高考数学(人教a版,理科)题库：数学归纳法(含答案)

第3讲数学归纳法一、选择题

1. 利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋a n＋1＝1－a n＋2

1－a

(a≠1，n∈N*)”时，在验

证n＝1成立时，左边应该是( )

A 1

B 1＋a

C 1＋a＋a2

D 1＋a＋a2＋a3

解析当n＝1时，左边＝1＋a＋a2，故选C.

答案 C

2．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()．A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立

C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立

D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立

解析A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．

答案 D

3．用数学归纳法证明1－1

2＋

1

3－

1

4＋…＋

1

2n－1

－

1

2n＝

1

n＋1

＋

1

n＋2

＋…＋

1

2n，则

当n＝k＋1时，左端应在n＝k的基础上加上()．

A.1

2k＋2B．－

1

2k＋2

C.1

2k＋1－

1

2k＋2

D.

1

2k＋1

＋

1

2k＋2

解析∵当n＝k时，左侧＝1－1

2＋

1

3－

1

4＋…＋

1

2k－1

－

1

2k，当n＝k＋1时，

左侧＝1－1

2＋

1

3－

1

4＋…＋

1

2k－1

－

1

2k＋

1

2k＋1

－

1

2k＋2

.

答案 C

4．对于不等式n2＋n

(1)当n＝1时，12＋1<1＋1，不等式成立．

(2)假设当n＝k(k∈N*且k≥1)时，不等式成立，即k2＋k

1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<(k2＋3k＋2)＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋

1)＋1，

所以当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法()．A．过程全部正确

B．n＝1验得不正确

C．归纳假设不正确

D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确

解析在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，故推理错误．

答案 D

5．下列代数式(其中k∈N*)能被9整除的是( )

A．6＋6·7k B．2＋7k－1

C．2(2＋7k＋1) D．3(2＋7k)

解析 (1)当k＝1时，显然只有3(2＋7k)能被9整除．

(2)假设当k＝n(n∈N*)时，命题成立，即3(2＋7n)能被9整除，

那么3(2＋7n＋1)＝21(2＋7n)－36.

这就是说，k＝n＋1时命题也成立．

由(1)(2)可知，命题对任何k∈N*都成立．

答案 D

6．已知1＋2×3＋3×32＋4＋33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()．

A．a＝1

2，b＝c＝

1

4B．a＝b＝c＝

1

4

C．a＝0，b＝c＝1

4D．不存在这样的a、b、c

解析∵等式对一切n∈N*均成立，∴n＝1,2,3时等式成立，即

???

1＝3(a －b )＋

c ，

1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，

1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，

整理得???

3a －3b ＋c ＝1，18a －9b ＋c ＝7，

81a －27b ＋c ＝34，

解得a ＝12，b ＝c ＝1

4. 答案 A 二、填空题

7．用数学归纳法证明不等式

1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n

＞1324的过程中，由n ＝k 推导n ＝k ＋1时，不等式的左边增加的式子是________． 解析 不等式的左边增加的式子是12k ＋1＋12k ＋2－1k ＋1＝1(2k ＋1)(2k ＋2)

，故填

1

(2k ＋1)(2k ＋2)

.

答案 1

(2k ＋1)(2k ＋2)

8. 用数学归纳法证明：

121×3＋223×5＋…＋n 2(2n －1)(2n ＋1)＝n(n ＋1)2(2n ＋1)；当推证当n ＝k ＋1等式也成立时，用上归纳假设后需要证明的等式是 . 解析 当n ＝k ＋1时，

121×3＋223×5＋…＋k 2(2k －1)(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3) ＝k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2(2k ＋1)(2k ＋3)

故只需证明k(k ＋1)2(2k ＋1)＋(k ＋1)2

(2k ＋1)(2k ＋3)

＝

(k ＋1)(k ＋2)

2(2k ＋3)

即可.

答案

k(k＋1)

2(2k＋1)

＋

(k＋1)2

(2k＋1)(2k＋3)

＝

(k＋1)(k＋2)

2(2k＋3)

9．已知整数对的序列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…，则第60个数对是________．

解析本题规律：2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；

4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；

5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；

…；

一个整数n所拥有数对为(n－1)对．

设1＋2＋3＋…＋(n－1)＝60，∴(n－1)n

2＝60，

∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，

∴第60个数对为(5,7)．

答案(5,7)

10．在数列{a n}中，a1＝1

3

且S n＝n(2n－1)a n，通过计算a2，a3，a4，猜想a n的表

达式是________．

解析当n＝2时，a1＋a2＝6a2，即a2＝1

5

a

1

＝

1

15

；

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝15a3，

即a3＝

1

14

(a1＋a2)＝

1

35

；

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝28a4，

即a4＝

1

27

(a1＋a2＋a3)＝

1

63

.

