人教版高中数学必修二 空间点直线平面之间的位置关系
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点
高中数学必修《点直线平面之间的位置关系》知识点高中数学必修的《点直线平面之间的位置关系》是一个重要的几何知识点，主要涉及直线与平面、点与直线、点与平面之间的位置关系。
这个知识点对于理解几何图形的形状和性质具有重要作用，也为后续的三角函数、向量等知识打下基础。
下面将详细介绍该知识点的内容。
一、直线与平面的位置关系1.平面方程：平面的一般方程为Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为不能同时为0的实数，A、B、C为平面的法向量，D为常数项。
2.直线与平面的位置关系：(1)直线与平面相交：直线与平面相交可以有一个交点，也可以有无穷多个交点。
(2)直线含于平面：如果直线的所有点都在平面上，则直线被称为含于平面。
(3)直线与平面平行：如果直线与平面的交点集为空集，则直线与平面平行。
(4)直线与平面垂直：如果直线与平面的任意一条直线都垂直，则直线与平面垂直。
二、点与直线的位置关系1.点与直线的距离：点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为d=，Ax0+By0+C，/√(A^2+B^2)。
2.点到线段的距离：点P到线段AB的距离：(1)如果P在AB的延长线上，则距离为AP或BP的长度。
(2)如果P在线段AB的两边，则距离为点P到线段AB所在直线的距离。
(3)如果P在线段AB上，则距离为0。
三、点与平面的位置关系1.点在平面上：点P(x0,y0,z0)在平面Ax+By+Cz+D=0上的充要条件是Ax0+By0+Cz0+D=0。
2.点到平面的距离：点P到平面Ax+By+Cz+D=0的距离公式为d=，Ax0+By0+Cz0+D，/√(A^2+B^2+C^2)。
3.点关于平面的对称点：点P(x0,y0,z0)关于平面Ax+By+Cz+D=0的对称点的坐标为：(x',y',z')=(x0-2*Ax0/（A^2+B^2+C^2）,y0-2*By0/（A^2+B^2+C^2）,z0-2*Cz0/（A^2+B^2+C^2）)。
高中数学必修2《点、直线、平面之间的位置关系》知识点
第二章点、直线、平面之间的地点关系空间点、直线、平面之间的地点关系一、平面1、平面及其表示2、平面的基天性质①公义 1：A lB llAB②公义 2：不共线的三点确立一个平面③公义 3：Pl 则 P lP二、点与面、直线地点关系1、 A1、点与平面有 2 种地点关系2、 B2、点与直线有1、 A l2 种地点关系l2、 B三、空间中直线与直线之间的地点关系1、异面直线2、直线与直线的地点关系订交共面平行异面3、公义 4 和定理公义 4：l1 Pl3l1 Pl 2l 2 Pl3定理：空间中假如两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。
4、求异面直线所成角的步骤：① 作：作平行线获得订交直线；② 证：证明作出的角即为所求的异面直线所成的角；③ 结构三角形求出该角。
提示： 1、作平行线常有方法有：直接平移，中位线，平行四边形。
2、异面直线所的角的范围是000 ,90。
四、空间中直线与平面之间的地点关系地点关系直线 a在平面内直线 a与平面订交直线 a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a a IA a P图形表示五、空间中平面与平面之间的地点关系地点关系两个平面平行两个平面订交公共点没有公共点有一条公共直线符号表示P I a图形表示直线、平面平行的判断及其性质一、线面平行1、判断：ba b Pb Pa（线线平行，则线面平行）2、性质：a Pa a Pbb（线面平行，则线线平行）二、面面平行1、判断：aba b P Pa Pb P（线面平行，则面面平行）2、性质 1：PI a a PbI b（面面平行，则线面平行）性质 2：Pm Pm（面面平行，则线面平行）说明（ 1）判断直线与平面平行的方法：① 利用定义：证明直线与平面无公共点。
② 利用判断定理：从直线与直线平行等到直线与平面平行。
③ 利用面面平行的性质：两个平面平行，则此中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
（2）证明面面平行的常用方法①利用面面平行的定义：此法一般与反证法联合。
高中数学必修二8.4《空间点、直线、平面位置关系》课件
A．1 条
B．2 条
C．3 条
D．4 条
解析：D [如图，连接体对角线 AC1，显然 AC1 与棱 AB，AD， AA1 所成的角都相等，所成角的正切值都为 2.联想正方体的其他体 对角线，如连接 BD1，则 BD1 与棱 BC，BA，BB1 所成的角都相等， ∵BB1∥AA1，BC∥AD，∴体对角线 BD1 与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，同理，体对角线 A1C，DB1 也与棱 AB，AD，AA1 所成的 角都相等，过 A 点分别作 BD1，A1C，DB1 的平行线都满足题意，故 这样的直线 l 可以作 4 条．]
的中点，则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为( )
A.
2 2
B.
3 2
5 C. 2
7 D. 2
解析：C [如图，因为 AB∥CD，所以 AE 与 CD 所成的角为∠ EAB.在 Rt△ABE 中，设 AB＝2，
则 BE＝ 5，则 tan∠EAB＝BAEB＝ 25，所以异面直线 AE 与 CD 所 成角的正切值为 25，故选 C.]
[典例] (1)若直线 l1 和 l2 是异面直线，l1 在平面 α 内，l2 在平面
β 内，l 是平面 α 与平面 β 的交线，则下列命题正确的是(
)
A．l 与 l1，l2 都不相交 B．l 与 l1，l2 都相交 C．l 至多与 l1，l2 中的一条相交 D．l 至少与 l1，l2 中的一条相交
解析：B [本题为立体几何中的问题，考查垂直关系，线面、线 线位置关系．∵△BDE 中，N 为 BD 中点，M 为 DE 中点，∴BM， EN 共面相交，选项 C，D 为错．作 EO⊥CD 于 O，连接 ON，过 M 作 MF⊥OD 于 F.
人教A版高中数学必修二：2.1空间点直线平面之间的位置关
2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．1.1 平面预习课本P40～43，思考并完成以下问题[新知初探]1．平面的概念几何里所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、海面这样的一些物体中抽象出来的．几何里的平面是无限延展的．2．平面的画法(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形，它的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍．如图①.(2)如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，把被遮挡部分用虚线画出来．如图②.3．平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.[点睛] (1)平面和点、直线一样，是只描述而不加定义的原始概念，不能进行度量；(2)平面无厚薄、无大小，是无限延展的．4．平面的基本性质[点睛] 对公理2必须强调是不共线的三点．[尝试应用](1)空间不同三点确定一个平面( )(2)空间两两相交的三条直线确定一个平面( )(3)和同一直线都相交的三条平行线在同一平面内( )答案：(1)×(2)×(3)√(1)8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；(2)有一个平面的长是50 m，宽是20 m；(3)平面是无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念．A．0 B．1C．2 D．33．根据右图，填入相应的符号：A__________平面ABC，A________平面BCD，BD________平面ABC，平面ABC∩平面ACD＝________.答案：∈∉⊄AC文字语言、图形语言、符号语言的相互转化[典例] 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系．(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.[解] (1)点P∈直线AB.(2)点C∉直线AB.(3)点M∈平面AC.(4)点A1∉平面AC.(5)直线AB∩直线BC＝点B.(6)直线AB⊂平面AC.(7)平面A1B∩平面AC＝直线AB.三种语言的转换方法(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．[活学活用]1．若点M在直线a上，a在平面α内，则M，a，α间的关系可记为( )A．M∈a，a∈αB．M∈a，a⊂αC．M⊂a，a⊂αD．M⊂a，a∈α解析：选B 根据点与线、线与面之间位置关系的符号表示可知B正确．2．用符号语言表示下列语句，并画出图形：(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC；(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.解：(1)符号语言表示：α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，图形表示：如图(1)．(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示：如图(2)．平面的基本性质的应用1.如图，已知直线a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c，l共面．证明：∵a∥b，∴a，b确定一个平面α.∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.又∵A∈l，B∈l，∴l⊂α.∵b∥c，∴b，c确定一个平面β.同理可证l⊂β.于是b⊂α，l⊂α，b⊂β，l⊂β，即α∩β＝b，α∩β＝l.又∵b与l不重合，∴α与β重合，∴a，b，c，l共面．点线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是公理1、公理2．解决该类问题通常有三种方法：(1)纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；(2)辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合；(3)反证法．通常情况下采用第一种方法．题点二：点共线问题2.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，设线段A1C与平面ABC1D1交于点Q，求证：B，Q，D1三点共线．证明：如图，连接A1B，CD1，显然B∈平面A1BCD1，D1∈平面A1BCD1.∴BD1⊂平面A1BCD1.同理BD1⊂平面ABC1D1.∴平面ABC1D1∩平面A1BCD1＝BD1.∵A1C∩平面ABC1D1＝Q，∴Q∈平面ABC1D1.又∵A1C⊂平面A1BCD1，∴Q∈平面A1BCD1.∴Q在平面A1BCD1与ABC1D1的交线上，即Q∈BD1，∴B，Q，D1三点共线．点共线问题是证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是公理3.解决此类问题常用以下两种方法：(1)首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理3知，这些点都在这两个平面的交线上；(2)选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上．题点三：三线共点问题3．已知：平面α，β，γ两两相交于三条直线l1，l2，l3，且l1，l2不平行．求证：l1，l2，l3相交于一点．证明：如图，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.∵l1⊂β，l2⊂β，且l1，l2不平行，∴l1与l2必相交．设l1∩l2＝P，则P∈l1⊂α，P∈l2⊂γ，∴P∈α∩γ＝l3，∴l1，l2，l3相交于一点P.证明三线共点问题的基本方法是，先确定待证的三线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点．常结合公理3，证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点．层级一学业水平达标1．下列说法中正确的是( )A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．两个不同平面α和β有不在同一条直线上的三个公共点解析：选C 不共线的三点确定一个平面，故A不正确；四边形有时指空间四边形，故B 不正确；梯形的上底和下底平行，可以确定一个平面，故C正确；两个平面如果相交，一定有一条交线，所有这两个平面的公共点都在这条交线上，故D不正确．故选C.①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面；③若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．A．0 B．1C．2 D．3解析：选B ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．3．在空间四边形ABCD中，在AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果GH，EF 交于一点P，则( )A．P一定在直线BD上B．P一定在直线AC上C．P在直线AC或BD上D．P既不在直线BD上，也不在AC上解析：选B 由题意知GH⊂平面ADC.因为GH，EF交于一点P，所以P∈平面ADC.同理，P∈平面ABC.因为平面ABC∩平面ADC＝AC，由公理3可知点P一定在直线AC上．4．用一个平面截正方体所得的截面图形不可能是( )A．六边形B．五边形C．菱形D．直角三角形解析：选D 可用排除法，正方体的截面图形可能是六边形、五边形、菱形，故选D.5．下列各图均是正六棱柱，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，这四个点不共面的图形是( )解析：选D 在选项A、B、C中，由棱柱、正六边形、中位线的性质，知均有PS∥QR，即在此三个图形中P，Q，R，S共面，故选D.6．用符号表示“点A在直线l上，l在平面α外”为________．答案：A∈l，l⊄α7．如图，看图填空：(1)平面AB1∩平面A1C1＝________；(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.答案：A1B1AC8．已知空间四点中无任何三点共线，那么这四点可以确定平面的个数是________．