《电动力学(第三版)》静电场chapter2_3
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《电动力学第三版》chapter2_1静电场的标势及其微分方程
解：整个导体为等势体, 导体球的电荷分布于球面上，
可知球面上的电势为
a
Q
4π 0 a
因此静电场总能量为
W12VdV12Qa
W Q2
8 0a
静电场总能量也可以由 E, D求出. 因为球内电场 为零，故只需对球外积分
1
W2EDdV
W0 E2dV0
2
2
Q2
(4π0r2)2
r2drd
Q2
8π0
第二章 静电场
电磁场的基本理论应用到最简单的情 况：电荷静止，相应的电场不随时间而变 化的情况.
在给定自由电荷分布以及周围空间介 质和导体分布的情况下，求解静电场.
E0
Edl 0
静电场对电荷做功与路径无关. 设C1和C2为连接P1和
P2点的两条不同路径，则
EdlEdl
C1
C2
静电场是无旋场，故可引入标量场，静电势 (x,y,z)
(x)
(x)
E(x)
静电场是电荷分布与电场的稳定平衡状态下的场.
2. 静电势的微分方程和边值关系
对各向同性、线性介质
D E D ()
若是均匀介质
2 ——泊松方程
其中ρ为自由电荷密度.
描述均匀、各向同性、线性介质中静电场的基 本方程：泊松方程.
泊松方程是静电势满足的基本微分方程. 给出边
W
1 2
dV
(1) 上式只能用于计算静电场的总能量.
(2) 1 不是能量密度. 2
仅对静电场成立，/2不代表能量密度.
电荷分布 所激发的电场总能量
W 1 24 π 1 d V d V 'ρ x r x '
例1 求均匀电场的电势.
《电动力学第三版》chapter2_2唯一性定理
E2t E1t
D
2n
D1n
如果我们假设 E仍保持球对称性,即
E1
A r3
r
E2
A r3
r
(左半部) (右半部)
(A为待定常数),分界面两侧电场与界面相切,并有相同数值,因 而边值关系得到满足.
球对称的E在球面上处处与球面垂直,保证导体球面为等
势面. 为了满足内导体总电荷等于Q,我们计算内导体球面上
对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，将导 体看成是区域边界之一，即可证明电场被唯一确定.
对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表 面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定.
设区域V 内有一些导体,给定导体之外的电荷分布x 给定
各导体上的总电荷Qi以及V的边界S上的或/n值,则V内的电
有球对称性. 试解释之.
子区域 2
子区域 4
子区域 3
i ( S i i )d S i V i i d V(1)
i
V ii( )2dVV i(i 2)dV
i
i 2dV
Vi
i S i(i )d S i S i(i n i)d S 0 (2)(3)
i S i i d S i V i i 2 d V 0
场唯一地确定. 存在唯一的解,它在导体以外满足泊松方程
2/
在第i个导体上满足总电荷条件和等势面条件
Si ndSQ i, |Sii 常量
以及在V的边界S上具有给定的|s 或/n|s值.
证明: 设有 和 同时满足上述条件. 令 '''
2 0
|si 0,
dS 0 Si n
|s 0 或
第二章 静电场
《电动力学(第三版)》静电场chapter2_4
p
1
4π 0
R2
a2
Q
2aR cos
1/ 2
Q'
R2
b2
2bR cos
1/ 2
Q' Q
ba
p (x,
y,
z)
Q
4π 0
1
R2 a2 2aR cos
1/ 2
1
R2 a2 2aR cos
1/
2
例2 真空中有一半径为R0的接地导体球,距球心为a(a>R0)处有一
点电荷Q的镜像
Q
Q ++
++
代换没有改变电荷分布 泊松方程不变
代换满足边界条件
假想电荷代替 感应电荷分布
问题解决
注意：
(1) 唯一性定理要求所求电势必须满足原有电荷分布 所满足的泊松方程或拉普拉斯方程. 因此，在所研究 的场域内不可放置镜像电荷，也就是说，镜像电荷 必须放在研究的场域外.