∴a1＝1

3

＝

1

1×3

，a2＝

1

15

＝

1

3×5

，a3＝

1

35

＝

1

5×7

，a4＝

1

7×9

，

故猜想a n＝

1

n－n＋

.

答案a n＝

1

n－n＋

三、解答题

11．已知S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N *)，求证：S 2n >1＋n

2(n ≥2，n ∈N *)． 证明 (1)当n ＝2时，S 2n ＝S 4＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋2

2，即n ＝2时命题成立； (2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k 2， 则当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋1

2k ＋1＋

12k ＋2＋…＋12k ＋

1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋1

2＝1＋k ＋12， 故当n ＝k ＋1时，命题成立．

由(1)和(2)可知，对n ≥2，n ∈N *.不等式S 2n >1＋n

2都成立．

12．已知数列{a n }：a 1＝1，a 2＝2，a 3＝r ，a n ＋3＝a n ＋2(n ∈N *)，与数列{b n }：b 1

＝1，b 2＝0，b 3＝－1，b 4＝0，b n ＋4＝b n (n ∈N *)．记T n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋b 3a 3＋…＋b n a n .

(1)若a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝64，求r 的值； (2)求证：T 12n ＝－4n (n ∈N *)．

(1)解 a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 12＝1＋2＋r ＋3＋4＋(r ＋2)＋5＋6＋(r ＋4)＋7＋8＋(r ＋6)＝48＋4r . ∵48＋4r ＝64，∴r ＝4.

(2)证明 用数学归纳法证明：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .

①当n ＝1时，T 12＝a 1－a 3＋a 5－a 7＋a 9－a 11＝－4，故等式成立． ②假设n ＝k 时等式成立，即T 12k ＝－4k ，那么当n ＝k ＋1时，

T 12(k ＋1)＝T 12k ＋a 12k ＋1－a 12k ＋3＋a 12k ＋5－a 12k ＋7＋a 12k ＋9－a 12k ＋11＝－4k ＋(8k ＋1)－(8k ＋r )＋(8k ＋4)－(8k ＋5)＋(8k ＋r ＋4)－(8k ＋8)＝－4k －4＝－4(k ＋1)，等式也成立．

根据①和②可以断定：当n ∈N *时，T 12n ＝－4n .

13．设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝a 2

n －2na n ＋2，n ＝1,2,3，…

(1)求a 2，a 3，a 4的值，并猜想数列{a n }的通项公式(不需证明)；

(2)记S n 为数列{a n }的前n 项和，试求使得S n <2n 成立的最小正整数n ，并给出

证明．

解(1)a2＝5，a3＝7，a4＝9，猜想a n＝2n＋1.

(2)S n＝n(3＋2n＋1)

2＝n

2＋2n，使得S

n

<2n成立的最小正整数n＝6.

下证：n≥6(n∈N*)时都有2n>n2＋2n.

①n＝6时，26>62＋2×6，即64>48成立；

②假设n＝k(k≥6，k∈N*)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k)＝k2

＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立；

由①、②可得，对于所有的n≥6(n∈N*)

都有2n>n2＋2n成立．

14．数列{x n}满足x1＝0，x n＋1＝－x2n＋x n＋c(n∈N*)．

(1)证明：{x n}是递减数列的充分必要条件是c<0；

(2)求c的取值范围，使{x n}是递增数列．

(1)证明先证充分性，若c<0，由于x n＋1＝－x2n＋x n＋c≤x n＋c

递减数列；

再证必要性，若{x n}是递减数列，则由x2

(2)解①假设{x n}是递增数列．

由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.

由x1

由x n

＋1

＝x2n－x n－c＋c＝(1－c－x n)(c－x n)，②由①式和②式可得1－c－x n>0，即x n<1－c.

由②式和x n≥0还可得，对任意n≥1都有c－x n

＋1

≤(1－c)(c－x n)．③反复运用③式，得

c－x n≤(1－c)n－1(c－x1)<(1－c)n－1，

x n<1－c和c－x n<(1－c)n－1两式相加，知

2c－1<(1－c)n－1对任意n≥1成立．

根据指数函数y＝(1－c)n的性质，得

2c－1≤0，c≤1

4，故0

1

4.

②若0

4，要证数列{x n }为递增数列，

即x n ＋1－x n ＝－x 2

n ＋c >0，即证x n

下面用数学归纳法证明当0

4时，x n

2，结论成立． (ii)假设当n ＝k (k ∈N *)时，结论成立，即x n

因为函数f (x )＝－x 2＋x ＋c 在区间? ?

???－∞，12内单调递增，所以x k ＋1＝f (x k )

＝c ，这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立． 故x n

因此，x n ＋1＝x n －x 2

n ＋c >x n ，即{x n }是递增数列．

由①②知，使得数列{x n }单调递增的c 的范围是? ?

?

??0，14.