解析：其中三个点可确定唯一的平面，当第四个点在此平面内时，可确定1个平面，当第四个点不在此平面内时，则可确定4个平面．答案：1或4(1)由点A，O，C可以确定一个平面；(2)由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.解：(1)不正确．因为点A，O，C在同一条直线上，故不能确定一个平面．(2)正确．因为点A，B1，C1不共线，所以可确定一个平面．又因为AD∥B1C1，所以点D∈平面AB1C1.所以由点A，C1，B1确定的平面为平面ADC1B1.10．按照给出的要求，完成图中两个相交平面的作图，图中所给线段AB分别是两个平面的交线．解：以AB为其中一边，分别画出表示平面的平行四边形．如图．层级二 应试能力达标1．如果直线a ⊂平面α，直线b ⊂平面α，M ∈a ，N ∈b ，M ∈l ，N ∈l ，则( ) A ．l ⊂α B ．l ⊄α C ．l ∩α＝MD ．l ∩α＝N解析：选A ∵M ∈a ，a ⊂α，∴M ∈α，同理，N ∈α，又M ∈l ，N ∈l ，故l ⊂α. A ．一条直线和一点确定一个平面 B ．两条相交直线确定一个平面 C ．四点确定一个平面 D ．三条平行直线确定一个平面解析：选B 根据一条直线和直线外的一点确定一个平面，知A 不正确；B 显然正确；C 中四点不一定共面，故C 不正确；三条平行直线可以确定一个平面或三个平面，故D 不正确．故选B.A ．经过正方体任意两条面对角线，有且只有一个平面B ．经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面C ．经过正方体任意两条棱，有且只有一个平面D ．经过正方体任意一条体对角线与任意一条面对角线，有且只有一个平面解析：选 B 因为正方体的四条体对角线相交于同一点(正方体的中心)，因此经过正方体任意两条体对角线，有且只有一个平面，故选B.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1，那么正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是( )A ．三角形B ．四边形C ．五边形D ．六边形解析：选C 在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱DD 1和BB 1上的点，MD ＝13DD 1，NB ＝13BB 1.如图，延长C 1M 交CD 于点P ，延长C 1N 交CB于点Q ，连接PQ 交AD 于点E ，AB 于点F ，连接NF ，ME ，则正方体的过点M ，N ，C 1的截面图形是五边形．故选C.5．已知α，β是不同的平面，l ，m ，n 是不同的直线，P 为空间中一点．若α∩β＝l，m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，则点P与直线l的位置关系用符号表示为________．解析：因为m⊂α，n⊂β，m∩n＝P，所以P∈α且P∈β.又α∩β＝l，所以点P在直线l上，所以P∈l.答案：P∈l6．在长方体ABCDA1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有________条．解析：作图并观察可知既与AB共面，又与CC1共面的棱有CD，BC，BB1，AA1，C1D1，共5条．答案：57.如图所示，AB∩α＝P，CD∩α＝P，A，D与B，C分别在平面α的两侧，AC∩α＝Q，BD∩α＝R.求证：P，Q，R三点共线．证明：∵AB∩α＝P，CD∩α＝P，∴AB∩CD＝P.∴AB，CD可确定一个平面，设为β.∵A∈AB，C∈CD，B∈AB，D∈CD，∴A∈β，C∈β，B∈β，D∈β.∴AC⊂β，BD⊂β，平面α，β相交．∵AB∩α＝P，AC∩α＝Q，BD∩α＝R，∴P，Q，R三点是平面α与平面β的公共点．∴P，Q，R都在α与β的交线上，故P，Q，R三点共线．8.如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AD>BC，P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，设PQ与NM的交点为S，AB与DC的交点为R，A1B1与D1C1的交点为G.求证：R，S，G三点共线．证明：因为P，Q，M，N分别为AA1，BB1，CC1，DD1上的点，PQ∩NM＝S，所以S∈MN，MN⊂平面CC1D1D，S∈PQ，PQ⊂平面AA1B1B，所以S∈平面CC1D1D，且S∈平面AA1B1B，所以S在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上．同理可证：R，G也在平面AA1B1B与平面CC1D1D的交线上，所以R，S，G三点共线．2．1.2 空间中直线与直线之间的位置关系预习课本P44～47，思考并完成以下问题1．空间两直线有哪几种位置关系？2．什么是异面直线？3．什么是异面直线所成的角？4．平行公理的内容是什么？5．等角定理的内容是什么？[新知初探]1．异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线．(2)异面直线的画法：2．空间两条直线的位置关系位置关系特点相交同一平面内，有且只有一个公共点平行同一平面内，没有公共点异面直线不同在任何一个平面内，没有公共点[点睛] (1)异面直线的定义表明异面直线不具备确定平面的条件．异面直线既不相交，也不平行．(2)不能把异面直线误认为分别在不同平面内的两条直线，如图中，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是因为a∩b＝O，所以a与b不是异面直线．3．平行公理(公理4)(1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相平行．这一性质叫做空间平行线的传递性．a∥b b∥c⇒a∥c.(2)符号表述：}4．等角定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．5．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.[点睛] (1)异面直线所成角的范围是0°<θ≤90°，所以垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直．(2)公理4也称为平行公理，表明空间的平行具有传递性，它在直线、平面的平行关系中得到了广泛的应用．[小试身手](1)两条直线无公共点，则这两条直线平行( )(2)两直线若不是异面直线，则必相交或平行( )(3)过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任意一条直线均构成异面直线( )(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．如果两条直线a和b没有公共点，那么a与b的位置关系是( )A．共面B．平行C．异面D．平行或异面解析：选 D 空间中两直线的位置关系有：①相交；②平行；③异面．两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故a与b的位置关系是平行或异面．3．已知AB∥PQ，BC∥QR，若∠ABC＝30°，则∠PQR等于( )A．30° B．30°或150°C．150° D．以上结论都不对解析：选B 由等角定理可知∠PQR与∠ABC相等或互补，故∠PQR＝30°或150°.两直线位置关系的判定[典例] 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．[解析] (1)在长方体ABCDA1B1C1D1中，A1D1綊BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B ∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内．(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内．[答案] (1)平行(2)异面(3)相交(4)异面(1)判定两条直线平行或相交的方法判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用公理4判断．(2)判定两条直线是异面直线的方法①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内．②重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线(如图)．[活学活用]1．在空间四边形ABCD中，E，F分别为对角线AC，BD的中点，则BE与CF( )A．平行B．异面C．相交D．以上均有可能解析：选B 假设BE与CF是共面直线，设此平面为α，则E，F，B，C∈α，所以BF，CE⊂α，而A∈CE，D∈BF，所以A，D∈α，即有A，B，C，D∈α，与ABCD为空间四边形矛盾，所以BE与CF是异面直线，故选B.2．若a，b为异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是( )A．相交B．异面C．平行D．异面或相交解析：选D 由空间直线的位置关系，知c与b可能异面或相交．平行公理与等角定理的应用[典例] 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点．(1)求证：四边形BB1M1M为平行四边形；(2)求证：∠BMC＝∠B1M1C1.[证明] (1)在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点，∴A1M1綊AM，∴四边形AMM1A1是平行四边形，∴A1A綊M1M.又∵A1A綊B1B，∴M1M綊B1B，∴四边形BB1M1M为平行四边形．(2)由(1)知四边形BB1M1M为平行四边形，∴B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，∴C1M1∥CM.由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角．∴∠BMC＝∠B1M1C1.(1)空间两条直线平行的证明：①定义法：即证明两条直线在同一个平面内没有公共点；②利用公理4找到一条直线，使所证的直线都与这条直线平行．(2)“等角”定理的结论是相等或互补，在实际应用时，一般是借助于图形判断是相等，还是互补，这是两种情况都有可能．[活学活用]如图，已知在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点．求证：(1)四边形MNA 1C1是梯形；(2)∠DNM＝∠D1A1C1.证明：(1)如图，连接AC，在△ACD中，∵M ，N 分别是CD ，AD 的中点， ∴MN 是△ACD 的中位线， ∴MN ∥AC ，MN ＝12AC .由正方体的性质得：AC ∥A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN ∥A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN ≠A 1C 1，∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN ∥A 1C 1.又∵ND ∥A 1D 1，∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补． 而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均为锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.异面直线所成角[典例] 11111111DB 1与EF 所成角的大小．[解] 法一：如图1所示，连接A 1C 1，B 1D 1，并设它们相交于点O ，取DD 1的中点G ，连接OG ，A 1G ，C 1G ，则OG ∥B 1D ，EF ∥A 1C 1，∴∠GOA 1为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． ∵GA 1＝GC 1，O 为A 1C 1的中点， ∴GO ⊥A 1C 1.∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.图1法二：如图2所示，连接A 1D ，取A 1D 的中点H ，连接HE ，则HE 綊12DB 1，于是∠HEF 为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)．连接HF ，设AA 1＝1， 则EF ＝22，HE ＝32，取A 1D 1的中点I ，连接HI ，IF ， 则HI ⊥IF ，∴HF 2＝HI 2＋IF 2＝54，∴HF 2＝EF 2＋HE 2，∴∠HEF ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.图2法三：如图3，连接A 1C 1，分别取AA 1，CC 1的中点M ，N ，连接MN . ∵E ，F 分别是A 1B 1，B 1C 1的中点， ∴EF ∥A 1C 1，又MN ∥A 1C 1，∴MN ∥EF . 连接DM ，B 1N ，MB 1，DN ，则B 1N 綊DM ， ∴四边形DMB 1N 为平行四边形， ∴MN 与DB 1必相交，设交点为P ，则∠DPM 为异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． 设AA 1＝k (k >0)，则MP ＝22k ，DM ＝52k ，DP ＝32k ， ∴DM 2＝DP 2＋MP 2，∴∠DPM ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.法四：如图4，在原正方体的右侧补上一个全等的正方体，连接B 1Q ，易得B 1Q ∥EF ， ∴∠DB 1Q 就是异面直线DB 1与EF 所成的角(或其补角)． 设AA 1＝k (k >0)，则B 1D ＝3k ，DQ ＝5k ，B 1Q ＝2k ， ∴B 1D 2＋B 1Q 2＝DQ 2，∴∠DB 1Q ＝90°. ∴异面直线DB 1与EF 所成的角为90°.(2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出．可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°. [活学活用] 如图所示，点A 是△BCD 所在平面外一点，AD ＝BC ，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，当EF ＝22AD 时，求异面直线AD 和BC 所成的角． 解：如图所示，设G 为AC 的中点，连接EG ，FG . ∵E ，F ，G 分别为AB ，CD ，AC 的中点． ∴EG ∥BC ，且EG ＝12BC ；FG ∥AD ，且FG ＝12AD .又AD ＝BC ，∴EG ＝FG ＝12AD .∴EG 与GF 所成的锐角(或直角)即为AD 与BC 所成的角． 在△EFG 中，∵EG ＝FG ＝12AD ，又EF ＝22AD ，∴EG 2＋FG 2＝EF 2，即EG ⊥FG .∴∠EGF ＝90°.