(2) 由于镜像电荷代替了真实的感应电荷或极化电荷 的作用，因此放置镜像电荷后，就认为原来的真实的 导体或介质界面不存在. 也就是把整个空间看成是无 界的均匀空间. 并且其介电常量应是所研究场域的介 电常量.
具体求解过程如下.
2 1 0
0 R
Q
(x
Hale Waihona Puke a,y0,
z
0)
(1) (2)
R0 0
(3)
p
Q
Q'
Q 4πε0r
Q' 4πε0r'
1 4πε0
(
Q r
Q' r'
)
1
4π 0
Q
(x a)2 y2 z2
电动力学课件3-2
原因：静电力作功与路径无关，∫L E ⋅ dl = 0 ，引入的电势是
单值的；
静磁场 ∫L H ⋅ dl = I 一般不为零，即静磁场作功与路径有关，
所以，一般情况下标势不是单值Байду номын сангаас。
一、 磁场可以用标势描述的条件 一个空间区域V中的磁场可以用标势描述的条件是在其中
作出的任何一条闭合曲线都不连环着电流。 在区域V中任取一条闭合曲线L，设S是以L为边界的任一
ρP = −∇ ⋅ P
σ P =−n ⋅ ( P2 − P1 )
E = −∇ϕ
∇ 2ϕ
=− ρ f
+
ε0
ρP
ϕ2 = ϕ1
静磁场
∇× H =0
∇ ⋅ B=0
=B µ0 (H + M )
∇⋅
H
=
ρm
µ0
ρm = −µ0∇ ⋅ M
σ m = −µ0n ⋅ ( M2 − M1 )
B1 B2
= =
µ1 H1 µ0 H 2
可得
µ0 H 2n
H2t
= =
µ H1n
H1t ,
式中n和t分别表示法向和切向分量。两式相除得
= H2t µ0 H1t → 0 H2n µ H1n
因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直，而 H = −∇ϕm
故表面为等磁势面。
假想（束缚）磁荷密度可表示为
ρm = −µ0∇ ⋅ M
(3.2.5)
将式(3.2.5)代入式(3.2.4)得
∇ ⋅ H = ρm µ0 引进磁标势 ϕ m 描述磁场
(3.2.6)
H = −∇ϕm
(3.27)
代入式(3.2.6)中，得磁介质内部磁标势满足的方程
《电动力学》教案 第二章 静电场.docx
第二章静电场1 一个半径为R 的电介质球，极化强度为,电容率为计算： (1)束缚电荷的体密度和面密度； (2)自由电荷体密度； (3)球外面和球内的电势； (4) 该带电介质球产生的静电场的总能量。
解：问题有球对称，故由叨=蛭+ R=茂得介质球内的电场强度 瓦=—^- = -^4,(尸 VR)£ _ £()£ _ % 广极化过程遵从电荷守恒，球内与球面总的束缚电荷必定等值异 号，且有球形对称，在球外面电场互相抵消，故球外面电场相当 f " 4 展 KR于总的自由电荷心=L PjdV =——集中于球心时产生的电6 6（）场4密0sKR r .必 £°(£ — £())户，r> &Q 卜里,=甲=室一坚罗 。
' a4花 r 4 展"上式用级数展开其结果跟用分离变量法的结果一致。
解的必=自由电荷体密度:自由电荷体密度:9接地空心导体球内、外半径为&和R?，在球内离球心为。
（。
＜&）处置一点电荷。
，试用镜像法求电势。
导体球上的感应电荷有多少？分布在内表面还是在外表面？解：由于接地导体球的屏蔽作用，球壳及外部空间的电势为零，求解区域为球腔内。
以球心为坐标原点，令4位于Z =。
处。
问题有轴对称，球内电势的全部定解条件为：vV = --^（z-^z）；8加项T有限,此书=。
在z=b处放一假想电荷必，则球内任意一点的电势"Q I Q'4筋°尸4茏（/，其中,是点电荷&到场点的距离，/是点电荷必到场点的距离,1_ 1] ]即•尸^R I即•尸^R II + a1 -2Racos0，r』+ a2— 2Rd COS0Q必Q r由边界条件切得：[； + >]=0,即~^ = ~ 二0r r R=R}H ' R=R]n R2解的。
