高等数学——矢量
江苏省专转本高等数学第七章矢量与解析几何核心知识点例题讲解(含答案)
第七章 矢量与空间解析几何本章主要知识点● 矢量运算 ● 平面 ● 直线方程● 主要的几个立体图形及方法一、矢量运算着重掌握矢量的内积、叉积运算，并深刻理解这两种运算在研究线线、线面、面面之间位置关系时的作用；掌握以矢量为主要线索来建立直线和平面方程的方法和实质。
1．矢量的内积（1）cos a b a b θ⋅⋅⋅ ，其中θ为,a b的夹角（2）若{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==，332211b a b a b a ++=⋅ 且a = （3）0=⋅⇔⊥b a b a (b a ,为非零矢量)例7.1．{}{}3,0,1,2,1,1-==，求a b ⋅。
解：()5320111=⨯+⨯+-⨯=⋅b a 。
例7.2．如果{}{}3,,2,,2,1a b λλ=-=-，且b a ⊥，求λ。
解：0=⋅ 得：3220λλ++= 得：25λ=-。
2．矢量的叉积a b ⨯如图所示，如果不平行于，则⨯同时垂直与又垂直于，或者等价地，⨯=垂直于由,确定的一平面。
它在后面研究平面与直线中起相当重要的作用。
如果{}{}321321,,,,,b b b b a a a a ==那么321321b b b a a a k j ib a =⨯， 利用第一行代数余子式展开计算。
若,非零，//2121210c c b b a a ==⇔=⨯⇔ 例7.3．{}{}3,2,1,1,1,1=-=，求⨯解：{}3,2,5325211131113211321111--=+--=-+--=-=⨯k j i kjik j i例7.4．如果{}1,,1,a λ= {}2,3,2b = ，//a b 求λ解：11232λ==，解得：32λ=。
3．单位向量0aa a= 为矢量a 的方向上的单位矢量。
aba b ⨯图示7.14．矢量b 在a 上的投影()aproj b()2aa b proj b a a⋅=二、平面方程1．平面方程的基本形式（点法式）平面π过点()0,000,z y x M ，法矢量为{}C B A ,,=那么平面方程为()()()000000n MM A x x B y y C z z ⋅=⇔-+-+-=（1）点法式有两个基本要素：点0M 和法向量n 。
高等数学教材向量
高等数学教材向量高等数学教材——向量一、向量的概念及基本性质在高等数学中，向量是一种具有大小和方向的几何量。
它是由起点和终点确定的有向线段，通常用有字母上方带箭头表示，如⃗AB。
1. 向量的定义向量的定义是：若平面上两个点A和B确定了有向线段⃗AB，则称⃗AB为向量。
向量既有大小也有方向，是一个有序数对。
2. 向量的基本性质（1）向量的模长向量的模长代表向量的大小，用两点之间的距离表示。
若有向线段⃗AB，则向量⃗AB的模长记作|⃗AB|或AB，表示点A和点B之间的距离。
（2）向量的方向角向量的方向角是与x轴正向所成的角度，一般用α或θ表示。
方向角的范围在0到360度之间，且相同向量的方向角可以有多个。
（3）向量的相等对于两个向量⃗AB和⃗CD，若所夹角度相同且模长相等，即|⃗AB|=|⃗CD|且⃗⃗AB=⃗⃗CD，则称两个向量相等。
二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。
1. 向量的加法向量的加法是将两个向量的起点连接起来，然后连接两个终点，构成一个新的向量。
向量的加法满足平行四边形法则，即⃗⃗ABD=⃗⃗CAB，⃗AD=⃗AB+⃗BD。
2. 向量的减法向量的减法是将减去的向量的起点与被减去的向量的终点连接起来，构成一个新的向量。
向量的减法可以转化为向量的加法，即⃗AB-⃗⃗CD=⃗AB+(-⃗CD)。
3. 向量的数乘向量的数乘是将向量的模长与标量做乘法，得到一个新的向量，方向与原向量相同（若标量为正）或相反（若标量为负）。
即k⃗AB=(|k|)⃗AB。
三、向量的数量积和向量积1. 向量的数量积向量的数量积是将两个向量的模长与夹角进行乘法运算，得到一个标量。
向量的数量积的计算公式为：⃗AB·⃗CD=|⃗AB||⃗CD|cos⃗⃗A B⃗CD。
2. 向量的向量积向量的向量积是用来求两个向量所确定的平行四边形的面积，也是一个向量。
