立体图形上最短距离问题
立体图形上最短距离问题
————————————————————————————————作者: ————————————————————————————————日期:
?
B
C
A
立体图形上最短距离问题
金水初中 刘彬
在北师大版数学的七年级和八年级的教材中都涉及到了物体在几何体表面爬行时的最短距离问题，这对于一些刚刚接触几何体的同学是个很难理解的问题。实际在数学上就是在几何体表面点到点的最短距离的问题。结合教学实际,我总结了教材和练习中最常见的几种最短距离问题，主要涉及到了正方体、长方体和圆柱，以及它们几种简单的变形，特总结如下，希望能对这方面的问题，帮助解决学生的困惑,能使学生掌握这方面的知识。
同一个面最短距离最简单，主要是连线，借助勾股定理来解决,在下面的介绍简单介绍，重点说不在同一个面的问题。这几个几何体中正方体最简单，下面先从正方体开始说起。 一、 正方体和长方体中最短距离 例1、 如图，一只蚂蚁在正方体表面爬行 （1)、当蚂蚁从正方体的一个顶点Ａ沿表面爬到顶点Ｂ,怎样爬距离最短?
分析:由于顶点Ａ和顶点B 在同一个平面上,所以连接，利用勾股定理直接求解即可。
(2)如图，如果蚂蚁要从边长为1 cm 的正
方体顶点Ａ爬到顶点C,那么爬行的最段距离是多少？
分析:由于顶点A 和顶点C 不在同一个平面上，所以要求最短距离需要将正方体展开，在展开的表面上利用勾股定理求出最短距离。 解：将正方体展开,下面是其四连面的一部分,这是Ａ与Ｃ的位置如图所示,
C
A
这时AC 的长度就是长方形的对角线的长度。所以 AC 的长度
等于22
21+＝5
所以在正方体中求最短距离相对来说还是比较简单的。
(3)如果将正方体换成边长ＡD=2ＣM,宽ＤF=3cm,高ＡB=１cm 的长方体,蚂蚁仍需从顶点Ａ沿表面爬到顶点E 的位置，请你说明这只蚂蚁沿怎样的路线爬行距离最短？为什么？
分析：由于 长方体每边的长短不一样,所以在展开图中就有三种不同的形式，三种情况下结果就会不一样
解：方案一:将面AB ＣD 沿DC 展
开和面C ＤEF 在同一个平面中，如图，这时ＢE 的长度为2+3=5，EF 的长度为１，所以AE=
22
51+=
26
方案二:将面AD ＣF 沿DF 展开和面ＣDEF 在同一个平面，如图,这
时ＡＣ＝2+１=3，ＥF=3
所以AE ＝2233+=
18
H
E
F
G
C
B
A
D
E
F
C B
D
A
C
E
D
F
A
G
方案三：将面ＡDFＧ沿FG展开
和面ＥFGH在同一个平面中，如图,这时DＥ＝３+1=4,EH=2.所以
AＥ=
22
42
＝20。
综上，最短距离应该是第二种
方案。
小结:长方体中情况一般分三种情况来说明,实际就是长+宽为一边,高为一边；长＋高为一边,宽为一边；宽＋高为一边，长为一边三种情况，它的种种变化也是在这几个的基础上加以变形。下面我们看它的一种变形应用：
例2：长方体的长为15CM,宽为１０ＣM，高为20ＣM,点Ｂ离点C 5ＣM，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点Ａ爬到点B，需要爬行的最短距离是多少?
分析：本题和上面的一样，只是没有从
A爬到长方体的一个顶点,但是做法一样
的。所以本体也有三种做法。
解：如图（一）
C A B
G H
A
E
D F
C
A
B
AB=
22 152062525 +==
如图(二）AB=
22 1025725 +=
如图(三)
22 305925 +=
二、圆柱体中最短距离
例3：如图，在圆柱中，底面周长为6ＣM，高为8ＣＭ从点A到点B
的最短距离是多少?
分析:由于也是在几何体表面求最短距离,
所以也必须展开,而圆柱展开是个长方形，
并且由于点A、B是相对位置,所以在展开
的长方形中，长方形的长一边只是圆周长
的一半。然后利用勾股定理求解即可。
解：圆柱的侧面展开图如图所示：
AB=
22
8.
385
+=
A C
B
B
A
图C
A
B
图
B A
圆柱是常见的几何体,所以在它其中也有几种基本的变形，总结如下: 第一种变形：
要绕着圆柱表面从点A 到点B ，那么最短距离应该为多少?
分析：要求要绕着圆柱表面从点Ａ到点B,所以肯定不是沿着高来走，同样要在展开图中来求最短距离,这时在展开图中，圆柱的一边
为圆柱的底面周长。
解：圆柱的展开图如下图所示： AB=
226810+=
第二种变形：
点A 在圆柱的外侧，点Ｂ在圆柱的内侧,并且点B 距上底面３C Ｍ,
那么点A 到点B 的最短距离应该为多少?
分析:由于一点在内部，一点在外部,所以要求的就要在展开图
中分析了，相当于在七年级学的在河一边有两个村落,求在河上
B
A
B
A
A
B
搭一座到两村落距离最短的桥。这时就要利用到轴对称的知识求解。如下图:
解：在图中点A 到点Ｂ的距离就是点A 到点B 的对称点B ’的距离，所以
AB=AB'=22311130+=
综上所述,在立体图形求最短距离一定要在其展开图中求解，所
以首先要求学生掌握常见几何体的展开图是关键。然后在展开中再去求最短距离。在初中的教材中立体几何中可能就这么几种变化和应用，如果讲的不对,或者有不足的地方，请大家提出宝贵的意见和建议。
2015.１
C
B'
A
B