特殊的平行四边形专项训练

《特殊的平行四边形》专项复习

一、知识梳理

菱形的判定：（1）______________________________________________________________ （2）_____________________________________________________________

（3）______________________________________________________________ 矩形的判定：（1）_________________________________________________________________ （2）________________________________________________________________

（3）________________________________________________________________ 正方形的判定：(1)_______________________________________________________________

(2)______________________________________________________________

(3)______________________________________________________________

(4)______________________________________________________________

二、常见与重点题目解析

【矩形的判定】

矩形定义：有一角是直角的平行四边形叫做矩形．

【强调】矩形（1）是平行四边形；（2）一一个角是直角．

矩形的性质

性质1矩形的四个角都是直角；

性质2 矩形的对角线相等，具有平行四边形的所以性质。；

矩形的判定

矩形判定方法1:对角线相等的平行四边形是矩形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）对角线相等

矩形判定方法2:四个角都是直角的四边形是矩形．

矩形判断方法3：有一个角是直角的平行四边形是矩形。

例1：若矩形的对角线长为8cm，两条对角线的一个交角为600，则该矩形的面积为

例2：菱形具有而矩形不具有的性质是（）

A．对角线互相平分； B.四条边都相等； C.对角相等； D.邻角互补

例3：已知：如图，□ABCD各角的平分线分别相交于点E，F，G，?H，

?求证：?四边形EFGH是矩形．

巩固练习

1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB=CD B．AD=BC C．AB=BC D．AC=BD

2．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟定的方案，其中正确的是（）

A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等

C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否为直角

3．如图，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是（）

A．AB=BC B．AC⊥BD C．∠ABC=90°D．∠1=∠2

4．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD交于点O，∠1=∠2．

（1）求证：四边形ABCD是矩形；

（2）若∠BOC=120°，AB=4cm，求四边形ABCD的面积．

5．如图，在平行四边形ABCD中，E，F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．

求证：（1）△ABF≌△DCE；

（2）四边形ABCD是矩形．

【菱形的判定】

菱形定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

【强调】菱形（1）是平行四边形；（2）一组邻边相等．

菱形的性质

性质1菱形的四条边都相等；

性质2 菱形的对角线互相平分，并且每条对角线平分一组对角；

菱形的判定

菱形判定方法1:对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

注意此方法包括两个条件：（1）是一个平行四边形；（2）两条对角线互相垂直．

菱形判定方法2:四边都相等的四边形是菱形．

例1已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE．

例2已知：如图ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F ．

求证：四边形AFCE 是菱形．

例3、如图，在ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，过点O 作AC 的垂线与边AD 、BC

分别交于E 、F ，求证：四边形AFCE 是菱形.

例4、已知如图，菱形ABCD 中，E 是BC 上一点，AE 、BD 交于M ，若AB=AE,∠EAD=2

∠BAE 。求证：AM=BE 。

例5． 如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ．

(1)求线段BE 的长．

例6、如图，四边形ABCD 是菱形，DE ⊥AB 交BA 的延长线于E ，DF ⊥BC ，交BC 的延

长线于F 。请你猜想DE 与DF 的大小有什么关系？并证明你的猜想

A

B

C

D

E

F

O

1

2

B

M A

D

C

E

例7、如图，菱形ABCD 的边长为2，BD=2，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点，且满足AE+CF=2.

（1）求证：△BDE ≌△BCF ；

（2）判断△BEF 的形状，并说明理由；

（3）设△BEF 的面积为S ，求S 的取值范围.

巩固训练：

6．如图．若要使平行四边形ABCD 成为菱形．则需要添加的条件是（ ） A ．AB=CD B ．AD=BC C ．AB=BC D ．AC=BD

7．下列命题中正确的是（ ）

A ．对角线相等的四边形是菱形

B ．对角线互相垂直的四边形是菱形

C ．对角线相等的平行四边形是菱形

D ．对角线互相垂直的平行四边形是菱形

8．如图，将三角形纸片△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在BC 边上的点F 处，且DE ∥BC ，

下列结论中，一定正确的个数是（ ）

①△BDF 是等腰三角形； ②DE=

2

1

BC ； ③四边形ADFE 是菱形； ④∠BDF+∠FEC=2∠A ． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

9．如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD 为菱形的是（ ）

A ．BA=BC

B ．A

C 、B

D 互相平分 C ．AC=BD D ．AB ∥CD

10．如图，在平行四边形ABCD 中，点P 是对角线AC 上的一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AD ，垂足分别为E 、F ，且PE=PF ，平行四边形ABCD 是菱形吗？为什么？

【正方形的判定】

正方形是在平行四边形的前提下定义的，它包含两层意思：

①有一组邻边相等的平行四边形（菱形）

②有一个角是直角的平行四边形（矩形）

正方形不仅是特殊的平行四边形，并且是特殊的矩形，又是特殊的菱形．

正方形定义：有一组邻边相等

．．．．．叫做正方形．

．．．．．．．的平行四边形

．．．．．．并且有一个角是直角

正方形是中心对称图形，对称中心是对角线的交点，正方形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线和对角线所在直线，共有四条对称轴；