向量的向量积的计算公式为：⃗AB×⃗CD=|⃗AB||⃗CD|sin⃗⃗A B⃗CDn，其中n为垂直于⃗AB和⃗CD所在平面的单位法向量。
大学物理通用矢量知识
A 1即模为1的矢量 ——单位矢量 A 0即模为0的矢量 —— 零矢量
零矢量的方向可以认为是任意的，记 作0 。
大学物理通用矢量知识
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大学物理
数学知识：矢量
A
与矢量 A 同方向的单位矢量记作 e 。 在直角坐标系O-xyx中，记x、y、z三个 方向的单位矢量为 i 、j 、k 。 z 矢量具有大小与方向两个 y 要素，只有当同类的两个矢 x 量大小相等且方向相同时， 两个矢量才相等。记为 A B 。而标量 和矢量由于不同类，故不能相比较，也 不能相加减。
Ax Bx i i Ax By i j Ax Bz i k Ay Bx j i Ay By j j Ay Bz j k Az Bx k i Az By k j Az Bz k k
( Ay Bz Az By )i ( Az Bx Ax Bz ) j ( Ax By Ay Bx )k
大学物理
数学知识：矢量
§0.1 矢量 物理学中常会遇到两类不同性质的物 理量：标量（Scalar）和矢量（Vector）。 其中只用数值即可表示的量叫标量， 这里数值的含义包括大小和正负。 比如时间、路程、质量、能量、电量 等就是这样的量。
大学物理通用矢量知识
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大学物理
数学知识：矢量
而既有大小、正负，还有方向，且其 加法遵从平行四边形法则或三角形法则 的量叫做矢量。 力、速度、加速度、电场强度等都是 这样的量。矢量可以用有方向的几何线 段表示。
( ) A A A
满足交换律
( A) ( A) ( A)
大学物理通用矢量知识
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大学物理
数学知识：矢量
矢量基本概念
(一) 矢量基本概念定 义 既有大小又有方向的量称为矢量（或向量）。
表示法定 义 有向线段的长度，称为向量的模（或向量的长度）AB ，a。
特殊的向量零矢量：长度为0的向量。
零向量的方向是不确定的。
单位矢量：长度为1的矢量。
向量之间的关系两矢量相等：长度相等，方向相同，与起点无关。
反矢量：长度相同，方向相反的矢量。
共线矢量：平行于同一直线的一组矢量。
共面矢量：平行于同一平面的一组矢量。
关于向量之间的关系，有下面结论：零矢量与共线（共面）的矢量组均共线（共面）； 共线矢量必共面； 两矢量必共面；三矢量中若有两矢量共线，则这三矢量一定共面。
(二) 矢量的運算（一）矢量的加法矢量的和（三角形法则）设已知矢量a ，b ，以空间任意一点O 为始点接连作矢量a OA，b AB 得一折线OAB ，从折线的端点O 到另一端点B 的矢量c OB，叫做两矢量a 与b 的和，记做b a c 。
矢量的和（平行四边形法则）如图示，有b a c。
一般地：矢量的加法还满足多边形法则：n n n A A A A OA OA 1211...运算规律：1） 1） 交换律：a b b a； 2） 2） 结合律：)()(c b a c b a。
矢量的差若a c b，则称c 为矢量a与b的差，并记作b a c。
由定义，得矢量减法的几何作图法：矢量加法的性质（1）)(b a b a（2）||||||b a b a（3）||||||（4） ||||||2121a a a a a n ||n a（二）矢量的数乘定义（数量乘矢量）实数 与矢量的乘积 是一个矢量， （1） （1） 其模为||||||a a ；（2） （2） 其方向由下列规则决定：当0 时， 与方向相同；当0 时， 与方向相反；当0 或0 时，是零向量，方向不定。
定义如果0a 与a 同向，而且为单位向量，那么称0a为与a 同向的单位向量，或a 的单位向量。
由定义，0|| ||0a数量乘法的运算规律 1）结合律：)()(2）第一分配律：a a a )(3）第二分配律：b a b a )(由矢量加法与数乘运算规律知，对于矢量也可以象实数及多项式那样去运算。