故AD 与BC 所成角为90°.层级一 学业水平达标1．若空间三条直线a ，b ，c 满足a ⊥b ，b ∥c ，则直线a 与c ( ) A ．一定平行 B ．一定相交 C ．一定是异面直线D ．一定垂直解析：选D 因为a ⊥b ，b ∥c ，则a ⊥c ，故选D.2．一条直线与两条平行线中的一条成为异面直线，则它与另一条( ) A ．相交 B ．异面 C ．相交或异面D ．平行解析：选C 如图所示的长方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，直线AA 1与直线B 1C 1是异面直线，与B 1C 1平行的直线有A 1D 1，AD ，BC ，显然直线AA 1与A 1D 1相交，与BC 异面．3．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是平面AA 1D 1D 、平面CC 1D 1D 的中心，G ，H 分别是线段AB ，BC 的中点，则直线EF 与直线GH 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C．平行D．垂直解析：选C 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.A．0 B．1C．2 D．3解析：选 A ①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确．可能平行，可能相交也可能异面．5．异面直线a，b，有a⊂α，b⊂β且α∩β＝c，则直线c与a，b的关系是( )A．c与a，b都相交B．c与a，b都不相交C．c至多与a，b中的一条相交D．c至少与a，b中的一条相交解析：选D 若c与a，b都不相交，∵c与a在α内，∴a∥c.又c与b都在β内，∴b∥c.由公理4，可知a∥b，与已知条件矛盾．如图，只有以下三种情况．6.如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是________．解析：连接AD1，则AD1∥BC1.∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，∴∠CAD1＝60°，即AC与BC1所成的角为60°.答案：60°7．如图，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS 是异面直线的一个图是________(填序号)．解析：①中PQ ∥RS ，②中RS ∥PQ ，④中RS 和PQ 相交． 答案：③8.如图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成的角的大小是________．解析：如图，过点M 作ME ∥DN 交CC 1于点E ，连接A 1E ，则∠A 1ME为异面直线A 1M 与DN 所成的角(或其补角)．设正方体的棱长为a ，则A 1M ＝32a ，ME ＝54a ，A 1E ＝414a ，所以A 1M 2＋ME 2＝A 1E 2，所以∠A 1ME ＝90°，即异面直线A 1M 与DN 所成的角为90°. 答案：90°9.如图所示，E ，F 分别是长方体A 1B 1C 1D 1ABCD 的棱A 1A ，C 1C 的中点． 求证：四边形B 1EDF 是平行四边形． 证明：设Q 是DD 1的中点，连接EQ ，QC 1. ∵E 是AA 1的中点， ∴EQ 綊A 1D 1.又在矩形A 1B 1C 1D 1中，A 1D 1綊B 1C 1， ∴EQ 綊B 1C 1(平行公理)．∴四边形EQC 1B 1为平行四边形．∴B 1E 綊C 1Q . 又∵Q ，F 是DD 1，C 1C 两边的中点，∴QD 綊C 1F . ∴四边形QDFC 1为平行四边形． ∴C 1Q 綊DF .∴B 1E 綊DF . ∴四边形B 1EDF 为平行四边形．10.如图所示，空间四边形ABCD 中，AB ＝CD ，AB ⊥CD ，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成的角．解：如图所示，取BD 的中点G ，连接EG ，FG . ∵E ，F 分别为BC ，AD 的中点，AB ＝CD ，∴EG ∥CD ，GF ∥AB ，且EG ＝12CD ，GF ＝12AB .∴∠GFE 就是EF 与AB 所成的角，EG ＝GF . ∵AB ⊥CD ，∴EG ⊥GF . ∴∠EGF ＝90°.∴△EFG 为等腰直角三角形．∴∠GFE ＝45°，即EF 与AB 所成的角为45°.层级二 应试能力达标1．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段BC ，C 1D 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直解析：选A 如图所示，连接BD 1，CD 1，CD 1与C 1D 交于点F ，由题意可得四边形A 1BCD 1是平行四边形，在平行四边形A 1BCD 1中，E ，F 分别是线段BC ，CD 1的中点，所以EF ∥BD 1，所以直线A 1B 与直线EF 相交，故选A.2．在三棱锥A BCD 中，AC ⊥BD ，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，则四边形EFGH 是( )A ．菱形B ．矩形C ．梯形D ．正方形解析：选B 如图，在△ABD 中，点H ，E 分别为边AD ，AB 的中点，所以HE 綊12BD ，同理GF 綊12BD ，所以HE 綊GF ，所以四边形EFGH 为平行四边形．又AC ⊥BD ，所以HG ⊥HE ，所以四边形EFGH 是矩形，故选B.3．在正三棱柱ABC A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与BC 1所成的角的大小是( ) A ．60° B ．75° C ．90°D ．105°解析：选C 设BB 1＝1，如图，延长CC 1至C 2，使C 1C 2＝CC 1＝1，连接B 1C 2，则B 1C 2∥BC 1，所以∠AB 1C 2为AB 1与BC 1所成的角(或其补角)．连接AC 2，因为AB 1＝3，B 1C 2＝3，AC 2＝6，所以AC 22＝AB 21＋B 1C 22，则∠AB 1C 2＝90°.4．在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 1上运动，则异面直线CP 与BA 1所成的角θ的取值范围是( )A ．0°<θ<60°B ．0°≤θ<60°C ．0°≤θ≤60°D ．0°<θ≤60°解析：选D 如图，连接CD1，AC，因为CD1∥BA1，所以CP与BA1所成的角就是CP与CD1所成的角，即θ＝∠D1CP.当点P从D1向A运动时，∠D1CP从0°增大到60°，但当点P与D1重合时，CP∥BA1，与CP与BA1为异面直线矛盾，所以异面直线CP与BA1所成的角θ的取值范围是0°<θ≤60°.5.如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为__________．解析：连接BC1，AD1，AB1，则EF为△BCC1的中位线，∴EF∥BC1.又∵AB綊CD綊C1D1，∴四边形ABC1D1为平行四边形．∴BC1∥AD1.∴EF∥AD1.∴∠AD1B1为异面直线EF和B1D1所成的角或其补角．在△AB1D1中，易知AB1＝B1D1＝AD1，∴△AB1D1为正三角形，∴∠AD1B1＝60°.∴EF与B1D1所成的角为60°.答案：60°6.如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN等于________．解析：取AD的中点P，连接PM，PN，则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝12AC＝4，PM＝12BD＝3，∴MN＝5.答案：57．在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDCA1B1D1C1，连接BD1，A1D1，AD，由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝3a.又∠BAC ＝90°，∴在矩形ABCD 中，AD ＝2a ， ∴A 1D 1＝2a ， ∴A 1D 21＋A 1B 2＝BD 21，∴∠BA 1D 1＝90°，∴在Rt △BA 1D 1中，cos ∠A 1BD 1＝A 1B BD 1＝a 3a ＝33.8.正三棱锥S ABC 的侧棱长与底面边长都为a ，E ，F 分别是SC ，AB 的中点，求直线EF 和SA 所成的角．解：如图，取SB 的中点G ，连接EG ，GF ，SF ，CF .在△SAB 中，F ，G 分别是AB ，SB 的中点，∴FG ∥SA ，且FG ＝12SA . 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线EF 与FG 所成的角．在△SAB 中，SA ＝SB ＝a ，AF ＝FB ＝12a ， ∴SF ⊥AB ，且SF ＝32a . 同理可得CF ⊥AB ，且CF ＝32a . 在△SFC 中，SF ＝CF ＝32a ，SE ＝EC ， ∴FE ⊥SC 且FE ＝SF 2－SE 2＝22a . 在△SAB 中，FG 是中位线，∴FG ＝12SA ＝a 2. 在△SBC 中，GE 是中位线，∴GE ＝12BC ＝a 2. 在△EGF 中，FG 2＋GE 2＝a 22＝FE 2， ∴△EGF 是以∠FGE 为直角的等腰直角三角形，∴∠EFG ＝45°.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°.2．1.3&2.1.4 空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面之间的位置关系预习课本P48～50，思考并完成以下问题1．直线与平面的位置关系2．两个平面的位置关系[点睛] (1)判断面面位置关系时，要利用好长方体(或正方体)这一模型．(2)画两个互相平行的平面时，要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行．[小试身手](1)若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行( )(2)若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行( )(3)若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行( )(4)若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行( )答案：(1)×(2)×(3)√(4)×2.如图所示，用符号语言可表示为( )A．α∩β＝l B．α∥β，l∈αC．l∥β，l⊄αD．α∥β，l⊂α解析：选D 显然图中α∥β，且l⊂α.3．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是________．答案：平行直线与平面的位置关系①如果a，b a b②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b；④如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α；⑤如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α.A．0 B．1C．2 D．3[答案] C在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏．另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于正确作出判断，避免凭空臆断．下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，则a∥α；④若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．4解析：选A 对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，直线a∥b，b⊂α，只能说明a和b 没有公共点，a可能在平面α内，∴a不一定平行于α，③错误；对于④，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，④正确.[典例] α，β是两个不重合的平面，下面说法中正确的是( )A．平面α内有两条直线a，b都与平面β平行，那么α∥βB．平面α内有无数条直线平行于平面β，那么α∥βC．若直线a与平面α和平面β都平行，那么α∥βD．平面α内所有的直线都与平面β平行，那么α∥β[解析] A、B都不能保证α，β无公共点，如图(1)所示；C中当a∥α，a∥β时，α与β可能相交，如图(2)所示；只有D说明α，β一定无公共点，即α∥β.[答案] D1．在底面为正六边形的六棱柱中，互相平行的面视为一组，则共有________组互相平行的面．与其中一个侧面相交的面共有________个．解析：六棱柱的两个底面互相平行，每个侧面与其直接相对的侧面平行，故共有4组互相平行的面．六棱柱共有8个面围成，在其余的7个面中，与某个侧面平行的面有1个，其余6个面与该侧面均为相交的关系．答案：4 62.如图所示，平面ABC与三棱柱ABCA1B1C1的其他面之间有什么位置关系？解：∵平面ABC与平面A1B1C1无公共点，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.线面、面面交线问题[典例] 在直三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为A1B1，B1C1的中点．求证：平面ACC1A1与平面BEF相交．[证明] ∵在矩形AA1B1B中，E为A1B1的中点，∴AA1与BE不平行，则AA1，BE的延长线相交于一点，设此点为G，∴G∈AA1，G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1，BE⊂平面BEF，∴G∈平面ACC1A1，G∈平面BEF，∴平面ACC1A1与平面BEF相交．判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点，如果没有公共点，则两平面平行；如果可以找到一个公共点，则两平面相交．[活学活用]如图所示，G是正方体ABCDA1B1C1D1的棱DD1延长线上的一点，E，F是棱AB，BC的中点．试分别画出过下列各点、直线的平面与正方体表面的交线．(1)过点G及AC；(2)过三点E，F，D1.解：(1)画法：连接GA交A1D1于点M，连接GC交C1D1于点N；连接MN，AC，则MA，CN，MN，AC为所求平面与正方体表面的交线．如图①所示．(2)画法：连接EF交DC的延长线于点P，交DA的延长线于点Q；连接D1P交CC1于点M，连接D1Q交AA1于点N；连接MF，NE，则D1M，MF，FE，EN，ND1为所求平面与正方体表面的交线．如图②所示．。
高中数学人教版必修2精品PPT课件-空间点直线平面之间的位置关系三课时-【完整版】
问题1 同一平面上直线与直线有几种位置关系?
