高中数学竞赛典型题目(一)

数学竞赛典型题目（一）

1.(2004美国数学竞赛)设n a a a ,,,21 是整数列,并且他们的最大公因子是1.

令S 是一个整数集,具有性质:

（1）),,2,1(n i S a i =∈

（2） }),,2,1{,(n j i S a a j i ∈∈-,其中j i ,可以相同

（3）对于S y x ∈,，若S y x ∈+，则S y x ∈-

证明：S 为全体整数的集合。

2．(2004美国数学竞赛)c b a ,,是正实数，证明：

3252525)()3)(3)(3(c b a c c b b a a ++≥+-+-+-

3．(2004加拿大数学竞赛)T 为1002004的所有正约数的集合，求集合T 的子集S 中的最大可能的元素个数。其中S 中没有两个元素，一个是另一个的倍数。

4．(2004英国数学竞赛)证明：存在一个整数n 满足下列条件：

（1）n 的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0；

（2）2004能整除n .

5．(2004英国数学竞赛)在0和1之间，用十进制表示为 21.0a a 的实数x 满足：在表达式中至多有2004个不同的区块形式，)20041(20031≤≤++k a a a k k k ，证明：x 是有理数。

6．(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S ，满足：如果S n m ∈,，则S n m n m ∈+)

,( 7．(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点，并且无三点共线，S 为通过任何两点的直线的集合。证明：点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当S 中有奇数条直线分离这两点。

8．(2004亚太地区数学竞赛)证明：)()!1(*2N n n n n ∈??

????+-是 偶数。 9．(2004亚太地区数学竞赛)z y x ,,是正实数，证明：

)(9)2)(2)(2(222zx yz xy z y x ++≥+++

10．（2003越南数学竞赛）函数f 满足)0(2sin 2cos )(cot π<<+=x x x x f ，令 )11)(1()()(≤≤--=x x f x f x g ，求)(x g 在区间]1,1[-的上最值。

11．（2003越南数学竞赛）定义17612)(,91524)(2323+-+=+--=x x x x q x x x x p ，证明：

（1）每个多项式都有三个不同的实根；

（2）令A 为)(x p 的最大实根，B 为)(x q 的最大实根，证明：4322=+B A

12．（2003越南数学竞赛）令F 为所有满足++→R R f :且x x f f x f +≥)]2([)3(对任意+∈R x 成立的函数f 的集合。求最大实数A 使得Ax x f ≥)(对所有+∈∈R x F f ,都成立。

13．（2003美国数学竞赛）证明：对于每个n ，我们可以找到一个n 位数，他的所有数字都是奇数，并且可以被n 5整除。

14．（2003美国数学竞赛）一个凸多边形的所有边和所有对角线都是有理数，连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形，证明：所有小多边形的边长都是有理数。

15．（2003巴尔干数学竞赛）一个矩形ABCD 的边,,n AD m AB ==其中n m ,是互质的奇数。矩形被分成了mn 个单位正方形，对角线AC 交单位正方形于点

C A A A A A N ==,,,,321 ，证明：1223341(1)N N N AC A A A A A A A A mn

--+-+-= 16．（2002美国数学竞赛）S 为含有2002个元素的集合，并且P 是Ｓ所有子集的集合，证明：对于任意)0(P n n ≤≤ ，我们可以将Ｐ的n 个元素染成白色，其余染成黑色，使得Ｐ的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。