物理学高数知识点总结大一
物理学高数知识点总结大一在大一物理学学习中，数学是不可或缺的工具。
通过数学，我们可以更好地理解和应用物理学的概念和原理。
在本文中，将总结物理学高数知识点，帮助大家更好地掌握物理学的精髓。
1. 矢量运算在物理学中，矢量是一个有大小和方向的量。
学习矢量运算是物理学的基础。
矢量运算包括矢量加法、矢量减法和矢量乘法等。
在矢量加法中，矢量相加的结果是两个矢量的和，方向由两个矢量的相对方向决定。
在矢量减法中，矢量相减的结果是两个矢量的差，方向由两个矢量的相对方向决定。
矢量乘法包括数量积和矢量积。
数量积是两个矢量的数量相乘再求和，结果是一个标量。
矢量积是两个矢量的矢量相乘再求和，结果是一个新的矢量。
2. 微分与积分微分和积分是高等数学的基本概念，在物理学中得到广泛应用。
微分可以用来描述物体运动的速度和加速度等变化率。
当我们对物体的位置、速度或加速度函数进行微分时，可以得到相应的变化率。
积分可以用来计算物体运动的位移、速度和加速度等。
通过对速度和加速度函数进行积分，我们可以得到相应的位移函数和速度函数。
3. 牛顿运动定律牛顿运动定律是经典力学的基础，也是物理学大一必学的重要知识点。
牛顿第一定律指出，物体如果没有外力作用，将保持静止或匀速直线运动。
牛顿第二定律指出，物体的运动状态受到力的作用而改变，力等于质量乘以加速度。
牛顿第三定律指出，任何两个物体之间的相互作用力大小相等、方向相反。
4. 力学中的运动方程在学习物理学的过程中，我们会遇到各种不同类型的运动。
常见的运动包括匀速直线运动、加速直线运动、自由落体运动等。
这些运动可以用运动方程来描述。
针对不同类型的运动，相应的运动方程也不同。
例如，在匀速直线运动中，物体的位移与时间成正比；在加速直线运动中，物体的位移与时间的平方成正比；在自由落体运动中，物体的位移与时间的平方成反比。
5. 万有引力定律万有引力定律是物理学中的重要定律之一，由牛顿提出。
它描述了任意两个质点之间的引力作用。
高等数学思想归纳总结
高等数学思想归纳总结高等数学思想高等数学是一门基础学科，是数学中的一种综合性学科。
它包含了微积分、数学分析、线性代数、概率论等内容。
高等数学的学习对于理工科和经济管理等专业的学生来说都是非常重要的。
在学习高等数学的过程中，我们会接触到很多的思想和方法，下面就对其中一些常见的思想进行归纳总结。
1. 极限思想极限是高等数学中的一个重要概念。
通过极限的引入，能够使我们更好地理解函数的性质和变化规律。
极限思想的核心是无限逼近的概念，即通过无限逼近将不连续的函数转化为连续的函数。
在极限思想的指导下，我们能够求出各种类型函数的极限值，进而解决很多实际问题。
2. 近似和逼近思想近似和逼近是高等数学中常见的思想之一。
在实际应用中，我们经常会遇到无法精确求解的问题，这时就需要采用近似和逼近的方法。
常见的近似和逼近方法有泰勒展开、数值逼近、线性回归等。
通过这些方法，我们可以在一定程度上对实际问题进行求解和分析。
3. 矢量思想矢量是高等数学中的重要内容之一，它是具有大小和方向的量。
在学习矢量的过程中，我们会接触到一系列关于向量运算和向量代数的概念和方法。
矢量思想可以很好地帮助我们理解空间中的几何关系，解决几何问题。
同时，在物理学和工程学等领域，矢量思想也有着广泛的应用。
4. 泛函分析思想泛函分析是数学分析的一个分支领域，它研究的对象是函数空间中的函数。
泛函分析的核心思想是将函数看作向量，通过引入内积和范数的概念，建立函数空间的度量和拓扑结构。
泛函分析思想在数学、物理学、经济学等多个领域都有着广泛的应用。
5. 微分方程思想微分方程是数学中研究变化规律的一种方法和工具。
通过微分方程的建立和求解，我们可以描述和分析很多实际问题，比如物理学中的运动问题、生物学中的增长问题等。
微分方程思想的核心是将问题抽象成数学模型，通过求解微分方程来得到解析解或数值解。
以上仅是高等数学中常见思想的一部分，还有很多其他思想和方法没有涉及到。
高等数学的学习需要我们掌握和运用这些思想，通过理论的学习和实际问题的解决，提高自己的数学思维和解决问题的能力。
(完整版)常用矢量公式
第一公式
第二公式
一般规则
其他规则
一般变换规则证明：
1.
证： 任取常矢量 点乘上式两端
左 用
用混合积公式
2.