直线与直线相交或平行两种位置关系
问题2 观察一下教室里,日光灯,窗台边缘线，
黑板边缘线，横梁等，说说空间中直
线与直线有几种位置关系?
D
两路相交
A
B
两直线既不平
C
行也不相交
立交桥
六角螺母
C A
异面
D B
异面直线：不同在任 何一个平面内的两条 直线
空间中直线与直线之间的位置关系
2.1.3 空间中直线与 平面之间的位置关系
高中数学人教版必修2课件：空间点直 线平面 之间的 位置关 系三课 时-精 品课件p pt(实 用版)
问题1
请找 一下一支铅笔所在直线与桌面所在平 面有哪些位置关系？
问题2
高中数学人教版必修2课件：空间点直 线平面 之间的 位置关 系三课 时-精 品课件p pt(实 用版)
探索 (1)有.(2)垂直.(3)不一定
题型2 异面直线定义的应用
例3
题型3 异面直线定义的判定
方法 (1)反证法 (2)判定定理:过平面外一点与平面内一点
例3 的直线和平面内不过该点的直线异面.
题型4 异面直线所成的角
例4
例5
课内练习
课本P48练习1、2
作业
训练P27 全部习题
第三课时
“平面”是指什么？
几何里的“平面”是： 从桌面、海面、黑板 面这些物体中抽象出来的，是无限延展的。
问题3 请你从适当的角度和距离观察桌面、黑板面、
门的表面，说说它们成什么形状？ 平行四边形
问题4 通常用什么样的平行四边形来表示平面呢？
平面的画法
平面的表示 方法
问题5 两个相交平面怎样画呢？
高中数学人教版必修二2.1.3,2.14空间中直线与平面,平面与平面之间的位置关系
①若a∥b，b，则a∥ ②若a∥，b∥，则
a∥b ③若a∥b，b∥，则a∥ ④若a∥，
b，则a∥b 新疆 王新敞 奎屯
其中正确命题的个数是
（ A）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）3个
巩固练习:
3.已知m，n为异面直线，m∥平面，n∥ 平面，∩=l，则l （ C ） （A）与m，n都相交 （B）与m，n中至少一条相交 （C）与m，n都不相交 （D）与m，n中一条相交
a
/ /
a
/
/
面//面
线//面
④ 1、下列正确的有
：
①直线 l 平行于平面 α 内的无数条直线，则 l∥α；
②若直线 a 在平面 α 外，则 a∥α；
③若直线 a∥b，直线 b⊂α，则 a∥α；
④若直线 a∥b，b⊂α，那么直线 a 就平行于平面 α 内的无数条直线．
B 2、若直线 a 不平行于平面 α 且 a α 内,则下列结论成立的是（ ）
∨ 任意一条直线都没有公共点。（ ）
复习引入： 1、空间两直线的位置关系 （1）相交；（2）平行；（3）异面 2.公理4的内容是什么? 平行于同一条直线的两条直线互相平行. 3.等角定理的内容是什么? 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角相等或互补。 新疆
王新敞 奎屯
4.等角定理的推论是什么? 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.
X X X
例4、判断下列命题的正确
（1）若直线 l上有无数个点不在平面 内，
则 l// 。（ ）
（2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任
意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。（ ）
人教版高中数学必修2空间中直线与平面之间的位置关系课件
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6.课堂小结
异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 相交直线
空间两直线的位置关系
平行直线异面直线来自异面直线的画法 用平面来衬托异面直线所成的角 平移，转化为相交直线所成的角
答：从图中可看出，∠ADC=∠A₁D₁C₁, ∠ADC+∠A₁ B₁C₁ =180°
定理(等角定理):空间中，如果两个角的两边分别对应平行， 那么这两个角相等或互补.
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3.异面直线所成的角
(1)复习回顾 在平面内，两条直线相交成四
个角，其中不大于90度的角称为它 们的夹角，用以刻画两直线的错开 程度，如图.
对?
答：共有三对
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我们知道，在同一平面内，如果两条直线都和第三条直线平行， 那么这两条直线互相平行.在空间这一规律是否还成立呢?
视察：将一张纸如图进行折叠，则各折痕及边a,b,c,d,e,... 之间有何关系?
allb llc lld lle ll ...
公 理 4 :在空间平行于同一条直线的两条直线互相平行. 平行线的传递性
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六角螺母
C
D B
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练习1:在教室里找出几对异面直线的例子 合作探究 一
分别在两个平面内的两条直线是否一定异面?
答 ：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。
a与b是异面直线
a与b是相交直线
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a与b是平行直线
1.异面直线的定义：
人教A版数学必修第二册8_4_2空间点、直线、平面之间的位置关系课件
3．若M∈平面α，M∈平面β，则α与β的位置关系是( B )
A．平行
B．相交
C．异面
D．不确定
α与β相交于过 点M的一条直线
4．平面α∥平面β，直线a⊂α，则a与β的位置关系是___平__行____． β
α a
考点精讲
1．异面直线
(1)定义：不同在___任__何__一__个__平__面__内____的两条直线． (2)异面直线的画法：
空间点、直线、平面之间的位置关系
本节目标
学习目标
核心素养
1.了解空间中两条直线的三种位置关系，理解
两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直 1.通过空间中两条直线的位置关
线．(重点、难点)
系的学习，培养直观想象的核
2．了解直线与平面的三种位置关系，并会用图 心素养．
形语言和符号语言表示．(重点、易错点)
本课小结
判断直线与平面及平面与平面位置关系的常用方法
(1)定义法：借助线面、面面位置关系的定义判断； (2)模型法：借助长方体等熟悉的几何图形进行判断，有时起到事半功倍的效果； (3)反证法：反设结论进行推导，得出矛盾，到达准确的判断位置关系的目的．
[提示] 因为一个平面内任意一条直线都与另一个 平面平行，所以该平面与另一平面没有公共点，根 据两平面平行的定义知，这两个平面平行．
2．平面α内有无数条直线与平面β平行，那么 α∥β是否正确？
[提示] 不正确．如图，平面α内与平面β平行的 直线有无数条a1，a2，…，an，但此时α不平行于 β，而α∩β＝l.
2．圆柱的两个底面的位置关系是( B )
A．相交
B．平行
C．平行或异面
D．相交或异面
3．下列命题：
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
【新人教版】数学必修二第八章 8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系
【新人教版】数学必修二第八单元8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系学习目标 1.了解空间两直线间的位置关系.2.理解空间直线与平面的位置关系.3.掌握空间平面与平面的位置关系.知识点一空间两直线的位置关系1.异面直线(1)定义：不同在任何一个平面内的两条直线.(2)异面直线的画法(衬托平面法)如图①②③所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托.(3)判断两直线为异面直线的方法①定义法；②两直线既不平行也不相交.2.空间两条直线的三种位置关系⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎪⎨⎪⎧相交直线：在同一平面内，有且只有一个公共点平行直线：在同一平面内，没有公共点异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点知识点二直线与平面的位置关系位置关系直线a在平面α内直线a在平面α外直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点只有1个公共点没有公共点符合表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示知识点三平面与平面的位置关系位置关系两平面平行两平面相交公共点没有公共点有无数个公共点(在一条直线上)符号表示α∥βα∩β＝l图形表示思考平面平行有传递性吗？答案有若α，β，γ为三个不重合的平面，且α∥β，β∥γ，则α∥γ.1.分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线.(×)2.两条直线无公共点，则这两条直线平行.(×)3.若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.(×)4.若两个平面都平行于同一条直线，则这两个平面平行.(×)一、两直线位置关系的判定例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________；(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________.答案(1)平行(2)异面(3)相交(4)异面解析(1)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1D1∥BC，A1D1＝BC，∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.(2)直线A1B与直线B1C不同在任何一个平面内.(3)直线D1D与直线D1C相交于点D1.(4)直线AB与直线B1C不同在任何一个平面内.反思感悟判断空间两条直线位置关系的决窍(1)建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.(2)重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.跟踪训练1若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是()A.平行B.异面C.相交D.平行、相交或异面答案 D解析可借助长方体来判断.如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c 可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面.二、直线与平面的位置关系例2(1)若直线上有一点在平面外，则下列结论正确的是()A.直线上所有的点都在平面外B.直线上有无数多个点都在平面外C.直线上有无数多个点都在平面内D.直线上至少有一个点在平面内(2)下列命题中正确的个数是()①如果a，b是两条直线，a∥b，那么a平行于经过b的任何一个平面；②如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行；③如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，那么b∥α.A.0B.1C.2D.3答案(1)B(2)B解析(1)直线上有一点在平面外，则直线不在平面内，故直线上有无数多个点在平面外.(2)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′在过BB′的平面ABB′A′内，故命题①不正确；AA′∥平面BCC′B′，BC⊂平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题②不正确；假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即命题③正确.故选B.反思感悟在判断直线与平面的位置关系时，三种情形都要考虑到，避免疏忽或遗漏，另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，便于作出正确判断，避免凭空臆断.跟踪训练2下列说法：①若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l∥α；②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，b⊂α，那么直线a平行于平面α内的无数条直线.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3答案 B解析对于①，∵直线l虽与平面α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，∴l不一定平行于α，①错误；对于②，∵直线a在平面α外包括两种情况：a∥α和a与α相交，∴a和α不一定平行，②错误；对于③，∵a∥b，b⊂α，那么a⊂α或a∥α，a与平面α内的无数条直线平行，③正确.三、平面与平面的位置关系例3在以下三个命题中，正确的命题是()①平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行；②平面α内有无数条直线和平面β平行，则α与β平行；③在平面α，β内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面平行或相交.A.①②B.②③C.③D.