=-*" = 土aaI , QQRJan（p =——[/*__% ]4密。
(完整word版)电动力学-郭硕鸿-第三版-课后题目整理(复习备考专用)
电动力学答案第一章 电磁现象的普遍规律1. 根据算符∇的微分性与向量性，推导下列公式：BA B A A B A B B A )()()()()(∇⋅+⨯∇⨯+∇⋅+⨯∇⨯=⋅∇A A A A )()(221∇⋅-∇=⨯∇⨯A2. 设u 是空间坐标z y x ,,的函数，证明：u uf u f ∇=∇d d )(，uu u d d )(A A ⋅∇=⋅∇，uu u d d )(A A ⨯∇=⨯∇ 证明：3. 设222)'()'()'(z z y y x x r -+-+-=为源点'x 到场点x的距离，r 的方向规定为从源点指向场点。
（1）证明下列结果，并体会对源变量求微商与对场变量求微商的关系：r r r /'r =-∇=∇ ； 3/)/1(')/1(r r r r -=-∇=∇ ；0)/(3=⨯∇r r ；0)/(')/(33=⋅-∇=⋅∇r r r r ， )0(≠r 。
（2）求r ⋅∇ ，r ⨯∇ ，r a )(∇⋅ ，)(r a ⋅∇ ，)]sin([0r k E ⋅⋅∇及)]sin([0r k E ⋅⨯∇ ，其中a 、k 及0E 均为常向量。
4. 应用高斯定理证明fS f ⨯=⨯∇⎰⎰SVV d d ，应用斯托克斯（Stokes ）定理证明⎰⎰=∇⨯LSϕϕl S d d5. 已知一个电荷系统的偶极矩定义为 'd '),'()(V t t Vx x p ⎰=ρ，利用电荷守恒定律0=∂∂+⋅∇tρJ 证明p 的变化率为：⎰=V V t td ),'(d d x J p6. 若m 是常向量，证明除0=R 点以外，向量3/R）（R m A ⨯=的旋度等于标量3/R R m ⋅=ϕ的梯度的负值，即ϕ-∇=⨯∇A ，其中R 为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。
7. 有一内外半径分别为1r 和2r 的空心介质球，介质的电容率为ε，使介质球内均匀带静止自由电荷f ρ，求：（1）空间各点的电场；（2）极化体电荷和极化面电荷分布。
电动力学 郭硕鸿 第三版 第16次课(23章习题课)
P R 势 0 P R 3 f 3 4 0 R 41 R
0 P Pp Pf Pf
，球内电势 1 0 1 1为球面上极化电荷 ，
1
，因此它在球内产生的电
激发电势，满足拉普拉斯方程，可用分离变量法得到。
1
满足 21 0
( R R0 )
(2) 当导体球上带总电荷Q 时
1 C
22 0
R R0 R R0
2 R E0 R cos 0
2
bn n 2 an R n 1 Pn cos R n
0 是未置入导体球前坐标原点的电势
0 是未置入导体球前坐标原点的电势 2 R R 0
0
bn n 2 an R n 1 Pn cos R n
E0 R cos 0 a0 a1 R cos an R Pn cos
n n2Biblioteka a0 0 , a1 E0 , an 0(n 1)
1 an R n P (cos ) n 3 41 R n dn P (cos ) 2 R n 1 n n 1 R 2 R 0 0 边值关系 1 2 2 1 R R R0 R0
并注意到 p f R p f R cos p f R P (cos ) 1
R R0
C
2 0 R ds Q( R R0 ) s
E0 R cos 0 a0 a1 R cos an R n Pn cos
a0 0 , a1 E0 , an 0(n 1)
n2
0 P Pp Pf Pf
，球内电势 1 0 1 1为球面上极化电荷 ，
1
，因此它在球内产生的电
激发电势，满足拉普拉斯方程，可用分离变量法得到。
1
满足 21 0
