 (B) 方向总是相反 (C) 方向有时相同，有时相反 (D) 大小总是不相等 ［ ］ 7．3841：把一根十分长的绳子拉成水平，用手握其一端。维持拉力恒定，使绳端在垂直于绳子的方向上作简谐振动，则 (A) 振动频率越高，波长越长 (B) 振动频率越低，波长越长 (C) 振动频率越高，波速越大 (D) 振动频率越低，波速越大 ［ ］ 8．3847：图为沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 0时刻的波形。若波的表达式以余弦函数表示，则O 点处质点振动的初相为： (A) 0 (B) (C) (D) ［ ］ 9．5193：一横波沿x 轴负方向传播，若t 时刻波形曲线如图所示，则在t + T /4时刻x 轴上的1、2、3三点的振动位移分别是： (A) A ，0，-A (B) -A ，0，A (C) 0，A ，0 (D) 0，-A ，0. ［ ］ 10．5513：频率为 100 Hz ，传播速度为300 m/s 的平面简谐波，波线上距离小 于波长的两点振动的相位差为，则此两点相距 (A) 2.86 m (B) 2.19 m (C) 0.5 m (D) 0.25 m ［ ］ 11．3068：已知一平面简谐波的表达式为 （a 、b 为正值常量），则 (A) 波的频率为a (B) 波的传播速度为 b/a (C) 波长为 π / b (D) 波的周期为2π / a ［ ］ 12．3071：一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线如图所示。则坐标原点O 的振动方程为 (A) (B) π21ππ 23π 31)cos(bx at A y -=]2)(cos[π+'-=t t b u a y ] 2)(2cos[π -'-π=t t b u a y x u a b y O 5193图 x y O u 3847图
2021届高考物理人教版二轮复习 计算题精解训练 机械波 作业(12) 含解析
2021届高考物理二轮复习计算题精解训练 （12）机械波 1.如图是一列横波在某一时刻的波形图像。已知这列波的频率为5 Hz ，此时0.5 m x =处的质点正向 y 轴正方向振动，可以推知： （1）这列波正在沿轴哪个方向方向传播； （2）波速大小是多少； （3）该质点1 s 内通过的路程是多少。 2.一列沿 x 轴传播的简谐横波，在0t =时刻的波形如图实线所示，在1=0.2 s t 时刻的波形如图虚线所示： （1）若波向 x 轴负方向传播，求该波的最小波速； （2）若波向 x 轴正方向传播，且1t T <，求 2 m x =处的 P 质点第一次出现波峰的时刻。 3.简谐横波沿 x 轴传播，M N 、是 x 轴上两质点，如图甲是质点 N 的振动图象．图乙中实线是 3 s t =时刻的波形图象，质点 M 位于8 m x =处，虚线是再过t ?时间后的波形图象．图中两波峰间距离7.0 m x ?=．求 （1）波速大小和方向； （2）时间t ?．
4.如图所示、一列简谐横波沿 x 轴正方向传播，实线和虚线分别为10 s t =时与2 2 s t =时的波形图像，已知该波中各个质点的振动周期大于4 s 。求： (i)该波的传播速度大小； (ii)从10 s t =开始计时，写出 1 m x =处质点的振动方程。 5.如图，在平静的湖面上有相距12 m 的B C 、两片小树叶，将一枚小石子投到B C 、连线左侧的 O 点， 6 m OB =，经过24 s ，第1个波峰传到树叶 B 时，第13个波峰刚好在 O 点形成。求： （ⅰ）这列水波的波长和水波的频率; （ⅱ）从第1个波峰传到树叶 B 算起，需要多长时间 C 树叶开始振动。 6.如图所示，图甲为一列简谐横波在2s t =时的图象，Q 为4m x =处的质点，P 为11m x =处的质点，图乙为质点P 的振动图象。 (1)求质点P 的振动方程及该波的传播速度; (2)2s t =后经过多长时间Q 点位于波峰?