①③答案 C解析如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，对于①，平面AA1D1D 中，AD∥平面A1B1C1D1，分别取AA1，DD1的中点E，F，连接EF，则EF∥平面A1B1C1D1，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1是相交的，交线为A1D1，故命题①错；对于②，平面AA1D1D中，与平面A1B1C1D1平行的直线有无数条，但平面AA1D1D与平面A1B1C1D1不平行，而是相交于直线A1D1，故命题②错.命题③是正确的.反思感悟利用正方体(或长方体)这个“百宝箱”能有效地判断与两个平面的位置关系有关命题的真假，另外先假设所给定的结论成立，看是否能推出矛盾，也是一种判断两平面位置关系的有效方法.跟踪训练3已知两平面α，β平行，且a⊂α，下列四个命题：①a与β内的所有直线平行；②a与β内无数条直线平行；③直线a与β内任何一条直线都不垂直；④a与β无公共点.其中正确命题的个数是()A.1B.2C.3D.4答案 B解析①中a不能与β内的所有直线平行而是与无数条直线平行，有一些是异面，故①错误；②正确；③中直线a与β内的无数条直线垂直，故③错误；④根据定义a与β无公共点，故④正确.1.如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的(请选择最贴切的)()A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.无数条直线不相交D.任意一条直线不相交答案 D解析直线a∥平面α，则a与α无公共点，a与α内的直线均不相交.2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是()A.都平行B.都相交C.在两个平面内D.至少与其中一个平面平行答案 D解析这条直线与两个平面的交线平行，有两种情形，其一是分别与这两个平面平行，其二是在一个平面内且平行于另一个平面，符合至少与一个平面平行.3.下列命题中，正确的有()①平行于同一直线的两条直线平行；②平行于同一条直线的两个平面平行；③平行于同一个平面的两个平面平行.A.0个B.1个C.2个D.3个答案 C4.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作()A.0个B.1个C.0个或1个D.1个或2个答案 C解析平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与平面相交，可以作0个平行平面；②直线与平面平行，可以作1个平行平面.5.下列命题：①两个平面有无数个公共点，则这两个平面重合；②若l，m是异面直线，l∥α，m∥β，则α∥β.其中错误命题的序号为________.答案①②解析对于①，两个平面相交，则有一条交线，也有无数多个公共点，故①错误；对于②，借助于正方体ABCD－A1B1C1D1，AB∥平面DCC1D1，B1C1∥平面AA1D1D，又AB与B1C1异面，而平面DCC1D1与平面AA1D1D相交，故②错误.1.知识清单：(1)两直线的位置关系.(2)直线与平面的位置关系.(3)平面与平面的位置关系.2.方法归纳：举反例、特例.3.常见误区：异面直线的判断.1.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是()A.共面B.平行C.异面D.平行或异面答案 D解析若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.2.与同一平面平行的两条直线()A.平行B.相交C.异面D.平行、相交或异面答案 D解析与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.3.棱柱的一条侧棱所在的直线与不含这条侧棱的侧面所在平面的位置关系是()A.平行B.相交C.平行或相交D.无法确定答案 A4.长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有()A.2对B.3对C.6对D.12对答案 C解析如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.5.(多选)以下四个命题中正确的有()A.三个平面最多可以把空间分成八部分B.若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价C.若α∩β＝l，直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且a∩b＝P，则P∈lD.若n条直线中任意两条共面，则它们共面答案AC解析对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b 相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.所以正确的是AC.6.若点A∈α，B∉α，C∉α，则平面ABC与平面α的位置关系是________. 答案相交解析∵点A∈α，B∉α，C∉α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.7.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.答案①解析空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.8.在下列图中，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)答案②④解析题图①中，GH∥MN；题图②中，G，H，N三点共面，但M∉平面GHN，所以GH与MN异面；题图③中，连接GM，则GM∥HN，所以GH与MN共面；题图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，所以GH与MN异面.9.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，直线B1D1与长方体的六个面之间的位置关系如何？解B1D1在平面A1C1内，B1D1与平面BC1，平面AB1，平面AD1，平面CD1都相交，B1D1与平面AC平行.10.如图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b，a与β的位置关系并证明你的结论.解a∥b，a∥β.证明如下：由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ，由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a，b无公共点.又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b.∵α∥β，∴α与β无公共点.又a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β.11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是()A.相交B.平行C.直线在平面内D.平行或直线在平面内答案 A解析延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.12.若平面α与β的公共点多于两个，则()A.α，β可能只有三个公共点B.α，β可能有无数个公共点，但这无数个公共点不在一条直线上C.α，β一定有无数个公共点D.以上均不正确答案 C解析若平面α与β的公共点多于两个，则平面α与β相交或重合，故C项正确.13.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.答案8解析以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱所在直线组成2对异面直线，所以共有4×2＝8(对)异面直线.14.已知下列说法：①若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b；②若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线；③若两个平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面；④若两个平面α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交.其中正确的序号是____________.答案③解析①错，a与b也可能异面；②错，a与b也可能平行；③正确，∵α∥β，∴α与β无公共点，又∵a⊂α，b⊂β，∴a与b无公共点，那么a∥b或a与b异面；④错，a与β也可能平行.15.如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中()A.AB∥CDB.AD∥EFC.CD∥GHD.AB∥GH答案 C解析把正方体的展开图还原成正方体，得到如图所示的正方体，由正方体性质得，AB与CD相交，AD与EF异面，CD与GH平行，AB与GH异面. 16.如图，已知平面α和β相交于直线l，点A∈α，点B∈α，点C∈β，且A∉l，B∉l，C∉l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.解平面ABC与平面β的交线与l相交.证明如下：∵AB与l不平行，且AB⊂α，l⊂α，∴AB与l是相交直线.设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.又∵AB⊂平面ABC，l⊂β，∴P∈平面ABC且P∈平面β，即点P是平面ABC与平面β的一个公共点，而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线，即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交.。
人教A版高中数学必修第二册教学课件8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
目标检测设计
2．如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED 平行；②CN与BE是异面直线；③DM与BN是异面直线．以 上几个结论中，正确结论的序号是( )．
3．已知：α∥β，a⊂α．求证：a∥β．
再见
空间点、直线、平面的 位置关系
一、探究、归纳空间中直线与直线的位置关系
空间中的基本要素有点、直线、平面， 它们之 间有些位置关系非常简单，比如点与直线之间有点 在直线上，点不在直线上；点与平面之间有点在面 内，点不在面内等.我们也知道在同一平面中，直线 与直线之间的位置关系有平行与相交两种位置关系.
二、探究、归纳空间中直线与平面之间的关系
直线AB与平面ABBA，ABCD 有无数个交点，此时， 直线在平面内．
直线AB与平面ADDA，BCCB分别有唯一交点， 此时，直线与平面相交．
直线AB与平面 ABCD ， CDDC 没有任何交点，此时， 直线与平面平行．
直线与平面相交，直线与平 面平行，统称为直线在平面外．
a b P
四、直线、平面位置关系的应用 例2 如图，AB B，A，a ，Ba，
直线AB与α具有怎样的位置关系？为什么？
正难则反 反证法 不异面则共面， AB在面内，矛盾．
五、反思总结，提炼收获
（1）本节课你学到哪些知识？又是用怎样的方法学 到这些知识的？
（2）空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 有哪些位置关系？
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
平面ABCD与平面ABBA，BCCB，CDDC，DAAD 有无数个交点，此时平面与平面相交．
平面ABCD与平面ABCD 没有交点，此时平面与 平面平行．
三、探究归纳空间中平面与平面的位置关系
如何用图形和符号分别表示平面与平面相交， 平面与平面平行？
必修二2.1.空间点、直线、平面之间的位置关系(教案)