证： 左
三． 算符常用公式
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
证：
6． 微分运算
去掉角标。
7．
利用
微分运算
用 代替 ， 代替 ， 代替
矢量运算
同样
§6. 有关矢量场的一些定理
一、关于散度旋度的四个定理
证：⑴
⑵
§2. 场的概念和标量场的梯度
一、场的概念：
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
描述场用一个空间中和时间坐标的函数：
当 与 无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化场（时变场）。当已知场函数则可以了解场的各种性质：如 随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。
为了反映空间某一点发散与会聚的情况，可以将 面缩小到体元 ，体元仅包围一个点，此时，高斯定理可以改为 ，我们
用单位体积的通量来描述，则有 ，取极限 称为矢量 的散度。（>0,有源；=0,无源，<0,负源）。有时表示成 （divergence）。若空间各点处处 ，则称 为无源场。
例题：
1. 求 ，其中
1.标量场的梯度必为无旋场， 即
2.矢量场的旋度必为无散场， 即
3.无旋场必可以表示为某一标量场的梯度。
大学矢量的基本运算教案
课程名称：高等数学授课对象：大学本科一年级授课时间：2课时教学目标：1. 理解矢量的概念及其基本性质。
2. 掌握矢量的加法、减法、数乘运算。
3. 能够应用矢量运算解决实际问题。
教学重点：1. 矢量的加法、减法运算。
2. 矢量的数乘运算。
教学难点：1. 矢量运算的几何意义。
2. 矢量运算在解决实际问题中的应用。
教学过程：第一课时一、导入1. 复习向量的概念及其表示方法。
2. 引入矢量的概念，强调矢量与向量的区别。
二、讲授新课1. 矢量的基本性质- 矢量既有大小，又有方向。
- 矢量不能简单地进行加减运算，需要遵循一定的规则。
- 矢量运算具有几何意义。
2. 矢量的加法运算- 平行四边形法则：以两个矢量AB和CD为邻边，作平行四边形，其对角线AC 即为它们的和。
- 三角形法则：以两个矢量AB和BC为邻边，作三角形，第三边AC即为它们的和。
3. 矢量的减法运算- 以一个矢量AB为起点，另一个矢量CD为终点，作向量AD，即为它们的差。
4. 矢量的数乘运算- 将一个向量按比例放大或缩小，其结果仍然是一个向量。
- 数乘运算的结果保持向量的方向不变。
三、课堂练习1. 利用平行四边形法则或三角形法则，求两个矢量的和。
2. 利用数乘运算，求一个向量的两倍。
四、小结1. 总结矢量运算的基本规则。
2. 强调矢量运算的几何意义。
第二课时一、复习1. 回顾矢量的基本性质和运算规则。
2. 举例说明矢量运算在几何中的应用。
二、讲授新课1. 矢量运算的几何意义- 矢量加法运算的几何意义：将两个向量合成一个新的向量。
- 矢量减法运算的几何意义：从一个向量中减去另一个向量。
- 矢量数乘运算的几何意义：将一个向量按比例放大或缩小。
2. 矢量运算在实际问题中的应用- 物理中的力、速度、加速度等都可以用矢量表示。
- 矢量运算可以帮助我们解决实际问题，如计算物体的运动轨迹、力的合成与分解等。
三、课堂练习1. 利用矢量运算，计算物体的运动轨迹。
矢量分析的知识点总结
矢量分析的知识点总结一、矢量的定义和表示1.1 矢量的定义矢量是指在空间中具有大小和方向的量，它可以用来表示物理量的大小和方向，如力、速度等。
矢量通常用箭头表示，箭头的长度表示矢量的大小，箭头的方向表示矢量的方向。
1.2 矢量的表示矢量可以用不同的方式表示，常见的表示方法有坐标表示和分量表示。
坐标表示是指用矢量所在空间的坐标系来表示矢量，分量表示是指将矢量在坐标系中的投影表示为一组数值。
1.3 矢量的运算矢量的运算包括加法、减法、数量乘法和点乘等。
加法和减法的运算结果是一个新的矢量，数量乘法是指将矢量的长度进行缩放，点乘是指将两个矢量的长度和夹角进行运算得到一个标量。
二、矢量的微积分2.1 矢量的导数矢量的导数是指对矢量的每个分量分别求导，得到的是一个新的矢量。
矢量的导数在物理学中有着广泛的应用，如速度、加速度等物理量都可以用矢量的导数来表示。
2.2 矢量场矢量场是指在空间中的每个点都有一个矢量与之对应的场，它可以用来描述流体的速度场、电场、磁场等。
矢量场的微积分可以用来研究矢量场的性质和行为。
2.3 曲线积分曲线积分是指对沿着曲线的矢量场进行积分，得到的是一个标量。
曲线积分在物理学中有着重要的应用，如对力沿着曲线的功的计算等。
2.4 曲面积分曲面积分是指对矢量场在曲面上的投影进行积分，得到的是一个标量。
曲面积分在物理学中也有着广泛的应用，如对电场在闭合曲面上的通量计算等。
三、矢量分析的应用3.1 物理学中的应用矢量分析在物理学中有着广泛的应用，如在力学中用于描述力、速度、加速度等物理量；在电磁学中用于描述电场、磁场等物理量。
3.2 工程学中的应用矢量分析在工程学中也有很多应用，如在流体力学中用于描述流体的速度场、压力场等；在航空航天工程中用于描述飞行器的运动状态、姿态等。
