第二章-电阻电路的等效变

第二章 电阻电路的等效变换

2.1 学习要点

1. 电阻的等效变换：电阻的串并联， Y 与△的等效变换。

2. 电源的串联、并联及等效变换。

3. “实际电源”的等效变换。

4. 输入电阻的求法。 2.2 内容提要 2.2.1 电阻的等效变换

1. 电阻的串联：等效电阻： R eq ＝

∑

1

=k n

k R ；分压公式：u k ＝eq

k

eq ×R R u ； 2. 电阻的并联：等效电导：G eq ＝

∑

1

=k

n

k G ；分流公式：q

e G G i i k

eq k ×=； 2.2.2. 电阻的Y 与△的等效变换

1. △→Y ：一般公式：

Y 形电阻＝

形电阻之和

形相邻电阻的乘积

??；

即

31

232331*********

231231212

311++=

++=

++R R R R R R R R R R R R R R R R R R 2312＝

2. Y →△：一般公式：形不相邻电阻

形电阻两两乘积之和

形电阻＝

Y Y ?；

图 2.1

即：

2

1

33221311

1

33221233

1

3322112++=

++=

++=

R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R

2.2.3 电源的串联、并联等效变换 电源的串联、并联等效变换见表2.1。

表2.1 电源的串联、并联等效变换

2.2.4 “实际电源”的等效变换 1. “实际电压源”→“实际电流源” R i ＝R u 或 G i ＝1/R u i s ＝u s /R u 2. “实际电流源”→“实际电压源”

R u ＝R i ＝1/G i u s ＝i s R i ＝i s /G i

两者等效互换的原则是保持其端口的V AR 不变。 2.2.5 输入电阻的求法

一端口无源网络输入电阻的定义（见图2.2）：

R in ＝u/ i

1. 当一端口无源网络由纯电阻构成时，可用电阻的 串并联、Y 形与△形等效变换化简求得。

2. 当一端口无源网络内含有受控源时，可采用外加电压法或外加电流法求得： 即输入电阻 R in ＝u s /i 或 R in ＝u/ i s

方法是：在端口处加一电压源u s （或电流源i s ）, 再求比值u s /i 或u/ i s ，该比

值即是一端口无源网络的输入电阻。此方法也适用于由纯电阻构成的一端口网络。 2.3 例题

例2.1 求图2.3所示电路等效电阻R in 。

解：由△→Y 将图2.3等效成题解2.3图，其中：

3

211333213223212

1'1

++++++R R R R R R R R R R R R R R R R R R '＝ ＝ ＝’

()()5

'

''''

in R R R R R R R R

R R ++++++=4325243

1 例2.

2 求图2.4所示电路的等效电阻R ab 。 解：本电路包含两个T 型电阻网络，且其参数成比例。若在a 、b 之间加一电压源，则c 、d 两点电位必相

题解2.3图

图 2.3

R 5

'

5

'

+

图2.2

图 2.4

a b

等，c 、d 两点可视为短路，这样就可按电阻串、并联公式求解，得

1kΩ、2kΩ电阻并联，得： Ω3

2

k Ω2+12×112k R ＝＝

2kΩ、4kΩ电阻并联，得： k Ω34

k Ω4+24×224

R ＝＝ 3kΩ、6kΩ电阻并联，得： k Ω 2k Ω6

+36

×336 R ＝＝

则 ()()()Ωk 6671k Ω2

+2+342+234+k Ω32

k Ω2++k Ω2++

3624362412 .//R R R R R R ab ＝＝＝ 例2.3 设电路如图2.5所示，求i 3和两个电流源各自发出的功率。

解：(1) 根据电流源的性质可知，对于外电路，与恒流源串联的电阻、电压源可忽略。由此可做出图2.5的等效电路题解2.5图。 由KCL 得 i 3＝i s2－i s1

(2) 计算i s1与i s2发出的功率。依欧姆定律，得

u ab ＝R 3 i 3＝R 3(i s2－i s1) ①

计算两个电流源的功率，必须．．用图2.5所示电路，不能．．用等效的题解2.5图所示电路。计算过程是：先根据图2.5求出两个电流源的端电压u 1和u 2，再按功率公式去计算。

由图2.3得 u ab ＝R 1i s1－u 1 ② u ab ＝u s2 + u 2 ③ 将式①代入②得 u 1＝R 1i s1－u ab ＝(R 1+R 3) i s1－R 3 i s2 将式①代入③得 u 2＝u ab －u s2＝R 3( i s2－i s1)－u s2 故各电流源发出的功率为