17．（2002美国数学竞赛）求所有定义在实数集上的实值函数满足：)()()(22y yf x xf y x f -=-对于任意实数y x ,成立。

18．（2001美国数学竞赛）非负实数z y x ,,满足4222=+++xyz z y x ，证明：

2+≤++≤xyz zx yz xy xyz

19．（2002巴尔干数学竞赛）数列

:}{n a 11213,30,20-+-===n n n a a a a a ，求所有n 使151++n n a a 是完全平方数。

20．（2002巴尔干数学竞赛）Ｎ为正整数的集合，求所有N N f →:使得2002220012)())((++=+n n n f n f f 或

21．（2009年协作体）求证：存在无穷多个棱长都是整数的长方体，使其满足每个面的面积都是两个数的平方和，并且其体积等于对角线的平方。

22．（200１巴尔干数学竞赛）一个凸五边形的边长是有理数，并且５个角相等，证明：它是正五边形。

23．（200１巴尔干数学竞赛）正实数c b a ,,满足c b a abc ++≤，证明：abc c b a 3222≥++

24．（200１加拿大数学竞赛）210,,A A A 位于半径为１的圆上，并且21A A 不是直径，点列}{n A 定义如下：n A 是321---?n n n A A A 的外心，证明： 13951,,,A A A A 共线，并求所有的21,A A 使得2001

100110011A A A A 是一个整数的５０次幂。 25．（2002年越南数学竞赛）n 为正整数，证明：方程2

1111211122=-++-+-x n x x 有唯一的解1>n x ，且∞→n 时，4→n x 26．（2001年越南）对于实数b a ,定义如下数列：.,,,210 x x x 由a x =0，n n n x b x x sin 1+=+确定

（1）若.1=b 证明：对于任何a ，数列有极限;

（2）若.2>b 证明：对于某些a ，数列没有极限.

27．（2000年越南）定义一个正实数序列：.,,,210 x x x b x =0，.1n n x c c x +-=+求所有实数c ，使得对所有),0(c b ∈，数列存在极限.

28．（2002波兰数学竞赛）k 是正整数，数列k ka a a k a a n n n n +-=+=+2

11,1:}{，

证明：数列中的任两项互质。

29．（2001波兰数学竞赛）数列n n n n x x x b x a x x +===++1221,,:}{，一个数c 如果在数列中出现的次数超过１次，就称它是“重复的”，证明：我们可以选择b a ,使数列中有超过２０００个重复值，但没有无穷多个重复值。

30．（2001波兰数学竞赛）b a ,都是整数，使得b a n +2对所有非负整数n 都是完全平方数，证明：0=a

31．（2001波兰数学竞赛）数列}{n a 定义如下：1a 和2a 为素数，n a 为200021++--n n a a 的最大素因子。证明：数列}{n a 有界.

32．（2001波兰数学竞赛）)(x p 是一个多项式，次数为奇次，满足1)()1(22-=-x p x p 对所有x 成立。证明：x x p =)(

33．（1978年国际数学竞赛）将集合}1978,,3,2,1{ =S 分成六个不同的集合)6,5,4,3,2,1(=i A i ，即621A A A S ???= 且Φ=?j i A A ，求证：在某个i A 中存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的２倍。

34．（1999年国际数学竞赛）设n 是一个固定的正偶数.考虑一块n n ?的正方板，它被分成2n 个单位正方格.板上两个不同的正方格，如果有一条公共边，就称它们为相邻的.将板上N 个单位正方格作上标记，使得板上的任意正方格（作上标记的或者没有作上标记的）都与至少一个作上标记的正方格相邻.确定N 的最小值.

35．一个99?方格能否被15个22?方格和6个Ｌ型方格（由3个小方格组成）和3个单位方格覆盖？

36．已知边长为n 的正方形及其内部的2)1(+n 个点，其中无3点共线，证明：必存在3个点，以其为顶点的三角形的面积不大于2

1。 37．已知x 是循环节为p 的纯循环小数，y 是无限小数，其小数点后的第n 位与数x 小数点后的第n n 位的数字相同，问：y 是否是有理数？

38．求所有的正整数b a ,使得1,122++++a a b b b a

39．11106,3,1:}{-+-===n n n n x x x x x x ，证明：除第一项外，}{n x 中无完全平方数。

40．c bx ax x f ++=2)(是实系数多项式，且对于任何整数)(,00x f x 是完全平方数，证明：2)()(d ex x f +=，其中d e ,是整数。

41．能否找到含有1990个正整数的集合Ｓ，使

（1）S 中任意两个数互质；

（2）S 中任意)2(≥k k 个数的和是合数。

42．（1998年越南数学竞赛）是否存在)10(<<αα，使得有一个无穷的正数列}{n a 满足：,11n n n a n a a α

+≤++),2,1( =n .