机械波答案
一. 选择题 [ C ]1. 图中画出一平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形图，则平衡位置在P 点的质点的振动方程是 (A) ]31)2(cos[01.0π+-π=t y P (SI)． (B) ]3 1)2(cos[01.0π+ +π=t y P (SI)． (C) ]31)2(2cos[01.0π+ -π=t y P (SI)． (D) ]3 1)2(2cos[01.0π- -π=t y P (SI)． 由t=2s 波形，及波向X 轴负向传播，波动方程}])2[(cos{0 ?ω+-+ -=u x x t A y ，? 为P 点初相。以0x x =代入。 [ D ]2. 一平面简谐波，沿x 轴负方向传播．角频率为ω ，波速为u ．设 t = T /4 时刻的波形如图所示，则该波的表达式为： (A) )(cos xu t A y -=ω． (B) ]2 1)/(cos[π+ -=u x t A y ω． (C) )]/(cos[u x t A y +=ω． (D) ])/(cos[π++=u x t A y ω． 同1。}]4[(cos{?ω++ - =u x T t A y 。?为0=x 处初相。 [ A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是 由波形图知P 点振动正通过平衡位向正向运动。 [ C ]4. 一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是 (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． 波的能量特点 y (m ) ) 0.0 ω S A O ′ ω S A ω A O ′ ω S A O ′ (A ) (B ) (C )(D ) S
物理学教程上册课后答案第六章
第六章 机 械 波 6-1 图（a ）表示t ＝0 时的简谐波的波形图，波沿x 轴正方向传播，图（b ）为一质点的振动曲线．则图（a ）中所表示的x ＝0 处振动的初相位与图（b ）所表示的振动的初相位分别为（ ） 题6-1 图 （Ａ） 均为零 （Ｂ） 均为 2 π （Ｃ） 均为2 π - （Ｄ） 2π 与2π- （Ｅ） 2π-与2 π 分析与解 本题给了两个很相似的曲线图，但本质却完全不同．求解本题要弄清振动图和波形图不同的物理意义．图（a ）描述的是连续介质中沿波线上许许多多质点振动在t 时刻的位移状态．其中原点处质点位移为零，其运动方向由图中波形状态和波的传播方向可以知道是沿y 轴负向，利用旋转矢量法可以方便的求出该质点振动的初相位为π/2．而图（b ）是一个质点的振动曲线图，该质点在t ＝0 时位移为0，t ＞0 时，由曲线形状可知，质点向y 轴正向运动，故由旋转矢量法可判知初相位为－π/2，答案为（D ）． 6-2 一横波以速度u 沿x 轴负方向传播，t 时刻波形曲线如图（a ）所示，则该时刻（） （A ）A 点相位为 π （B ）B 点静止不动 （C ）C 点相位为 2 π 3 （D ）D 点向上运动 分析与解 由波形曲线可知，波沿x 轴负向传播，B 、D 处质点均向y 轴负方向运动，且B 处质点在运动速度最快的位置. 因此答案（B ）和（D ）不对. A 处质点位于正最大位移处，C 处质点位于平衡位置且向y 轴正方向运动，它们的旋转矢量图如图（b ）所示.A 、C 点的相位分别为0和 2 π 3.故答案为（C ） 题 6-2 图 6-3 如图所示，两列波长为λ的相干波在点P 相遇．波在点S 1 振动的初相是φ1 ，点S 1 到点P 的距离是r 1 ．波在点S 2的初相是φ2 ，点S 2 到点P 的距离是r 2 ，以k 代表零或正、负整数，则点P 是干涉极大的条件为（ ）
第十四章机械波作业及参考答案
第十械波 一. 选择题 [C] 1．（基础训练1）图14-10为一平面简谐波在t = 2 s 时刻的波形图，则平衡位置在P 点的质点的振动方程是 (A) ]31 )2(cos[01.0π + -π=t y P (SI)． (B) ]31 )2(cos[01.0π++π=t y P (SI) ． (C) ]31 )2(2cos[01.0π+-π=t y P (SI)． (D) ]3 1 )2(2cos[01.0π--π=t y P (SI)． 【提示】由t=2s 波形，及波向X 轴负向传播，波动方程 })2[(cos{0 ?ω+-+ -=u x x t A y ，?为P 点初相。以0x x =代入。 [C] 2．（基础训练4）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是（） (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． 【提示】在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，在平衡位置，动能最大，势能最大。 [D] 3．（基础训练7）在长为L ，一端固定，一端自由的悬空细杆上形成驻波，则此驻波的基频波（波长最长的波）的波长为 (A) L ． (B) 2L ． (C) 3L ． (D) 4L ． 【提示】形成驻波，固定端为波节，自由端为波腹。波长最长， 4 L λ =。 [D] 4．（自测提高3）一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t = t ＇时波形曲线如图14-24所示．则坐标原点O 的振动方程为 (A) ]2 )(cos[π + '-=t t b u a y ． (B) ]2)(2cos[π -'-π=t t b u a y ． (C) ]2 )(cos[π +'+π=t t b u a y ． 图14-24
第三章 机械振动与机械波自我测试题
第三章 机械振动与机械波自我测试题 一、选择题 1、谐振动是一种什么样的运动？ A 匀加速运动； B 匀减速运动； C 匀速运动； D 变加速运动。 2、下列振动中，哪个不是谐振动？ A 弹簧振子的振动； B 当摆角不大(<50)时的单摆的振动； C 位移方程满足x=sin(ωt+φ)的振动； D 拍皮球时皮球的振动。 3、一质点作上下方向的谐振动，设向上为正方向。当质点在平衡位置开始向上振动，则 初位相为： A 0； B 2π； C 2π-； D 3 π 4、当一物体系在一弹簧上作振动，振幅为A ，无阻尼，则： A 当位移是±A ，它的动能最大； B 在运动过程中它的总机械能有改变； C 在任一时刻其势能不变； D 当位移为零时它的势能为最小。 5、有一质量为4kg 的物体，连在一弹簧上，在垂直方向作简谐振动，振幅是1米。当物体上升到最高点时为自然长度。那么物体在最高点时的弹性势能、动能、重力势能之和为：(设弹簧伸到最长时重力势能为零，并取g= l0m/s 2) A 60J ； B 40J ； C 20J ； D 80J 。 6、某质点参与x 1=l0cos(πt -π/2)cm 及x 2=20cos(πt+π/2)cm 两个同方向的谐振动，则合成振动的振幅为： A 20cm ； B l0cm ； C 30cm ； D lcm 。 7、设某列波的波动方程为y=l0sin(10πt -x/100)cm ，在波线上x 等于一个波长处的点的位移方程为： A y= 10sin(10πt - 2π)； B y= l0sin10πt ；
C y= 20sin5πt ； D y= l0cos(l0πt - 2π). 8、已知波动方程为y=0.05sin(l 0πt-πx )cm ，时间单位为秒，当t=T/4时，波源振动速度V 应为： A V= 0.5π； B V=-0.5π2； C V= 0.5πcos10πt ； D V= 0。 9、已知一个lkg 的物体作周期为0.5s 的谐振动，它的能量为2π2J ，则其振幅为： A 2m ； B 0.5m ； C 0.25m ； D 0.2m 。 10、实际的平面简谐波在波线上某点的振动位移是由什么决定的？ A 时间和该点到波源的距离； B 时间及媒质的吸收系数； C 振源振幅、时间及该点到波源的距离； D 振源振幅、时间、媒质吸收系数及该点到波源的距离。 11、两相干波源的位相差为2π时，则在波相遇的某点的振幅： A 一定为两波源振幅之和； B 一定为两波源振幅之差； C 条件不够，不能确定； D 无衰减传播时则为两波源振幅之和。 12、两个初相相等的波源，分别由A 、B 两点向C 点无衰减的传播。波长为λ，AC= 2 5，BC=10λ，则C 点处的振动一定： A 加强； B 减弱； C 振幅为0； D 无法确定。 13、同一媒质中，两声波的声强级相差20dB ，则它们的声强之比为： A 20:1； B 100:1； C 2:1； D 40:1。 14、声压为80N/m 2，声阻抗为443.76kg/m.S 2的声强为： A 7.2J/m 2.s ； B 7.2J ； C 0.09J/m 2s ； D 0.18J/m 2S 。 15、低语时声强为10 -8 W/m 2，飞机发动机的噪声声强为10-1w/m 2，当其频率为1000Hz 时，则它们的声强级之差为： A 10-4d B ； B 150dB ； C ll0dB ； D 70dB 。 16、一个人说话的声强级为30dB ，那么10个人同时声强级说话时的声强级为： A 300d B ； B 3ldB ； C 40dB ； D 50dB 。
第06章机械振动机械波
