北京市通州区2020届高三数学上学期摸底(期末)考试试题
北京市通州区2020届高三数学上学期摸底（期末）考试试题
2020年1月
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合{}
21A x x =-<<，{}
13B x x =-<<，则A B =
A. {
}
23x x -<< B. {}11x x -<< C. {}13x x << D. {}
21x x -<<-
2.在复平面内，复数i
1i
z =
+（其中i 是虚数单位）对应的点位于 A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知点A （2，a ）为抛物线24y x =图象上一点，点F 为抛物线的焦点，则AF 等于
A.4
B. 3
C. D. 2 4. 若0x y >>，则下列各式中一定正确的是
A.
11
x y > B. tan tan x y > C. 11()()22
x y > D. ln ln x y > 5. 某三棱锥的三视图如图所示，
则该三棱锥最长棱的长度为 A
．
俯视图
C.
6. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为
A ． 24 B. 12 C. 8 D. 6
7. 对于向量a ，b ， “a a b =+”是“0b =”的
A ．充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 关于函数2
1`
()(1)x f x x ax e
-=+-有以下三个判断
①函数恒有两个零点且两个零点之积为-1； ②函数恒有两个极值点且两个极值点之积为-1； ③若2x =-是函数的一个极值点，则函数极小值为-1. 其中正确判断的个数有
A ．0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 已知向量()3,2a →
=-，()m b ,1=→，若()a a b →→→
⊥-，则=m ___________.
10. 在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1=2，且a 1，a 3，a 7依次成等比数列，那么数列{a n }的前n 项和n S 等于 .
11.已知中心在原点的双曲线的右焦点坐标为，且两条渐近线互相垂直，则此双曲线的标准方程为 .
12. 在ABC ?中， 3a =
，b =2B A ∠=∠，则cos B = .
13.已知,,a b a m +均为大于0的实数，给出下列五个论断： ①a b >，②a b <，③0m >，④0m <，⑤
b m b
a m a
+>+. 以其中的两个论断为条件，余下的论断中选择一个为结论，请你写出一个正确的命题 .
14. 如图，某城市中心花园的边界是圆心为O ，直径为1千米的圆，花园一侧有一条直线型公
路l ，花园中间有一条公路AB （AB 是圆O 的直径），规划在公路l 上选两个点P ，Q ，并修建两段直线型道路PB ，QA ．规划要求：道路PB ，QA 不穿过花园．已知OC l ⊥，BD l ⊥（C 、D 为垂足），测得OC =0.9，BD =1.2（单位：千米）．已知修建道路费用为m 元/千米.在规划要求下，修建道路总费用的最小值为 元.
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）
已知函数()2cos()sin 3
π
f x x x =-.
（Ⅰ）求f (x )的最小正周期；
（Ⅱ）求f (x )在区间π[0,]2
上的最大值和最小值.
16．（本小题13分）为了解某地区初中学生的体质健康情况，统计了该地区8所学校学生的体质健康数据，按总分评定等级为优秀，良好，及格，不及格. 良好及其以上的比例之和超过40%的学校为先进校.各等级学生人数占该校学生总人数的比例如下表：
(Ⅰ)从8所学校中随机选出一所学校，求该校为先进校的概率；
(Ⅱ)从8所学校中随机选出两所学校，记这两所学校中不及格比例低于30%的学校个数为X ，求X 的分布列；
(Ⅲ)设8所学校优秀比例的方差为S 12
，良好及其以下比例之和的方差为S 22
，比较S 12
与S 22
的大小.（只写出结果）
17．（本小题14分）如图，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD //BC ， ∠SAD =∠DAB =900
，SA =3，SB =5，4AB =，2BC =，1AD =. (Ⅰ)求证：AB ⊥平面SAD ；
(Ⅱ) 求平面SCD 与平面SAB 所成的锐二面角的余弦值；
（Ⅲ）点E ，F 分别为线段BC ，SB 上的一点，若平面AEF //平面SCD ，
比例 学校 等级
学校A 学校B 学校C 学校D 学校E 学校F 学校G 学校H 优秀 8% 3% 2% 9% 1% 22% 2% 3% 良好 37% 50% 23% 30% 45% 46% 37% 35% 及格 22% 30% 33% 26% 22% 17% 23% 38% 不及格
33%
17%
42%
35%
32%
15%
38%
24%
求三棱锥B -AEF 的体积.