3.3 计算机科学中的应用矢量分析在计算机科学中也有着重要的应用，如在图形学中用于描述图像的旋转、平移等运动；在机器学习中用于描述数据的特征、相似度等。
(完整版)矢量分析
矢量代数赵黎晨第一节 矢量分析与场论基础在电动力学中应用较多的数学知识是矢量分析与场论基础。
因而,我们首先对这两方面的有关内容进行总结归纳.主要是为了应用,而不追求数学上的严格.一、矢量代数1.两个矢量的点乘、叉乘若 123(,,)a a a a =v123(,,)b b b b =v则 a v , b v的点乘(也称标量积)112233a b a b a b a b ⋅=++v v (cos a b b a a b α⋅=⋅=v v vv v v )a v ,b v的叉乘(也称矢量积))()()(122133113223321321321321b a b a e b a b a e b a b a e b b b a a a e e e b a -+-+-==⨯ϖϖϖϖϖϖϖϖ 的大小b a ϖϖ⨯sin a b αvv ，α为a v , b v的夹角方向：既垂直于a ϖ，又垂直于b ϖ,与b a ϖϖ,满足右手螺旋关系。
叉乘的不可交换性 a b b a ϖϖϖϖ⨯-=⨯2.三个矢量的混合积112233()()()()c a b c a b c a b c a b ⋅⨯=⨯+⨯+⨯v v v v v v v v v=)()()(122133113223321b a b a c b a b a c b a b a c -+-+-几何解释:以c b a ϖϖϖ,,为棱的平行六面体的体积性质：(1)轮换不变性，在点乘号,叉乘号位置不变的情况下,把矢量按顺序轮换,其混合积不变.()()()a b c b c a c a b ⋅⨯=⋅⨯=⋅⨯v v v v v v v v v(2)若只把两个矢量对调,混合积反号。
()()()()a b c a c b b a c c b a ⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯=-⋅⨯v v v v v v v v v v v v(3)若矢量位置不变只交换点乘号叉乘号,混合积不变—但必须先做叉乘(用括号保证这个顺序)。
矢量基础知识
AAy
y
cos2 cos2 cos2 1 x
2、矢量的运算法则：
B
C
（1）矢量的加法运算
矢量的加法运算实际上是矢量 的叠加，用的是平行四边形法则或 三角形法则。
A
C
B
A
2
（2）矢量的减法运算
矢量的减法运算是加法运算的逆运算。
（3）矢量的乘法运算
矢量 A 、B 形成右手螺旋关系：
伸出右手，使手平面垂直 A 、B所构成的平 面，然后四指沿着矢量 A 的方向，经过小 A B 于180的角转到矢量 B 的 方向 ，此时姆指 指示的方向，就是矢量 A B 的方向。
B
A
强调：矢量点乘与矢量叉乘是不同的概念，
大家一定要把符 号搞清 楚， 不 要混淆。
Ay
y
i , j, k表示沿x，y，z轴的单位矢量。 x
矢量的模 A | A | Ax2 Ay2 Az2
1
矢量方向：可由矢量与三个坐标轴的夹角的余弦表示。
设矢量与x，y，z三轴的夹角为
z
、、。
cos x ,
r
cos y ,
r
此三个角满足关系：
cos z
r
Az
x，y，z轴，对各分量分别进行积分，再对得到的各
分量值进行矢量合成。
Ax dAx , Ay dAy , Az dAz
A Axi Ay j Azk
☜☞5
一、矢量代数的基本知识
标量只有大小，
例如：质量、长度、时间、密度、能量、温度等。
矢量既有大小又有方向，并有一定的运算规则，
例如：位移、速度、加速度、角速度、电场强度等。
高等数学理论及其应用研究
高等数学理论及其应用研究数学是自然科学的一门基础学科，是研究数量、结构、变化与空间关系的学科。
高等数学作为数学的一部分，是指在中级数学基础之上，对各种数学概念、方法和理论进行深入研究，是连接纯数学和应用数学之间的桥梁，广泛应用于物理学、工程学、计算机科学、经济学、统计学等领域。
本文将从高等数学理论及其应用两个方面进行论述。
一、高等数学理论高等数学包括微积分学、矢量、多元微积分学、常微分方程和偏微分方程等学科，这些学科构成了高等数学理论的主要内容。
微积分学是高等数学的重要分支，包括极限、导数、微分、积分等。
极限是微积分的基本概念，是指函数$f(x)$在$x=a$处无限靠近一个常数$L$的过程，记作$\lim_{x\to a}f(x)=L$。
导数则是函数在某一点处的变化率，可以用来求函数的最值、解方程等。
微分和积分是导数的反运算，可以用来求曲线的斜率、近似计算等。
微积分学在许多领域中广泛应用，例如在物理学中用来计算加速度、位移、速度等。
矢量是高等数学中的另一个重要概念，它是具有大小和方向的量。
在物理学中，例如力、速度、加速度等都可以表示为矢量。
矢量运算包括加法、减法、点乘、叉乘等，矢量与矢量之间也有夹角等概念，这些基本概念构成了矢量的理论体系。
在物理学中，矢量可以用来计算物体的运动状态、受力情况等。
多元微积分学是研究多元函数的微积分理论，包括偏导数、梯度、散度和旋度等。
偏导数是指多元函数在某一点处对某一变量的导数，它可以用来求极值、解方程等。
梯度是一个向量，它代表函数增长最快的方向和速率，可以用来计算函数在某一点处的最大增长率。