( R R0 )
(2) 当导体球上带总电荷Q 时
1 C
22 0
R R0 R R0
2 R E0 R cos 0
2
bn n 2 an R n 1 Pn cos R n
0 是未置入导体球前坐标原点的电势
0 是未置入导体球前坐标原点的电势 2 R R 0
0
bn n 2 an R n 1 Pn cos R n
E0 R cos 0 a0 a1 R cos an R Pn cos
n n2Biblioteka a0 0 , a1 E0 , an 0(n 1)
1 an R n P (cos ) n 3 41 R n dn P (cos ) 2 R n 1 n n 1 R 2 R 0 0 边值关系 1 2 2 1 R R R0 R0
并注意到 p f R p f R cos p f R P (cos ) 1
R R0
C
2 0 R ds Q( R R0 ) s
E0 R cos 0 a0 a1 R cos an R n Pn cos
a0 0 , a1 E0 , an 0(n 1)
n2
大学物理通用教程.电动力学.郭硕鸿.第三版.答案
3. 设 r =
( x − x ' ) 2 + ( y − y ' ) 2 + ( z − z ' ) 2 为源点 x ' 到场点 x 的距离 r 的方向规定为从 r ∂ r ∂ r ∂ + e y ' + e z ' ) 与对场变数求 ∂x ' ∂y ∂z
源点指向场点 1 证明下列结果 并体会对源变数求微商 (∇ = e x
(最后一式在人 r 0 点不成立 见第二章第五节) 2 求
r r r r r r r r r r r r r r r ∇ ⋅ r , ∇ × r , (a ⋅ ∇)r , ∇(a ⋅ r ), ∇ ⋅ [ E 0 sin(k ⋅ r )]及∇ × [ E 0 sin(k ⋅ r )], 其中a , k 及E 0 均为常矢量
若令 H x = f y k − f z j , H y = f z i − f x k , H Z = f x j − f y i 则上式就是
r
r
r
r
r
r
r r r ∇ ⋅ H dV = d S ∫ ∫ ⋅ H ,高斯定理 则证毕
V S
2)由斯托克斯公式有
∫ f ⋅ dl = ∫ ∇ × f ⋅ dS
r r r r r r r r ∂Ax (u ) ∂A y (u ) ∂Az z (u ) dAx (u ) ∂u dA y (u ) ∂u dAz (u ) ∂u dA ∇ ⋅ A(u ) = + + = ⋅ + ⋅ + ⋅ = ∇u ⋅ ∂x ∂y ∂z du ∂x du ∂y dz ∂z du
l S
r
r r
r
2024版电动力学高教第三版3
RC电路暂态过程
在RC电路中，当电源接通或断开时，电容器上的 电压和电流不能突变，需要经过一段时间才能达 到新的稳定状态。
三要素法
通过分析初始值、稳态值和时间常数三个要素来 求解一阶线性电路的暂态过程。
06
麦克斯韦电磁场理论
麦克斯韦方程组及其物理意义
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程， 包括高斯定律、高斯磁定律、法拉第电磁 感应定律和安培环路定律。
电动力学高教第三版3
目
CONTENCT
录
• 绪论 • 静电场 • 稳恒电流场 • 稳恒磁场 • 电磁感应与暂态过程 • 麦克斯韦电磁场理论
01
绪论
电动力学的历史与发展
静电学和静磁学的研究
从古希腊时期开始，人们就开始研究静电和静磁现象， 如摩擦起电、磁石的吸铁性等。
电流和电磁感应的发现
19世纪初，奥斯特发现了电流的磁效应，法拉第发现 了电磁感应现象，揭示了电与磁之间的密切联系。
静电场中的导体和电介质
导体的静电平衡
导体内部没有电荷定向移动的状态。在此状态下，导体内部场强为零，电荷只分布在导 体表面。
电介质的极化