第六章 机械振动和机械波 一、简谐运动的基本概念 1.定义 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简谐运动。表达式为：F = -kx ⑴简谐运动的位移必须是指偏离平衡位置的位移。也就是说，在研究简谐运动时所说的位移的起点都必须在平衡位置处。 ⑵回复力是一种效果力。是振动物体在沿振动方向上所受的合力。 ⑶“平衡位置”不等于“平衡状态”。平衡位置是指回复力为零的位置，物体在该位置所受的合外力不一定为零。（如单摆摆到最低点时，沿振动方向的合力为零，但在指向悬点方向上的合力却不等于零，所以并不处于平衡状态） ⑷F=-kx 是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。 2.几个重要的物理量间的关系 要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移x 、回复力F 、加速度a 、速度v 这四个矢量的相互关系。 ⑴由定义知：F ∝x ，方向相反。 ⑵由牛顿第二定律知：F ∝a ，方向相同。 ⑶由以上两条可知：a ∝x ，方向相反。 ⑷v 和x 、F 、a 之间的关系最复杂：当v 、a 同向（即 v 、 F 同向，也就是v 、x 反向）时v 一定增大；当v 、a 反向（即 v 、 F 反向，也就是v 、x 同向）时，v 一定减小。 3.从总体上描述简谐运动的物理量 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅A 来描述；在时间上则用周期T 来描述完成一次全振动所须的时间。 ⑴振幅A 是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中，振幅是不变的而位移是时刻在改变的） ⑵周期T 是描述振动快慢的物理量。（频率f =1/T 也是描述振动快慢的物理量）周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐振动都有共同的周期公式：k m T π2=（其中m 是振动物体的质量，k 是回复力系数，即简谐运动的判定式F = -kx 中的比例系数，对于弹簧振子k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧的劲度了）。 二、典型的简谐运动 1.弹簧振子 ⑴周期k m T π2=，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度决定。 ⑵可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是k m T π2=。这个结论可以直接使用。 ⑶在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧弹力和重力的合力。
机械波作业答案
一.选择题 [ C ]1. 一沿x轴负方向传播的平面简谐波在t= 2 s时的波形曲线如图所示，则原点O的振动方程为 (A) ) 2 1 ( cos 50 .0π π+ =t y， (SI)． (B) ) 2 1 2 1 ( cos 50 .0π π- =t y， (SI)． (C) ) 2 1 2 1 ( cos 50 .0π π+ =t y， (SI)． (D) ) 2 1 4 1 ( cos 50 .0π π+ =t y，(SI)． 提示：设O点的振动方程为 O0 ()cos() y t A tω? =+。由图知，当t=2s时，O点的振动状态 [ B ]2. 图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形 图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反射波在t时 刻的波形图为 提示： 由题中所给波形图可知，入射波在P点的振 动方向向下；而BC为波密介质反射面，故 在P点反射波存在“半波损失”，即反射波 与入射波反相，所以，反射波在P点的振动 方向向上，又P点为波节，因而得答案B。
[ A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是 [ B ]4. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是 (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． 提示：动能=势能，在负的最大位移处时，速度=0，所以动能为零，势能也为零。 [ B ]5. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同． (C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同． 提示：根据驻波的特点判断。 [ C ]6. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的振幅之比是 (A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4． (C) A 1 / A 2 = 2． (D) A 1 / A 2 = 1 /4 ． 二. 填空题 1. 一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在 (t +2. 一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u 与该平面的法线0n v 的 夹角为θ，则通过该平面的能流是cos IS θ。 ωS A ?O ′ ω S A ?O ′ ω A ? O ′ ω S A ?O ′ (A) (B)(C)(D) S