P i s1＝u 1 i s1＝(R 1+R 3)12321 s s s i i R i － P i s2＝2212322322s s s s s s i u i i R i R i u －－＝

R 3

i 3 3

图 2.5

i 题解2.5图

例2.4 求图2.6所示电路中的电流I 3。

解：图2.6电路可化简为题解2.6图所示电路，化简时应保留I 3支路。 对题解2.6图应用KCL 得 －0.9I 3－2 + I 3 + U/6Ω＝0 又因为 U ＝3Ω·I 3 求解得 I 3＝3.333 A

例2.5在图2.7(a)所示电路，已知U s1＝12 V ，U s2＝24 V ，R 1＝R 2＝20 Ω，R 3＝50Ω，试求通过R 3的电流I 3。

解：将图2.7(a)所示电路的电压源模型转化为图2.7(b)所示的电流源模型， 其中 A 6020V

121s1s1 . R U I ＝＝＝

Ω A 2120V

2422 .R U I s ＝＝＝

Ω

2s 合并电流源I s1和I s2，得电路如图2.7 (c)所示。

其中 I s ＝I s1－I s2＝(0.6－1.2) A ＝－0.6 A

R ＝

Ω R R R R R 102

20

2+12121＝＝＝ 根据图2.7(c)所示电路,利用电流分流公式求得流过R 3的电流为 ()A 1010+5010×A 60+×

33 . .R R R I I s ＝－Ω

ΩΩ

－＝＝ R 3

图 2.7

(c)

U 3

I 3 I (b) 3 (a) 图 2.6

0.9题解2.6图

负号表示I 3的实际方向与参考方向相反。

例2.6 试用电源的等效变换方法，求图2.8(a)所示电路中的电压U 12。

解：在图2.8所示电路中，受控源的控制量是I ，故在变换时8Ω电阻支路要始终保留且不能变换掉，具体变换步骤是由图2.8(a)→(b)→(c)→(d)。根据图2.8(d)电路4Ω电阻与8Ω电阻并联，8Ω电阻的电流是I ，所以4Ω电阻应是2I 。应用KCL ，则有： I + 2I ＝I + 1A 解得 I ＝0.5 A

故得 U 12＝8Ω×I ＝0.5×8＝4 V 例2.7 求图2.9所示电路的输入电阻R i 值。

解：根据电压源与电流源等效变换方法，将电路逐次化简，最后得一简化电路。对于含受控源电路，化简过程与独立电源一样对待。唯一要注意的是，在化简过程中不要把控制量消掉。由此等效成图2.9(b)、(c)电路。在图2.9(c)中，假设在输入端接

图 2.9

(c)

(a)

(b) (a) (b)

(d)

图 2.8

(c)

入电压源U ，由KVL 得

U ＝125Ω·I －90Ω·I ＝35Ω·I 所以 Ω I

U

R i 35=

＝ 例2.8 求图2.10电路的输入电阻R ab 。 解：在ab 端口外加电压U ， 由KVL 得 U ＝2Ω·I + 1.5Ω·I 1 由KCL 得 I 1＝I + 0.5S U 1 又因为 U 1 ＝1Ω·I 1 联立以上三个方程求解得：I 1＝2 I U ＝5 I

所以 R ab ＝U/I ＝5 Ω 2.4 习题选解

电路如图所示，已知u s ＝100V ，R 1＝2KΩ，R 2＝8KΩ。若：(1) R 3＝8KΩ；(2) R 3＝∞（R 3处开路）；(3) R 3＝0（R 3处短路）。试求以上三

种情况的电压u 2和电流i 2、i 3。

解：（1）R 2的R 3并联，其等效电阻

R ＝8/2＝4 kΩ，

则总电流 A m 3

50

=4+2100=+=

1s R R u i 1； 分流有： A m 8.33=6

50

i i i =

2==132； V ×==22

2 i R u 66.667=6

50

8；

(2) 当R 3＝∞时有 i 3＝0，

V =×=?=222 80108i R u

(3) 当R 3＝0时，有i 2＝0，u

2＝0， i 3＝u s /R 1＝100/2 ＝50 mA ，

电路如图所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。

mA

10==+=212 R R u i s 8

+2100

题2.1图

+

U 1

-

图2.10

+

(b) (a)

(c)