43．一个整数有限序列n a a a ,,,10 称为一个二次序列，如果对于每个21},,,2,1{i a a n i i i =-∈- ；

（1）证明：对于任何两个整数c b ,，都存在一个正整数n 和一个二次序列使c a b a n ==,0；

（2）求满足下列条件的最小正整数n ，使1996,00==n a a

44．z y x ,,是正实数，求证：

49))(1)(1)(1)((2

22≥+++++++x z z y y x zx yz xy 45．用16个31?矩形和一个11?正方形拼成一个77?正方形，求证：11?正方形要么在大正方形中心，要么在大正方形边界上。

46．环形公路上有n 个加油站，每个加油站有汽油若干桶，n 个站的总存油量够一辆汽车行驶一周，证明：必存在一站，从该站起，汽车逆时针行驶（每到一站装上所有汽油）可回到原站。

47．正实数c b a ,,满足1=abc ，求证：

2

3)(1)(1)(1333≥+++++b a c a c b c b a ＋])()()([412

22a b a b c a c a c b b c b c a +-++-++- 48．),,2,1(n i R x i =∈+，证明：

11222221121111n n

x x x x x x x x +++≤++++++ 49．数列1,21:}{2211+-==+n n n n n a a a a a a ，证明：11

<∑=n k k a 50．求方程y x y x =+!!的正整数解

51．求所有三次多项式)(x p 使得对任意的非负实数y x ,有)()()(y p x p y x p +≥+

52．},|2{22Z y x y x S ∈+=，对于整数a ，若S a ∈3，证明：S a ∈ 53．[]

53,1:}{10n n n n x x x x x +==+，已知712,136,26,54321====x x x x ，求2007x 54．（波兰）数列}{n a 由)1(01

2,10110≥=++++

-=-n n a n a a a a n n 确定，证明： )0(0>>n a n 55．非负实数z y x ,,满足1222=++z y x ，证明：21111≤+++++≤xy

z zx y yz x 56．圆周上有7个点，将他们两两连线，求这些直线在圆内部交点个数的最小值。

57．是否存在一个能被103整除的正整数n ，满足)(m od 221n n ≡+

58．正实数z y x ,,满足z y x zx yz xy ++=++，证明：

11

11111222≤++++++++x z z y y x 59．（2009塞尔维亚数学竞赛）求能被整除且数字和是的最小的正

整数。

60．对20072007?方格染色，使得任意22?方格中最多有2个方格被染色，问：最多可以将多少个方格染色？

61．空间中有9个点，其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线段，但图中不存在四面体，问：图中三角形最多多少个？

62．（2009加拿大数学竞赛）由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆，每个圆再分成个相等的扇形，且每个圆的个扇形涂成白色的，另个扇形涂成黑色的。将小圆叠放在大圆的上面，使得它们的圆心重合。 求证：总可以旋转小圆，使得这两个圆的扇形上下对齐，且小圆至少有个

扇形位于大圆的同色扇形上。

63．（2009年印度尼西亚数学竞赛）n 是大于１的奇数，证明：n n C n 24|48+

64．（2009年英国数学竞赛）求定义在实数集上的函数使))()()()(()()(2233y f xy f x f y x y f x f +-+=+

65．（2009年英国数学竞赛）将不大于２５００的正整数写成二进制，其中以１开头的数字串所表示的整数的不同个数记为)(n b ，求证：2500≤n 时，39)(≤n b ，并确定取等条件。