人教版本(2019)高中物理选择性必修第一册第三章《 机械波》测试卷
第三章《机械波》测试卷 一、单选题(共15小题) 1.某次地震的震源O离地面深度12 km，假设该地震波中的某一种波为简谐横波．该波在地球中匀速传播的速度大小为4 km/s，已知从t＝0时刻波源开始振动，该波沿x轴正方向传播，某时刻刚好传到x＝120 m处．如图所示，则() A．从波源开始振动到波源迁移到x＝120 m处需要经过0.03 s B．此刻波动图象上除M点外与M点势能相同的质点有5个 C．波动图象上M点此时速度方向沿y轴正向，动能在减小 D．从波传到x＝120 m处开始计时，经过t＝0.06 s位于x＝360 m处的质点开始振动 2.手持较长软绳端点O以周期T在竖直方向上做简谐运动，带动绳上的其他质点振动形成简谐波沿绳水平传播，示意图如图，绳上有另一质点P，且O、P的平衡位置间距为L.t＝0时，O位于最高点，P的位移恰好为零，速度方向竖直向上，下列判断正确的是() A．该简谐波是纵波 B．该简谐波的最大波长为2L C．t＝时，P在平衡位置上方 D．t＝时，P的速度方向竖直向上 3.两列简谐横波，波源的振动频率相同，如图为某时刻两列波在介质中相遇的情景，实线表示波峰，虚线表示波谷，则下面说法正确的是(a、b、c、e各点均在交点上)() A．a、b点是振动加强的位置，c点振动最弱 B．a、b、c点是振动加强的位置，e点振动最弱 C．再过，a、b将变成振动减弱的位置，e点的振动将加强
D．当振源的振动频率同时增加时，干涉区域的干涉图样不发生任何改变 4.下列关于纵波的说法中，正确的是() A．在纵波中，波的传播方向就是波中质点的移动方向 B．纵波中质点的振动方向一定与波的传播方向在一条直线上 C．纵波中质点的振动方向一定与波的传播方向垂直 D．纵波也有波峰和波谷 5.关于多普勒效应，下列说法正确的是() A．多普勒效应是由波的干涉引起的 B．多普勒效应说明波源的频率发生了改变 C．多普勒效应是由于波源和观察者之间有相对运动而产生的 D．只有声波才能产生多普勒效应 6.如图所示表示两列相干水波的叠加情况，图中的实线表示波峰，虚线表示波谷．设两列波的振幅均为5 cm，且在图示的范围内振幅不变，波速和波长分别为1 m/s和0.5 m．C点是BE连线的中点，下列说法不正确的是() A．从图示的时刻起经0.25 s后，B处质点通过的路程为20 cm B．从图示的时刻起经0.25 s后，A处质点的位移为0 C．图示时刻C处质点正处在平衡位置且向波峰运动 D．图示时刻A、B两处质点的竖直高度差为20 cm 7.一列简谐横波a，某时刻的波形如图甲所示．从该时刻开始计时，波上质点A的振动图象如图乙所示．波a与另一列简谐横波b相遇能发生稳定干涉现象，则下列判断正确的是() A．波a沿x轴负方向传播 B．波b的频率为0.4 Hz C．从该时刻起，再经过0.4 s质点A通过的路程为40 cm D．若波b遇到障碍物能发生明显衍射现象，则障碍物的尺寸一定比0.4 m大很多 8.有一障碍物的高度为10 m，下列哪一列波衍射最明显()
机械波习题答案
第十一章 机械波 一. 选择题 [ C ]1. 一沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 2 s 时的波形曲线如图所示，则原点O 的振动方程为 (A) )2 1(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． (B) )2121(cos 50.0ππ-=t y ， (SI)． (C) )21 21(cos 50.0ππ+=t y ， (SI)． (D) )2 1 41(cos 50.0ππ+=t y ，(SI)． 提示：设O 点的振动方程为O 0()cos()y t A t ω?=+。由图知，当t=2s 时，O 点的振动状 态为：O 0(2)cos(2)=0 0y A v ω?=+>，且 ，∴0322πω?+=，0322 π ?ω=-，将0?代入振动方程得：O 3()cos(2)2 y t A t π ωω=+ -。由题中所给的四种选择，ω取值有三种：,,24πππ，将ω的三种取值分别代入O 3()cos(2)2 y t A t πωω=+-中，发现只有答案（C ）是正确的。 [ B ]2. 图中画出一向右传播的简谐波在t 时刻的波形 图，BC 为波密介质的反射面，波由P 点反射，则反射波在t 时刻的波形图为 提示： 由题中所给波形图可知，入射波在P 点的振 动方向向下；而BC 为波密介质反射面，故在P 点反射波存在“半波损失”，即反射波与入射波反相，所以，反射波在P 点的振动方向向上，又P 点为波节，因而得答案B 。