4

R 3

R 4

u s

-

i i 题解2.2图

求： (1) 电压u 2和电流i 2；

(2) 若电阻R 1增大，对哪些元件的电压、

电流有影响？影响如何？

解(1)：对于R 2和R 3来说，其余部分的电路可用电流源i s 等效替换，如题解图(a)所示。因此有

；； R R i R R u R R i R i s

s 3

23223232+=+=

解(2)：由于R 1和电流源i s 串接在同一支路中，对其余电路来说可以等效为一个电流源i s 。如题解图2.2图(b)所示。因此当R 1增大，对R 2、R 3、R 4及u s 的电流和端电压都无影响。

但R 1增大，R 1两端的电压增大，将影响电流源两端的电压，因为 u is ＝ R 1 i s ＋ u 2 － u s 显然u is 随着R 1的增大而增大。

在图（a ）电路中，u s1＝24 V , u s2=6 V , R 1=12 Ω, R 2 = 6 Ω, R 3 =2 Ω。图（b ）

为经电源变换后的等效电路。 （1）求等效电路的i s 和R ;

（2）根据等效电路求R 3中电流和消耗功率； （3）分别在图（a ）、（b ）中求出 R 1 、R 2及 R 消耗的功率；

（4）试问u s1 ,

u s2 发出的功率是否等于i s 发出的功率？R 1 ,R 2 消耗的功率是否等于 R 消耗的功率？为什么？

3 i

题2.2图

(a)

题2.3图

3

(b)

解 ：（1）利用电源的等效变换,图（a ）中电阻与电压源的串联可以用电阻与电流源的并联来等效。等效后的电路如题解2.3图所示,其中

A 2=12

24

==

1s1s1R u i A 1=6

6==2S2S2

R u i 对题解2.3图电路进一步简化得图（b ） 所示电路,故

A 3=1 i i i +2=+=s2s1s ；

Ω 4=6

+126

12=

2×=1R //R R （2）由图（b ）可解得三条并联支路的端电压

()V 4=32

+42

4××=

×=s 3i R //R u 所以R 3 的电流和消耗的功率分别为

A 2=2

4

==

33R u i ； W 8=2×22==2333i R P

(3) 根据KVL ，图（a ）电路中R 1、R 2两端的电压分别为 u 1＝u s1－u ＝ 24－4＝20 V u 2＝u s2 – u = 6－4 = 2 V 则R 1、R 2消耗的功率分别为

P 1＝33.33=12

202

=121R u W

ｐ2＝W 3

2=622=22

2R u

(b)图中R 消耗的功率 P ＝W 4=4

42

=2R u (4) (a)图中u s1和u s2发出的功率分别为 W 40=12

20

24×=×

=11s1s1R u u p u

题解2.3图

R 3

W 2=6

2

6×=×

=22s2s2R u u p u （b ）图中i s 发出的功率 W 12=34×=×=s s i u p i

显然：u s1 ，u s2 发出的功率不等于i s 发出的功率，即s2s1s u u i p p p +≠；

R 1 ,R 2 消耗的功率也不等于 R 消耗的功率，即p ≠ p 1 + p 2 ；

在图(a)中，u s1＝45V , u s2＝20V ，u s4＝20V ，u s5＝50V ；R 1＝R 3＝15Ω，R 2＝20Ω，R 4＝50Ω，R 5＝8Ω；在(b)图中，u s1＝20V ，u s5＝30V ，i s2＝8A ，i s4＝17A ，R 1＝5Ω，R 3＝10Ω，R 5＝10Ω。利用电源的等效变换求图(a)和图(b)中电压u ab 。

解(a)：利用电源的等效变换，将题2.4图(a)等效为图(a .1)、(a .2)。 其中：

题2.4图

u s5 (b)

(a)

5

5

u s5 5

(a.1)

(a.2)

(b.1)

(b.2)

R 5

题解2.4图

A

6.25=8

50 A 0.4=5020A 1=2020 A 3=1545========

5s5s54s4s42s2s21s1s R u i R u i R u i R u i

把所有的电流源合并，

得 i s ＝i s1 + i s2 －i s4 + i s5＝3+1－0.4+6.25＝9.85 A 把所有的电阻并联，

得 R ＝R 1∥R 2∥R 3∥R 4∥R 5＝15∥20∥15∥50∥8＝600/197 Ω 所以 u ab ＝i s ×R ＝9.85×600/197 ＝30 V