在外电场作用下，电介质内部产生感应电荷的现象。极化程度用电介质的相对介电常数 表示。
有电介质存在时的静电场
电介质的存在会改变空间的电场分布。根据电介质的性质（线性或非线性）和分布情况 （均匀或不均匀），可采用不同的方法求解空间的电场分布。
电场线
形象地描述电场分布的一系列 曲线，其疏密程度反映电场的 强弱，切线方向表示该点的场 强方向。
电势与电势差
01
电势
描述电场中某点电势能的性质， 是标量，具有相对性。通常选无 限远处或大地为零电势点。
《电动力学(第三版)》静电场chapter2_6
2 xix j
e
0
r
2
i,
3 2 j1 xi2
e
0
r 22e
0
0
(e为外场)
也可以写成矢量符号形式：
e
x
e
0
x
e
0
1 6
3xx
r
2
II
: e 0
外场中能量的级数形式
W
xe 0
i
xi
xi
e 0
1 2!
i, j
xi x j
2 xix j
e 0d
Qe 0
i
pi
xi
e 0
0
V
•电四极矩：球对称的电荷分布——电四极矩为零
x'2
(x'
)dV'
y'
2
(
x'
)dV'
z'
2
(
x'
)dV'
V
V
V
1
r'
2
(
x'
)dV'
3V
D11 D22 D33 0
Dij V 3xi'x j'(x')dV'
xi' xi'
对非对角项 D12 D13 D23 0
W12
W0 W1 W2
1 2
V (1 2 )(1 2 )d
1 2
V 11d
1 2
V 22d
1 2
V (12
21)d
V 12d
V1
12d1
1
4π 0
V1
V2
电动力学课件 3
利用正弦函数的级数展开系数计算公式得
4 V 0 /( n ), an V 0 sin( n x / a ) dx 0 , a 0 2
4V 0
n 为奇数 ; n 为偶数 .
n 1
( 2 n 1) x sin e 2n 1 a 1
2
m
c 0 d 0 , c m cos m d m sin m ,
m 0, m 0.
(am
m
bm
m
)( c m cos m d m sin m ) ,
(2.2.14)
本征值m由周期边界条件确定(02),系数由边值关系和定解条件确定
|x 0 |x a 0, |y0 V0 ,
n 1, 2 , ;
y
y
V0
O
a
图2－1
x
|y 0
b 0
由齐次边界条件(第1个)确定本征值 和 b：
n / a,
由第3个条件得 c = 0；不妨令 d = 1. 最后由第2个条件确定a ：
2
Rm
( a 0 b 0 ln )( c 0 d 0 )
m0
a 0 b 0 ln , m m a m bm ,
m 0, m 0;
1 1 2 0 2 2 R R 2 0 2 2 1 d dR m 2 R , d 2 2 d d m 2 d
2 n 1 a
y
解毕 10
2012-6-4
《电动力学第三版》电动力学总结
q'q,x'ak
4π 1
q
q
x2y2(za)2 x2y2(za)2
(2) 接地导体球外点电荷
b R02 a
Q' R0 Q a
(P) 1 4π0
Qr Ra0rQ'
(3) 接地导体球内点电荷
b R12 a
Q' R1 Q a
(P) 1 4π0
Qr Ra1rQ'
4 拉普拉斯方程的解 分离变量法
其中
Ex
A1 cos kx x sin k y yeikzz
Ey A2 sin kx x cos k y yeikzz
Ez A3 sin kx x sin k y yeikzz
kxA 1kyA 2ikzA 30
kx
m,
a
ky
n,
b
为求三角形波导的E, 只需从上述解中选出满足最后一个边
界条件的即可
面电荷 0 R|RR 00 R 0 l0n R 02E 0co s
第一项是均匀面电荷,它在柱体内激发的电场为零.第二项是非 均匀分布,它贡献的总电量是零,它在柱体内激发的电场正好与 均匀电场抵消.