[ A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处质 点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是 提示：由图可知，P 点的振动在t=0 [ B ]4. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是 (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． 提示：动能=势能，在负的最大位移处时，速度=0，所以动能为零，势能也为零。 [ B ]5. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同． (C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同． 提示：根据驻波的特点判断。 [ C ]6. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的振 幅之比是 (A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4． (C) A 1 / A 2 = 2． (D) A 1 / A 2 = 1 /4． 二. 填空题 1. 一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在)(T t +（T 为波的周期）时刻该媒质质元的振动动能是 5（J ） . 2. 一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u 与该平面的法线0n v 的夹 角为θ，则通过该平面的能流是cos IS θ。 ωS A ?O ′ ω S A ?O ′ ω A ? O ′ ω S A ?O ′ (A) (B)(C)(D) S
选择性必修一,第三章机械波反射、折射和衍射及干涉
反射、折射、衍射、干涉 一、波的衍射 [导学探究]如图2所示是一个可观察水波衍射的水波发生槽， 振源的频率是可以调节的，槽中放置两块可移动的挡板形成宽度 可调节的小孔，观察水波的传播，也可以在水槽中放置宽度不同 的挡板，观察水波的传播．思考下列问题： (1)水波遇到小孔时，会观察到什么现象？依次减小小孔尺寸，观察到的现象有什么变化？ (2)当水波遇到较大的障碍物时，会观察到什么现象？当障碍物较小时，会观察到什么现象？ [知识深化] 1．关于衍射的条件：应该说衍射是没有条件的，衍射是波特有的现象，一切波都可以发生衍射．衍射只有“明显”与“不明显”之分，障碍物或小孔的尺寸跟波长差不多，或比波长小是产生明显衍射的条件． 2．波的衍射实质分析：波传到小孔(障碍物)时，小孔(障碍物)仿佛是一个新波源，由它发出的与原来同频率的波在小孔(障碍物)后传播，就偏离了直线方向．波的直线传播只是在衍射不明显时的近似情况． 一、波的衍射 1．定义：波可以绕过障碍物继续传播的现象． 2．发生明显衍射现象的条件：只有缝、孔的宽度或障碍物的尺寸跟波长相差不多，或者比波长更小时，才能观察到明显的衍射现象． 3．波的衍射的普遍性：一切波都能发生衍射，衍射是波特有的现象． 二、波的叠加原理 几列波相遇时能够保持各自的运动特征，继续传播，在它们重叠的区域里，介质的质点同时参与这几列波引起的振动，质点的位移等于这几列波单独传播时引起的位移的矢量和．三、波的干涉 1．定义 频率相同的两列波叠加时，某些区域的振幅加大、某些区域的振幅减小的现象． 2．稳定干涉条件 (1)两列波的频率必须相同． (2)两个波源的相位差必须保持不变．
机械波作业及参考参考答案
第十机械波 一. 选择题 [C]1．（基础训练1）图14-10为一平面简谐波在t =2s 时刻的波形图，则平衡位置在P 点的质点的振动方程是 (A)]31)2(cos[01.0π+-π=t y P (SI)． (B)]31 )2(cos[01.0π++π=t y P (SI)． (C)]3 1 )2(2cos[01.0π+-π=t y P (SI)． (D)]3 1 )2(2cos[01.0π--π=t y P (SI)． 【提示】由t=2s 波形，及波向X 轴负向传播， 波动方程 })2[(cos{0 ?ω+-+ -=u x x t A y ，?为P 点初相。以0x x =代入。 [C]2．（基础训练4）一平面简谐波在弹性媒质中传播，在某一瞬时，媒质中某质元正处于平衡位置，此时它的能量是（） (A)动能为零，势能最大．(B)动能为零，势能为零． (C)动能最大，势能最大．(D)动能最大，势能为零． 【提示】在波动的传播过程中，任意时刻的动能和势能不仅大小相等而且相位相同，在平衡位置，动能最大，势能最大。 [D]3．（基础训练7）在长为L ，一端固定，一端自由的悬空细杆上形成驻波，则此驻波的基频波（波长最长的波）的波长为 (A)L ．(B)2L ． (C)3L ．(D)4L ． 【提示】形成驻波，固定端为波节，自由端为波腹。波长最长，4 L λ =。 [D]4．（自测提高3）一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t =t ＇时波形曲线如图14-24所示．则坐标原点O 的振动方程为 (A)]2 )(cos[π+'-=t t b u a y ． (B)2 )(2cos[π-'-π=t t b u a y ． (C)]2 )(cos[π+'+π=t t b u a y ． 图14-10 图14-24
