(完整word版)立体几何练习题(精)

立体几何练习题

1.设a 、3、丫为两两不重合的平面，I 、m 、n 为两两不重合的直线,给出下列四个命题: 若 a 丄 Y 3-L Y,贝V a // ②若 m? a , n? a, m // n // 3 ,贝a// B; ③若 a// 3, I? a,贝U I // 3；④若 aAB , =3 门丫 =n YHa , =h// 丫，则 其中真命题的个数是() A . 1

B. 2 2.正方体 ABCD- A 1B 1C 1D 1 中, 返 B .逅 3 3

C. 3

D. 4 BDi 与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A. D. 3.三棱柱 ABC- A 1B 1C 1 中，AA i =2 且 AA i 丄平面 ABC, △ ABC 是 边长为二的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上, // n . 则这个球 A. 8 n B. 8兀

3 C. D.引 2 n 4.三个平面两两垂直, 它们的三条交线交于点 O , 空间一点 P 到三个平面的距离分别为 3、4、5 ,贝U OP

长为（）

A. 5^3

B. 2后

C. 3后 D 5岳 的体积为（） SD 丄底面ABCD,则下列结论中不正确的是（） 5.如图，四棱锥S- ABCD 的底面为正方形,

A. ACL SB B . AB//平面 SCD C. SA 与平面SBD 所成的角等于 SC 与平面SBD 所成的角 D. AB 与SC 所成的角等于DC 与 SA 所成的角 6.如图，四棱锥 P- ABCD 的底面为正方形，PD 丄底面ABCD, PD=AD=1,

设点CG 到平面PAB 的距离为 d i ,点B 到平面PAC 的距离为d 2,则有（ A. 1 < d 1 < d 2 B . d 1 v d 2< 1

C. d i < 1 < d 2

D. d 2< d i < 1 7.在锐角的二面角 EF EF , AG , GAE 45 , 若AG 与所成角为 30，则二面角 EF 为 8?给出下列四个命题: (1) 若平面 上有不共线的三点到平面 的距离相等，贝U // ; 两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线; 两条异面直线中的一条平行于平面 ，则另一条必定不平行于平面 a,b 为异面直线，则过 a 且与b 平行的平面有且仅有一个.

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其中正确命题的序号是

9.已知正方体 ABCD A i B 1C 1 D i 中，点E 是棱 AB 的中点，则直线 AE 与平而 BDD 1B 1所成角的正

弦值是 __________ .

10?已知直三棱柱 ABC ABQ i 中， ABC 900，AC AA 2：2，AB 2，M 为 BB i 的中点,

则B i 与平面ACM 的距离为 ________________ 11?边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其 余恰好拼接成该正四棱锥的

4个侧面，则-的取值范围是

a

12?已知矩形 ABCD 的长AB 4，宽AD 3，

②四面体A BCD 外接球的表面积恒为定值; 其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD ， 图所示， 给出下列结论:

①四面体A BCD 体积的最大值为72 ;

5

③若E 、F 分别为棱 AC 、BD 的中点，则恒有 EF AC 且 EF BD ; ④当二面角A BD

C 为直二面角时，直线 AB 、

CD 所成角的余弦值为

16 25

⑤当二面角A BD C 的大小为60时，棱AC 的长为14 .

5

其中正确的结论有

(请写出所有正确结论的序号

13.如图，在直三棱柱 ABC- AB 1C 1中，/ BAC=90°, ABC 成 30° 角.

(I )求证：平面BACL 平面ABBA ;

(II )求直线AC 与平面B 1AC 所成角的正弦值.

AB=BB,直线BQ 与平面 州

t

一

JI

a

.. 匸小

K

14. 如图，在三棱锥P -ABC 中，D, E, F 分别为棱 PC, AC, AB 的中点.已

知 PAL AC PA=AB=6 BC=8 DF=5. (1 )若PE L BC 证明平面 BDEL 平面 ABC

如

)

?

(2)求直线BD与平面ABC所成角的正切值.

15. 如图，长方体ABCD- A i BCiD中，AB=AD=1 AA=2,点P为DD的中点.