散度和旋度则是矢量场的重要概念，在物理学中广泛应用。
常微分方程和偏微分方程是高等数学中的另外两个重要分支。
常微分方程是指只包含一个自变量的微分方程，它的解可以表示为一个函数。
偏微分方程则包含多个自变量，它的解可以表示为多个函数。
常微分方程和偏微分方程都广泛应用于物理学、工程学和计算机科学中，例如天体力学中的天体运动模拟、流体力学中的水流、气流模拟等。
高等数学 考研 矢量分析和场 绝对原创 经典
矢量分析和场论一：方向导数 (数值：极限值），(由函数产生的) （点的）1： 设(,,)f x y z μ=为定义在空间域Ω的一个三元函数。
(,,)p x y z 为Ω内一点。
l 为过p 点的任一有向线段。
'(,,)P x x y y z y +∆+∆+∆为l 上与p 临近的另一点。
若'p 沿着l 趋于p 时的极限：'0(')()(,,)(,,)limlim'p pf p f p f x x y y z y f x y z p p ρρ→→-+∆+∆+∆-=存在。
则此极限称：2：⑴ 设三元函数(,,)f x y z μ=在(,,)P x y z 点（ⅰ）可微，过点P的有向线段l 的方向余弦为co s ,co s,co s ,αβγ则e= c o s c o s c o s i j k αβγ++(c o s c o s c o s )p xyzμμμαβγ∂∂∂++∂∂∂＝g r a d e μ＝梯度g r a d μ在射线l 的投影＝P r ej g ra d μ＝c o s (,)g r ade g r a d e μμ ＝co s g ra d μθm a x＝梯度的模：g ra d μ（点的）i j k x y zμμμ∂∂∂++∂∂∂1：设有一个数量场：(,,)f x y z μ=，在场中P 点处：∃x＝梯度的模：g ra d μ的方向2梯度g r a d μ＝i j k x y zμμμ∂∂∂++∂∂∂()()i i i ii j k e e x y z x x μμμμ∂∂∂∂∂=++===∇∂∂∂∂∂(,,)f x y z哈密顿算子一个具有微分及矢量双重运算的算子i j kx y z∂∂∂∇=++∂∂∂ 利用张量下标表示法哈密顿算子可写为iie x ∂∇=∂3：向量函数g r a d μ确定了向量场------梯度场（势场）它/由数量场(,,)f x y z μ=产生。
大学物理常用高数基础知识
则有
s
v0t
1 2
at 2
,即f
t 或st
v0t
1 2
at 2
下面求某一时刻t0的（瞬时）速度 t 0 匀速运动：瞬时速度等于平均速度 0
t0 t
s0 s
v v s s0 st st0 s
t t0
t t0
t
非匀速运动： t0到t 时间段的平均速度：v
欲求t0的瞬时速度，可令t接近于t0，
若P点（或矢径r）在YOZ平面上，则 x=0； 若P点（或矢径r）在ZOX平面上，则 y=0； 若P点（或矢径 r）在XOY平面上，则 z=0。 若P点（或矢径r）在 x 轴上，则 y=z=0； 若P点（或矢径 r）在 y 轴上，则 x=z=0； 若P点（或矢径 r）在 z 轴上，则 x=y=0。
若P点为原点，则x=y=z=0
d ds dt dt
d 2s dt 2
或
a
v s
s
这种导数的导数称为二阶导数。
一般地，y对x的二阶导数为：y
d dx
dy dx
d2y dx2
类似地，可定义三阶、四阶…导数，统称高阶导数。
例：匀速直线运动 s s0 vt,
v ds v dt
加速度
a
d 2s dt 2
d dt
dx
dy、dx（以及前面的ds、dt）都叫做微分。
所以，y dy 也称微商（二微分之商）
dx
微分的含义：微小（无限小）增量。如
热胀：
l'
冷缩：
l dl
dl<0 l'
l
注：物理上也常指一个量（分成无限多份）其中
（无限小的）一份：
L
大学物理学习必备数学知识
dy dy du 1 cos x cos x cot x
dx du dx u
sin x
例5 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
解： dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1) dx
10( x2 1)9 2x 20x( x 2 1)9 .
26
3. 微分
f ( x0 ) tan , (为倾角)
o
y f (x)
T
M
x0
x
切线方程为
y y0 f ( x0 )( x x0 ).
19
4）由定义求导数
步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 y f ( x x) f ( x);
x
x
(3)Байду номын сангаас求极限 y lim y . x0 x
绪论
1）问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x, 正方形面积 A x02 ,
x0
x0x
A
( x0
x)2
x
2 0
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分;
(2) : x的高阶无穷小,当 x 很小时可忽略.