例3 试用格林函数证明:在无电荷空间任—点的电势恒等于以该 点为球心的任一球面的电势的平均值.
E
B
H
t D
J
t
D
B 0
电荷守恒定律
J
t
罗伦兹力公式
FQ (EvB )
欧姆定律
JE
第二、三章：静电场和稳恒磁场
利用电磁场唯一性定理，通过求解拉普拉斯方程（或
者镜像法，格林函数）主要研究电偶极矩、电四极矩
和磁偶极矩产生的稳态场。
电动力学第二章ppt课件
x2 y2 b2
注意到上式对任意x、y都成立，所以 b a， QQ
导体板上方的电势为：
4 Q 0 x2y2 1 (z a )2x2y2 1 (z a )2
例2 真空中有一半径为R0的接地导体球，距球心为a （a>R0）处有一点电荷Q，求空间各点的电势 （如图）。
的梯度、散度、旋度公式
§4 镜象法
一、研究的问题 在所考虑的区域内只有一个或者几个点电荷， 区域边界是导体或介质界面
二、镜象法的基本思想 在所求场空间中，使用场空间以外的区域某个 或某几个假想的电荷来代替导体的感应电荷或 介质的极化电荷
§4 镜象法
三、理论基础
镜象法的理论基础是唯一性定理。其实质是在 所研究的场域外的适当地方，用实际上不存在 的“镜象电荷”来代替真实的导体感应电荷或 者介质的极化电荷对场点的作用。在代替的时 候必须保证原有的场方程，边界条件不变
小于外电场
4
§3拉普拉斯方程——分离变量法
例3：球半径为 接地金属 球置于匀强外场 中， 求电势和导体表面的电荷 面密度
解：设球半径为 ，球外为真空，该问题具有轴对称 性，对称轴为通过球心沿外场 方向的轴线。取此线 为轴线球心为原点建立球坐标系。 为球外势,金属球 为等势体，坐标原点电势为0
由于选择了轴对称，所以关于 对称，通解中没有 同时处理总边界条件
§1静电场的标势及微分方程 1。静电场的标势
静电场不随时间变化为无旋场
或 库仑场 无旋有势，定义:
积分
电势差
与路径无关
当电荷分布在有限区域的情况下，取无穷远点为 参考点，规定其上电势为0
静电场标势
已知电荷分布求电势 点电荷
叠加原理 连续分布
《电动力学》静电场
n
D2
2n E2
2 n
2
2
2
n
所以有 2
2
n
1
1
n
，
静电势的边值关系
1 2
2
2
n
1
1
n
(1)对于导体和介质构成的界面, 令导体为介质1
由于1
常数，1
n
0
C
n
介质的电容率, 介质电势
(2) 若两种介质都是导电介质,且有稳恒电流
1 2，
2
2
n
1
1
n
0
n J2 J1 0
1.静电势引入: 由于 E 0，从而引入，使
E ， 静电势
并不唯一,参考可任意选的依据
积分关系 E dl dl d
p1
p2
p2 p1 E dl E dl
p2
p1
电势差
意义: 把单位正电荷由p2移至p1时电场力做的功
2、静电势计算:
当电荷分布于有限区域时，常选 0，
三、静电场能量
W
1 2
E DdV
1 2
DdV
1 2
(
D)dV
1 2
DdV
1 2
D
d
S
1 2
dV
第一项中～ 1 , D～ 1 ,面积～r2,故r 时，
r
r2
第一项趋于零，因此
W 1 dV
2 V
讨论:(1) 1 不是静电场能量密度
2
—自由电荷密度，为dV 处的总电势
(2)若自由电荷是面分布,面密度为σ
的电势差为：
M
p
p0
lim
M
40
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2b1R03
0
c1
ab00
0 c0
b1
c1
0 20
E0 R03
3 0 20
E0
n2
(n
b R(n1) n0
cn R0n
1)bn
R(n2) 0
0
ncn
R0
n1
bcnn
0 0
系数行列式非零
空间电势：
out (r, ) c0 E0r cos
in (r, )
c0
3 0 20
④ 根据定解条件，求出通解中的积分常数. ⑤ 将求出的积分常数代入通解表达式，得到实际
问题的解. 关键步骤：① 充分利用对称性，写出简单的通解.