第十一章 机械波作业答案教学内容
一.选择题 [ C]1. 一沿x轴负方向传播的平面简谐波在t= 2 s时的波形曲线如图所示，则原点O的振动方程为 (A) ) 2 1 ( cos 50 .0π π+ =t y，(SI)． (B) ) 2 1 2 1 ( cos 50 .0π π- =t y，(SI)． (C) ) 2 1 2 1 ( cos 50 .0π π+ =t y，(SI)． (D) ) 2 1 4 1 ( cos 50 .0π π+ =t y，(SI)． 提示：设O点的振动方程为 O0 ()cos() y t A tω? =+。由图知，当t=2s时，O点的振动状 [ B ]2. 图中画出一向右传播的简谐波在t时刻的波形 图，BC为波密介质的反射面，波由P点反射，则反射波在t时 刻的波形图为 提示： 由题中所给波形图可知，入射波在P点的振 动方向向下；而BC为波密介质反射面，故 在P点反射波存在“半波损失”，即反射波 与入射波反相，所以，反射波在P点的振动 方向向上，又P点为波节，因而得答案B。
[ A ]3. 一平面简谐波沿x 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处质点的振动在t = 0时刻的旋转矢量图是 [ B ]4. 一平面简谐波在弹性媒质中传播时，某一时刻媒质中某质元在负的最大位移处，则它的能量是 (A) 动能为零，势能最大． (B) 动能为零，势能为零． (C) 动能最大，势能最大． (D) 动能最大，势能为零． 提示：动能=势能，在负的最大位移处时，速度=0，所以动能为零，势能也为零。 [ B ]5. 在驻波中，两个相邻波节间各质点的振动 (A) 振幅相同，相位相同． (B) 振幅不同，相位相同． (C) 振幅相同，相位不同． (D) 振幅不同，相位不同． 提示：根据驻波的特点判断。 [ C ]6. 在同一媒质中两列相干的平面简谐波的强度之比是I 1 / I 2 = 4，则两列波的 振幅之比是 (A) A 1 / A 2 = 16． (B) A 1 / A 2 = 4． (C) A 1 / A 2 = 2． (D) A 1 / A 2 = 1 /4． 二. 填空题 1. 一平面简谐机械波在媒质中传播时，若一媒质质元在t 时刻的总机械能是10 J ，则在 (t +2. 一列强度为I 的平面简谐波通过一面积为S 的平面，波速u 与该平面的法线0n v 的夹 角为θ，则通过该平面的能流是cos IS θ。 ωS A ?O ′ ω S A ?O ′ ω A ? O ′ ω S A ?O ′ (A) (B)(C)(D) S
高中物理选择性必修一第3章 机械波章末总结
章末总结 突破一波的图像反映的信息及其应用 从波的图像可以看出： (1)波长λ；(2)振幅A；(3)该时刻各质点偏离平衡位置的位移情况；(4)如果波的传播方向已知，可判断各质点该时刻的振动方向以及下一时刻的波形；(5)如果波的传播速度大小已知，可利用图像所得的相关信息进一步求得各质点振动的周 期和频率：T＝λ v，f＝ v λ。 [例1] (多选)一列简谐横波在t＝0时刻的波形图如图实线所示，从此刻起，经0.1 s波形图如图虚线所示，若波传播的速度为10 m/s，则() A.这列波沿x轴正方向传播 B.这列波的周期为0.4 s
C.t＝0时刻质点a沿y轴正方向运动 D.从t＝0时刻开始质点a经0.2 s通过的路程为0.4 m 解析从题图可以看出波长λ＝4 m，由已知波速v＝10 m/s，求得周期T＝0.4 s；经0.1 s波传播的距离x＝vΔt＝1 m，说明波沿x轴负方向传播；t＝0时刻质点a 沿y轴负方向运动；从t＝0时刻开始质点a经0.2 s，即半个周期通过的路程为s＝2A＝0.4 m。 答案BD 突破二波的图像和振动图像的综合应用 对波的图像和振动图像问题可按如下步骤来分析 (1)先看两轴：由两轴确定图像种类。 (2)读取直接信息：从振动图像上可直接读取周期和振幅；从波的图像上可直接读取波长和振幅。 (3)读取间接信息：利用振动图像可确定某一质点在某一时刻的振动方向；利用波的图像可进行波传播方向与某一质点振动方向的互判。 (4)利用波速关系式：v＝λ T＝λf。 [例2]如图所示，甲为t＝1 s 时某横波的波形图像，乙为该波传播方向上某一质点的振动图像，距该质点Δx＝0.5 m 处质点的振动图像可能是()