0 C平行于－A
结合律： 分配律：
( A) ( ) A (A B) A B
7
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 矢量可以分解为：
A A1e1 A2 e2
常用 e1e2 称为正交分解
三维空间中应有3个不共面的矢量
绪论
则e1平和面e内2的任一
8
高等数学第七章 (8)
a
两向量同向或反向时等号成立。
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三. 向量与数的乘法
是一个数, 与a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
它的模 :
1a a ; 1 a a ;
可见
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运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a
二、用向量 方法证明：对角线互 相平分的四边形是平 行四边形 .
三 、 把 ABC
的 BC
边 五 等 分 ， 设 分 点 依 次 为 连 接 ， 试 以
D 1 , D 2 , D 3 , D 4 ， 再 把 各 分 点 与 点A
AB c , BC a 表 示 向 量 D 1 A , D 2 A , D 3 A 和 D 4 A .
(a b ) a b 1 则有单位向量 a a . 因此 a a a
a
a
分配律
上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是 一个与原向量同方向的单位向量.
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例. 设 M 为 解:
ABCD 对角线的交点,
b
a
a
结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c 三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a 2 a 3 a4 a5
a4
a5 a3
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
§1矢量的基本知识和运算法则
§ 1矢量的基本知识和运算法则其大小等于A矢量的图示：通常用一条带有箭头的线段来表示， （线段的长度表示大小，箭头表示方向）如图5— 1所示。
两个矢量相等的条件是：大小相等，方向相同。
如图 5— 2所示。
两矢量的夹角定义为两矢量所构成的小于或等于180°的角。
在一般问题中（除非特别指明），矢量的始点位置不关重要的，在进行矢量运算时可将矢量平移。
2.矢量的加减法运算遵从平行四边形法则或三角形法则。
3 .矢量A 与数量K 相乘时，图5 — 4其结果仍是一个矢量。
所得矢量的大小等于原矢量大小乘以， 所得矢量的方向：当K > 0时，与原矢量方向相同；当K<0 时，与原矢量方向相反如动量 mV 、冲量F ：t 都是矢量，其方向分别与矢量 V 和F 矢量相同。
动 量的变化量 m 「：V 也是矢量，其方向与V 相同。
矢量A 与数量K 相除，可以看成A 矢量乘以数量—,如加速度a1,Km m4方向与F 相同。
II4 .矢量A 与矢量B 相乘4 4一种乘法叫做两矢量的数量积（又叫点积） ，用A B 表示，乘得的积是标量，大1.矢量和标量的不同点在于:矢量除了有大小之外, 还有方向, 矢量A 记做位移S 的数量积，是标量。
W = F ・S = FScos-另一种乘法运算是两矢量的矢量积（又叫叉积），用A B 表示，矢量积A B=C还是一个矢量，其大小等于两矢量的大小和两矢量夹角的正弦的乘积。
矢量C 的方向垂直于矢量 A 和B 所决定的平面，指向用“右手螺旋法则”来确定, 如图5- 5 （甲）或（乙）所示。
注意：A B = B A , A B 与B A 大小相等，方向相反。
如力矩M 等于力F 和矢径r 两矢量的矢量积，力矩M*，大小为M =Frsinr 。
带电粒 子所受的磁场力（即洛 仑兹力） F 二qV B ，大小为F = q vBsinr （若是负电荷受力方向与此相反）例5- 1为什么说匀速园周运动既不是匀速运动，也不是匀变速运动？物体在运 动过程中合外力是否做功？解：因为速度和加速度都是矢量， 在图5 - 6所示的 圆周上任意取两点 A 、B ，虽然v A二v B , a A 二a B ，但方 向不同，由矢量相等的条件可知：VA=V B ,f A=a B, 因此匀速园周运动既不是匀速运动， 也不是匀变速运动。
高等数学-矢量
,
a
,
b 的夾角.
記作
類似可定義向量與軸, 軸與軸的夾角 .
與三坐標軸的夾角 , ,
為其方向角.
方向角的余弦稱為其方向余弦.
cos
x r
x x2 y2 z2
z
r
o
y
x
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cos x
r
cos ry cos rz
x x2 y2 z2
a
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3. 向量與數的乘法
是一個數 , 與 a 的乘積是一個新向量, 記作 a .
規定 :
總之:
a
a
運算律 : 結合律 ( a) ( a) a
11可aa見a;a ;
分配律
(a
b)
a
b
则有单位向量
a
1 a
a. 因此 a
a a
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定理1. 設 a 為非零向量 , 則
a∥b
( 為唯一實數)
證: “ ”. 設 a∥b , 取 ＝±
, a , b 同向時
取正號, 反向時取負號, 則 b 與 a 同向, 且
b
故 b a. 再證數 的唯一性 . 設又有 b＝ a , 則 ( ) a 0 故 0, 即 .
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(4)2 12 (7 z)2 32 52 (2 z)2
解得
故所求點為M
(0
,
0
,
14 9
)
.