66．一个圆桌周围有n 个位置，第一个人任意坐下，第二个人从第一个人逆时针开始数2个位置坐下，即第二个人坐在第一个人旁边，第1+k 人从第k 个人

逆时针开始数1+k 个位置坐下。如果按照这种坐法，

n 个人恰好坐满n 个位置，求n 得所有可能值。

67．（2009加拿大数学竞赛）已知为完全平方数，求所有的有序整数对。

68．求所有的质数q p ,使)55(|q p pq +

69．求所有的质数q p ,使)25)(25(|q q p p pq --

70．数列n n n n a a a k a k a a 23,25,:}{1221-=-==++，其中k 是常数。

（1）求所有k 使数列收敛；

（2）若1=k ，求证：?????

?++-=++++11212187n n n n n n a a a a a a 71．数列k y y k y y y y n n n n 24)54(,1:}{1221-+--===++，求所有的正整数k ，使得数列中的每一项都是完全平方数。

72．求证：数列[]2n a n =中有无穷多个完全平方数。

73．[]

22)1(n n a n +-= （1）证明：存在无穷多个m 使得11>-+m m a a ；

（2）证明：存在无穷多个m 使得11=-+m m a a 。

74．（2006全国高中数学联赛）设

,)(2a x x f +=记 3,2)),(()(),()(11===-n x f f x f x f x f n n ，}N n ,2)0(|{*∈?≤∈=n f R a M 证明：]4

1[-2,M = 75．实数列)2,1,0}({ =n a n 满足)2,1,0(5

121 =+≥+n a a n n ，证明：255-+≥n n a a 76．Ｐ为边长为１的正四面体内一点，证明：Ｐ到各个顶点的距离和至多为3。 77．1≥≥y x ，证明：11

111

1+++++≥+++++y x x

y x y

x y y

y x x

78．),,2,1(n i R x i =∈+是否一定有

n n n n x x x x x x x x x x x x x x x +++≥+++- 212

111432321 79．证明：),(1*5N n a a a n n ∈++是合数。

80．)2(,12121>+===--n f f f f f n n n ，若正整数b a ,满足

<<+-b a f f f f n n n n

},min{11},max {11n

n n n f f f f +-，证明：1+≥n f b 81．把一个实数用与它相岭的两个整数之一代替称为“整化”，证明：对于给

定的n 个实数，存在一种整化方式，使得这些数中任意若干个数的和与这些数整化后对应的和之差不大于4

1+n 。 82．（1997美国数学竞赛）求证：存在无穷多个正整数n ，使得9919n n +可以用两种不同的方式表示为两个平方数的和。

83．（1996年保加利亚）数列}{n a ：11=a ，n

n n a n n a a +=

+1，),2,1( =n 证明：4≥n 时，.][2n a n = 84．在正三角形三个顶点上各放置一个整数使得：三个数的和是整数，若某个顶点上的数0

85．（2003年德国数学竞赛）数列}{n a ：11=a ，

)7(1,2,121332+===+++n n n

n a a a a a a ，证明：n a 是正整数． 86．（2004年克罗地亚数学竞赛）求使数列： ααααn 2cos ,,2cos ,2cos ,cos 2每一项均为负数的所有实数.α

87．（2003瑞典数学竞赛）求所有实数x 满足方程[]

[][]2222x x x x =+- 88．（2004俄罗斯数学竞赛）求所有的正整数n 使得不等式0s i n s i n s i n <++nC nB nA 对于任何锐角三角形的三个内角C B A ,,都成立。

89．（2004台湾数学竞赛）正实数c b a ,,满足92≥abc ，证明：313

11

11

11

abc c b a +≥+++++

90．（2003克罗地亚数学竞赛）对于大于２的整数n ，证明：??

????+=??????-+4124)1(n n n n 91．数列)2,1,0}({ =n a n 满足)2,1,0,)((2122 =+=+-+n m a a a a n m n m n m ，若