② 正确写出边界条件，不能有遗漏.
例1 一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳,带电荷Q,同心地
包围着一个半径为R1的导体球(R1＜R2). 使这个导体球接地,求空 间各点的电势和这个导体球的感应电荷.
X sin x
Y sin y
Z sinh(
2
2
z)
为使x = a与y = b时, = 0,必须有a = n, b = m
n
nπ a
m
mπ b
nm π
n2 m2
a2
b2
nm sin nxsin m ysinh nmz
x, y, z Anm sin n xsin m ysinh nmz n,m1
通解为 f (r) r n; r (n1)
球坐标下拉普拉斯方程的通解：
(r, ,) anmr n bnmr (n1) Pnm (cos ) cos m
n,m
cnmr n dnmr (n1) Pnm (cos ) sin m
n,m
球坐标下拉普拉斯方程的通解：
(r, ,) (anmr n bnmr (n1) )Pnm (cos ) cos m
1 R2dΩ 2 R2dΩ Q
RR3 R
RR2 R
0
把电势表达式代入边值条件,联立方程求解,得
1
Q Q1
4π 0 R
(R R3)
其中
2
Q1
4π 0
1 R
1 R1
(R2 R R1)
Q1
R11
R31 R21
R31
Q
导体球上的感应电荷为
0 R R1
2
R
R2dΩ
Q1
例2 电容率为的介质球置于均匀外电场 E0中,求电势.
解：有球对称性 ,电势不依赖于角度, n＝0.
导体壳外的电势为 1 a b / R (R R3)
导体壳内的电势为 2 c d / R (R2 R R1)
边界条件为：
(1) 内导体球接地 (2) 导体是等势体 (3) 球壳总电荷Q
2 |RR1 1 |R 0
2 |RR2 1 |RR3
2. 球坐标系下的通解
z
球坐标中的拉普拉斯方程
P
1 r2
r
r 2
r
1
r 2 sin
sin
r
y
1 2
r 2 sin 2 2 0
x
如果多变量函数可以分离：(r, ,) f (r)g( )h()
1 r2
d r2 dr
df dr
gh
1
r2 sin
d
d
sin
dg
d
fh
解：
轴对称(z轴)，分区均匀
z
介质球外：
out (r, ) (anr n bnr (n1) )Pn (cos ) n0
介质球内：
in (r, ) (cnr n dnr (n1) )Pn (cos ) n0
(r R0 ) (r R0 )
out (r, ) (anr n bnr (n1) )Pn (cos ) n0
n,m
(cnmr n dnmr (n1) )Pnm (cos ) sin m
n,m
若系统具有轴对称性，取对称轴为z轴， 0 m 0
(r, ) anrn bnr (n1) Pn (cos )
n
P0 (x) 1 P1(x) x
P2
(x)
1 2
(3x2
1)
勒让德函数
Pn
(x)
1 2n n!