解(b)：利用电源的等效变换，将题2.4图(b)等效变换为图(b.1)和(b.2) 其中

A 3=10

30

A 4=520====

5s5s51s1s1R u i R u i 等效电流源为

A 23+8－17+4-=++=＝－s5s4s2s1s i i i i i

等效电阻为 R=R 1∥R 3∥R 5＝5∥10∥10＝2.5 Ω 所以 u ab ＝i s ×R ＝－2×2.5＝－5 V

利用电源的等效变换，求图示电路的电流i 。

解：利用电源的等效变换，原电路可等效为题解2.5图(a),(b),(c)所示的电路。

(a)

题解2.5图

(b)

(c)

题2.5图

a

所以 A 0.125=0.252

1

A 0.25=102.5×=21==

11i i i

利用电源的等效变换,求图示电路中电压比s

o

u u 。已知R 1＝R 2＝2Ω，

R 3＝R 4＝1 Ω。

解：利用电源的等效变换，原电路可以等效为题解2.6图所示的单回路的电路，对回路列写KVL 方程，得

(R 12+R 3+R 4)×i + 2R 4u 3=21

u S 把u 3＝R 3i 代入上式，

则 s

s

s u u R 2R R R R u i 101=21=+++21=

3443122+1+1+1

所以输出电压 u o ＝R 4 i + 2R 4u 3=(R 4+2R 4u 3) i =s

u 103

即

0.3=10

3=s o u u

图2.7所示电路中，R 1＝R 3＝R 4，R 2＝2R 1，CCVS 的电压u c =4R 1i 1,利用 电源的等效变换求电压u 10。

解：原电路可等效为题解2.7图所示的电路。

题2.6图

题解2.6图

图中 R ＝（R 3+R 4）∥R 2＝2R 1∥2R 1＝R 1

对回路列KVL 方程，得 （R 1i 1 + R i 1 + )R R u 2c

= u s 1

s

14=R u i

所以电压 s s

s 1 1s 10=4

==u u u i R u u 0.75－－

试求图(a)和(b)的输入电阻R ab 。

解(a)：在(a)图的a,b 两端加电压源u ，并设电流为i ，电流的方向由电压源流出。 依KVL 得 u ＝R 2×i －()()i R μR R i R i R μi R i R u μ11211121+=+=+－－ 故得a ，b 端子的输入电阻 R ab ＝

121+=R μR R i

u

－ 解(b)：在(b)图的a,b 两端加电压源u ,并设电流为i １,电流的方向由电压源流出。 依KVL 和KCL 得 u ＝R 1i 1+R 2（i 1+βi 1）＝[R 1+R 2（1+β）] i 1 所以a,b 端的输入电阻 ()βR R i

u

R +1+==

21ab

R 4

题2.7图

(b)

1 (a)

题2.8图

○

题解2.7图

试求图(a)和(b)的输入电阻R in 。

解(a)：在(a)图的1-1′ 端子间加电压源u ，设电流为i ,如题解2.9图(a)图所示。

根据KCL,有 0=++2

11R u

i i βi － 又因 1

1R u i -

= 由此可得 0+)(+12

R u

i R u β＝－－1）

( 即 i u R R β＝)1

++1(2

1 故输入电阻 ()

β++==

1R R R R i u

R 2121in 解(b)： 在（b ）图的1、1′端子间加电压源u ，设端口电流为i ,如题解2.9 图

(b)所示。根据KVL ，有 u 1＝u

又因 u ＝R 1i 1 + μu 1＝R 1i 1 + μu ………① 由KCL ，得 3

1=R u

i i －

………… ………… ② 联立方程①②，可得 u ＝R 1u μ)R u

i (+3

－

题2.9图

(a)

(b)

R (b)

题解2.9图

R u (a)

整理得 i R u R R μ11

)+

1(＝－3

故输入电阻 R in ＝

()133

13

11+1=

+

1=R R μR R R R μR i

u －－

图示电路中全部电阻均为1Ω，求输入电阻R in 。

解：a 、b 端右边的电阻电路是一平衡电桥，故可拿去c 、d 间联接的电阻，然后

利用电阻的串、并联和电源等效变换方法，把原电路依次等效为题解2.10图(a)、(b)、(c)、(d)。在图(d)的端口加电压源u , 则有

i i i -i u 0.4=5

2

=5658=

即电路的输入电阻 R in ＝

Ω0.4 i

u

=

题2.10图

(d)

(a)

(c)

(b)

题解2.10图

-