18．（本小题13分）已知椭圆C ：12222=+b y a x (0)a b >>的长轴长为4，离心率为2
2
，点
P 在椭圆C 上．
（Ⅰ）求椭圆 C 的标准方程；
（Ⅱ）已知点M (4，0)，点N (0，n )，若以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点，求n 的取值范围．
19. （本小题13分）已知函数x x x x f cos sin )(+=．
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程；
（Ⅱ）求函数2
1()()4
g x f x x =-零点的个数.
20. （本小题14分）
已知项数为*(,2)N m m m ∈≥的数列{}n a 满足如下条件：①*(1,2,,)n a N n m ∈=；
②12m a a a <<<.若数列{}n b 满足*12()1
m n
n a a a a b N m +++-=
∈-，
其中1,2,
,n m =，则称{}n b 为{}n a 的“伴随数列”.
（Ⅰ）数列1,3,5,7,9是否存在“伴随数列”，若存在，写出其“伴随数列”；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）若{}n b 为{}n a 的“伴随数列”，证明：12m b b b >>
>；
（Ⅲ）已知数列{}n a 存在“伴随数列”{}n b ，且11a =，2049m a =，求m 的最大值.
通州区2019—2020学年度第一学期高三年级期末考试 数学试卷参考答案及评分标准 2020年1月
一、选择题：（每小题5分，共40分.）
二、填空题（每道小题5分，共30分）
9．5- ； 10．
21322n n +；11．221x y -=； 12．1
3
； 13．①③推出⑤（答案不唯一还可以①⑤推出③等）； 14．2.1
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题13分）
解：1()2cos()sin 2(cos )sin 32f x x x x x x π
=-
= 2
3
)32sin()2cos 1(232sin 21+
-=-+=πx x x ……………4分 （Ⅰ） f (x )的最小正周期T =
2=2
π
π ……………7分 （Ⅱ）因为π
[0,]2
x ∈，所以2π2[,]333x ππ-∈-， ……………9分
所以当23
3
x π
π
-
=-
,即0x =时，f (x )取得最小值0； ……………11分
当23
2
x π
π
-
=
，即512x π=
时，f (x )
1+. ……………13分
16．（本小题13分）
解：（Ⅰ）8所学校中有四所学校学生的体质健康测试成绩达到良好及其以上的比例超过40% ， ……………1分 所以从8所学校中随机取出一所学校，该校为先进校的概率为
1
2
. ……………3分 （Ⅱ）8所学校中，学生不及格率低于30%的学校有学校B 、F 、H 三所，所以X 的取值为0，1，2. ……………4分
145)0(2825===C C X P 2851)1(281
315===C C C X P 28
3
)2(2823=
==C C X P 所以随机变量X 的分布列为
……………10分
（Ⅲ）S 12=S 2
2
……………13分
17．
（Ⅰ）证明：在SAB 中，因为3,4,5SA AB SB ===， 所以AB SA ⊥. ………1分 又因为∠DAB =900
所以AB AD ⊥， ……………2分 因为SA
AD A =
所以AB ⊥平面SAD . ……………4分 （Ⅱ）解：因为 SA ⊥AD ，AB SA ⊥，AB AD ⊥. 建立如图直角坐标系
则A （0,0,0）B (0,4,0)， C （2,4,0），D （1,0,0），S (0,0,3). ……………5分 平面SAB 的法向量为(1,0,0)AD =. ……………6分 设平面SDC 的法向量为(,,)m x y z =
所以有00m CD m SD ?=??=??
即40
30
x y x z +=??-=?， 令1x =
所以平面SDC 的法向量为11
(1,,)43
m =- ……………8分
所以12
cos 13
m SD m SD
θ=
=
. ……………9分 （Ⅲ）因为平面AEF //平面SCD ， 平面AEF
平面ABCD=AE ，平面SCD 平面ABCD=CD ，
所以AE CD ∥， 平面AEF
平面SBC=EF ，平面SCD
平面SBC=SC ，
所以FE SC ∥ ……………11分 由AE CD ∥，AD //BC 得四边形AEDC 为平行四边形.