人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）第二章点、直线、平面之间的位置关系2. 1空间点、直线、平面之间的位置关系教案 A第 1 课时教学内容： 2. 1. 1平面教学目标一、知识与技能1.利用生活中的实物对平面进行描述，掌握平面的表示法及水平放置的直观图；2.掌握平面的基本性质及作用，提高学生的空间想象能力.二、过程与方法在师生的共同讨论中，形成对平面的感性认识.三、情感、态度与价值观通过实例认识到我们所处的世界是一个三维空间，进而增强了学习的兴趣.教学重点、难点教学重点：1.平面的概念及表示；2.平面的基本性质，注意它们的条件、结论、作用、图形语言及符号语言.教学难点：平面基本性质的掌握与运用.教学关键：让学生理解平面的概念，熟记平面的性质及性质的应用，使学生对平面的概念及其性质由感性认识上升到理性认识.教学突破方法：对三个公理要结合图形进行理解，清楚其用途.教法与学法导航教学方法：探究讨论，讲练结合法．学习方法：学生通过阅读教材，联系身边的实物思考、交流，师生共同讨论等，从而较好地完成本节课的教学目标.教学准备教师准备：投影仪、投影片、正（长）方形模型、三角板．学生准备：直尺、三角板．教学过程教学教学内容师生互动设计过程意图创设什么是平面？师：生活中常见的如黑板、情境一些能看得见的平面实桌面等，给我们以平面的印象，形成平导入例 .你们能举出更多例子吗？那么面的概新课平面的含义是什么呢？这就是念我们这节课所要学习的内容 .1教师备课系统──多媒体教案续上表1.平面含义随堂练习判定下列命题是否正确：主题① 书桌面是平面；探究② 8 个平面重叠起来要比合作 6 个平面重叠起来厚；交流③ 有一个平面的长是50m，宽是 20m；④平面是绝对的平，无厚度，可以无限延展的抽象的数学概念 .师：以上实物都给我们以平面的印象，几何里所说加强对知的平面，就是从这样的一些识的理解物体中抽象出来的，但是，培养，自几何里的平面是无限延展觉钻研的的 .学习习惯 . 数形结合，加深理解 .2.平面的画法及表示师：在平面几何中，怎（1）平面的画法：水平放样画直线？（一学生上黑板置的平面通常画成一个平行四画）边形，锐角画成 45°，且横边之后教师加以肯定，解说、画成邻边的 2 倍长（如图）．类比，将知识迁移，得出平面的画法：D CαA B如果几个平面画在一起，主题当一个平面的一部分被另一个探究平面遮住时，应画成虚线或不合作画（打出投影片）．交流（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面 AC 、平面 ABCD等.（3）平面内有无数个点，平面可以看成点的集合 .点 A 在平面α内，记作：A ∈ α ; 点B 在平面α外，记作： Bα．β通过类比α探索，培养学生知识迁移能β力，加强知识的系统性 .α·B·Aα2续上表人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）3.平面的基本性质公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．A Bα· C··教师引导学生思考教材P41 的思考题，让学生充分发表自己的见解 .师：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌边，可以看到，直尺的整个边缘就落在了桌面上，用事实引导学生归纳出公理主题探究合作交流符号表示为A ∈ LB∈ L? L ? α．A ∈ αB∈ α公理 1：判断直线是否在平面内．公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 .A· Bα·L符号表示为： A 、B、C 三点不共线 ? 有且只有一个平面α，使A ∈ α、 B∈ α、 C∈ α.公理 2 作用：确定一个平面的依据 .公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 .βPα·L符号表示为： P∈ α∩β? α∩β =L，且P∈ L ．公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据 .1．教师引导学生阅读教材P42 前几行相关内容，并加以解析．师：生活中，我们看到三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等．通过类比引导学生归纳出公理探索，培2．养学生知教师用正（长）方形识迁移能模型，让学生理解两个平力，加强面的交线的含义.知识的系注意：（ 1）公理中“有统性 .且只有一个”的含义是：“有”，是说图形存在，“只有一个”，是说图形唯一，“有且只有一个平面”的意思是说“经过不在同一直线上的三个点的平面是有的，而且只有一个”，也即不共线的三点确定一个平面.“ 有且只有一个平面”也可以说成“确定一个平面 . ”引导学生阅读P42 的思考题，从而归纳出公理3．3教师备课系统──多媒体教案续上表拓展 4. 教材 P43 例 1教师及时评价和纠正同创新通过例子，让学生掌握图形学的表达方法，规范画图和巩固应用中点、线、面的位置关系及符号符号表示 .提高．提高的正确使用 .1．平面的概念，画法及表示方法 .培养学2．平面的性质及其作用．生归纳3．符号表示．整合知4．注意事项．学生归纳总结、教师给识能小结力，以予点拨、完善并板书 .及思维的灵活性与严谨性 .课堂作业1.下列说法中，（1）铺得很平的一张白纸是一个平面；（ 2）一个平面的面积可以等于 6cm 2；（ 3）平面是矩形或平行四边形的形状. 其中说法正确的个数为（）．A . 0 B . 1 C. 2 D . 32.若点 A 在直线 b 上，在平面内，则 A， b，之间的关系可以记作（）．A . A b B. A b C. A b D . A b3.图中表示两个相交平面，其中画法正确的是（）．A B C D4.空间中两个不重合的平面可以把空间分成（）部分.答案： 1. A 2. B 3. D 4. 3 或 4第 2 课时教学内容2.1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中两条直线的位置关系；4人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2.理解异面直线的概念、画法，提高空间想象能力；3.理解并掌握公理 4 和等角定理；4.理解异面直线所成角的定义、范围及应用.二、过程与方法1.经历两条直线位置关系的讨论过程，掌握异面直线所成角的基本求法.2.体会平移不改变两条直线所成角的基本思想和方法.三、情感、态度与价值观感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学习兴趣.教学重点、难点教学重点1.异面直线的概念 .2.公理 4 及等角定理 .教学难点异面直线所成角的计算.教学关键提高学生空间想象能力，结合图形来判断空间直线的位置关系，使学生掌握两异面直线所成角的步骤及求法 .教学突破方法结合图形，利用不同的分类标准给出空间直线的位置关系，由两异面直线所成角的定义求其大小，注意两异面直线所成角的范围.教法与学法导航教学方法探究讨论法．学习方法学生通过阅读教材、思考与教师交流、概括，从而较好地完成教学目标.教学准备教师准备投影仪、投影片、长方体模型、三角板．学生准备三角板 .教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计环节意图创设通过身边实物，相互设疑激情境异面直线的概念：不同在任何一个交流异面直线的概念．趣点出导入平面内的两条直线叫做异面直线.师：空间两条直线有主题．新课多少种位置关系？1. 空间的两条直线的位置关系教师给出长方体模多媒体5教师备课系统──多媒体教案相交直线：同一平面内，有且只有型，引导学生得出空间的演示提一个公共点；两条直线有如下三种关高上课平行直线：同一平面内，没有公共系．效率 .探索点；异面直线：不同在任何一个平面内，教师再次强调异面直新知没有公共点 .线不共面的特点．师生互异面直线作图时通常用一个或两个动，突平面衬托，如下图：破重点 .2. 平行公理师：在同一平面内，例 2 的思考：长方体ABCD-A'B'C'D' 中，如果两条直线都与第三条讲解让BB' ∥AA'， DD' ∥AA'，那么 BB' 与直线平行，那么这两条直学生掌DD' 平行吗？线互相平行 . 在空间中，是握了公否有类似的规律？理 4 的运用．生：是．强调：公理 4 实质上探索是说平行具有传递性，在新知公理 4：平行于同一条直线的两条平面、空间这个性质都适直线互相平行 .用．符号表示为：设a、b、c 是三条直线如果 a//b， b//c，那么 a//c.例 2 空间四边形ABCD 中， E、 F、G、 H 分别是AB 、BC 、 CD 、 DA 的中点．求证：四边形 EFGH 是平行四边形 .续上表3. 思考：在平面上，我们容易证明让学生观察、思考：等角定“如果一个角的两边与另一个角的两边理为异探索分别平行，那么这两个角相等或互补”.面直线新知空间中，结论是否仍然成立呢？所成的等角定理：空间中如果两个角的两角的概边分别对应平行，那么这两个角相等或念作准6人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）互补 .∠ ADC与A'D'C' 、备.∠ ADC与∠ A'B'C'的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？生：∠ ADC = A'D'C' ，∠ ADC +∠ A'B'C' = 180°4.异面直线所成的角如图，已知异面直线 a、b，经过空探索间中任一点 O 作直线 a'∥ a、b'∥ b，我新知们把 a'与 b'所成的锐角（或直角）叫异面直线 a 与 b 所成的角（夹角）．教师画出更具一般性的图形，师生共同归纳出如下等角定理．师：① a'与 b'所成的角的以教师大小只由 a、b 的相互位置讲授为来确定，与 O 的选择无关，主，师为了简便，点 O 一般取在生共同两直线中的一条上；交流，② 两条异面直线所成的导出异角θ∈（ 0，π）；面直线2所成的③ 当两条异面直线所成角的概探索的角是直角时，我们就说念 .新知这两条异面直线互相垂例 3 让直，记作 a⊥ b；学生掌④ 两条直线互相垂直，有握了如共面垂直与异面垂直两种何求异情形；面直线⑤ 计算中，通常把两条异所成的例 3（投影）面直线所成的角转化为两角，从条相交直线所成的角 .而巩固了所学知识 .续上表充分调动学拓展生动手创新教材 P49 练习 1、 2．生完成练习，教师当的积极应用堂评价 .性，教提高师适时7教师备课系统──多媒体教案给予肯定 .本节课学习了哪些知识内容？小结知2．计算异面直线所成的角应注意什学生归纳，然后老师补识，形小结么？充、完善．成整体思维．课堂作业1. 异面直线是指（）．A.空间中两条不相交的直线B.分别位于两不同平面内的两条直线C.平面内的一条直线与平面外的一条直线D.不同在任何一个平面内的两条直线2.如右图所示，在三棱锥 P-ABC 的六条棱所在的直线中，异面直线共有（）．A. 2 对 B . 3 对 C. 4 对 D. 6 对3.正方体 ABCD-A 1B1C1D1中与棱AA1平行的棱共有（）．A. 1 条 B . 2 条 C. 3 条 D. 4 条4.空间两个角、，且与的两边对应平行，若=60 °，则的大小为（）．.答案： 1. D 2.B 3. C 4. 60 °或 120°第 3 课时教学内容8人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）2. 1. 3 空间中直线与平面之间的位置关系 2. 1. 4 平面与平面之间的位置关系教学目标一、知识与技能1.了解空间中直线与平面的位置关系，了解空间中平面与平面的位置关系；2.提高空间想象能力 .二、过程与方法1.通过观察与类比加深了对这些位置关系的理解、掌握；2.利用已有的知识与经验归纳整理本节所学知识.三、情感、态度与价值观感受空间中图形的基本位置关系，形成严谨的思维品质.教学重点、难点教学重点空间直线与平面、平面与平面之间的位置关系.教学难点用图形表达直线与平面、平面与平面的位置关系.教学关键借助图形，使学生清楚直线与平面，平面与平面的分类标准，并能依据这些标准对直线与平面、平面与平面的位置关系进行分类及判定.教学突破方法恰当地利用图形，用符号语言表述直线与平面、平面与平面的位置关系.教法与学法导航教学方法借助实物，让学生观察事物、思考关系，讲练结合，较好地完成本节课的教学目标.学习方法探究讨论，自主学习法.教学准备教师准备多媒体课件，投影仪，三角板，直尺.学生准备三角板，直尺．教学过程详见下表 .教学教学内容师生互动设计过程意图创设问题1：空间中直线和直线有几生 1：平行、相交、异复习9教师备课系统──多媒体教案情境种位置关系？面；回顾，导入问题 2：一支笔所在的直线和一生 2：有三种位置关系：激发新课个作业本所在平面有几种位置关（1）直线在平面内；学习系？（2）直线与平面相交；兴趣 .（3）直线与平面平行．师肯定并板书，点出主题 .1．直线与平面的位置关系 .师：有谁能讲出这三种（ 1）直线在平面内——有无数位置有什么特点吗？个公共点 .生：直线在平面内时二（ 2）直线与平面相交——有且者有无数个公共点 .仅有一个公共点 .直线与平面相交时，二（ 3）直线在平面平行——没有者有且仅有一个公共点 .公共点 .直线与平面平行时，三其中直线与平面相交或平行的者没有公共点（师板书）．情况，统称为直线在平面外，记作师：我们把直线与平面加强a.相交或直线与平面平行的对知直线 a 在面内的符号语言是情况统称为直线在平面外 .识的a. 图形语言是：师：直线与平面的三种理解位置关系的图形语言、符号培养，主题语言各是怎样的？谁来画自觉探究图表示一个和书写一下 .钻研合作学生上台画图表示 .的学交流直线 a 与面相交的 a∩ = A.师；好 . 应该注意：画习习图形语言是符号语言是：直线在平面内时，要把直线惯，数画在表示平面的平行四边形结形内；画直线在平面外时，合，加应把直线或它的一部分画深理在表示平面的平行四边形解 .外 .直线 a 与面平行的符号语言是a∥. 图形语言是：10人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）续上表2．平面与平面的位置关系师：下面请同学们思考以（ 1）问题 1：拿出两本书，看下两个问题（投影）．作两个平面，上下、左右移动和翻生：平行、相交 .转，它们之间的位置关系有几种？师：它们有什么特点？（ 2）问题 2：如图所示，围成生：两个平面平行时二者长方体 ABCD –没有公共点，两个平面相交A′B′C′D′的六个时，二者有且仅有一条公共直通过面，两两之间的线（师板书）．类比位置关系有几师：下面请同学们用图形探索，种？和符号把平面和平面的位置培养主题关系表示出来⋯⋯学生（ 3）平面与平面的位置关系探究——没有公师：下面我们来看几个例知识平面与平面平行合作子（投影例 1）．迁移共点 .交流能力 .平面与平面相交——有且只有一条公共直线 .加强平面与平面平行的符号语言知识是∥ . 图形语言是：的系统性 .11教师备课系统──多媒体教案续上表拓展创新应用提高例 1 下列命题中正确的个数是（ B ）．①若直线 l 上有无数个点不在平面内，则 l∥ .②若直线l 与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行 .③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 .④若直线 l 与平面平行，则 l 与平面内的任意一条直线没有公共点 .A . 0B . 1 C. 2 D. 3例 2 已知平面∥，直线a，求证 a∥ .证明：假设 a 不平行，则 a在内或 a 与相交 .∴ a 与有公共点 .又 a.∴ a与有公共点，与面∥面矛盾 .∴∥ .学生先独立完成，然后讨例 1 通论、共同研究，得出答案. 教师过示范利用投影仪给出示范 .传授学师：如图，我们借助长方体生一个模型，棱 AA 1所在直线有无数点通过模在平型来研面究问题ABCD的方外，但法，加棱 AA 1深对概所在直线与平面ABCD 相交，所念的理以命题①不正确； A1B1所在直线解. 