(1)求证：直线BD//平面PAC

(2)求证：平面PACL平面BDDB i;

(3)求CP与平面BDDB i所成的角大小.

16. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD丄底面ABCD点E在棱

PB上

(1)求证：ACL平面PDB

(2)当PD= AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大

小.

17. 在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，/ ADC=45°,

AD=AC=1 O为AC中点，PC丄平面ABCD PO=2, M为PD中点.

(I)求证：PB//平面ACM

(H)求证：ADL平面PAC

(川)求二面角M- AC- D的正切值.

18. 如图所示，在四棱锥P- ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄平面ABCD点E在线段PC上，PC丄平面BDE

(1)证明：BD丄平面PAC

(2)若PA=1，AD=2求二面角B- PC- A的正切值.

19. 如图，直三棱柱ABC- A1B1C1中，CA丄CB, AA i=AC=CB=2 D是AB的中点.

(1) 求证：BC//平面ACD

(2) 求证：AC丄AB;

(3) 若点E在线段BB上，且二面角三棱

锥C- ADE的体积.

E- CD- B的正切值是二，求此时

试卷答案

1.B ： 解：若a 丄Y B 丄Y ,则a 与B 可能平行也可能相交，故 ① 错误;

由于m n 不一定相交，故 a//B 不一定成立，故②错误;

由面面平行的性质定理，易得③正确； 由线面平行的性质定理，我们易得④正确; 故选B

2.D

考点： 棱柱的结构特征. 专题： 空间角.

T DD 丄平面 ABCD ： BD 是BD 在平面 ABCD 的射影,

???/ DBD 是BD 与平面ABCD 所成的角；

设 AB=1,则 BD= :■：, BD=二

? cos Z DBD_ BD =2=氏;

BD? 3

故选：D.

点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题.

3. C

考点： 球的体积和表面积.

专题： 计算题；空间位置关系与距离.

分析：

根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的

体积. 解答：

解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，

因为△ ABC 是边长为「的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为： 因为AA=2且AA 丄平面ABC 所以外接球的半径为：r=万.

所以外接球的体积为： V 当nr 3/ nx （氏）兀.

3 3 3

故选：C.

点评： 本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积.着重考查了正三棱柱

分析: 找出BD 与平面ABCD 所成的角，计算余弦值.

解答: 解：连接

的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题.

4. D

考点：平面与平面垂直的性质.

专题：计算题；空间位置关系与距离.

分析：构造棱长分别为a, b, c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,

0P为长方体的对角线，求出0P即可.

解答：构造棱长分别为a, b, c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长,

则a2+b2+c2=32+42+52=50

因为0P为长方体的对角线.

所以0P=5 '：.

故选：D.

点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题.

5. D

考点：直线与平面垂直的性质.

专题：综合题；探究型.

分析：根据SD1底面ABCD底面ABCE为正方形，以及三垂线定理，易证ACL SB根据线面平行的判

定定理易证AB//平面SCD根据直线与平面所成角的定义，可以找出/ ASO 是SA与平面SBD所成的角, / CSC是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果.

解答：解：T SC L底面ABCD底面ABCE为正方形，

???连接BD,则BD L AC,根据三垂线定理，可得AC L SB故A正确；

?/ AB// CD AB?平面SCD CD?平面SCD

? AB//平面SCD故B正确；

?/ SC L底面ABCD

/ ASO是SA与平面SBD所成的角，/ DSO是SC与平面SBD所成的，

而厶SAO^A CSC

???/ ASO M CSQ即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；

??? AB// CD ?- AB与SC所成的角是/ SCD DC与SA所成的角是/ SAB

而这两个角显然不相等，故D不正确；

故选D.

点评：此题是个中档题.考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，

异面直线所成的角等问题，综合性强.

6. D

考点：点、线、面间的距离计算.

专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角.

分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E,连接BE,则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边, 再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2 v d i v 1.

解答：解：过C做平面PAB的垂线，

垂足为E,连接BE,

则三角形CEB为直角三角形，其中/ CEB=90 ,

根据斜边大于直角边，得CE v CB即d2V 1.

同理，d i v 1.

再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，

所以d2< d i.

所以d2< d i v 1.

故选D.

点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用.

8.(2)(4)

10.1