思考:
(1) 如何求在 xoy 面上與A , B 等距離之點的軌跡方程? (2) 如何求在空間與A , B 等距離之點的軌跡方程 ?
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b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
a 运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
三角形法则可推广到多个向量相加 .
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s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
特殊点的坐标 : 原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
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z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
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2. 向量的坐标表示 在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示. 以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M z 的坐标为 M ( x , y , z ) , 则 C (x , y , z ) OM ON NM OA OB OC r M k j B o y i r x i y j z k (x , y , z ) A N x 此式称为向量 r 的坐标分解式 , 并称 ( x , y , z )为向量的坐标
说明: 由
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式:
x1 x2 1
,
z1 z 2 1
y1 y2 1
,
o
A
M B
当 1时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
中点公式:
x1 x2 2
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0 , 即 .
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“
” 已知 b＝ a , 则 b＝0 a , b 同向
例6. 已知两点
解: A B
和
1 (3 ,1, 2) 14
求
AB
AB 3 1 2 , , 14 14 14
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2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z
沿三个坐标轴方向的分向量.
向径的坐标等于其终点的坐标
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3. 向量的坐标与向量终始点坐标的关系
(x , y , z ) (1) 向径r的坐标等于其终点的坐标,即 M r k j B o r xi y j z k y i (2) 向量 MN 的坐标 A N x z ( x2 , y2 , z2 )N MN ON OM
因平行向量可平移到同一直线上, 故两向量平行又称
两向量共线 .
(2) 向量共面 若 k (≥3)个向量经平移可移到同一平面上 , 则称此 k 个向量共面 .
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二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
第八章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第八章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
四、利用坐标作向量的线性运算
平行向量对应坐标成比例: 当 a 0 时,
bx b y bz ax a y az
bx a x by a y bz a z
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例2. 求解以向量为未知元的线性方程组 ① 5x 3y a ② 3x 2 y b 其中 a 2， 2 , b 1， 2 . （ 1， ） （ 1， ）
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2 一些特殊的向量 向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量,
零向量: 模为 0 的向量,
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3 向量间几何关系 (1) 向量平行与共线
向量a 与 b 平行: 若向量 a 与 b 方向相同或相反, 记作 a∥b ; 规定: 零向量与任何向量平行 ;
在直角坐标系下
z
(0, 0, z ) R
z
( x, y , z )
B (0, y, z )
M y
( x, o, z ) C
o
x
y
Q (0, y, 0)
x P ( x, 0, 0)
A ( x, y, 0)
1 1
在直角坐标系下: 点 M 有序数组 ( x, y, z )
称为点 M 的坐标
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3
,
例8. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
角依次为 , , 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 . 3 4
x2 i y2 j z2 k x1 i y1 j z1 k k x2 x1 i y2 y1 j z2 z1 k o j
C
z
x2 x1 , y2 y1, z2 z1
M1 M2
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M3
即 M1M 2 M 3 为等腰三角形 .
返回
结束
例5. 在 z 轴上求与两点
离的点 .
及
等距
解: 设该点为 M (0 , 0 , z ) , 因为 M A M B ,
(4) 2 12 (7 z ) 2 (2 z ) 2 3 5
(a b ) a b 1 则有单位向量 a a. 因此 a a a
分配律
a
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Hale Waihona Puke 返回结束定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: “ ”. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
a∥b
a , b 反向
例1. 设 M 为 解: ABCD 对角线的交点,
2 MA 2 MB
试用 a 与 b 表示 MA , MB , MC , MD .
a b AC b a BD
D
b
C
M
MA 1 ( a b ) 2 MC 1 ( a b ) 2
MB 1 ( b a ) A 2 MD 1 ( b a ) 2
s
a2 a1
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2. 向量的减法
a
三角不等式
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3. 向量与数的乘法
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
规定 : 可见 总之: a a 1a a ; 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ; 运算律 :
解: 2×① －3×② , 得 x 2 a 3 b (7 , 1,10) 代入②得 1 y (3 x b ) (11, 2 ,16) 2
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例3. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1, 如图所示， 则
解: 设 M 的坐标为
A M B
由
x x1 x2 x
得
y y1 y 2 y
o
即
z z1 z 2 z
得
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
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x
方向余弦的性质:
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例7. 已知两点
和
计算向量
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
M 1M 2 ( 1 2 , 3 2 , 0 2 )
(1, 1, 2 )
(1) 2 12 ( 2 ) 2 2
1 cos , 2 2 , 3
2 cos 2 3 4
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一、向量的概念
1 向量的及相关定义
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a , 向量的模 : 向量的大小, 向量a 与 b 相等: 若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 记作 a＝b ;
M2 M1
向量 a 的负向量: 与向量a 的模相同, 但方向相反的向量 记作－a ;
机动
任取空间一点 O ,
称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
a , b 的夹角.
z
r
o