例 2平行于平面 ABCD ，A1B1显然不目标训平行于 BD，所以命题②不正确；练学生A1 B1∥AB，A1B1所在直线平行于思维的平面 ABCD ，但直线 AB平灵活，面 ABCD ，所以命题③不正确；并加深l 与平面平行，则 l 与无公对面面共点， l与平面内所有直线都平行、没有公共点，所以命题④正确，线面平应选 B .行的理师：投影例2，并读题，先解.让学生尝试证明，发现正面证明并不容易，然后教师给予引导，共同完成，并归纳反证法步骤和线面平行、面面平行的理解 .1．直线与平面、平面与平培养学面的位置关系 .生整合2．“正难到反”数学思想知识能与反证法解题步骤 .学生归纳总结、教师给予点力，以小结拨、完善并板书 .及思维3. “分类讨论”数学思想．的灵活性与严谨性 . 12人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）课堂作业1.直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（）．A ．一条直线不相交B．两条直线不相交C．任意一条直线都不相交 D ．无数条直线都不相交【解析】直线与平面平行，则直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C.2. “平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“l //”的（）．A．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C．充分必要条件 D ．即不充分也不必要条件【解析】如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选 B.3．如图，试根据下列要求，把被遮挡的部分改为虚线：（ 1）AB 没有被平面遮挡；（ 2）AB 被平面遮挡.答案：略4．已知，，直线a，b，且∥，a，b，则直线 a 与直线 b 具有怎样的位置关系？【解析】平行或异面．5．如果三个平面两两相交，那么它们的交线有多少条？画出图形表示你的结论.【解析】三个平面两两相交，它们的交线有一条或三条.6.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内 .已知： l ∥，点P∈，P∈ m，m∥ l，求证： m.证明：设 l 与 P 确定的平面为，且= m′，则 l ∥ m′.又知 l ∥ m， m m P ，由平行公理可知，m 与 m′重合 .所以 m.13教师备课系统──多媒体教案教案 B第 1 课时教学内容： 2. 1. 1 平面教学目标1.了解平面的概念，掌握平面的画法、表示法及两个平面相交的画法；2.理解公理一、二、三，并能运用它们解决一些简单的问题；3.通过实践活动，感知数学图形及符号的作用，从而由感性认识提升为理性认识，注意区别空间几何与平面几何的不同，多方面培养学生的空间想象力.教学重点：公理一、二、三，实践活动感知空间图形．教学难点：公理三，由抽象图形认识空间模型．学法指导：动手实践操作，由模型到图形，由图形到模型不断感知.教学过程一、引入在平面几何中，我们已经了解了平面图形都是由点和线构成的，我们所做的一切都是在一个无形的平面中进行，请同学谈谈到底平面是什么样子的？可以举实例说明.在平面几何中，我们也知道直线是无限延伸的，我们是怎样表示这种无限延伸的？那么你认为平面是否有边界？你又认为如何去表示平面呢？二、新课以上问题经过学生分小组充分讨论，由各小组代表陈述你这样表示的理由？教师暂不作评判，继续往下进行 .实践活动：1.仔细观察教室，举出空间的点、线、面的实例.2.只准切三刀，请你把一块长方体形状的豆腐切成形状、大小都相同的八块.3.请你准备六根游戏棒，以每根游戏棒为一边，设法搭出四个正三角形.以上这些问题已经走出了平面的限制，是空间问题. 今后我们将研究空间中的点、线、面之间的关系.图 1问题：指出上述活动中几何体的面，并想想如何在一张纸上画出这个几何体？至此我们应感受到画几何体与我们的视角有一定的关系.练习一：试画出下列各种位置的平面.1.水平放置的平面2.竖直放置的平面14人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）图 2（ 1）图2（2）3.倾斜放置的平面图 34.请将以下四图中，看得见的部分用实线描出．图 4（1）图4（2）图4（3）图4（4）小结：平面的画法和表示法.我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示一个平面，如图 5.平行四边形的锐角通常画成45o，且横边长等于其邻边长的 2 倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，如图 6.βFA DA DααB E CB C图 5图 6图 7平面常用希腊字母, ,等表示（写在代表平面的平行四边形的一个角上），如平面、平面；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或相对的两个顶点的大写英文字母作为平面的名称，图 5 的平面，也可表示为平面ABCD ，平面 AC 或平面BD .前面我们感受了空间中面与面的关系及画法，现在让我们研究一下点、线与一个平面会有怎样的关系？15教师备课系统──多媒体教案显然，一个点与一个平面有两种位置关系：点在平面内和点在平面外.我们知道平面内有无数个点，可以认为平面是由它内部的所有的点组成的点集，因此点和平面的位置关系可以引用集合与元素之间关系.从集合的角度，点 A 在平面内，记为A；点B在平面外，记为B （如图 7）.再来研究一下直线与平面的位置关系.将学生分成小组，并动手实践操作后讨论：把一把直尺边缘上的任意两点放在桌面上，直尺的整个边缘就落在桌面上吗？请同学们再试着想一下，如何用图形表示直线与平面的这些空间关系？由“两点确定一条直线”这一公理，我们不难理解如下结论：公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内 .A l ,B l , 且 A, B,l．A l Bα图8例1 分别用符号语言、文字语言描述下列图形．AA aa图 9（ 1）图 9（ 2）图 9（ 3）例 2 识图填空（在空格内分别填上, , ,）．A____ a；A____ α，B____ a； B____ α，Aa____ α；a____ α = B，B bb____ α；B____ b．a图 10图 11问题情景：制作一张桌子，至少需要多少条腿？为什么？公理 2 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平A面 .CB实践活动：取出两张纸演示两个平面会有怎样的位置关α图 12系，并试着用图画出来 .图 12试问：如图13 是两个平面的另一种关系吗？（相对于同学们得出的关系）由平面的无限延展性，不难理解如下结论：公理 3如果两个不重合平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个公共点16人教版新课标普通高中◎数学 2 必修（A 版）的直线 .βP l 且P l．αP l图 13例 3如图14用符号表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.l【分析】根据图形，先判断点、直线、平面之间的位置关系，然后用符号表示出来.【解析】在（1）中，l , a A , a B .l , a, b, a l P , B l P .在（ 2）中，三、巩固练习教材 P43 练习 1— 4.四、课堂小结（1）本节课我们学习了哪些知识内容？（2）三个公理的内容及作用是什么？（3）判断共面的方法 .五、布置作业P51 习题 A 组 1， 2．第 2 课时教学内容： 2. 1. 2 空间中直线与直线之间的位置关系教学目标：一、知识目标1.了解空间中两条直线的位置关系；2.理解异面直线的概念、画法，培养学生的空间想象能力；3.理解并掌握公理 4．二、能力目标1.让学生在观察中培养自主思考的能力；17教师备课系统──多媒体教案2.通过师生的共同讨论培养合作学习的能力.三、情感、态度与价值观让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性，提高学生的学习兴趣.教学重点、难点教学重点： 1.异面直线的概念； 2.公理 4.教学难点：异面直线的概念.学法与教学用具1.学法：学生通过观察、思考与教师交流、概括，从而较好地完成本节课的教学目标；2.教学用具：多媒体、长方体模型、三角板．教学过程一、复习引入1．平面内两条直线的位置关系有（相交直线、平行直线）．相交直线（有一个公共点）；平行直线（无公共点）．2．实例 . 十字路口——立交桥．立交桥中，两条路线 AB ， CD 既不平行，又不相交（非平面问题）．六角螺母DCA B二、新课讲解1.异面直线的定义不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．练习：在教室里找出几对异面直线的例子．注1：两直线异面的判别一 : 两条直线既不相交、又不平行．两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内．合作探究一：分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？答：不一定，它们可能异面，可能相交，也可能平行．空间两直线的位置关系：按平面基本性质分（1）同在一个平面内：相交直线、平行直线；（ 2）不同在任何一个平面内：异面直线．按公共点个数分（ 1）有一个公共点 : 相交直线；（ 2）无公共点：平行直线、异面直线．2．异面直线的画法说明：画异面直线时，为了体现它们不共面的特点，常借助一个或两个平面来衬托. 18。
人教高中数学必修二 2.1《空间点-直线-平面之间的位置关系-平面》课件
或其延长 线 交分 E 于 ,H,别 G,F与 A 面
求证 E,H ： ,G,F四点.共线B
D
证明： AB // CD ,
C
AB ， CD 确定一个平面 ，
且 A AB , AB ,
E
F HG
A ,同理 D ,
AD ,同理 BC ,
E,E点E在面 与的交线上，
同理G ，,H,F也在面与的交线上
（2）集合关系： Aa, A, a,
图形
Aa Aa
A
A
A ab
符号语言
Aa
文字语言(读法)
点在直线上
A a 点不在直线上
A
点在平面内
A
点不在平面内
a b A 直线a、b交于点A
图形
a
a
a A
符号语言
文字语言(读法)
a 直线a在平面 内
பைடு நூலகம்
a//
直线a与平面
平行
a
A
直线a与平面
交于点
l
平面 与
2.1.1 平面
实例引入
一、平面
1.平面无大小，无边界，无厚薄，无面积，无限 延展。
2.、平面的表示方法
(1)、图形表示(画法)：常用平行四边形
D
C
D
FC
A
B
(2)、符号表示(记法)：
A
EB
①平面α、平面β、平面γ
②平面ABCD、平面AC
二、点、线、面的基本位置关系 （1）符号表示： 点A、线a、面α
④由 A,C1,B1确定的平面是 AD1CB1； 正确
⑤由 A,C1,B1 确定的平面与由 A,C1,D 确定的平面是
高中数学《第二章点、直线、平面之间的位置关系2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》783PPT课件
××版 ×修×
公理3
文字 如果两个不重合的平面有一个__公__共__点____，那么它 语言 们有且只有一条过该点的公共___直__线_____
图形 语言
符号语言 (1)
作用 (2) (3)
P∈α∩β⇒α∩β＝l且___P_∈__l____ 判定平面相交 证明点共线 证明线共点
××版 ×修×
• [名师点拨] 公理3反映了两个平面的位置关系，条件可简记 为“两面共一点”，结论是“两面共一线，且线过点，线唯 一”．
• (2)证明点线共面的常用方法 • ①纳入平面法：先由公理2或其推论确定一个平面，再由公理
1证明有关点线在此平面内．
• ②辅助平面法：先证明有关的点线确定平面α，再证明其余 元素确定平面β，最后证明平面α，β重合．
××版 ×修×
练习1
• 过直线l外一点P，引两条直线PA，PB和直线l分别交于A，B两 点，求证：三条直线PA，PB，l共面．
××版 ×修×
谢谢
• (2)公理2中“有且只有一个”的含义要准确理解，这里的“有 ”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，强调的是存在 和唯一两个方面，因此“有且只有一个”必须完整地使用，不 能仅用“只有一个”来代替，否则就没有表达出存在性．确定 一个平面中的“确定”是“有且只有”的同义词，也是指存在 性和唯一性这两个方面，这个术语今后也会常常出现．
∵E，H 分别为 BC，AB 的中点，∴EH 綊12AC．
∵DF∶FC＝1∶2，DG∶GA＝1∶2， ∴FG∥AC，FG＝13AC，∴EH∥FG 且 EH≠FG， ∴E，F，G，H 四点共面且 EF∥\ GH.∴EF 与 GH 相交．
××版 ×修×
• 设EF∩GH＝O，则O∈GH，O∈EF. • ∵GH⊂平面ABD，EF⊂平面BCD， • ∴O∈平面ABD，O∈平面BCD． • ∵平面ABD∩平面BCD＝BD，
人教版高中数学必修2(A版) 2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系 PPT课件
变式训练： a∩b=A,P∈b,PQ∥a， 已知a α,b α, 求证：PQ α.
证明：∵PQ∥a，∴PQ、a确定一个平面， 设为β. ∴P∈β，a β，P a .又P∈α，a α， P a, 由推论1：过P、a有且只有一个平面, ∴α、β重合.∴PQ α.
小结：
空间中直线与平面之间的位置关系有几种？
A′ D′ D A B′
C′
C
B
讨论：若直线l上有两个点到平面α的距离相等， 讨论直线l与平面α的位置关系. 直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图 3），直线与平面平行或直线与平面相交.
例2 已知直线a∥b∥c，直线l∩a=A，l∩b=B， l∩c=C. 求证：l与a、b、c共面.