所以E 为BC 中点. 又FE SC ∥，
所以F 为SB 中点. ……………12分 所以F 到平面ABE 的距离为
32
， 又ABE 的面积为2，
所以1B AEF F ABE V V --==. ……………14分
18 （本小题13分）
解：（Ⅰ）由椭圆的长轴长2a =4，得a =2
又离心率2
2
==
a c e ，所以2=c 所以22
2
2=-=c a b ．
所以椭圆C 的方程为；12
42
2=+y x ． ……………4分
（Ⅱ）法一：
设点)(00y x P ，，则12
42
02
0=+y
x
所以PN 的中点)2
2(
00n y x Q +， ……………5分 )2
42(
00n y x +-=，，)(00n y x -=，． ……………6分 因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点
所以MQ ⊥NP ，则0=? ……………7分
即0))(2
()42(
0000=-++-n y n y x x ． ……………8分 又因为1242
02
0=+y x ，所以0282
2
02
0=-+-n x x
所以]22[282
002
02
，，
-∈+-=x x x
n . ……………10分 函数]22[282
)(002
00，，
-∈+-=x x x
x f 的值域为]2012[，- 所以2002
≤≤n
所以5252≤≤-n . ……………13分 法二：
设点)(00y x P ，，则12
42
02
0=+y
x ．
设PN 的中点为Q
因为以PM 为直径的圆恰好经过线段PN 的中点
所以MQ 是线段PN 的垂直平分线 ……………7分 所以MN MP =
即2
202016)4(n y x +=+-
所以28202
02
+-=x x n ． ……………10分
函数]22[282
)(002
00，，
-∈+-=x x x
x f 的值域为]2012[，- 所以2002
≤≤n .
所以5252≤≤-n . ……………13分 若有其他方法请酌情给分.
19．（本小题13分）
解：（Ⅰ）因为()cos f x x x '=， ……………1分
所以(0)0f '=. ……………2分 又因为(0)1f = ……………3分 所以曲线)(x f y =在点))0(0(f ，处的切线方程为1y =. ……………4分
（Ⅱ）因为2
1()()4
g x f x x =-
为偶函数，(0)1g = ……………5分 所以要求()g x 在R x ∈上零点个数，
只需求()g x 在(0,)x ∈+∞上零点个数即可. ……………6分
11
()cos (cos )22
g x x x x x x '=-=-
令()0g x '=，得23
x k π
π=+
，523
x k π
π=+
N k ∈ ……………7分 所以()g x 在(0,)3π单调递增，在5(,)33
ππ
单调递减，在57(,)33ππ单调递增，
在5(2,2)3
3k k π
πππ+
+
单调递减，在(2,2)33
k k ππ
ππ-+单调递增N k *∈……………8分 列表得：
由上表可以看出()g x 在23
x k π
π=+
（N k ∈）处取得极大值，在523
x k π
π=+
（N k ∈）处取得极小值 ……………9分
2
1()0
3236g π
π=+->；
25125()03236
g ππ=+-<. ……………10分 当k ∈*N 且1k ≥时
221115
(2)(2)
(2)(203
3
2243434
g k k k k π
π
ππππππ+
=+
+-+=-++< （或2
1()14
g x x x <+-，21(2)(2)1(2)03343g k k k ππππππ+<++-+<） ………11分
所以()g x 在(0,)x ∈+∞上只有一个零点. ………12分 函数2
1()()()4
R g x f x x x =-∈零点的个数为2. ………13分
20．（本小题14分）
（Ⅰ）解：数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………1分 因为*41357979
512
b N ++++-=
=?-，
所以数列1,3,5,7,9不存在“伴随数列”. ……………3分
（Ⅱ）证明：因为1
11
n n n n a a b b m ++--=-，*11,n m n N ≤≤-∈ (4)
分
又因为12m a a a <<
<，所以有10n n a a +-<
所以1
101
n n n n a a b b m ++--=<- ……………5分
所以12m b b b >>
> 成立 ……………6分
（Ⅲ）?1≤i j i i j a a b b m --= -， ……………7分 因为* i b N ∈，12m b b b >>>. 所以* i j b b N -∈， 所以*1 j i i j a a b b N m --= ∈- ……………8分 所以*112048 11m m a a b b N m m --= =∈-- 因为*1 11 n n n n a a b b N m ----= ∈-， 所以11n n a a m --≥- ……………10分 又112211()()()m m m m m a a a a a a a ----=-+-+ +- (1)(1)(1)m m m ≥-+-++-=2(1)m - ……………12分 所以2 (1)2048m -≤， 所以46m ≤ ……………13分 又 *2048 1 N m ∈-， 所以33m ≤ 例如：6463n a n =-（133n ≤≤），满足题意， 所以， m 的最大值是33. …………14分