大学微积分模拟试卷
一、单项选择题（本大题分5小题，每小题2分，共10分）
（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号内。） 1．当0→x 时，与x 相比较下列变量中是高阶无穷小量的是 （ ）
A ．x sin B. x C. 1-x e D. x cos 1-
2．函数)(x f y =在点0x x =处连续且取得极大值，则)(x f 在0x 处必有 （ ）
（A ）0)(0='x f （B ）0)(0<''x f
（C ）0)(0='x f 且0)(0<''x f （D ）0)(0='x f 或不存在
3．2211
011lim x x
x e e +-→的极限为 （ ）
（A ）1 （B ）－1 （C ）1或－1 （D ）不存在 补充：2=x 是函数x
x f -=21arctan )(的 （ ） A. 连续点 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 无穷间断点
4．已知函数)(x f 在1=x 处可导，且导数为2，则=--→x
f x f x 2)1()31(lim 0（ ） （A ）3 （B ）－3 （C ）－6 （D ）6
5．已知某商品的需求函数为5P
e Q -=，当3=P 时，下列解释正确的是（ ）
（A ）价格上升1％，需求增加0.6% （B ）价格上升1％，需求减少0.6%
（C ）价格上升1％，需求增加60% （D ）价格上升1％，需求减少60%
二、填空题（将正确答案填在横线上） （本大题分5小题，每小题2分，共10分）
1．函数)
1(arcsin )(+=x x x x f 的连续区间为 2．x
x x e e x -→-0lim 的值等于 3．已知21212lim e x x x k x =??? ??-+∞→，则=k
4．)99()2)(1()(+++=x x x x x f ，则=)()100(x f
5．已知当x x x sin tan 0-→时，
与3ax 是等价无穷小，则=a 三、计算题（必须有解题过程） （本大题分12小题，每小题5分，共60分）
1．求极限x x x 2cot )2(lim 2
ππ-
→
2．x x x ln 10)(cot lim +→
补充：
a ．)1
1ln (
lim 1--→x x x x b ．x x x 2tan ln 7tan ln lim 0+→ c ．2
1
20lim x x e x → 3．已知221)1ln(x x x x y +-++=，求dy .
4. 设3242)2(2
)1(+-+=x x x y ，求y '.
5.设???+=+=-t t e
t y e x 1 ，求22dx y d . 6．设)(2)(x f e
x f y +=, )(x f 可微，求y '.
补充： a ．设1
1)(22+-=x x x f ，求)1(f '. b ．设x e y arcsin = ，求dy .
c ．设0)cos(sin =--y x x y ，求
dx dy . d ．设x x x y += ，求dx
dy .
e ．已知隐函数方程1+=y xe y 确定了y 是x 的函数，求dx
dy . 7. 设函数x
e y x
=，求函数的定义域、单调区间、极值、凹凸性、拐点以及渐近线。 补充：
a ．求x x y ln 22-=的单调区间。
b ．求x x y arctan 2-=的极值。
c ．设x e
x y -=2，列表讨论函数的增减区间和极值；曲线的凹凸区间和拐点。 8．求?-x x dx 2
ln 1 9．若)(x f 的原函数为
x x ln ，问)(x f 与x
x ln 间有什么关系？并求dx x f x ?')( 补充：
a ．()?+dx x x 2cot tan
b ．dx x x x ?+++5
4322 c ．
dx x x ?-231
四、应用题（本大题8分）
设生产某产品的固定成本为60000元，变动成本为每件20元，
价格函数为1000
60Q P -=，（Q 为销售量），假设供销平衡。 （1）求500=Q 件时的边际收益；（2）求Q 为多少时利润为最大？并求最大利润。 补充：
a ．设某种产品x 个单位的总成本函数为225)(x x C +=（万元），其价格函数为x x p 01.004.8)(-=（万元），问：
（１）当200=x 个单位时，边际成本和边际收益分别为多少？
（２）应生产多少个单位产品，才能使利润函数)(x L 取最大值？最大利润是多少？ b ．某种商品的需求函数为2
75p Q -=（其中p 为价格，Q 为需求量），
（１）求4=p 时的需求弹性，并说明其经济意义；
（２）若销售此种商品，问：当价格p 为多少时，总收益最大？最大收益为多少？ 五、证明题（本大题6分） 设)(x f 在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可微，且0)()(==b f a f ，证明：对任意实数λ，则存在),(b a c ∈，使得)()(c f c f λ='。
补充：
a. 设函数)(x f 在]1,1[-上可导，且0)0(=f ，M x f <'|)(|，试
证明：在]1,1[-上M x f <|)(|，其中M 是大于零的常数.
b. 试证明：当0>x 时，成立不等式 x x x
x <<+arctan 12. c. 证明：当0>x 时，x x x
x <+<+)1ln(1. d ．设函数)(),(x g x f 在闭区间],[b a 上连续，在),(b a 内可导，且0)()(==b f a f ，0)(≠x g ，则在区间),(b a 内存在一点c ，使得)()()()(c g c f c g c f '='.