• 证明：如图,∵a∥b, ∴a、b确定一个平面，设为α. ∵l∩a=A，l∩b=B,∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l,∴ABα，即l α. 同理b、c确定一个平面β，l β, ∴平面α与β都过两相交直线b与l. ∵两条相交直线确定一个平面, ∴α与β重合.故l与a、b、c共面.
直线与平面的位置关系有且只有三种:
（1）直线在平面内-----有无数个公共点
a
如图：
a
a
（2）直线在平面外：
a
①直线a和面α 相交 ：
.
A
a A 如图：
②直线a和面α 平行 ：
a //
a
如图：
尝
则 l//
试
练
习
例1、判断下列命题的正确
（1）若直线 l 上有无数个点不在平面 内， （2）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的任 意一条直线都平行。（ ） （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行。（ ） （4）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的 任意一条直线都没有公共点。（ ）
【新教材】高中数学 新人教A版必修第二册 第八章 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件
(3)判断两直线为异面直线的方法 ①定义法；②两直线既不平行也不相交.
2.空间两条直线的三种位置关系 ①从是否有公共点的角度来分： 没有有且公仅共有点一个__平异__公__行面__共点——相___交_
②从是否共面的角度来分： 在同一平面内__平相______行交 不同在任何一个平面内——异___面_
_α__∩_β__＝__l_
无__数__个__点___(共___线_ )
常考题型
一、两直线位置关系的判定
例 如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： ①直线A1B与直线D1C的位置关系是_______； ②直线A1B与直线B1C的位置关系是_______； ③直线D1D与直线D1C的位置关系是_______； ④直线AB与直线B1C的位置关系是_________.
A.l至少与l1，l2中的一条相交 B.l与l1，l2都相交 C.l至多与l1，l2中的一条相交 D.l与l1，l2都不相交 （2）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（ D ）
A.异面或平行
B.异面或相交
C.异面
D.相交、平行或异面
11
2.［2019·安徽蚌埠高一检测］空间中有三条线段AB，BC，CD，且 ∠ABC＝∠BCD，那么直线AB与CD的位置关系是（ D ） A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交
A.0
B.1
C.2
D.3
13
【解析】如图，借助长方体模型来判断说法是否正确， 说法①不正确，相交时也符合；说法②不正确，图中， A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；说法③不 正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB 与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；说 法④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与 平面α内所有直线都没有公共点.
高中数学必修二课件：空间点、直线、平面之间的位置关系
5．若点M是两条异面直线a，b外的一点，则过点M且与a，b都平行的平面 有__0_或__1___个．
解析 当点M在过a且与b平行的平面或过b且与a平行的平面内时，没有满足 条件的平面；当点M不在上述两个平面内时，满足题意的平面只有1个．
那么这两个平面的位置关系一定是( C )
A．平行
B．相交
C．平行或相交
D．以上都不对
(2)已知平面α，β ，且α∥β ，直线a⊂α，直线b⊂β，则直线a与直线b具
有怎样的位置关系？画出图形．
【思路】 由α∥β，a⊂α，b⊂β，可知直线a，b无公共点．
【解析】 由题意得直线a，b无公共点，所以直线a，直线b可能平行或异 面．如图所示，在长方体模型中若直线AC就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a 与直线b异面；若直线BD就是直线a，B1D1就是直线b，则直线a与直线b平行．
综合①②可知c与b相交或异面．
探究1 判断两直线的位置关系，不能局限于平面内，要把直线置身于空间 考虑，有时可分为平面和空间两种情形讨论．
思考题1 (1)正方体ABCD－A1B1C1D1中和AB平行的棱有_A_1_B_1，__C_D_，_C_1_D_1； 和AB异面的棱有__C_C_1_，_D_D_1_，_A_1_D_1，__B_1C_1___．
平面α与β平行，记作α∥β.
1．如何画异面直线？
答：画异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的特点，即不 共面的特点，常常需要以辅助平面作为衬托，以加强直观性，如下图①②③， 若画成如图④的情形，就区分不开了，因此千万不能画成如图④的图形．
2．如何判断异面直线？ 答：①定义法．②两直线既不平行也不相交．
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线．
8.空间点、直线、平面之间的位置关系-【新】人教A版高中数学必修第二册PPT全文课件
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
[学习目标] 1.了解直线与直线的三种位置关系. 2.了解直线与平面的三种位置关系,并会用图形语言和 符号语言表示. 3.了解不重合的两个平面之间的两种位置关系,并会用 图形语言和符号语言表示. 4.借助长方体,经历抽象空间点、直线、平面位置关系的 过程,培养数学抽象、直观想象素养.
探索点三 平面与平面的位置关系的判断
【例 3】 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线
互相平行,那么两个平面的位置关系一定是 ( )
A.平行
B.相交
C.平行或相交
D.不能确定
解析:如图①所示,a⊂α,b⊂β,a∥b,α∥β.如图②所示,a⊂α,b⊂β,
a∥b,α 与 β 相交.
①
②
由图①②可知,这两个平面可能相交,也可能平行.
8.空间点、直线、平面之间的位置关 系-【新 】人教 A版高 中数学 必修第 二册PPT 全文课 件【完 美课件 】
方法规律
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍 (1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异 面三种位置关系.特别关注异面直线. (2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明 两条直线的位置关系. 2.判定两条直线是异面直线的方法 (1)证明两条直线既不平行又不相交. (2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线和 这个平面内不经过此点的直线是异面直线.
解析:如图所示,①错误,在长方体 ABCD-A'B'C'D'中,AA'∥ BB',AA'却在过 BB'的平面 ABB'A'内;②错误,AA'∥平面 BB'C'C, BC⊂平面 BB'C'C,但 AA'不平行于 BC;③错误,AA'∥平面 BB'C'C,A'D'∥平面 BB'C'C,但 AA'与 A'D'相交;④正确;⑤错 误,AA'显然与平面 ABB'A'中的无数条直线平行,但 AA'⊂平面 ABB'A'. 故选 B.
空间点、直线、平面之间的位置关系(人教A版2019必修二)
（二）空间点、直线、平面的位置关系
知识点二 空间两条直线的位置关系
【探究2】分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？
位置关系
特点
相交
同一平面内，有且只有 一个 公 共点
第八章 立体几何初步
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
教材分析
本小节内容选自《普通高中数学必修第二册》人教A版（2019）第八章《立体几何初步》的第四节《空间点、 直线、平面之间的位置关系》。以下是本节的课时安排：
课时内容 所在位置 新教材内 容分析
核心素养 培养
教学主线
8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
（三）典型例题
1.空间直线与直线的位置关系
例1.如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，判断下列直线的位置关系：
①直线A1B与直线D1C的位置关系是 ②直线A1B与直线B1C的位置关系是 ③直线D1D与直线D1C的位置关系是 ④直线AB与直线B1C的位置关系是
重点、难点
1.重点：了解直线与平面的三种位置关系，并会用图形语言和符号语言表示 2.难点：了解空间中两条直线的三种位置关系， 理解两异面直线的定义，会用平面衬托来画异面直线。
（一）新知导入
观察你所在的教室.
【问题】 (1)教室内同一列的灯管所在的直线是什么位置关系？ (2)教室内某灯管所在的直线和地面是什么位置关系？ (3)教室内某灯管所在的直线和黑板左右两侧所在的直线是什么位置关系？ (4)教室内黑板面和教室的后墙面是什么位置关系？ 提示 (1)平行. (2)平行. (3)二者是异面直线. (4)平行.
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观察
如图, 长方体ABCD-A′B′C′D′中，线段 A′B所在直线分别与线段CD′所在直线，线段 BC所在直线，线段CD所在直线的位置关系如何?
D'
C'
A'
B'
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
D A
*
C B
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
*
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
应用2:过空间中一点可以做几个平面？ 过空间中两点呢？三点呢？
结论：过空间中一点或两点可以做无数
个平面，过空间中不共线的三点只能做一个，
否则有无数个。
*
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空间中的平行线具有传递性
D
C
F
D
AC
F
B
E
A
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
三条平行线共面
*
B
E
三条平行线不共面
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回答:确定一个平面需要什么条件?
*
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公理2 经过不在同一条直线上的三点，有且 只有一个平面.
A,B,C不共 线 A,B,C确定一平面
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应用1: 几位同学的一次野炊活动,带去一 张折叠方桌,不小心弄坏了桌脚,有一生提 议可将几根一样长的木棍,在等高处用绳 捆扎一下作桌脚（如图所示）,问至少要 几根木棍，才可能使桌面稳定？
答:至少3根
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作用:用于确定一个平面. *
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确定一平面还有哪些方法？
公理2.不共线的三点确定一个平面.
B
A
C
推论1.一条直线和直线外一点确定一个平面。 推论2.两条相交直线确定一个平面。 推论3.两条平行直线确定一个平面。
*
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平行直线: 同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点
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*
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
探究 如图是一个正方体的表面展开图,如果将它还原
为正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线
*
2．平面的基本性质 思考1:把一根木条固定在墙面上需要几根钉子?
公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内， 那么这条直线上所有的点都在这个平面内．
A l,B l,A ,B l
作用:用于判* 定线在面内
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注 ：空间中线与面的位置关系
公理3 如果两个平面有一个公共点，那么它们还 有其他公共点，且所有这些公共点的集合是一条过 这个公共点的直线．
P l且 P l
两面共一点则两面共一线且点在线上
作用:用于证明点在线上或多点共线.
*
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是异面直线的有多少对?
CA
A
D
G
H
DB
G
B F
HE 答：3对
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C
F
E
直线EF 和直线HG 直线AB 和直线HG
直线AB 和直线CD *
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平行直线
观察
如图, 在长方体ABCD—A′B′C′D′中,
两条直线的位置关系
定义 不同在任何一个平面内的两条直线叫 做异面直线.
a
b
a
b
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异面直线的图示
*
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空间中的直线与直线之间有三种位置关系：
共面直线
相交直线: 同一平面内，有且只有一 个公共点；
BB′∥AA′，DD′∥AA′，那么BB′与DD′平行
吗?
D'
C'
A'
B'
D A
答：平行
C B
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平行直线
公理4 平行于同一直线的两条直线互相平行.
如果a//b，b//c，那么a//c
直线a在平面内 记作：a 直线a在平面外 记作：a
强调:
空间中点与线(面)只有∈和关系
空间中线与面只有 与的关系
推导符号“”的使用：
条件结论
｝ 条件1 结论
条件2
*
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人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
思考2:固定一扇门需要几样东西？
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1）教室内日光灯管所在直线与黑板左右两 侧所在直线的位置关系如何？
2）天安门广场上，旗杆所在直线与长安 街所在直线的位置关系如何？
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
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人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
2.1.2 空间中直线与直线 之间的位置关系
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
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人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
两条直线的位置关系
思考1：同一平面内两条直线有几种位置关系？ 空间中的两条直线呢？
b
C
a
*
人教版高中数学必修二 2.1空间点-直线-平面之间的位置 关系
2.1.1
平面
*
桌面
*
海平面
*
1．平面
概念：平面是无限延伸的． 几何画法：通常用平行四边形来表示平面． 符号表示：通常用希腊字母 ,, 等来表示，如：
平面也可用表示平行四边形的两个相对顶点的
字母来表示，如：平面AC．
*
表示两平面相交的画法
*
点与平面的位置关系
点A 在平面内，记作：A
点B 在平面外，记作：B