r
2
1 sin
2
d2h
d 2
fg 0
或
1 f
d dr
r 2
df dr
g
1 sin
d
d
sin
dg
d
1
h sin 2
d2h
d
2
0
左边两项分别仅与r和(,)相关，故两项必须是与变 量无关的常数，记为和-，实现第一次变量分离：
1 d r2 df (1)
f dr dr
sin
(x,y,z)方向上的线度为
z=c
(a,b,c). 除了z = c 的面上 =0
=0
的势等于V(x,y)外,这个盒
y=b
的所有其他几个面的势都等
y
x=a
于零. 需要求的是盒内各处
=0
的势. 由下述必要条件：当
x = 0, y = 0, z = 0时, = 0, x
容易看出, X, Y, Z必需具有 如下形式：
空间为0 2- (为小角).因 不依赖于z,柱坐标下的拉氏方程
为
1 r
r
r
r
1 r2
2 2
0
可得其通解为:
A0 B0 ln rC0 D0 A r B r C cos D sin 由边界条件:
劈尖=0面上, =V, 与r无关, 所以
A0C0 V , B0 0, C 0 0
g
d
d
sin
dg
d
sin
2
1 h
d2h
d 2
0 (2)
(2)式左边两项分别仅与和相关，故为常数，记为 和-，实现第二次变量分离：
sin d sin dg ( sin 2 )g 0 (3) d d
d2h
d 2
h
0 (4)
(r R0 )
in (r, ) (cnr n dnr (n1) )Pn (cos ) n0
(r R0 )
边界条件:
(1) r , E E0 E0k , out 0 E0z 0 E0r cos
a1 E0, an 0 (n 0,1)
out (r, ) a0 E0rP1(cos ) bnr (n1)Pn (cos ) n0
0
n
(cos
)
c0
n0
a0 c0
b1
Rn2 0
E0
bn 0 (n 2)
p
4π
0
R03E0
空间电势： out (r, ) c0 E0r cos E0R03r 2 cos
表面电荷密度：
0
out
r
r R0
30E0 cos
p
1
4π 0
pr r3
静电情况下，导体相当于介质 .
例4 导体尖劈带电势V,分析它的尖角附近的电场. 解：用柱坐标系. 取 z 轴沿尖边. 设尖劈以外的空间, 即电场存在的
因r→ 0时ϕ有限，得 B0 B 0
在尖劈θ=2π-α 面上， =V与r无关，必须
D0 0， sin 2π 0
因此v的可能值为
νn
2
n
α
n 1,2
π
考虑这些条件， 可以重写为
V Anrnsin n
n
在尖角附近r→ 0 ，上式求和式的主要贡献来自r的
最低次幂项，即n=1项 V A1r1sin 1
dn dxn
(x2 1)n
若问题具有球对称性
a b
R
3. 柱坐标下的通解
一般用于二维问题.
二维问题的解：
( A0 B0 ln r)(C0 D0 )
( Anrn Bnrn )(Cn cos n Dn sin n )
n
或写成： A0 B0 ln r C0 D0 ln r
[rn (An sin n Bn cos n）
in out,
0
out
r
in
r
(r R0 )
a0 E0R0P1(cos )
bn
R P (n1)
0
n
(cos
)
cnR0nPn (cos )
n0
n0
E0 P1 (cos
)
n0
(n
1)bn
R (n2) 0
Pn
(cos
)
0
ncnR0n1Pn (cos )
n1
比较 Pn (cos ) 的各阶系数，可以将各系数确定.
边界条件z = c时, = V(x,y)
V x, y Anm sin n xsin m ysinh nmc n,m1 ——V(x,y)的二重傅里叶展开
Anm
4
absinh nmc
a
dx
0
b 0
dyV
x,
y
sin
n
xsin
m
y
如果长方盒所有六个面的势都不等于零,我们就可 以通过六个解的线性叠加,得到盒内势的解.
X x dx2
Y
1
y
d2Y dy 2
1 d2Z
Zz dz2
0
1 X
d2 X dx 2
2
1 d2Y Y dy 2
2
1 d2Z 2
Z dz 2
2 2 2
e e e ix iy 2 2 z
为了确定 2, 2,必须对势加上特殊的边界条件.