因为正方形是平行四边形、矩形，又是菱形，所以它的性质是它们性质的综合，正方形的性质总结如下：

边：对边平行，四边相等；

角：四个角都是直角；

对角线：对角线相等，互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．

注意：正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，对角线与边的夹角是45°；正方形的两条对角线把它分成四个全等的等腰直角三角形，这是正方形的特殊性质．正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质．

正方形的判定方法：

?(1)有一个角是直角的菱形是正方形；

?(2)有一组邻边相等的矩形是正方形．

?注意：1、正方形概念的三个要点：

?（1）是平行四边形；

?（2）有一个角是直角；

?（3）有一组邻边相等．

2、要确定一个四边形是正方形，应先确定它是菱形或是矩形，然后再加上相应的条件，确定是正方形.

例1 已知：如图，正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG交OA于F．

求证：OE=OF．

例2 已知：如图，四边形ABCD是正方形，分别过点A、C两点作l1∥l2，作BM⊥l1于M，DN ⊥l1于N，直线MB、DN分别交l2于Q、P点．

求证：四边形PQMN是正方形．

例3、如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E 在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：①PE=PD；②PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

①求出y关于x的关系式，并写出x的取值范围；

②当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

巩固训练：

11．下列说法不正确的是（）

A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形12．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是（）A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD B．AD∥BC，∠A=∠C

C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D．AO=CO，BO=DO，AB=BC

13．有下列命题，其中真命题有（）

①四边都相等的四边形是正方形；

②四个内角都相等的四边形是正方形；

③有三个角是直角，且有一组邻边相等的四边形是正方形；

④对角线与一边夹角为45°的四边形是正方形．

A．1个B．2个C．3个D．4个

14．如图，在△ABC中，∠B=∠C．D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

求证：（1）△BDE≌△CDF；

（2）当△ABC是直线三角形时，四角形AEDF是正方形．

15．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F，求证：四边形CFDE是正方形．

三、考点训练

1．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志，人们将红丝带剪成小段，并用别针将折叠好的红丝带别在胸前，如图所示．红丝带重叠部分形成的图形是（ ）

A ．正方形

B ．等腰梯形

C ．菱形

D ．矩形

2．?ABCD 中，AC 交BD 于点O ，再添加一个条件，仍不能判定四边形ABCD 是矩形的是（ ）

A ．AB=AD

B ．OA=OB

C ．AC=B

D D ．DC ⊥BC

3．如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，下列结论中不正确的是（ ） A ．当AB=BC 时，它是菱形 B ．当AC ⊥BD 时，它是菱形 C ．当∠ABC=90°时，它是矩形 D ．当AC=BD 时，它是正方形

4．如图，下列条件之一能使平行四边形ABCD 是菱形的为（ ） ①AC ⊥BD ； ②∠BAD=90°； ③AB=BC ； ④AC=BD ． A ．①③ B ．②③ C ．③④ D ．①②③ 5．下列说法中错误的是（ ）

A ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

B ．两条对角线相等的四边形是矩形

C ．两条对角线互相垂直的矩形是正方形

D ．两条对角线相等的菱形是正方形 6．顺次连接菱形各边中点得到的四边形一定是（ ）

A ．菱形

B ．正方形

C ．矩形

D ．等腰梯形 7．四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，现有以下论断：

①AB=BC ；②∠DAB=90°；③BO=DO ，AO=CO ；④矩形ABCD ：⑤菱形ABCD ；⑥正方形ABCD ．则在下列推论中不正确的是（ ） A ．

⑥④①???? B ．⑤③①???? C ．⑥②①???? D ．④④②??

??

8．下列命题中：

①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②对角线相等的四边形是矩形；

③一组对角相等，一组对边平行的四边形是平行四边形； ④对角线平分一组对角的平行四边形是菱形； ⑤对角线相等且互相垂直的四边形是正方形． 其中真命题有（ ）个

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4 9．用两块完全重合的等腰直角三角形纸片拼下列图形：（1）平行四边形（不包含菱形、矩形、正方形）；（2）矩形；（3）正方形；（4）等边三角形；（5）等腰直角三角形，一定能拼成的图形是（ ） A ．（1）（2）（3） B ．（1）（3）（5） C ．（2）（3）（5） D ．（1）（3）（4）（5） 10．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，∠BAC=60°，D 为AC 的中点，以BD 为折痕，

将△BCD 折叠，使得C 点到达1C 点的位置，连接A 1C ． 求证：四边形ABD 1C 是菱形．

11．如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是CD的中点，

过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．

（1）求证：四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？并加以证明．

12．如图，平行四边形ABCD中，EF过AC的中点O，与边AD、BC分别相交于点E、F．（1）试说明四边形AECF是平行四边形；

（2）若EF与AC垂直，试说明四边形AECF是菱形；

（3）当EF与AC有怎样的数量和位置关系时，四边形AECF是矩形（不必证明）．

13．如图所示，在△ABC中，∠ABC=90°，BD平分∠ABC，DE⊥BC，DF⊥AB．

求证：四边形BEDF是正方形．