第六章 机械波作业及答案
第六章 机械波作业及答案 一、选择题 1.频率为500Hz 的波，其波速为3601-?s m ，在同一波线上位相差为 60的两点的距离为 [ ] （A ）;24.0m （B ）;48.0m （C ）;36.0m （D ）;12.0m 2、一平面简谐波的波动方程为)(),3cos(1.0SI x t y πππ+-=，0=t 时刻的波形曲线如图所示，则 [ ] (A)O 点的振幅为m 1.0-； (B) 波长为m 3； (C) a,b 两点间位相差为 2 π ; (D) 波速为19-?s m . 3、图为沿x 轴负方向传播的平面简谐波在t = 0时刻的波形．若波的表达式以余弦函数表示，则O 点处质点振动的初相为 [ ] (A) 0． (B) π21 ． (C) π． (D) π2 3 ． 4、一平面简谐波沿Ox 轴正方向传播，t = 0 时刻的波形图如图所示，则P 处介质质点的振动方程是 [ ] (A) )31 4cos(10.0π+π=t y P (SI)． (B) )3 1 4cos(10.0π-π=t y P (SI)． x y O u
(C) )31 2cos(10.0π+π=t y P (SI)． (D) )6 1 2cos(10.0π+π=t y P (SI)． 5、一平面简谐波沿x 轴负方向传播．已知 x = x 0处质点的振动方程为0cos()y A t ω?=+．若波速为u ，则此波的表达式为 (A) 00cos{[()/]}y A t x x u ω?=--+． (B) 00cos{[()/]}y A t x x u ω?=--+． (C) 00cos{[()/]}y A t x x u ω?=--+． (D) 00cos{[()/]}y A t x x u ω?=+-+． [ ] 6、如图所示，S 1和S 2为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为λ 的简谐波，P 点是两列波相遇区域中的一点，已知 λ21=P S ，λ2.22=P S ， 两列波在P 点发生相消干涉．若S 1的振动方程为 )2 12cos(1π+π=t A y ，则 S 2的振动方程为 [ ] (A) )21 2cos(2π-π=t A y ． (B) )2cos(2π-π=t A y ． (C))2 1 2cos(2π+π=t A y ． (D))1.02cos(22π-π=t A y ． 二、计算题 1 、已知一平面简谐波的表达式为 )37.0125cos( 25.0x t y -= (SI) (1) 分别求x 1 = 10 m ，x 2 = 25 m 两点处质点的振动方程； (2) 求x 1，x 2两点间的振动相位差； 2、某质点作简谐振动，周期为2 s ，振幅为0.06 m ，t = 0 时刻，质点恰好处在负向最大位移处，求 S
5 机械波习题详解
习题五 一、选择题 1．已知一平面简谐波表达式为 )cos(bx at A y -=（a 、b 为正值常量），则 ［ ］ （A ）波频率为a ； （B ）波传播速度为 b/a ； （C ）波长为 π / b ； （D ）波周期为2π / a 。 答案：D 解：由22cos()cos( )2/2/y A at bx A t x a b ππππ=-=-，可知周期2T a π = 。波长为b π2。 2．如图，一平面简谐波以波速u 沿x 轴正方向传播，O 为坐标原点．已知P 点振动方程为cos y A t ω=，则 ［ ］ （A ）O 点振动方程为 []cos (/)y A t l u ω=-； （B ）波表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=--； （C ）波表达式为 {}cos [(/)(/)]y A t l u x u ω=+-； （D ）C 点振动方程为 []cos (3/)y A t l u ω=-。 答案：C 解：波向右传播，原O 振动相位要超前P 点u l /ω，所以原点O 振动方程为 {}0cos [(/)]y A t l u ω?=++，因而波方程为]}[cos{u l u x t A y +- =ω，可得答案为C 。 3．一平面简谐波以速度u 沿x 轴正方向传播，在t t '=时波形曲线如图所示．则坐标原点O 振动方程为［ ］ （A ）]2 )(cos[π +'-=t t b u a y ； （B ）]2)(2cos[π -'-π=t t b u a y ； （C ）] )(cos[π+'+π=t t u a y ； （D 答案：D 解：令波表达式为 cos[2()]x y a t ν?λ =-+π 当t t '=， cos[2()]x y a t ν?λ '=-+π 由图知，此时0x =处初相 22t ν?'+=- ππ， 所以 22 t ?ν'=--π π， x O u 2l l y C P